В математике, маломерная топологии является ветвью топологии, которая изучает многообразия, или в более общем плане топологических пространств, четыре или меньше размеров. Характерными темами являются структурная теория 3-многообразий и 4-многообразий, теория узлов и группы кос. Это можно рассматривать как часть геометрической топологии. Его также можно использовать для обозначения изучения топологических пространств размерности 1, хотя это чаще считается частью теории континуума.
Ряд достижений, начатых в 1960-х годах, привел к акцентированию внимания на малых размерностях топологии. Решение Стивена Смейла в 1961 году гипотезы Пуанкаре в пяти или более измерениях сделало три и четыре измерения наиболее трудными; и действительно, они требовали новых методов, в то время как свобода более высоких измерений означала, что вопросы можно было свести к вычислительным методам, доступным в теории хирургии. Гипотеза Терстона о геометризации, сформулированная в конце 1970-х, предложила основу, которая предполагала, что геометрия и топология тесно переплетены в малых размерностях, а в доказательстве Терстона геометризации многообразий Хакена использовались различные инструменты из ранее лишь слабо связанных областей математики. Открытие Воганом Джонсом полинома Джонса в начале 1980-х не только привело теорию узлов в новые направления, но и дало начало все еще загадочным связям между топологией низкой размерности и математической физикой. В 2002 году Григорий Перельман анонсировал доказательство трехмерной гипотезой Пуанкаре, используя Richard S. Hamilton «s Риччи поток, идею, принадлежащую области геометрического анализа.
В целом, этот прогресс привел к лучшей интеграции данной области в остальную математику.
Поверхность является двумерный, топологическим многообразием. Наиболее известные примеры - это те, которые возникают как границы твердых объектов в обычном трехмерном евклидовом пространстве R 3 - например, поверхность шара. С другой стороны, есть поверхности, такие как бутылка Клейна, которые нельзя вложить в трехмерное евклидово пространство без введения сингулярностей или самопересечений.
Теорема классификации замкнутых поверхностей состояний, что любая связная замкнутая поверхность гомеоморфна некоторый член одного из этих трех семейств:
Поверхности первых двух семейств ориентируемы. Эти два семейства удобно объединить, рассматривая сферу как связную сумму 0 торов. Число задействованных торов g называется родом поверхности. Сфера и тор имеют эйлеровы характеристики 2 и 0 соответственно, и в общем случае эйлерова характеристика связной суммы g торов равна 2 - 2 g.
Поверхности третьего семейства неориентируемые. Эйлерова характеристика реальной проективной плоскости равна 1, и в общем случае эйлерова характеристика связной суммы k из них равна 2 - k.
В математике, то пространство Тейхмюллера Т Х из (реальной) топологической поверхности X, является пространство, что параметризует сложные структуры на X до действия гомеоморфизмов, которые являются изотопными к тождественному. Каждая точка T X можно рассматривать как изоморфизм класса «» отмеченной римановой поверхности, где а «маркировка» представляет собой изотопический класс гомеоморфизмов из X в X. Пространство Тейхмюллера является универсальным накрывающим орбифолдом пространства модулей (Римана).
Пространство Тейхмюллера имеет структуру канонического комплексного многообразия и множество естественных метрик. Основное топологическое пространство пространства Тейхмюллера было изучено Фрике, а метрика Тейхмюллера на нем была введена Освальдом Тейхмюллером ( 1940).
В математике, то униформизация теорема утверждает, что каждая односвязная риманова поверхность является конформно эквивалентно одному из трех областей: открытого единичного круга, в комплексной плоскости, или сферы Римана. В частности, оно допускает риманова метрика на постоянной кривизны. Это классифицирует римановы поверхности как эллиптические (положительно изогнутые - скорее, допускающие постоянную положительно изогнутую метрику), параболические (плоские) и гиперболические (отрицательно изогнутые) в соответствии с их универсальным покрытием.
Теорема униформизации является обобщением теоремы об отображении Римана с собственных односвязных открытых подмножеств плоскости на произвольные односвязные римановы поверхности.
Топологическое пространство X представляет собой 3-многообразие, если каждая точка в X имеет окрестность, которая гомеоморфно в евклидовом 3-пространстве.
Топологические, кусочно-линейные и гладкие категории эквивалентны в трех измерениях, поэтому мало различий в том, имеем ли мы дело, скажем, с топологическими трехмерными многообразиями или гладкими трехмерными многообразиями.
Явления в трех измерениях могут разительно отличаться от явлений в других измерениях, поэтому преобладают очень специализированные методы, которые не распространяются на измерения больше трех. Эта особая роль привела к открытию тесных связей с множеством других областей, таких как теория узлов, геометрическая теория групп, гиперболическая геометрия, теория чисел, теория Тейхмюллера, топологическая квантовая теория поля, калибровочная теория, гомологии Флоера и частные дифференциалы. уравнения. Теория 3-многообразий считается частью низкоразмерной топологии или геометрической топологии.
Теория узлов - это изучение математических узлов. Узел математика, вдохновленный узлами, которые появляются в повседневной жизни на шнурках и веревках, отличается тем, что концы соединены вместе, так что его нельзя развязать. На математическом языке, узел является вложением из круга в 3-мерном евклидовом пространстве, R 3 (так как мы используем топологию, круг не связан с классической геометрической концепции, но все его гомеоморфизмах ). Два математических узла эквивалентны, если один может быть преобразован в другой посредством деформации R 3 на самом себе (известной как окружающая изотопия ); эти преобразования соответствуют манипуляциям с завязанной нитью, которые не связаны с разрезанием нити или пропусканием нити через себя.
Дополнения к узлам - это часто изучаемые трехмерные многообразия. Узловое дополнение ручного узла K - это трехмерное пространство, окружающее узел. Чтобы уточнить это, предположим, что K - узел в трехмерном многообразии M (чаще всего M - это 3-сфера ). Пусть N будет трубчатая окрестность из К ; так что N - полноторий. Дополнение к узлу тогда является дополнением к N,
Связанная тема - теория кос. Теория кос - это абстрактная геометрическая теория, изучающая повседневную концепцию кос и некоторые обобщения. Идея состоит в том, что косы могут быть организованы в группы, в которых групповая операция состоит в том, чтобы «сделать первую косу на наборе ниток, а затем следовать ей второй на скрученных нитках». Такие группы можно описать явными представлениями, как показал Эмиль Артин ( 1947). Чтобы узнать об элементарном подходе к этим линиям, см. Статью о группах кос. Группам кос можно дать более глубокую математическую интерпретацию: как фундаментальную группу определенных конфигурационных пространств.
Гиперболическое 3-многообразие является 3-многообразием оснащен полной римановой метрикой постоянной секционной кривизны -1. Другими словами, это фактор трехмерного гиперболического пространства по подгруппе гиперболических изометрий, действующих свободно и правильно прерывно. См. Также модель Кляйниана.
Его толсто-тонкое разложение имеет тонкую часть, состоящую из трубчатых окрестностей замкнутых геодезических и / или концов, которые являются произведением евклидовой поверхности и замкнутого полулуча. Многообразие имеет конечный объем тогда и только тогда, когда его толстая часть компактна. В этом случае концы имеют форму тора, пересекающего замкнутый полулуч, и называются каспами. Узловые дополнения - это наиболее часто изучаемые многообразия с каспами.
Гипотеза Терстона о геометризации утверждает, что каждое из некоторых трехмерных топологических пространств имеет уникальную геометрическую структуру, которая может быть связана с ними. Это аналог теоремы униформизации для двумерных поверхностей, в которой говорится, что каждой односвязной римановой поверхности может быть задана одна из трех геометрий ( евклидова, сферическая или гиперболическая ). В трех измерениях не всегда возможно назначить одну геометрию целому топологическому пространству. Вместо этого гипотеза геометризации утверждает, что каждое замкнутое 3-многообразие может быть разложено каноническим способом на части, каждая из которых имеет один из восьми типов геометрической структуры. Гипотеза была предложена Уильямом Терстоном ( 1982) и подразумевает несколько других гипотез, таких как гипотеза Пуанкаре и гипотеза об эллиптизации Терстона.
4-многообразие представляет собой 4-мерное топологическое многообразие. Гладкой 4-многообразие представляет собой 4-многообразие с гладкой структурой. В четвертой размерности топологические многообразия и гладкие многообразия сильно отличаются друг от друга, в отличие от более низких размерностей. Существуют некоторые топологические 4-многообразия, не допускающие гладкой структуры, и даже если существует гладкая структура, она не обязательно должна быть единственной (т. Е. Существуют гладкие 4-многообразия, которые гомеоморфны, но не диффеоморфны ).
4-многообразия имеют важное значение в физике, так как в общей теории относительности, пространство моделируются как псевдориманов 4-многообразия.
Экзотическое R 4 представляет собой дифференцируемое многообразие, которая гомеоморфно, но не диффеоморфно в евклидовом пространстве R 4. Первые примеры были найдены в начале 1980-х Майклом Фридманом, когда он использовал контраст между теоремами Фридмана о топологических 4-многообразиях и теоремами Саймона Дональдсона о гладких 4-многообразиях. Существует континуум не-диффеоморфные дифференцируемые структуры из R 4, как было показан сначала Клиффорд Таубс.
До этой конструкции уже было известно о существовании недиффеоморфных гладких структур на сферах - экзотических сферах, хотя вопрос о существовании таких структур для частного случая 4-сферы оставался открытым (и остается открытым по состоянию на 2018 год.). Для любого положительного целого числа n, отличного от 4, на R n нет экзотических гладких структур ; другими словами, если n ≠ 4, то любое гладкое многообразие, гомеоморфное R n, диффеоморфно R n.
Существует несколько фундаментальных теорем о многообразиях, которые могут быть доказаны низкоразмерными методами в размерностях не более 3 и совершенно другими методами больших размерностей в размерностях не менее 5, но которые неверны в четырех измерениях. Вот некоторые примеры:
Есть несколько теорем, которые фактически утверждают, что многие из самых основных инструментов, используемых для изучения многомерных многообразий, неприменимы к низкоразмерным многообразиям, например:
Теорема Стинрода утверждает, что ориентируемое трехмерное многообразие имеет тривиальное касательное расслоение. Другими словами, единственный характеристический класс трехмерного многообразия - это препятствие к ориентируемости.
Любое замкнутое 3-многообразие является границей 4-многообразия. Эта теорема принадлежит нескольким людям независимо: она следует из теоремы Дена - Ликориша через расщепление Хегора трехмерного многообразия. Это также следует из вычисления Рене Тома кольца кобордизмов замкнутых многообразий.
Существование экзотических гладких структур на R 4. Первоначально это наблюдал Майкл Фридман, основываясь на работе Саймона Дональдсона и Эндрю Кассона. С тех пор он был разработан Фридманом, Робертом Гомпфом, Клиффордом Таубсом и Лоуренсом Тейлором, чтобы показать, что существует континуум недиффеоморфных гладких структур на R 4. Между тем известно, что R n имеет ровно одну гладкую структуру с точностью до диффеоморфизма, если n 4.