Каноническое преобразование

В гамильтоновой механике каноническое преобразование - это изменение канонического координаты (q, p, t) → (Q, P, t), сохраняющие форму уравнений Гамильтона. Иногда это называют неизменностью формы . Ему не нужно сохранять форму самого гамильтониана. Канонические преобразования полезны сами по себе, а также составляют основу для уравнений Гамильтона – Якоби (полезный метод для вычисления сохраняющихся величин ) и теоремы Лиувилля (сама по себе основа классической статистической механики ).

Поскольку лагранжева механика основана на обобщенных координатах, преобразования координат q→ Qне влияют на форму уравнений Лагранжа и, следовательно, не влияет на форму уравнений Гамильтона, если мы одновременно изменяем импульс с помощью преобразования Лежандра в

$P\; i\; =\; \partial \; L\; \partial \; Q\; \dot{}\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; dot\; \{Q\}\}\; \_\; \{i\}\}\}.\}$

Следовательно, преобразования координат (также называемые точечными преобразованиями ) - это разновидность канонического преобразования. Однако класс канонических преобразований намного шире, так как старые обобщенные координаты, импульсы и даже время могут быть объединены для образования новых обобщенных координат и импульсов. Канонические преобразования, которые явно не включают время, называются ограниченными каноническими преобразованиями (во многих учебниках рассматривается только этот тип).

Для ясности мы ограничиваем представление здесь исчислением и классической механикой. Читатели, знакомые с более сложной математикой, такой как котангенсные расслоения, внешние производные и симплектические многообразия, должны прочитать соответствующую статью о симплектоморфизме. (Канонические преобразования - это частный случай симплектоморфизма.) Однако краткое введение в современное математическое описание включено в конце этой статьи.

• 1 Обозначение
• 2 Прямой подход
• 3 Теорема Лиувилля
• 4 Подход к производящей функции
  • 4.1 Производящая функция типа 1
  • 4.2 Производящая функция типа 2
  • 4.3 Тип 3 генерирующая функция
  • 4.4 Генерирующая функция типа 4
• 5 Движение как каноническое преобразование
• 6 Современное математическое описание
• 7 История
• 8 См. также
• 9 Ссылки

Переменные, выделенные жирным шрифтом, такие как q, представляют список из N обобщенных координат, которые не нужно преобразовывать, как вектор при вращении, например

$q\; \equiv \; (q\; 1,\; q\; 2,\dots ,\; q\; N\; -\; 1,\; q\; N).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; left\; (q\_\; \{1\},\; q\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; q\_\; \{N-1\},\; q\_\; \{N\}\; \backslash \; right).\}$

Точка над переменной или список обозначает производную по времени, например,

$q\; \dot{}\; \equiv \; dqdt.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{q\}\}\}\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\}\; \{dt\}\}.\}$

Обозначение скалярного произведения между двумя списками такое же количество координат является сокращением для суммы произведений соответствующих компонентов, например,

$p\; \cdot \; q\; \equiv \; \sum \; k\; =\; 1\; N\; pkqk.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; p\_\; \{k\}\; q\_\; \{k\}.\}$

Точечное произведение (также известное как «внутренний продукт») отображает два списка координат в одну переменную, представляющую одно числовое значение.

Функциональная форма уравнений Гамильтона :

$p\; \dot{}\; =\; -\; \partial \; H\; \partial \; qq\; \dot{}\; =\; \partial \; H\; \partial \; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{p\}\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; H\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{q\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; H\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

По определению преобразованные координаты имеют аналогичную динамику

$P\; \dot{}\; =\; -\; \partial \; K\; \partial \; QQ\; \dot{}\; =\; \partial \; К\; \partial \; п\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{P\}\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; K\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{Q\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; K\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где K (Q, P) - новый гамильтониан ( иногда называемый камильтонианом), который необходимо определить.

В общем случае преобразование (q, p, t) → (Q, P, t) не сохраняет форму уравнений Гамильтона. Для не зависящих от времени преобразований между (q, p) и (Q, P) мы можем проверить, является ли преобразование ограниченным каноническим, следующим образом. Поскольку ограниченные преобразования не имеют явной зависимости от времени (по определению), производная по времени новой обобщенной координаты Q m равна

$Q\; \dot{}\; m\; =\; \partial \; Q\; m\; \partial \; q\; \cdot \; q\; \dot{}\; +\; \partial \; Q\; m\; \partial \; п\; \cdot \; п\; \dot{}\; знак\; равно\; \partial \; Q\; м\; \partial \; q\; \cdot \; \partial \; H\; \partial \; p\; -\; \partial \; Q\; м\; \partial \; п\; \cdot \; \partial \; H\; \partial \; q\; =\; \{Q\; m,\; H\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; dot\; \{Q\}\}\; \_\; \{m\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; Q\_\; \{m\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{q\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; Q\_\; \{m\}\; \}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{p\}\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; Q\_\; \{m\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; H\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; Q\_\; \{m\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; H\; \}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; lbrace\; Q\_\; \{m\},\; H\; \backslash \; rbrace\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где {⋅, ⋅} - скобка Пуассона.

У нас также есть тождество для сопряженного импульса P m

$\partial \; H\; \partial \; P\; m\; =\; \partial \; H\; \partial \; q\; \cdot \; \partial \; q\; \partial \; P\; m\; +\; \partial \; H\; \partial \; p\; \cdot \; \partial \; p\; \partial \; P\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; H\}\; \{\backslash \; partial\; P\_\; \{m\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; H\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\}\; \{\backslash \; partial\; P\_\; \{m\; \}\; \}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; H\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\}\; \{\backslash \; partial\; P\_\; \{m\}\}\}\}$

Если преобразование каноническое, эти два должны быть равны, в результате получаем уравнения

$(\partial \; Q\; m\; \partial \; pn)\; q,\; p\; =\; -\; (\partial \; qn\; \partial \; P\; m)\; Q,\; P\; (\partial \; Q\; m\; \partial \; qn)\; q,\; p\; =\; (\partial \; pn\; \partial \; п\; м)\; Q,\; п\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; Q\_\; \{m\}\}\; \{\backslash \; partial\; p\_\; \{n\}\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{\; q\},\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\}\; =\; -\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; q\_\; \{n\}\}\; \{\backslash \; partial\; P\_\; \{m\}\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{Q\},\; \backslash \; mathbf\; \{P\; \}\}\; \backslash \backslash \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; Q\_\; \{m\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\_\; \{n\}\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{q\},\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; p\_\; \{n\}\}\; \{\backslash \; partial\; P\_\; \{m\}\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{Q\},\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Аналогичный аргумент для обобщенные импульсы P m приводят к двум другим системам уравнений

$(\partial \; P\; m\; \partial \; pn)\; q,\; p\; =\; (\partial \; qn\; \partial \; Q\; m)\; Q,\; P\; (\partial \; P\; m\; \partial \; qn)\; q,\; п\; знак\; равно\; -\; (\partial \; pn\; \partial \; Q\; м)\; Q,\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; P\_\; \{m\}\}\; \{\backslash \; partial\; p\_\; \{n\}\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{q\},\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; fra\; c\; \{\backslash \; partial\; q\_\; \{n\}\}\; \{\backslash \; partial\; Q\_\; \{m\}\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{Q\},\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; P\_\; \{m\}\; \}\; \{\backslash \; partial\; q\_\; \{n\}\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{q\},\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\}\; =\; -\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; p\_\; \{n\}\}\; \{\backslash \; partial\; Q\_\; \{m\; \}\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{Q\},\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Это прямые условия для проверки того, является ли данное преобразование каноническим.

Прямые условия позволяют нам доказать теорему Лиувилля, которая утверждает, что объем в фазовом пространстве сохраняется при канонических преобразованиях, т. Е.

$\int \; dqdp\; знак\; равно\; \int \; d\; Q\; d\; п\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; =\; \backslash \; int\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\}$

Согласно исчислению, последний интеграл должен быть равен предыдущему, умноженному на якобиан J

$\int \; d\; Q\; d\; P\; =\; \int \; J\; dqdp\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\; =\; \backslash \; int\; J\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; mathbf\; \{\; p\}\}$

где якобиан - это детерминант матрицы частных производных, которую мы записываем как

$J\; \equiv \; \partial \; (Q,\; П)\; \partial \; (д,\; п)\; \{\backslash \; Displaystyle\; J\; \backslash \; экв\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{\backslash \; partial\; (\backslash \; mathbf\; \{Q\},\; \backslash \; mathbf\; \{P\})\}\; \{\backslash \; partial\; (\backslash \; mathbf\; \{q\},\; \backslash \; mathbf\; \{p\})\; \}\}\}$

Использование свойства «деления» якобианов дает

$J\; \equiv \; \partial \; (Q,\; P)\; \partial \; (q,\; P)\; /\; \partial \; (q,\; p)\; \partial \; (д,\; п)\; \{\backslash \; Displaystyle\; J\; \backslash \; экв\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{\backslash \; partial\; (\backslash \; mathbf\; \{Q\},\; \backslash \; mathbf\; \{P\})\}\; \{\backslash \; partial\; (\backslash \; mathbf\; \{q\},\; \backslash \; mathbf\; \{P\})\}\}\; \backslash \; left\; /\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; (\backslash \; mathbf\; \{q\},\; \backslash \; mathbf\; \{p\})\}\; \{\backslash \; partial\; (\backslash \; mathbf\; \{q\},\; \backslash \; mathbf\; \{P\})\}\}\; \backslash \; right.\}$

Устранение повторяющиеся переменные дают

$J\; \equiv \; \partial \; (Q)\; \partial \; (q)\; /\; \partial \; (p)\; \partial \; (P)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; (\backslash \; mathbf\; \{Q\})\}\; \{\backslash \; partial\; (\backslash \; mathbf\; \{q\})\}\}\; \backslash \; left\; /\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; (\backslash \; mathbf\; \{p\})\}\; \{\backslash \; partial\; (\backslash \; mathbf\; \{P\})\}\}\; \backslash \; right.\}$

Применение прямого условия выше дают J = 1.

Чтобы гарантировать действительное преобразование между (q, p, H) и (Q, P, K), мы можем прибегнуть к к косвенному подходу производящей функции . Оба набора переменных должны подчиняться принципу Гамильтона. Это интеграл действия над лагранжианом $L\; qp\; =\; p\; \cdot \; q\; \dot{}\; -\; H\; (q,\; p,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{qp\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{q\}\}\}\; -\; H\; (\backslash \; mathbf\; \{q\},\; \backslash \; mathbf\; \{p\},\; t)\}$и $LQP\; знак\; равно\; п\; \cdot \; Q\; \dot{}\; -\; К\; (Q,\; P,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{QP\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{Q\}\}\}\; -\; K\; (\backslash \; mathbf\; \{Q\},\; \backslash \; mathbf\; \{P\},\; t)\}$соответственно, полученные гамильтонианом через ("обратное") преобразование Лежандра, оба должны быть стационарными (так что можно использовать уравнения Эйлера – Лагранжа, чтобы получить уравнения вышеупомянутой и обозначенной формы; как это показано, например, здесь ):

$\delta \; \int \; t\; 1\; t\; 2\; [п\; \cdot \; q\; \dot{}\; -\; ЧАС\; (q,\; p,\; t)]\; dt\; знак\; равно\; 0\; \delta \; \int \; t\; 1\; t\; 2\; [P\; \cdot \; Q\; \dot{}\; -\; K\; (Q,\; P,\; t)]\; dt\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{\; выровнено\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; int\; \_\; \{t\_\; \{1\}\}\; ^\; \{t\_\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; mathbf\; \{p\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{q\}\}\}\; -\; H\; (\backslash \; mathbf\; \{q\},\; \backslash \; mathbf\; \{p\},\; t)\; \backslash \; right]\; dt\; =\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; delta\; \backslash \; int\; \_\; \{t\_\; \{1\}\}\; ^\; \{t\_\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; mathbf\; \{P\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{Q\}\}\}\; -\; K\; (\backslash \; m\; athbf\; \{Q\},\; \backslash \; mathbf\; \{P\},\; t)\; \backslash \; right]\; dt\; =\; 0\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Один из способов удовлетворить оба равенства вариационного интеграла - иметь

$\lambda \; [п\; \cdot \; q\; \dot{}\; -\; ЧАС\; (д,\; р,\; t)]\; знак\; равно\; п\; \cdot \; Q\; \dot{}\; -\; К\; (Q,\; P,\; t)\; +\; d\; G\; dt\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; lambda\; \backslash \; left\; [\backslash \; mathbf\; \{p\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{q\}\}\}\; -\; H\; (\backslash \; mathbf\; \{q\},\; \backslash \; mathbf\; \{p\},\; t)\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{Q\}\}\}\; -K\; (\backslash \; mathbf\; \{Q\},\; \backslash \; mathbf\; \{P\},\; t)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{dG\}\; \{dt\}\}\}$

Лагранжианы не уникальны: всегда можно умножить на константу λ и добавить общее время производная dG / dt и дает те же уравнения движения (см. для справки: [1] ).

Как правило, коэффициент масштабирования λ устанавливается равным единице; канонические преобразования, для которых λ ≠ 1, называются расширенными каноническими преобразованиями . dG / dt сохраняется, иначе проблема была бы тривиальной, и у новых канонических переменных не было бы особой свободы отличаться от старых.

Здесь G - производящая функция одной старой канонической координаты (qили p ), одной новой канонической координаты (Qили P ) и (возможно) время t. Таким образом, существует четыре основных типа производящих функций (хотя могут существовать смеси этих четырех типов) в зависимости от выбора переменных. Как будет показано ниже, производящая функция будет определять преобразование из старых канонических координат в новые, и любое такое преобразование (q, p) → (Q, P) гарантированно будет каноническим.

Производящая функция типа 1

Производящая функция типа 1 G 1 зависит только от старых и новых обобщенных координат

$G\; \equiv \; G\; 1\; (q,\; Q,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \backslash \; Equiv\; G\_\; \{1\}\; (\backslash \; mathbf\; \{q\},\; \backslash \; mathbf\; \{Q\},\; t)\}$

Чтобы вывести неявное преобразование, мы расширяем определяющее уравнение выше

$p\; \cdot \; q\; \dot{}\; -\; ЧАС\; (q,\; p,\; t)\; знак\; равно\; п\; Q\; \dot{}\; -\; K\; (Q,\; P,\; t)\; +\; \partial \; G\; 1\; \partial \; t\; +\; \partial \; G\; 1\; \partial \; q\; \cdot \; q\; \dot{}\; +\; \partial \; G\; 1\; \partial \; Q\; \cdot \; Q\; \dot{}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{q\}\}\}\; -\; H\; (\backslash \; mathbf\; \{q\},\; \backslash \; mathbf\; \{p\},\; t)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{\; Q\}\}\}\; -\; K\; (\backslash \; mathbf\; \{Q\},\; \backslash \; mathbf\; \{P\},\; t)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; G\_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; G\_\; \{1\}\; \}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{q\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; G\_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{Q\}\}\}\}$

Поскольку каждая новая и старая координаты независимы, следующие 2N + 1 уравнения должны выполняться

$p\; =\; \partial \; G\; 1\; \partial \; q\; P\; =\; -\; \partial \; G\; 1\; \partial \; QK\; =\; ЧАС\; +\; \partial \; G\; 1\; \partial \; T\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; G\_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{P\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; G\_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\}\}\; \backslash \backslash \; K\; =\; H\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; G\_\; \{\; 1\}\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Эти уравнения определяют преобразование (q, p) → (Q, P) следующим образом. Первый набор из N уравнений

$p\; =\; \partial \; G\; 1\; \partial \; q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; G\_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\}\}\}$

определить отношения между новыми обобщенными координатами Qи старыми каноническими координатами (q, p). В идеале можно инвертировать эти отношения, чтобы получить формулы для каждого Q k как функции старых канонических координат. Подстановка этих формул для координат Q во второй набор N уравнений

$P\; =\; -\; \partial \; G\; 1\; \partial \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; G\_\; \{\; 1\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\}\}\}$

дает аналогичные формулы для новых обобщенных импульсов P в терминах старых канонических координат (q, p). Затем мы инвертируем оба набора формул, чтобы получить старые канонические координаты (q, p) как функции новых канонических координат (Q, P). Подстановка перевернутых формул в окончательное уравнение

$K\; =\; H\; +\; \partial \; G\; 1\; \partial \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; H\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; G\_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\}$

дает формула для K как функция новых канонических координат (Q, P).

На практике эта процедура проще, чем кажется, потому что генерирующая функция обычно проста. Например, пусть

$G\; 1\; \equiv \; q\; \cdot \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{1\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\}$

Это приводит к замене обобщенных координат на импульсы и наоборот. наоборот

$p\; =\; \partial \; G\; 1\; \partial \; q\; =\; QP\; =\; -\; \partial \; G\; 1\; \partial \; Q\; =\; -\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; G\_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{P\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; G\_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\}\}\; =\; -\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

и K = H. Этот пример показывает, насколько независимы координаты и импульсы в гамильтоновой формулировке; они эквивалентные переменные.

Производящая функция типа 2

Производящая функция типа 2 G 2 зависит только от старых обобщенных координат и новых обобщенных импульсов

$G\; \equiv \; -\; Q\; \cdot \; P\; +\; G\; 2\; (q,\; P,\; t)\; \{\backslash \; Displaystyle\; G\; \backslash \; Equiv\; -\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\; +\; G\_\; \{2\}\; (\backslash \; mathbf\; \{q\},\; \backslash \; mathbf\; \{\; P\},\; t)\}$

где члены $-\; Q\; \cdot \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\}$представляют собой преобразование Лежандра, чтобы изменить правую часть уравнения ниже. Чтобы вывести неявное преобразование, мы расширяем определяющее уравнение выше

$p\; \cdot \; q\; \dot{}\; -\; H\; (q,\; p,\; t)\; =\; -\; Q\; \cdot \; P\; \dot{}\; -\; K\; (Q,\; P,\; t)\; +\; \partial \; G\; 2\; \partial \; t\; +\; \partial \; G\; 2\; \partial \; q\; \cdot \; q\; \dot{}\; +\; \partial \; G\; 2\; \partial \; п\; \cdot \; п\; \dot{}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{q\}\}\}\; -\; H\; (\backslash \; mathbf\; \{q\},\; \backslash \; mathbf\; \{\; p\},\; t)\; =\; -\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{P\}\}\}\; -\; K\; (\backslash \; mathbf\; \{Q\},\; \backslash \; mathbf\; \{P\},\; t)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; G\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; G\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{q\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; partial\; G\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{P\}\}\}\}$

Поскольку старые координаты и новые импульсы независимы, следующие 2N + 1 уравнения должны выполняться

$p\; =\; \partial \; G\; 2\; \partial \; q\; Q\; =\; \partial \; G\; 2\; \partial \; PK\; =\; H\; +\; \partial \; G\; 2\; \partial \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; G\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; G\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\}\}\; \backslash \backslash \; K\; =\; H\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; G\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Эти уравнения определяют преобразование (q, p) → (Q, P) следующим образом. Первый набор из N уравнений

$p\; =\; \partial \; G\; 2\; \partial \; q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; G\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\}\}\}$

определить отношения между новыми обобщенными импульсами P и старыми каноническими координатами (q, p). В идеале эти отношения можно инвертировать, чтобы получить формулы для каждого P k как функции старых канонических координат. Подстановка этих формул для координат P во второй набор N уравнений

$Q\; =\; \partial \; G\; 2\; \partial \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; G\_\; \{2\}\; \}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\}\}\}$

дает аналогичные формулы для новых обобщенных координат Q в терминах старых канонических координат (q, p). Затем мы инвертируем оба набора формул, чтобы получить старые канонические координаты (q, p) как функции новых канонических координат (Q, P). Подстановка перевернутых формул в окончательное уравнение

$K\; =\; H\; +\; \partial \; G\; 2\; \partial \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; H\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; G\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\}$

дает формула для K как функция новых канонических координат (Q, P).

На практике эта процедура проще, чем кажется, потому что генерирующая функция обычно проста. Например, пусть

$G\; 2\; \equiv \; g\; (q;\; t)\; \cdot \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{2\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; mathbf\; \{g\}\; (\backslash \; mathbf\; \{q\};\; t)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\}$

, где g - набор из N функций. Это приводит к точечному преобразованию обобщенных координат

$Q\; =\; \partial \; G\; 2\; \partial \; P\; =\; g\; (q;\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; G\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{g\}\; (\backslash \; mathbf\; \{q\};\; t)\}$

Производящая функция типа 3

Производящая функция типа 3 G 3 зависит от только на старых обобщенных импульсах и новых обобщенных координатах

$G\; \equiv \; q\; \cdot \; p\; +\; G\; 3\; (p,\; Q,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; +\; G\_\; \{\; 3\}\; (\backslash \; mathbf\; \{p\},\; \backslash \; mathbf\; \{Q\},\; t)\}$

где $q\; \cdot \; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\}$члены представляют собой преобразование Лежандра для изменения левой части уравнения ниже. Чтобы вывести неявное преобразование, мы расширяем определяющее уравнение выше

$-\; q\; \cdot \; p\; \dot{}\; -\; H\; (q,\; p,\; t)\; =\; P\; \cdot \; Q\; \dot{}\; -\; K\; (Q,\; P,\; t)\; +\; \partial \; G\; 3\; \partial \; t\; +\; \partial \; G\; 3\; \partial \; п\; \cdot \; п\; \dot{}\; +\; \partial \; G\; 3\; \partial \; Q\; \cdot \; Q\; \dot{}\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{p\}\}\}\; -\; H\; (\backslash \; mathbf\; \{q\},\; \backslash \; mathbf\; \{p\},\; t)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{Q\}\}\}\; -\; K\; (\backslash \; mathbf\; \{Q\},\; \backslash \; mathbf\; \{P\},\; t)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; G\_\; \{3\}\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; G\_\; \{3\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{p\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; partial\; G\_\; \{3\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{Q\}\}\}\}$

Поскольку каждая новая и старая координаты независимы, следующие 2N + 1 уравнения должен содержать

$q\; =\; -\; \partial \; G\; 3\; \partial \; p\; P\; =\; -\; \partial \; G\; 3\; \partial \; QK\; =\; H\; +\; \partial \; G\; 3\; \partial \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; partial\; G\_\; \{3\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{P\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; G\_\; \{3\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\}\}\; \backslash \backslash \; K\; =\; H\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; G\_\; \{3\}\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Эти уравнения определяют преобразование (q, p) → (Q, P) следующим образом. Первый набор из N уравнений

$q\; =\; -\; \partial \; G\; 3\; \partial \; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; G\_\; \{3\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\}\}\}$

определяют отношения между новыми обобщенными координатами Qи старыми каноническими координатами (q, p). В идеале можно инвертировать эти отношения, чтобы получить формулы для каждого Q k как функции старых канонических координат. Подстановка этих формул для координат Q во второй набор N уравнений

$P\; =\; -\; \partial \; G\; 3\; \partial \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; G\_\; \{\; 3\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\}\}\}$

дает аналогичные формулы для новых обобщенных импульсов P в терминах старых канонических координат (q, p). Затем мы инвертируем оба набора формул, чтобы получить старые канонические координаты (q, p) как функции новых канонических координат (Q, P). Подстановка перевернутых формул в окончательное уравнение

$K\; =\; H\; +\; \partial \; G\; 3\; \partial \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; H\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; G\_\; \{3\}\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\}$

дает формула для K как функция новых канонических координат (Q, P).

На практике эта процедура проще, чем кажется, потому что генерирующая функция обычно проста.

Производящая функция типа 4

Производящая функция типа 4 $G\; 4\; (p,\; P,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{4\}\; (\backslash \; mathbf\; \{p\},\; \backslash \; mathbf\; \{\; P\},\; t)\}$зависит только от старого и нового обобщенных импульсов

$G\; \equiv \; q\; \cdot \; p\; -\; Q\; \cdot \; P\; +\; G\; 4\; (p,\; P,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\; +\; G\_\; \{4\}\; (\backslash \; mathbf\; \{p\},\; \backslash \; mathbf\; \{P\},\; t)\}$

где $q\; \cdot \; p\; -\; Q\; \cdot \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\}$термины представляют собой Преобразование Лежандра, чтобы изменить обе стороны уравнения ниже. Чтобы вывести неявное преобразование, мы расширяем определяющее уравнение выше

$-\; q\; \cdot \; p\; \dot{}\; -\; H\; (q,\; p,\; t)\; =\; -\; Q\; \cdot \; P\; \dot{}\; -\; K\; (Q,\; P,\; t)\; +\; \partial \; G\; 4\; \partial \; t\; +\; \partial \; G\; 4\; \partial \; п\; \cdot \; п\; \dot{}\; +\; \partial \; G\; 4\; \partial \; P\; \cdot \; P\; \dot{}\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{p\}\}\}\; -\; H\; (\backslash \; mathbf\; \{q\},\; \backslash \; mathbf\; \{p\},\; t)\; =\; -\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{P\}\}\}\; -\; K\; (\backslash \; mathbf\; \{Q\},\; \backslash \; mathbf\; \{P\},\; t)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; частичный\; G\_\; \{4\}\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; G\_\; \{4\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{p\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; G\_\; \{4\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{P\}\}\}\}$

Поскольку каждая новая и старая координаты независимы, следующие 2N + 1 уравнение должно выполняться

$q\; =\; -\; \partial \; G\; 4\; \partial \; p\; Q\; =\; \partial \; G\; 4\; \partial \; PK\; =\; H\; +\; \partial \; G\; 4\; \partial \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; G\_\; \{4\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; G\_\; \{4\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\}\}\; \backslash \backslash \; K\; =\; H\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; G\_\; \{4\}\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Эти уравнения определяют преобразование (q, p) → (Q, P) следующим образом. Первый набор из N уравнений

$q\; =\; -\; \partial \; G\; 4\; \partial \; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; G\_\; \{4\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\}\}\}$

определяют отношения между новыми обобщенными импульсами P и старыми каноническими координатами (q, p). В идеале можно инвертировать эти отношения, чтобы получить формулы для каждого P k как функции старых канонических координат. Подстановка этих формул для координат P во второй набор N уравнений

$Q\; =\; \partial \; G\; 4\; \partial \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; G\_\; \{4\}\; \}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\}\}\}$

дает аналогичные формулы для новых обобщенных координат Q в терминах старых канонических координат (q, p). Затем мы инвертируем оба набора формул, чтобы получить старые канонические координаты (q, p) как функции новых канонических координат (Q, P). Подстановка перевернутых формул в окончательное уравнение

$K\; =\; H\; +\; \partial \; G\; 4\; \partial \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; H\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; G\_\; \{4\}\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\}$

дает формула для K как функция новых канонических координат (Q, P).

Само движение (или, что то же самое, смещение начала отсчета времени) является каноническим преобразованием. Если $Q\; (t)\; \equiv \; q\; (t\; +\; \tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; (t)\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; (t\; +\; \backslash \; tau)\}$и $P\; (t)\; \equiv \; p\; (t\; +\; \tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\; (t)\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; (t\; +\; \backslash \; tau)\}$, затем принцип Гамильтона автоматически выполняется

$\delta \; \int \; t\; 1\; t\; 2\; [P\; \cdot \; Q\; \dot{}\; -\; K\; (Q,\; P,\; t)]\; dt\; =\; \delta \; \int \; t\; 1\; +\; \tau \; t\; 2\; +\; \tau \; [p\; \cdot \; q\; \dot{}\; -\; H\; (q,\; p,\; t\; +\; \tau )]\; dt\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \backslash \; int\; \_\; \{t\_\; \{1\}\}\; ^\; \{t\_\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; mathbf\; \{P\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{Q\}\}\; \}\; -K\; (\backslash \; mathbf\; \{Q\},\; \backslash \; mathbf\; \{P\},\; t)\; \backslash \; right]\; dt\; =\; \backslash \; delta\; \backslash \; int\; \_\; \{t\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; tau\}\; ^\; \{t\_\; \{2\}\; +\; \backslash \; tau\}\; \backslash \; left\; [\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{q\}\}\}\; -\; H\; (\backslash \; mathbf\; \{q\},\; \backslash \; mathbf\; \{p\},\; t\; +\; \backslash \; tau)\; \backslash \; right]\; dt\; =\; 0\}$

, поскольку действительный траектория $(q\; (t),\; p\; (t))\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{q\}\; (t),\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; (t))\}$всегда должна удовлетворять Принцип Гамильтона, независимо от конечных точек.

С математической точки зрения, канонические координаты - это любые координаты в фазовом пространстве (котангенсный пучок ) системы, которые позволяют каноническая единообразная форма должна быть записана как

$\sum \; ipidqi\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; p\_\; \{i\}\; \backslash ,\; dq\; ^\; \{i\}\}$

с точностью до полной разницы (точная форма ). Изменение переменной между одним набором канонических координат и другим является каноническим преобразованием . Индекс обобщенных координат qзаписывается здесь как надстрочный индекс ($qi\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; ^\; \{i\}\}$), а не как подстрочный индекс, как описано выше ($ци\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{i\}\}$). Верхний индекс передает свойства контравариантного преобразования обобщенных координат и не означает, что координата возводится в степень. Более подробную информацию можно найти в статье симплектоморфизм.

Первое крупное применение канонического преобразования было сделано в 1846 году Шарлем Делоне при исследовании системы Земля-Луна-Солнце. Эта работа привела к публикации пары больших томов под названием Mémoires Французской академией наук в 1860 и 1867 годах.

• Симплектоморфизм
• Гамильтон – Якоби уравнение
• Теорема Лиувилля (гамильтониан)
• Преобразование Матье
• Линейное каноническое преобразование

• Гольдштейн, Герберт (1980). Классическая механика (2-е изд.). Ридинг, Массачусетс: Addison-Wesley Pub. Co. p. 380. ISBN 0-201-02918-9. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Ландау, LD ; Лифшиц, EM (1975) [1939]. Механика. Перевод Bell, SJ ; Sykes, JB (3-е изд.). Амстердам: Elsevier. ISBN 978-0-7506-28969. CS1 maint: ref = harv (ссылка )