Уравнение Гамильтона – Якоби

Переформулировка законов движения Ньютона с использованием вариационного исчисления

В физике, уравнение Гамильтона – Якоби, названное в честь Уильяма Роуэна Гамильтона и Карла Густава Джейкоба Якоби, является альтернативной формулировкой классической механики, эквивалентные другим формулировкам, таким как законы движения Ньютона, лагранжева механика и гамильтонова механика. Уравнение Гамильтона – Якоби особенно полезно для определения сохраняющихся величин для механических систем, что может быть возможным, даже если сама механическая проблема не может быть решена полностью.

Уравнение Гамильтона – Якоби также является единственной формулировкой механики, в которой движение частицы может быть представлено как волна. В этом смысле он выполнил давнюю цель теоретической физики (датируемую, по крайней мере, Иоганном Бернулли в восемнадцатом веке) - найти аналогию между распространением света и движением частицы. Волновое уравнение, которому следуют механические системы, похоже, но не идентично уравнению Шредингера, как описано ниже; по этой причине уравнение Гамильтона – Якоби считается «наиболее близким подходом» классической механики к квантовой механике.

В математике уравнение Гамильтона – Якоби является необходимое условие, описывающее экстремальную геометрию в обобщениях задач из вариационного исчисления. Его можно рассматривать как частный случай уравнения Гамильтона – Якоби – Беллмана из динамического программирования.

• 1 Обозначение
• 2 Математическая формулировка
• 3 Сравнение с другими формулировки механики
• 4 Вывод с использованием канонического преобразования
• 5 Действие и функции Гамильтона
• 6 Разделение переменных
  • 6.1 Примеры в различных системах координат
    • 6.1.1 Сферические координаты
    • 6.1.2 Эллиптические цилиндрические координаты
    • 6.1.3 Параболические цилиндрические координаты
• 7 Волны и частицы
  • 7.1 Оптические волновые фронты и траектории
  • 7.2 Связь с уравнением Шредингера
• 8 Приложения
  • 8.1 HJE в гравитационном поле
  • 8.2 HJE в электромагнитных полях
    • 8.2.1 Циркулярно поляризованная волна
    • 8.2.2 Монохроматическая линейно поляризованная плоская волна
    • 8.2.3 Электромагнитная волна с соленоидальным магнитным полем
• 9 См. также
• 10 Ссылки
• 11 Дополнительная литература

Переменные, выделенные жирным шрифтом, такие как $q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\}$представляет список $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$обобщенных координат,

$q\; =\; (q\; 1,\; q\; 2,\dots ,\; q\; N\; -\; 1,\; q\; N)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; =\; (q\_\; \{1\},\; q\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; q\_\; \{N-1\},\; q\_\; \{N\})\}$

точка над переменная или список обозначают производную по времени (см. нотация Ньютона ). Например,

$q\; \dot{}\; =\; d\; q\; d\; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{q\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\}\; \{dt\}\}.\}$

Обозначение скалярного произведения между двумя списками такое же количество координат является сокращением суммы произведений соответствующих компонентов, например

$p\; \cdot \; q\; =\; \sum \; k\; =\; 1\; N\; pkqk.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; p\_\; \{k\}\; q\_\; \{k\}.\}$

Учитывая гамильтониан $H\; (q,\; p,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; (q,\; p,\; t)\}$механической системы (где $q\; \{\backslash \; displaystyle\; q\}$, $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$- координаты и импульсы системы, а $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$- время) записывается уравнение Гамильтона – Якоби как нелинейное уравнение в частных производных для главной функции Гамильтона $S\; (q,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (q,\; t)\}$,

$-\; \partial \; S\; \partial \; t\; =\; H\; (q,\; \partial \; S\; \partial \; q,\; t).\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; S\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; H\; \backslash \; left\; (q,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; S\}\; \{\backslash \; partial\; q\}\},\; t\; \backslash \; right).\}$

Основная функция Гамильтона определяется как функция верхнего предела интеграла действия , взятого вдоль минимальной траектории действия системы,

$S\; (q,\; t):\; =\; \int \; (q,\; t)\; L\; dt,\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (q,\; t):\; =\; \backslash \; int\; ^\; \{(q,\; t)\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \backslash ,\; dt,\}$

где $L\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{\; L\}\}\}$- лагранжиан системы, и где траектория удовлетворяет уравнению Эйлера – Лагранжа системы,

$ddt\; \partial \; L\; \partial \; q\; \dot{}\; =\; \partial \; L\; \partial \; q.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{\; L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\}\}.\}$

Вычисление вариации $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$относительно вариации координаты конечной точки,

$\delta \; S\; =\; \int \; (\partial \; L\; \partial \; q\; \delta \; q\; +\; \partial \; L\; \partial \; q\; \dot{}\; \delta \; q\; \dot{})\; dt\; =\; \int \; (ddt\; \partial \; L\; \partial \; q\; \dot{}\; \delta \; q\; +\; \partial \; L\; \partial \; q\; \dot{}\; ddt\; \delta \; q)\; dt\; =\; \int \; ddt\; (\partial \; L\; \partial \; q\; \dot{}\; \delta \; q)\; dt\; знак\; равно\; \partial \; L\; \partial \; q\; \dot{}\; \delta \; q\; знак\; равно\; п\; \delta \; q,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; S\; =\; \backslash \; int\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\}\}\; \backslash \; delta\; q\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\}\}\; \backslash \; delta\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; \backslash \; right)\; dt\; =\; \backslash \; int\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\}\}\; \backslash \; delta\; q\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; delta\; \{q\}\; \backslash \; right)\; dt\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\}\}\; \backslash \; delta\; q\; \backslash \; right)\; dt\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\; \backslash \; dot\; \{q\}\}\}\}\; \backslash \; delta\; q\; =\; p\; \backslash \; delta\; q,\}$

приводит к

$\partial \; S\; \partial \; q\; =\; p.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; S\}\; \{\backslash \; partial\; q\}\}\; =\; p.\}$

Использование этого результата и вычисление вариации $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$относительно изменение времени конечной точки приводит непосредственно к уравнению Гамильтона – Якоби,

$\delta \; S\; =\; L\; \delta \; t\; +\; \partial \; L\; \partial \; q\; \dot{}\; \delta \; q\; =\; L\; \delta \; t\; -\; \partial \; L\; \partial \; q\; \dot{}\; q\; \dot{}\; \delta \; t\; =\; -\; ЧАС\; \delta \; T,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; S\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \backslash \; delta\; t\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\}\}\; \backslash \; delta\; q\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \backslash \; delta\; t\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\}\}\}\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; \backslash \; delta\; t\; =\; -H\; \backslash \; delta\; t\; \backslash \; ;,\}$

или

$\partial \; S\; \partial \; t\; =\; -\; H,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; S\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; -\; H,\}$

где $\delta \; q\; =\; -\; q\; \dot{}\; \delta \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; q\; =\; -\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; \backslash \; delta\; t\}$- изменение траектории в старой конечной точке из-за временной сдвиг и где $H\; =\; \partial \; L\; \partial \; q\; \dot{}\; q\; \dot{}\; -\; L\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\}\}\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; -\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}$- гамильтониан системы.

В качестве альтернативы, как описано ниже, уравнение Гамильтона – Якоби можно вывести из гамильтоновой механики, рассматривая $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$как производящая функция для канонического преобразования классического гамильтониана

$H\; =\; H\; (q\; 1,\; q\; 2,\dots ,\; q\; N;\; p\; 1,\; p\; 2,\dots ,\; p\; N;\; t).\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; H\; (q\_\; \{1\},\; q\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; q\_\; \{N\};\; p\_\; \{1\},\; p\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; p\_\; \{N\};\; t).\}$

Сопряженные импульсы соответствуют первым производным $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$по обобщенным координатам

$pk\; =\; \partial \; S\; \partial \; qk.\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; S\}\; \{\backslash \; partial\; q\_\; \{k\}\}\}.\}$

В качестве решения уравнения Гамильтона – Якоби главная функция содержит $N\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; +\; 1\}$неопределенные константы, первые $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$из них обозначаются как $\alpha \; 1,\; \alpha \; 2,...,\; \alpha \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{1\},\; \backslash ,\; \backslash \; alpha\; \_\; \{2\},...,\; \backslash \; alpha\; \_\; \{N\}\}$, а последний получен в результате интеграции $\partial \; S\; \partial \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; S\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\}$.

Связь между $p\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textbf\; \{p\}\}\}$и $q\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textbf\; \{q\}\}\}$затем описывает орбиту в фазовом пространстве в терминах этих констант движения. Кроме того, величины

$\beta \; K\; =\; \partial \; S\; \partial \; \alpha \; K,\; k\; =\; 1,\; 2,\dots ,\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; \_\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; S\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; alpha\; \_\; \{\; k\}\}\},\; \backslash \; quad\; k\; =\; 1,2,\; \backslash \; ldots,\; N\}$

также являются константами движения, и эти уравнения можно инвертировать, чтобы найти $q\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textbf\; \{q\}\}\}$как функция всех констант $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$и $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$и времени.

HJE - это одно уравнение в частных производных первого порядка для функции обобщенных координат $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$ $q\; 1,\; q\; 2,...,\; q\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{1\},\; \backslash ,\; q\_\; \{2\},...,\; q\_\; \{N\}\}$и время $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$. Обобщенные импульсы не отображаются, за исключением производных от $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$. Примечательно, что функция $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$эквивалентна классическому действию.

. Для сравнения, в эквивалентных уравнениях движения Эйлера – Лагранжа лагранжева механика, сопряженные импульсы тоже не появляются; однако эти уравнения представляют собой систему $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$, как правило, уравнений второго порядка для временной эволюции обобщенных координат. Точно так же уравнения движения Гамильтона представляют собой другую систему из 2N уравнений первого порядка для временной эволюции обобщенных координат и их сопряженных импульсов $p\; 1,\; p\; 2,...,\; p\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{1\},\; \backslash ,\; p\_\; \{2\},...,\; p\_\; \{N\}\}$.

Поскольку HJE является эквивалентным выражением интегральной задачи минимизации, такой как принцип Гамильтона, HJE может быть полезен в других задачах вариационного исчисления и, в более общем плане, в других разделах математики и физики, таких как динамические системы, симплектическая геометрия и квантовый хаос. Например, уравнения Гамильтона – Якоби можно использовать для определения геодезических на римановом многообразии, важной вариационной задачи в римановой геометрии.

Любое каноническое преобразование, включающее производящую функцию типа 2 $G\; 2\; (q,\; P,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{2\}\; (\{\backslash \; textbf\; \{q\}\},\; \{\backslash \; textbf\; \{P\}\},\; t)\}$приводит к соотношениям

$p\; =\; \partial \; G\; 2\; \partial \; q,\; Q\; =\; \partial \; G\; 2\; \partial \; П,\; К\; (Q,\; P,\; T)\; знак\; равно\; ЧАС\; (д,\; р,\; t)\; +\; \partial \; G\; 2\; \partial \; T\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; =\; \{\backslash \; partial\; G\_\; \{2\}\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; \},\; \backslash \; quad\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; =\; \{\backslash \; partial\; G\_\; \{2\}\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\},\; \backslash \; quad\; K\; (\backslash \; mathbf\; \{Q\},\; \backslash \; mathbf\; \{P\},\; t)\; =\; H\; (\backslash \; mathbf\; \{q\},\; \backslash \; mathbf\; \{p\},\; t)\; +\; \{\backslash \; partial\; G\_\; \{2\}\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; t\}\}$

и уравнения Гамильтона в терминах новых переменных $P,\; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{P\},\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\}$и новый гамильтониан $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$имеют одинаковую форму:

$P\; \dot{}\; =\; -\; \partial \; К\; \partial \; Q,\; Q\; \dot{}\; =\; +\; \partial \; K\; \partial \; P.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{P\}\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; partial\; K\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\},\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{Q\}\}\}\; =\; +\; \{\backslash \; partial\; K\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\}.\}$

Чтобы получить HJE, мы выбираем производящую функцию $G\; 2\; (q,\; P,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{2\}\; (\{\backslash \; textbf\; \{q\; \}\},\; \{\backslash \; textbf\; \{P\}\},\; t)\}$таким образом, чтобы новый гамильтониан был $K\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; 0\}$. Следовательно, все его производные также равны нулю, и преобразованные уравнения Гамильтона становятся тривиальными

$P\; \dot{}\; =\; Q\; \dot{}\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{P\}\}\}\; =\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{Q\}\; \}\}\; =\; 0\}$

, поэтому новые обобщенные координаты и импульсы являются константами движения. Поскольку они являются константами, в этом контексте новые обобщенные импульсы $P\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textbf\; \{P\}\}\}$обычно обозначаются $\alpha \; 1,\; \alpha \; 2,...,\; \alpha \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{1\},\; \backslash ,\; \backslash \; alpha\; \_\; \{2\},...,\; \backslash \; alpha\; \_\; \{N\}\}$, т.е. $P\; m\; =\; \alpha \; m\; \{\; \backslash \; displaystyle\; P\_\; \{m\}\; =\; \backslash \; alpha\; \_\; \{m\}\}$и новые обобщенные координаты $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textbf\; \{Q\}\}\}$обычно обозначаются как $\beta \; 1,\; \beta \; 2,...,\; \beta \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; \_\; \{1\},\; \backslash ,\; \backslash \; beta\; \_\; \{2\},...,\; \backslash \; beta\; \_\; \{N\}\}$, поэтому $Q\; m\; =\; \beta \; m\; \{\; \backslash \; displaystyle\; Q\_\; \{m\}\; =\; \backslash \; beta\; \_\; \{m\}\}$.

Установка производящей функции, равной главной функции Гамильтона, плюс произвольная константа $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$:

$G\; 2\; (q,\; \alpha ,\; t)\; знак\; равно\; S\; (q,\; t)\; +\; A,\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{2\}\; (\backslash \; mathbf\; \{q\},\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; alpha\}\},\; t)\; =\; S\; (\backslash \; mathbf\; \{q\},\; t)\; +\; A,\}$

автоматически возникает HJE

$p\; =\; \partial \; G\; 2\; \partial \; q\; =\; \partial \; S\; \partial \; q\; \to \; H\; (q,\; p,\; t)\; +\; \partial \; G\; 2\; \partial \; t\; =\; 0\; \to \; H\; (q,\; \partial \; S\; \partial \; q,\; t)\; +\; \partial \; S\; \partial \; T\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; G\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; S\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; rightarrow\; \backslash ,\; H\; (\backslash \; mathbf\; \{q\},\; \backslash \; mathbf\; \{p\},\; t)\; +\; \{\backslash \; partial\; G\_\; \{2\}\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; t\}\; =\; 0\; \backslash ,\; \backslash \; rightarrow\; \backslash ,\; H\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{q\},\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; S\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\}\},\; t\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; partial\; S\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; t\}\; =\; 0.\}$

Как только мы решили для $S\; (q,\; \alpha ,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (\backslash \; mathbf\; \{q\},\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; alpha\}\},\; t)\}$, они также дают нам полезные уравнения

$Q\; =\; \beta \; =\; \partial \; S\; \partial \; \alpha ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; =\; \{\backslash \; partial\; S\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; alpha\}\}\},\}$

или записано в компонентах для ясности

$Q\; m\; =\; \beta \; m\; =\; \partial \; S\; (q,\; \alpha ,\; t)\; \partial \; \alpha \; m.\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\_\; \{m\}\; =\; \backslash \; beta\; \_\; \{m\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; S\; (\backslash \; mathbf\; \{q\},\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; alpha\}\},\; t)\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; alpha\; \_\; \{m\}\; \}\}.\}$

В идеале эти N уравнений можно инвертировать, чтобы найти исходные обобщенные координаты $q\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textbf\; \{q\}\}\}$как функция констант $\alpha ,\; \beta ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; alpha\}\},\; \backslash ,\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\},\}$и $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \}$, таким образом решая исходную проблему.

Основная функция Гамильтона S и классическая функция H тесно связаны с действием. Полная разность для $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$составляет:

$d\; S\; =\; \sum \; i\; \partial \; S\; \partial \; qidqi\; +\; \partial \; S\; \partial \; tdt\; \{\backslash \; displaystyle\; dS\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; S\}\; \{\backslash \; partial\; q\_\; \{i\}\}\}\; dq\_\; \{i\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; S\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; dt\}$

, поэтому производная по времени от S равна

$d\; S\; dt\; =\; \sum \; i\; \partial \; S\; \partial \; qiq\; \dot{}\; i\; +\; \partial \; S\; \partial \; t\; =\; \sum \; ipiq\; \dot{}\; i\; -\; H\; =\; L.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dS\}\; \{dt\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; S\}\; \{\backslash \; partial\; q\_\; \{i\}\}\}\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; \_\; \{i\}\; +\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; S\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; p\_\; \{i\}\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; \_\; \{i\}\; -H\; =\; L.\}$

Следовательно,

$S\; =\; \int \; L\; dt,\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; \backslash \; int\; L\; \backslash ,\; dt,\}$

так что S на самом деле классическое действие плюс неопределенная константа.

Когда H явно не зависит от времени,

$W\; =\; S\; +\; E\; t\; =\; S\; +\; H\; t\; =\; \int \; (L\; +\; H)\; dt\; =\; \int \; p\; \cdot \; dq,\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; =\; S\; +\; Et\; =\; S\; +\; Ht\; =\; \backslash \; int\; (L\; +\; H)\; \backslash ,\; dt\; =\; \backslash \; int\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; mathbf\; \{q\},\}$

в этом случае W то же самое, что и сокращенное действие.

HJE наиболее полезен, когда его можно решить с помощью аддитивного разделения переменных, которое напрямую определяет константы движения. Например, время t можно разделить, если гамильтониан не зависит явно от времени. В этом случае производная по времени $\partial \; S\; \partial \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; S\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\}$в HJE должна быть константой, обычно обозначаемой ($-\; E\; \{\backslash \; displaystyle\; -E\}$), что дает разделенное решение

$S\; =\; W\; (q\; 1,\; q\; 2,\dots ,\; q\; N)\; -\; E\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; W\; (\; q\_\; \{1\},\; q\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; q\_\; \{N\})\; -\; Et\}$

где не зависящая от времени функция $W\; (q)\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; (\{\backslash \; textbf\; \{q\}\})\; \}$иногда называют характеристической функцией Гамильтона . Тогда редуцированное уравнение Гамильтона – Якоби может быть записано

$H\; (q,\; \partial \; S\; \partial \; q)\; =\; E.\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{q\},\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; S\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; E.\}$

Чтобы проиллюстрировать разделимость для других переменных, мы предполагаем что некоторая обобщенная координата $qk\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{k\}\}$и ее производная $\partial \; S\; \partial \; qk\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; S\}\; \{\backslash \; partial\; q\_\; \{k\}\}\}\}$появляются вместе как одна функция

$\psi \; (qk,\; \partial \; S\; \partial \; qk)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \backslash \; left\; (q\_\; \{k\},\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; S\}\; \{\backslash \; partial\; q\_\; \{k\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

в гамильтониане

$H\; =\; H\; (q\; 1,\; q\; 2,\dots ,\; qk\; -\; 1,\; qk\; +\; 1,\dots ,\; q\; N;\; p\; 1,\; p\; 2,\dots ,\; pk\; -\; 1,\; pk\; +\; 1,\dots ,\; p\; N;\; \psi ;\; t).\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; H\; (q\_\; \{1\},\; q\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; q\_\; \{k-1\},\; q\_\; \{k\; +\; 1\},\; \backslash \; ldots,\; q\_\; \{N\};\; p\_\; \{1\},\; p\_\; \{2)\; \},\; \backslash \; ldots,\; p\_\; \{k-1\},\; p\_\; \{k\; +\; 1\},\; \backslash \; ldots,\; p\_\; \{N\};\; \backslash \; psi;\; t).\}$

В этом случае функцию S можно разделить на две функции, одно зависит только от q k, а другое зависит только от оставшихся обобщенных координат

$S\; =\; S\; k\; (qk)\; +\; S\; rem\; (q\; 1,\dots ,\; qk\; -\; 1,\; qk\; +\; 1,\dots ,\; q\; N,\; t).\; \{\backslash \; Displaystyle\; S\; =\; S\_\; \{k\}\; (q\_\; \{k\})\; +\; S\; \_\; \{\backslash \; text\; \{rem\}\}\; (q\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; q\_\; \{k-1\},\; q\_\; \{k\; +\; 1\},\; \backslash \; ldots,\; q\_\; \{N\},\; t).\}$

Подстановка этих формул в уравнение Гамильтона – Якоби показывает, что функция ψ должна быть константой (обозначенной здесь как $\Gamma \; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{k\}\}$), что дает обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка для $S\; k\; (qk),\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{k\}\; (q\_\; \{k\}),\}$

$\psi \; (qk,\; d\; S\; kdqk)\; =\; \Gamma \; k.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \backslash \; left\; (q\_\; \{k\},\; \{\backslash \; frac\; \{dS\_\; \{k\}\}\; \{dq\_\; \{k\}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{k\}.\}$

В удачных случаях функция $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$можно полностью разделить на $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$функции $S\; m\; (qm),\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{\; m\}\; (q\_\; \{m\}),\}$

$S\; =\; S\; 1\; (q\; 1)\; +\; S\; 2\; (q\; 2)\; +\; \cdots \; +\; SN\; (q\; N)\; -\; E\; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; S\_\; \{1\}\; (q\_\; \{1\})\; +\; S\_\; \{2\}\; (q\_\; \{2\})\; +\; \backslash \; cdots\; +\; S\_\; \{N\}\; (q\_\; \{N\})\; -\; Et.\}$

В таком В этом случае проблема переходит в $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$обыкновенные дифференциальные уравнения.

Разделимость S зависит как от гамильтониана, так и от выбора обобщенных координат. Для ортогональных координат и гамильтонианов, которые не зависят от времени и являются квадратичными по обобщенным импульсам, $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$будет полностью разделимым, если потенциальная энергия аддитивно отделима в каждой координате, где член потенциальной энергии для каждой координаты умножается на зависящий от координат множитель в соответствующем члене импульса гамильтониана (условия Штекеля ). Для иллюстрации в следующих разделах работают несколько примеров в ортогональных координатах.

Примеры в различных системах координат

Сферические координаты

В сферических координатах гамильтониан свободной частицы, движущейся в консервативном потенциале U, может быть записан

$H\; =\; 1\; 2\; m\; [пр\; 2\; +\; p\; \theta \; 2\; r\; 2\; +\; p\; \varphi \; 2\; r\; 2\; sin\; 2\; \; \theta ]\; +\; U\; (r,\; \theta ,\; \varphi ).\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2m\}\}\; \backslash \; left\; [p\_\; \{r\}\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{p\; \_\; \{\backslash \; theta\}\; ^\; \{2\}\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{p\; \_\; \{\backslash \; phi\}\; ^\; \{2\}\}\; \{r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\}\}\; \backslash \; right]\; +\; U\; (r,\; \backslash \; theta,\; \backslash \; phi).\}$

Уравнение Гамильтона – Якоби полностью разделимо в этих координатах, если существуют функции U r (r), U θ (θ) и U ϕ (ϕ) такое, что U можно записать в аналогичном виде

$U\; (r,\; \theta ,\; \varphi )\; =\; U\; r\; (r)\; +\; U\; \theta \; (\theta )\; r\; 2\; +\; U\; \varphi \; (\varphi )\; r\; 2\; sin\; 2\; \; \theta .\; \{\backslash \; Displaystyle\; U\; (г,\; \backslash \; theta,\; \backslash \; phi)\; =\; U\_\; \{r\}\; (r)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{U\; \_\; \{\backslash \; theta\}\; (\backslash \; theta)\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{U\_\; \{\backslash \; phi\}\; (\backslash \; phi)\}\; \{r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\}\}.\}$

Замена полностью разделенного решения

$S\; =\; S\; r\; (r)\; +\; S\; \theta \; (\; \theta )\; +\; S\; \varphi \; (\varphi )\; -\; E\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; S\_\; \{r\}\; (r)\; +\; S\; \_\; \{\backslash \; theta\}\; (\backslash \; theta)\; +\; S\; \_\; \{\backslash \; phi\}\; (\backslash \; phi)\; -Et\}$

в HJE дает

$1\; 2\; m\; (d\; S\; rdr)\; 2\; +\; U\; r\; (r)\; +\; 1\; 2\; mr\; 2\; [(d\; S\; \theta \; d\; \theta )\; 2\; +\; 2\; m\; U\; \theta \; (\theta )]\; +\; 1\; 2\; mr\; 2\; sin\; 2\; \; \theta \; [(d\; S\; \varphi \; d\; \varphi )\; 2\; +\; 2\; m\; U\; \varphi \; (\varphi )]\; =\; E.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2m\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dS\_\; \{r\}\}\; \{dr\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; U\_\; \{r\}\; (r)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{2mr\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dS\; \_\; \{\backslash \; theta\}\}\; \{d\; \backslash \; theta\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; 2mU\; \_\; \{\backslash \; theta\}\; (\backslash \; theta)\; \backslash \; right\; ]\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2mr\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dS\; \_\; \{\backslash \; phi\}\}\; \{d\; \backslash \; phi\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; 2mU\; \_\; \{\backslash \; phi\}\; (\backslash \; phi)\; \backslash \; right]\; =\; E.\}$

Это уравнение может быть решено путем последовательного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, начиная с уравнения для $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$

$(d\; S\; \varphi \; d\; \varphi )\; 2\; +\; 2\; м\; U\; \varphi \; (\varphi )\; =\; \Gamma \; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dS\; \_\; \{\backslash \; phi\}\}\; \{d\; \backslash \; phi\})\; \}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; 2mU\; \_\; \{\backslash \; phi\}\; (\backslash \; phi)\; =\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{\backslash \; phi\}\}$

где $\Gamma \; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{\backslash \; phi\}\}$- константа движения, которая устраняет зависимость $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$из уравнения Гамильтона – Якоби

$1\; 2\; m\; (d\; S\; rdr)\; 2\; +\; U\; r\; (r)\; +\; 1\; 2\; mr\; 2\; [(d\; S\; \theta \; d\; \theta )\; 2\; +\; 2\; m\; U\; \theta \; (\theta )\; +\; \Gamma \; \varphi \; sin\; 2\; \; \theta ]\; =\; E.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2m\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dS\_\; \{r\}\}\; \{dr\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; U\_\; \{r\}\; (r)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{2mr\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dS\; \_\; \{\backslash \; theta\}\}\; \{d\; \backslash \; theta\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; 2mU\; \_\; \{\backslash \; theta\}\; (\backslash \; theta)\; +\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; \_\; \{\backslash \; phi\}\}\; \{\backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\}\}\; \backslash \; right]\; =\; E.\}$

Следующее обыкновенное дифференциальное уравнение включает $\theta \; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$обобщенная координата

$(d\; S\; \theta \; d\; \theta )\; 2\; +\; 2\; m\; U\; \theta \; (\theta )\; +\; \Gamma \; \varphi \; sin\; 2\; \; \theta \; =\; \Gamma \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dS\_\; \{\backslash \; theta\}\}\; \{d\; \backslash \; theta\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; 2mU\; \_\; \{\backslash \; theta\}\; (\backslash \; theta)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; \_\; \{\backslash \; phi\}\}\; \{\backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; \}\}\; =\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{\backslash \; theta\}\}$

где $\Gamma \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{\backslash \; theta\}\}$снова является константой движения который устраняет зависимость $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$и сводит HJE к окончательному обыкновенному дифференциальному уравнению

$1\; 2\; m\; (d\; S\; rdr)\; 2\; +\; U\; r\; (r)\; +\; \Gamma \; \theta \; 2\; mr\; 2\; =\; E\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2m\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dS\_\; \{r\}\}\; \{dr\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; U\_\; \{r\}\; (r)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; \_\; \{\backslash \; theta\}\}\; \{2mr\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; E\}$

, чья в Интеграция завершает решение для $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$.

Эллиптические цилиндрические координаты

Гамильтониан в эллиптических цилиндрических координатах можно записать

$H\; =\; p\; \mu \; 2\; +\; п\; \nu \; 2\; 2\; ма\; 2\; (зп\; 2\; \; \mu \; +\; грех\; 2\; \; \nu )\; +\; pz\; 2\; 2\; m\; +\; U\; (\mu ,\; \nu ,\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; \{\backslash \; frac\; \{p\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; ^\; \{2\}\; +\; p\; \_\; \{\backslash \; nu\}\; ^\; \{2\}\}\; \{2ma\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sinh\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mu\; +\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; nu\; \backslash \; right)\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{p\_\; \{z\}\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}\; +\; U\; (\backslash \; mu,\; \backslash \; nu,\; z)\}$

, где фокусы из эллипсов расположены в $\pm \; a\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pm\; a\}$на оси $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$. Уравнение Гамильтона – Якоби полностью разделимо в этих координатах при условии, что $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$имеет аналогичную форму

$U\; (\mu ,\; \nu ,\; z)\; =\; U\; \mu \; (\mu )\; +\; U\; \nu \; (\nu )\; зп\; 2\; \; \mu \; +\; грех\; 2\; \; \nu \; +\; U\; Z\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (\backslash \; mu,\; \backslash \; nu,\; z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{U\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; (\backslash \; mu)\; +\; U\_\; \{\; \backslash \; nu\}\; (\backslash \; nu)\}\; \{\backslash \; sinh\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mu\; +\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; nu\}\}\; +\; U\_\; \{z\}\; (z)\}$

где: $U\; \mu \; (\mu )\; \{\backslash \; Displaystyle\; U\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; (\backslash \; mu)\}$, $U\; \nu \; (\nu )\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \_\; \{\backslash \; nu\}\; (\backslash \; nu)\}$и $U\; z\; (z)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; U\_\; \{z\}\; (z)\}$- произвольные функции. Замена полностью разделенного раствора

$S\; =\; S\; \mu \; (\mu )\; +\; S\; \nu \; (\nu )\; +\; S\; z\; (z)\; -\; E\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; S\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; (\backslash \; mu)\; +\; S\; \_\; \{\backslash \; nu\; \}\; (\backslash \; nu)\; +\; S\_\; \{z\}\; (z)\; -Et\}$в HJE дает

$1\; 2\; m\; (d\; S\; zdz)\; 2\; +\; U\; z\; (z)\; +\; 1\; 2\; ma\; 2\; (\; sinh\; 2\; \; \mu \; +\; sin\; 2\; \; \nu )\; [(d\; S\; \mu \; d\; \mu )\; 2\; +\; (d\; S\; \nu \; d\; \nu )\; 2\; +\; 2\; ma\; 2\; U\; \mu \; (\mu )\; +\; 2\; ma\; 2\; U\; \nu \; (\nu )]\; =\; E.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2m\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dS\_\; \{z\}\}\; \{dz\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; U\_\; \{z\}\; (z)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{2ma\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sinh\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mu\; +\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; nu\; \backslash \; right)\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dS\; \_\; \{\backslash \; mu\}\}\; \{d\; \backslash \; mu\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dS\; \_\; \{\backslash \; nu\}\}\; \{d\; \backslash \; nu\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; 2ma\; ^\; \{2\}\; U\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; (\; \backslash \; mu)\; +\; 2ma\; ^\; \{2\}\; U\; \_\; \{\backslash \; nu\}\; (\backslash \; nu)\; \backslash \; right]\; =\; E.\}$

Разделение первого обыкновенного дифференциального уравнения

$1\; 2\; m\; (d\; S\; zdz)\; 2\; +\; U\; z\; (z)\; знак\; равно\; \Gamma \; z\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2m\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dS\_\; \{z\}\}\; \{dz\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; U\_\; \{z\}\; (\; z)\; =\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{z\}\}$

дает сокращенное уравнение Гамильтона – Якоби (после перестановки и умножения обеих частей на знаменатель)

$(d\; S\; \mu \; d\; \mu )\; 2\; +\; (d\; S\; \nu \; d\; \nu )\; 2\; +\; 2\; ma\; 2\; U\; \mu \; (\mu )\; +\; 2\; ma\; 2\; U\; \nu \; (\nu )\; =\; 2\; ma\; 2\; (sinh\; 2\; \; \mu \; +\; sin\; 2\; \; \nu )\; (E\; -\; \Gamma \; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\; \backslash \; frac\; \{dS\; \_\; \{\backslash \; mu\}\}\; \{d\; \backslash \; mu\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dS\; \_\; \{\backslash \; nu\}\}\; \{d\; \backslash \; nu\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; 2ma\; ^\; \{2\}\; U\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; (\backslash \; mu)\; +\; 2ma\; ^\; \{2\}\; U\; \_\; \{\backslash \; nu\}\; (\backslash \; nu)\; =\; 2ma\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sinh\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mu\; +\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; nu\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (E-\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{z\}\; \backslash \; right)\}$

который сам может быть разделен на tw o независимые обыкновенные дифференциальные уравнения

$(d\; S\; \mu \; d\; \mu )\; 2\; +\; 2\; ma\; 2\; U\; \mu \; (\mu )\; +\; 2\; ma\; 2\; (\Gamma \; z\; -\; E)\; sinh\; 2\; \; \mu \; =\; \Gamma \; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dS\; \_\; \{\backslash \; mu\}\}\; \{d\; \backslash \; mu\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; 2ma\; ^\; \{2\}\; U\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; (\backslash \; mu)\; +\; 2ma\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; Gamma\; \_\; \{z\}\; -E\; \backslash \; right)\; \backslash \; sinh\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mu\; =\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{\backslash \; mu\}\}$

$(d\; S\; \nu \; d\; \nu )\; 2\; +\; 2\; ma\; 2\; U\; \nu \; (\nu )\; +\; 2\; ma\; 2\; (\Gamma \; z\; -\; E)\; грех\; 2\; \; \nu \; =\; \Gamma \; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dS\; \_\; \{\backslash \; nu\}\}\; \{d\; \backslash \; nu\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; 2ma\; ^\; \{2\}\; U\_\; \{\; \backslash \; nu\}\; (\backslash \; nu)\; +\; 2ma\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; Gamma\; \_\; \{z\}\; -E\; \backslash \; right)\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; nu\; =\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{\backslash \; nu\}\}$

что, когда решено, предоставить полное решение для $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$.

Параболических цилиндрических координат

Гамильтониан в параболических цилиндрических координатах может быть записан в виде

$H\; =\; p\; \sigma \; 2\; +\; p\; \tau \; 2\; 2\; m\; (\sigma \; 2\; +\; \tau \; 2)\; +\; pz\; 2\; 2\; m\; +\; U\; (\sigma ,\; \tau ,\; z).\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; \{\backslash \; frac\; \{p\; \_\; \{\backslash \; sigma\}\; ^\; \{2\}\; +\; p\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\; \backslash \; left\; (\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; tau\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{p\_\; \{z\}\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}\; +\; U\; (\backslash \; sigma,\; \backslash \; tau,\; z).\}$

Уравнение Гамильтона – Якоби полностью разделимо в этих координатах при условии, что $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$имеет аналогичную форму

$U\; (\sigma ,\; \tau ,\; z)\; =\; U\; \sigma \; (\sigma )\; +\; U\; \tau \; (\tau )\; \sigma \; 2\; +\; \tau \; 2\; +\; U\; z\; (\; z)\; \{\backslash \; Displaystyle\; U\; (\backslash \; sigma,\; \backslash \; tau,\; z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{U\; \_\; \{\backslash \; sigma\}\; (\backslash \; sigma)\; +\; U\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; (\backslash \; tau)\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; tau\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; U\_\; \{z\}\; (z)\}$

где $U\; \sigma \; (\sigma )\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \_\; \{\backslash \; sigma\}\; (\backslash \; sigma)\}$, $U\; \tau \; (\tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; (\backslash \; tau)\}$и $U\; z\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{z\}\; (z)\}$- произвольные функции. Замена полностью разделенного решения

$S\; =\; S\; \sigma \; (\sigma )\; +\; S\; \tau \; (\tau )\; +\; S\; z\; (z)\; -\; E\; t\; +\; constant\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; S\; \_\; \{\backslash \; sigma\}\; (\backslash \; sigma)\; +\; S\_\; \{\; \backslash \; tau\}\; (\backslash \; tau)\; +\; S\_\; \{z\}\; (z)\; -Et\; +\; \{\backslash \; text\; \{constant\}\}\}$

в HJE дает

$1\; 2\; m\; (d\; S\; zdz)\; 2\; +\; U\; z\; (z)\; +\; 1\; 2\; м\; (\sigma \; 2\; +\; \tau \; 2)\; [(d\; S\; \sigma \; d\; \sigma )\; 2\; +\; (d\; S\; \tau \; d\; \tau )\; 2\; +\; 2\; м\; U\; \sigma \; (\sigma )\; +\; 2\; м\; U\; \tau \; (\tau )]\; =\; E.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2m\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dS\_\; \{z\}\}\; \{dz\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; U\_\; \{z\}\; (z)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{2m\; \backslash \; left\; (\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; tau\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dS\; \_\; \{\backslash \; sigma\}\}\; \{d\; \backslash \; sigma\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dS\; \_\; \{\backslash \; tau\}\}\; \{d\; \backslash \; tau\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; 2mU\; \_\; \{\backslash \; sigma\}\; (\backslash \; sigma)\; +\; 2mU\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; (\backslash \; tau)\; \backslash \; right]\; =\; E.\}$

Разделение первого обыкновенного дифференциального уравнения

$1\; 2\; m\; (d\; S\; zdz)\; 2\; +\; U\; z\; (z)\; =\; \Gamma \; z\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\; 2m\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dS\_\; \{z\}\}\; \{dz\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; U\_\; \{z\}\; (z)\; =\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{z\}\}$

возвращает сокращенное значение Гамильтона– Уравнение Якоби (после перестановки и умножения обеих частей на знаменатель)

$(d\; S\; \sigma \; d\; \sigma )\; 2\; +\; (d\; S\; \tau \; d\; \tau )\; 2\; +\; 2\; m\; U\; \sigma \; (\sigma )\; +\; 2\; m\; U\; \tau \; (\; \tau )\; знак\; равно\; 2\; м\; (\sigma \; 2\; +\; \tau \; 2)\; (E\; -\; \Gamma \; z)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; влево\; (\{\backslash \; гидроразрыва\; \{dS\; \_\; \{\backslash \; sigma\}\}\; \{d\; \backslash \; sigma\}\}\; \backslash \; вправо)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; влево\; (\{\backslash \; frac\; \{dS\; \_\; \{\backslash \; tau\}\}\; \{d\; \backslash \; tau\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; 2mU\; \_\; \{\backslash \; sigma\}\; (\backslash \; sigma)\; +\; 2mU\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; (\backslash \; tau)\; =\; 2m\; \backslash \; left\; (\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; tau\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (E-\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{z\}\; \backslash \; right)\}$

который сам может быть разделен на два независимых обычных разных ial уравнения

$(d\; S\; \sigma \; d\; \sigma )\; 2\; +\; 2\; м\; U\; \sigma \; (\sigma )\; +\; 2\; м\; \sigma \; 2\; (\Gamma \; z\; -\; E)\; =\; \Gamma \; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dS\; \_\; \{\backslash \; sigma\})\; \}\; \{d\; \backslash \; sigma\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; 2mU\; \_\; \{\backslash \; sigma\}\; (\backslash \; sigma)\; +\; 2m\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; Gamma\; \_\; \{z\}\; -E\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{\backslash \; sigma\}\}$

$(d\; S\; \tau \; d\; \tau )\; 2\; +\; 2\; м\; U\; \tau \; (\tau )\; +\; 2\; м\; \tau \; 2\; (\Gamma \; z\; -\; E)\; =\; \Gamma \; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dS\_\; \{\; \backslash \; tau\}\}\; \{d\; \backslash \; tau\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; 2mU\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; (\backslash \; tau)\; +\; 2m\; \backslash \; tau\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; Gamma\; \_\; \{z\}\; -E\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{\backslash \; tau\}\}$

, которые после решения предоставляют полное решение для $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$.

Фронты и траектории оптических волн

HJE устанавливает двойственность между траекториями и волновыми фронтами. Например, в геометрической оптике свет можно рассматривать как «лучи» или как волны. Фронт волны можно определить как поверхность $C\; t\; \{\backslash \; textstyle\; \{\backslash \; cal\; \{C\}\}\; \_\; \{t\}\}$, на которой свет излучается в момент времени $t\; =\; 0\; \{\backslash \; textstyle\; t\; =\; 0\}$достиг в момент $t\; \{\backslash \; textstyle\; t\}$. Световые лучи и волновые фронты двойственны: если один известен, другой можно вывести.

Точнее, геометрическая оптика - это вариационная задача, где «действие» - это время прохождения $T\; \{\backslash \; textstyle\; T\}$по пути,

$T\; =\; 1\; c\; \int \; AB\; nds\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{A\}\; ^\; \{B\}\; nds\}$где $n\; \{\backslash \; textstyle\; n\}$- показатель преломления и $ds\; \{\backslash \; textstyle\; ds\}$среды представляет собой бесконечно малую длину дуги. Из приведенной выше формулировки можно вычислить траектории лучей, используя формулировку Эйлера-Лагранжа; в качестве альтернативы можно вычислить волновые фронты, решив уравнение Гамильтона-Якоби. Знание одного ведет к знанию другого.

Вышеупомянутая двойственность является очень общей и применима ко всем системам, которые основаны на вариационном принципе: либо вычисляют траектории с помощью уравнений Эйлера-Лагранжа, либо волновые фронты с помощью уравнения Гамильтона-Якоби.

Фронт волны в момент времени $t\; \{\backslash \; textstyle\; t\}$для системы, изначально равной $q\; 0\; \{\backslash \; textstyle\; \{\backslash \; textbf\; \{q\}\}\; \_\; \{0\; \}\}$в момент времени $t\; 0\; \{\backslash \; textstyle\; t\_\; \{0\}\}$, определяется как набор точек $q\; \{\backslash \; textstyle\; \{\backslash \; textbf\; \{q\}\; \}\}$такой, что $S\; (q,\; t)\; =\; const\; \{\backslash \; textstyle\; S\; (\{\backslash \; textbf\; \{q\}\},\; t)\; =\; \{\backslash \; text\; \{const\}\}\}$. Если $S\; (q,\; t)\; \{\backslash \; textstyle\; S\; (\{\backslash \; textbf\; \{q\}\},\; t)\}$известен, моментально вычисляется импульс,

$p\; =\; \partial \; S\; \partial \; q.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textbf\; \{p\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; S\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; textbf\; \{q\}\}\}\}.\}$Один раз $p\; \{\backslash \; textstyle\; \{\backslash \; textbf\; \{p\}\; \}\}$известно, касательные к траекториям $q\; \dot{}\; \{\backslash \; textstyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; textbf\; \{q\}\}\}\}$вычисляются путем решения уравнения $\partial \; L\; \partial \; q\; \dot{}\; знак\; равно\; п\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; cal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; textbf\; \{q\}\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{p\}\}\}$для $q\; \dot{}\; \{\backslash \; textstyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; textbf\; \{q\}\}\}\}$, где $L\; \{\backslash \; textstyle\; \{\backslash \; cal\; \{L\}\}\}$- лагранжиан. Затем траектории восстанавливаются на основе знания $q\; \dot{}\; \{\backslash \; textstyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; textbf\; \{q\}\}\}\}$.

Связи с уравнением Шредингера

изоповерхностей функции $S\; (q,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (\{\backslash \; textbf\; \{q\}\},\; t)\}$может быть определено в любое время t. Движение изоповерхности $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$как функция времени определяется движениями частиц, начинающимися в точках $q\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textbf\; \{q\; \}\}\}$на изоповерхности. Движение такой изоповерхности можно представить как волну , движущуюся через $q\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textbf\; \{q\}\}\}$-пространство, хотя она не подчиняется волновое уравнение точно. Чтобы показать это, пусть S представляет собой фазу волны

$\psi \; =\; \psi \; 0\; ei\; S\; /\; \hslash \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; =\; \backslash \; psi\; \_\; \{0\}\; e\; ^\; \{iS\; /\; \backslash \; hbar\}\}$

где $\hslash \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; hbar\}$- константа (постоянная Планка ), введенная, чтобы сделать экспоненциальный аргумент безразмерным; изменения амплитуды волны можно представить, если $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$будет комплексным числом. We may then rewrite the Hamilton–Jacobi equation as

$\hslash \; 2\; 2\; m\; \nabla \; 2\; \psi \; -\; U\; \psi \; =\; \hslash \; i\; \partial \; \psi \; \partial \; t\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash frac\; \{\backslash hbar\; ^\{2\}\}\{2m\}\}\backslash nabla\; ^\{2\}\backslash psi\; -U\backslash psi\; =\{\backslash frac\; \{\backslash hbar\; \}\{i\}\}\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; \backslash psi\; \}\{\backslash partial\; t\}\}\}$

which is the Schrödinger equation.

Conversely, starting with the Schrödinger equation and our ansatz for $\psi \; \{\backslash displaystyle\; \backslash psi\; \}$, we arrive at

$1\; 2\; m\; (\; \nabla \; S)\; 2\; +\; U\; +\; \partial \; S\; \partial \; t\; =\; i\; \hslash \; 2\; m\; \nabla \; 2\; S.\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash frac\; \{1\}\{2m\}\}\backslash left(\backslash nabla\; S\backslash right)^\{2\}+U+\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; t\}\}=\{\backslash frac\; \{i\backslash hbar\; \}\{2m\}\}\backslash nabla\; ^\{2\}S.\}$

The classical limit ($\hslash \; \to \; 0\; \{\backslash displaystyle\; \backslash hbar\; \backslash rightarrow\; 0\}$) of the Schrödinger equation above becomes identical to the following variant of the Hamilton–Jacobi equation,

$1\; 2\; m\; (\; \nabla \; S)\; 2\; +\; U\; +\; \partial \; S\; \partial \; t\; =\; 0.\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash frac\; \{1\}\{2m\}\}\backslash left(\backslash nabla\; S\backslash right)^\{2\}+U+\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; t\}\}=0.\}$

HJE in a gravitational field

Using the energy–momentum relation in the form

$g\; \alpha \; \beta \; P\; \alpha \; P\; \beta \; -\; (\; m\; c)\; 2\; =\; 0\; \{\backslash displaystyle\; g^\{\backslash alpha\; \backslash beta\; \}P\_\{\backslash alpha\; \}P\_\{\backslash beta\; \}-(mc)^\{2\}=0\}$

for a particle of rest mass $m\; \{\backslash displaystyle\; m\}$travelling in curved space, where $g\; \alpha \; \beta \; \{\backslash displaystyle\; g^\{\backslash alpha\; \backslash beta\; \}\}$are the contravariant coordinates of the metric tensor (i.e., the inverse metric ) solved from the Einstein field equation s, and $c\; \{\backslash displaystyle\; c\}$is the speed of light. Setting the four-momentum $P\; \alpha \; \{\backslash displaystyle\; P\_\{\backslash alpha\; \}\}$equal to the four-gradient of the action $S\; \{\backslash displaystyle\; S\}$,

$P\; \alpha \; =\; -\; \partial \; S\; \partial \; x\; \alpha \; \{\backslash displaystyle\; P\_\{\backslash alpha\; \}=-\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; x^\{\backslash alpha\; \}\}\}\}$

gives the Hamilton–Jacobi equation in the geometry determined by the metric $g\; \{\backslash displaystyle\; g\}$:

$g\; \alpha \; \beta \; \partial \; S\; \partial \; x\; \alpha \; \partial \; S\; \partial \; x\; \beta \; -\; (\; m\; c)\; 2\; =\; 0,\; \{\backslash displaystyle\; g^\{\backslash alpha\; \backslash beta\; \}\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; x^\{\backslash alpha\; \}\}\}\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; x^\{\backslash beta\; \}\}\}-(mc)^\{2\}=0,\}$

in other words, in a gravitational field.

HJE in electromagnetic fields

For a particle of rest mass $m\; \{\backslash displaystyle\; m\}$and electric charge $e\; \{\backslash displaystyle\; e\}$moving in electromagnetic field with four-potential $A\; i\; =\; (\; \varphi ,\; A)\; \{\backslash displaystyle\; A\_\{i\}=(\backslash phi,\backslash mathrm\; \{A\})\}$in vacuum, the Hamilton–Jacobi equation in geometry determined by the metric tensor $g\; i\; k\; =\; g\; i\; k\; \{\backslash di\; splaystyle\; g^\{ik\}=g\_\{ik\}\}$has a form

$g\; i\; k\; (\; \partial \; S\; \partial \; x\; i\; +\; e\; c\; A\; i)\; (\; \partial \; S\; \partial \; x\; k\; +\; e\; c\; A\; k)\; =\; m\; 2\; c\; 2\; \{\backslash displaystyle\; g^\{ik\}\backslash left(\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; x^\{i\}\}\}+\{\backslash frac\; \{e\}\{c\}\}A\_\{i\}\backslash right)\backslash left(\{\backslash frac\; \{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; x^\{k\}\}\}+\{\backslash frac\; \{e\}\{c\}\}A\_\{k\}\backslash right)=m^\{2\}c^\{2\}\}$

and can be solved for the Hamilton principal action function $S\; \{\backslash displaystyle\; S\}$to obtain further solution for the particle trajectory and momentum:

$x\; =\; -\; e\; c\; \gamma \; \int \; A\; z\; d\; \xi ,\; \{\backslash displaystyle\; x=-\{\backslash frac\; \{e\}\{c\backslash gamma\; \}\}\backslash int\; A\_\{z\}\backslash ,d\backslash xi,\}$

$y\; =\; -\; e\; c\; \gamma \; \int \; A\; y\; d\; \xi ,\; \{\backslash displaystyle\; y=-\{\backslash frac\; \{e\}\{c\backslash gamma\; \}\}\backslash int\; A\_\{y\}\backslash ,d\backslash xi,\}$

$z\; =\; -\; e\; 2\; 2\; c\; 2\; \gamma \; 2\; \int \; (\; A\; 2\; -\; A\; 2\; ¯)\; d\; \xi ,\; \{\backslash displaystyle\; z=-\{\backslash frac\; \{e^\{2\}\}\{2c^\{2\}\backslash gamma\; ^\{2\}\}\}\backslash int\; (\backslash mathrm\; \{A\}\; ^\{2\}-\{\backslash overline\; \{\backslash mathrm\; \{A\}\; ^\{2\}\}\})\backslash ,d\backslash xi,\}$

$\xi \; =\; c\; t\; -\; e\; 2\; 2\; \gamma \; 2\; c\; 2\; \int \; (\; A\; 2\; -\; A\; 2\; ¯)\; d\; \xi ,\; \{\backslash displaystyle\; \backslash xi\; =ct-\{\backslash frac\; \{e^\{2\}\}\{2\backslash gamma\; ^\{2\}c^\{2\}\}\}\backslash int\; (\backslash mathrm\; \{A\}\; ^\{2\}-\{\backslash overline\; \{\backslash mathrm\; \{A\}\; ^\{2\}\}\})\backslash ,d\backslash xi,\}$

$p\; x\; =\; -\; e\; c\; A\; x\; \{\backslash displ\; aystyle\; p\_\{x\}=-\{\backslash frac\; \{e\}\{c\}\}A\_\{x\}\}$, $p\; y\; =\; -\; e\; c\; A\; y,\; \{\backslash displaystyle\; p\_\{y\}=-\{\backslash frac\; \{e\}\{c\}\}A\_\{y\},\}$

$p\; z\; =\; e\; 2\; 2\; \gamma \; c\; (\; A\; 2\; -\; A\; 2\; ¯),\; \{\backslash displaystyle\; p\_\{z\}=\{\backslash frac\; \{e^\{2\}\}\{2\backslash gamma\; c\}\}(\backslash mathrm\; \{A\}\; ^\{2\}-\{\backslash overline\; \{\backslash mathrm\; \{A\}\; ^\{2\}\}\}),\}$

$E\; =\; c\; \gamma \; +\; e\; 2\; 2\; \gamma \; c\; (\; A\; 2\; -\; A\; 2\; ¯),\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash mathcal\; \{E\}\}=c\backslash gamma\; +\{\backslash frac\; \{e^\{2\}\}\{2\backslash gamma\; c\}\}(\backslash mathrm\; \{A\}\; ^\{2\}-\{\backslash overline\; \{\backslash mathrm\; \{A\}\; ^\{2\}\}\}),\}$

where $\xi \; =\; c\; t\; -\; z\; \{\backslash displaystyle\; \backslash xi\; =ct-z\}$and $\gamma \; 2\; =\; m\; 2\; c\; 2\; +\; e\; 2\; c\; 2\; A\; ¯\; 2\; \{\backslash displaystyle\; \backslash gamma\; ^\{2\}=m^\{2\}c^\{2\}+\{\backslash frac\; \{e^\{2\}\}\{c^\{2\}\}\}\{\backslash overline\; \{A\}\}^\{2\}\}$with $A\; ¯\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash overline\; \{\backslash mathbf\; \{A\}\; \}\}\}$the cycle average of the vector potential.

A circularly polarized wave

In the case of circular polarization,

$E\; x\; =\; E\; 0\; sin\; \; \omega \; \xi \; 1\; \{\backslash displaystyle\; E\_\{x\}=E\_\{0\}\backslash sin\; \backslash omega\; \backslash xi\; \_\{1\}\}$, $E\; y\; =\; E\; 0\; cos\; \; \omega \; \xi \; 1,\; \{\backslash displaystyle\; E\_\{y\}=E\_\{0\}\backslash cos\; \backslash omega\; \backslash xi\; \_\{1\},\}$

$A\; x\; =\; c\; E\; 0\; \omega \; cos\; \; \omega \; \xi \; 1\; \{\backslash displaystyle\; A\_\{x\}=\{\backslash frac\; \{cE\_\{0\}\}\{\backslash omega\; \}\}\backslash cos\; \backslash omega\; \backslash xi\; \_\{1\}\}$, $A\; y\; =\; -\; c\; E\; 0\; \omega \; sin\; \; \omega \; \xi \; 1.\; \{\backslash displaystyle\; A\_\{y\}=-\{\backslash frac\; \{cE\_\{0\}\}\{\backslash omega\; \}\}\backslash sin\; \backslash omega\; \backslash xi\; \_\{1\}.\}$

Hence

$x\; =\; -\; ec\; E\; 0\; \omega \; sin\; \; \omega \; \xi \; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{ecE\_\; \{0\}\}\; \{\backslash \; omega\}\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; omega\; \backslash \; xi\; \_\; \{1\},\}$

$y\; =\; -\; ec\; E\; 0\; \omega \; cos\; \; \omega \; \xi \; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{ecE\_\; \{0\}\}\; \{\backslash \; omega\}\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; omega\; \backslash \; xi\; \_\; \{1\},\}$

$пикселей\; Знак\; равно\; -\; е\; E\; 0\; \omega \; соз\; \; \omega \; \xi \; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{x\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{eE\_\; \{0\}\}\; \{\backslash \; omega\}\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; omega\; \backslash \; xi\; \_\; \{1\},\}$

$py\; =\; e\; E\; 0\; \omega \; sin\; \; \omega \; \xi \; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{y\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{eE\_\; \{0\}\}\; \{\backslash \; omega\}\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; omega\; \backslash \; xi\; \_\; \{1\},\}$

где $\xi \; 1\; =\; \xi \; /\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\; \_\; \{1\}\; =\; \backslash \; xi\; /\; c\}$, подразумевая, что частица движется по круговой траектории с постоянным радиусом $ec\; E\; 0\; /\; \gamma \; \omega \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; ecE\_\; \{0\}\; /\; \backslash \; gamma\; \backslash \; omega\; ^\; \{2\}\}$и неизменное значение импульса $e\; E\; 0\; /\; \omega \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; eE\_\; \{0\}\; /\; \backslash \; omega\; ^\; \{2\}\}$, направленная вдоль вектора магнитного поля.

Монохроматическая линейно поляризованная плоская волна

Для плоской монохроматической линейно поляризованной волны с полем $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$, направленным вдоль оси $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$

$E\; y\; =\; E\; 0\; cos\; \; \omega \; \xi \; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{y\}\; =\; E\_\; \{0\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; omega\; \backslash \; xi\; \_\; \{1\},\}$

$A\; Y\; =\; -\; с\; E\; 0\; \omega \; грех\; \; \omega \; \xi \; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{y\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{cE\_\; \{0\}\}\; \{\backslash \; omega\}\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; omega\; \backslash \; xi\; \_\; \{1\},\}$

отсюда

$x\; =\; const,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \{\backslash \; text\; \{const\}\},\}$

$y\; 0\; =\; -\; ec\; E\; 0\; \gamma \; \omega \; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{0\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\; ecE\_\; \{0\}\}\; \{\backslash \; gamma\; \backslash \; omega\; ^\; \{2\}\}\},\}$

$y\; =\; y\; 0\; cos\; \; \omega \; \xi \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; y\_\; \{0\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; omega\; \backslash \; xi\; \_\; \{1\}\}$, $z\; знак\; равно\; C\; zy\; 0\; грех\; \; 2\; \omega \; \xi \; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; C\_\; \{z\}\; y\_\; \{0\}\; \backslash \; sin\; 2\; \backslash \; omega\; \backslash \; xi\; \_\; \{1\},\}$

$C\; z\; =\; e\; E\; 0\; 8\; \gamma \; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{z\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{eE\_\; \{0\}\}\; \{8\; \backslash \; gamma\; \backslash \; omega\}\}\}$, $\gamma \; 2\; =\; m\; 2\; c\; 2\; +\; e\; 2\; E\; 0\; 2\; 2\; \omega \; 2,\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; ^\; \{2\}\; =\; m\; ^\; \{2\}\; c\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{2\}\; E\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\}\; \{2\; \backslash \; omega\; ^\; \{2\}\}\},\}$

$px\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{x\}\; =\; 0,\}$

$py,\; 0\; =\; e\; E\; 0\; \omega ,\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{y,\; 0\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{eE\; \_\; \{0\}\}\; \{\backslash \; omega\}\},\}$

$py\; =\; py,\; 0\; грех\; \; \omega \; \xi \; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{y\}\; =\; p\_\; \{y,\; 0\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; omega\; \backslash \; xi\; \_\; \{1\},\}$

$pz\; =\; -\; 2\; C\; zpy,\; 0\; cos\; \; 2\; \omega \; \xi \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{z\}\; =\; -\; 2C\_\; \{z\}\; p\_\; \{y,\; 0\}\; \backslash \; cos\; 2\; \backslash \; omega\; \backslash \; xi\; \_\; \{1\}\}$

подразумевает траекторию частицы в форме восьмерки с длинной осью, ориентированной вдоль вектора электрического поля $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$.

Электромагнитная волна с соленоидальным магнитным полем

Для электромагнитной волны с аксиальным (соленоидальным) магнитным полем:

$E\; =\; E\; \varphi \; =\; \omega \; \rho \; 0\; c\; B\; 0\; cos\; \; \omega \; \xi \; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; =\; E\; \_\; \{\backslash \; phi\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; omega\; \backslash \; rho\; \_\; \{0\}\}\; \{c\}\}\; B\_\; \{0\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; omega\; \backslash \; xi\; \_\; \{1\},\}$

$A\; \varphi \; знак\; равно\; -\; \rho \; 0\; В\; 0\; грех\; \; \omega \; \xi \; 1\; знак\; равно\; -\; L\; s\; \pi \; \rho \; 0\; N\; s\; I\; 0\; грех\; \; \omega \; \xi \; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \_\; \{\backslash \; phi\}\; =\; -\; \backslash \; rho\; \_\; \{0\}\; B\_\; \{0\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; omega\; \backslash \; xi\; \_\; \{1\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{L\_\; \{s\}\}\; \{\backslash \; pi\; \backslash \; rho\; \_\; \{0\}\; N\_\; \{s\}\}\}\; I\_\; \{0\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; omega\; \backslash \; xi\; \_\; \{1\},\; \}$

следовательно,

$x\; =\; константа,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \{\backslash \; text\; \{constant\}\},\}$

$y\; 0\; =\; -\; e\; \rho \; 0\; B\; 0\; \gamma \; \omega ,\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{0\}\; =\; -\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{е\; \backslash \; rho\; \_\; \{0\}\; B\_\; \{0\}\}\; \{\backslash \; gamma\; \backslash \; omega\}\},\}$

$y\; =\; y\; 0\; cos\; \; \omega \; \xi \; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; y\_\; \{0\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; омега\; \backslash \; xi\; \_\; \{1\},\}$

$z\; =\; C\; zy\; 0\; sin\; \; 2\; \omega \; \xi \; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; C\_\; \{z\}\; y\_\; \{0\}\; \backslash \; sin\; 2\; \backslash \; omega\; \backslash \; xi\; \_\; \{1\},\}$

$C\; z\; знак\; равно\; e\; \rho \; 0\; B\; 0\; 8\; c\; \gamma ,\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{z\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{e\; \backslash \; rho\; \_\; \{0\}\; B\_\; \{0\}\}\; \{8c\; \backslash \; gamma\}\},\}$

$\gamma \; 2\; знак\; равно\; м\; 2\; с\; 2\; +\; е\; 2\; \rho \; 0\; 2\; В\; 0\; 2\; 2\; с\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; ^\; \{2\}\; =\; m\; ^\; \{2\}\; c\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{2\}\; \backslash \; rho\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; B\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\}\; \{2c\; ^\; \{2\}\}\},\}$

$px\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{x\}\; =\; 0,\}$

$py,\; 0\; =\; e\; \rho \; 0\; B\; 0\; c,\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{y,\; 0\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{e\; \backslash \; rho\; \_\; \{0\}\; B\_\; \{0\}\}\; \{c\}\},\}$

$py\; =\; py,\; 0\; грех\; \; \omega \; \xi \; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{y\}\; =\; p\_\; \{y,\; 0\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; omega\; \backslash \; xi\; \_\; \{1\},\}$

$pz\; =\; -\; 2\; C\; zpy,\; 0\; cos\; \; 2\; \omega \; \xi \; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{z\}\; =\; -\; 2C\_\; \{z\}\; p\_\; \{y,\; 0\}\; \backslash \; cos\; 2\; \backslash \; omega\; \backslash \; xi\; \_\; \{1\},\}$

где $B\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{0\}\}$- величина магнитного поля в соленоиде с эффективным радиусом $\rho \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{0\}\}$, индуктивность $L\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{s\}\}$, количество витков $N\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; N\_\; \{s\}\}$, и величина электрического тока $I\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{0\}\}$через обмотки соленоида. Движение частицы происходит по траектории восьмерки в плоскости $yz\; \{\backslash \; displaystyle\; yz\}$, установленной перпендикулярно оси соленоида с произвольным азимутальным углом $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$из-за осевой симметрии соленоидального магнитного поля.

• Математический портал
• Физический портал

• Каноническое преобразование
• Константа движения
• Гамильтоново векторное поле
• Уравнение Гамильтона – Якоби – Эйнштейна
• аппроксимация ВКБ
• Координаты действие-угол

• Hamilton, W. (1833). «Об общем методе выражения путей света и планет с помощью коэффициентов характеристической функции» (PDF). Обзор Дублинского университета: 795–826.
• Гамильтон, В. (1834). «О приложении к динамике общего математического метода, ранее применявшегося в оптике» (PDF). Отчет Британской ассоциации: 513–518.
• Феттер, А. и Валека, Дж. (2003). Теоретическая механика частиц и сплошных сред. Dover Книги. ISBN 978-0-486-43261-8.
• Ландау, L.D.; Лифшиц, Э. М. (1975). Механика. Амстердам: Elsevier.
• Сакураи, Дж. Дж. (1985). Современная квантовая механика. Бенджамин / Каммингс Паблишинг. ISBN 978-0-8053-7501-5.
• Якоби, CGJ (1884), Vorlesungen über Dynamik, CGJ Jacobi's Gesammelte Werke (на немецком языке), Берлин: Г. Реймер, OL 14009561M
• Накане, Мичие; Фрейзер, Крейг Г. (2002). «Ранняя история динамики Гамильтона-Якоби». Центавр. 44 (3–4): 161–227. doi : 10.1111 / j.1600-0498.2002.tb00613.x. PMID 17357243.