Координаты действие-угол

В классической механике, Координаты действие-уголпредставляют собой набор канонических координат, полезных при решении многих интегрируемых систем. Метод углов действия полезен для получения частот колебательного или вращательного движения без решения уравнений движения. Координаты действие-угол в основном используются, когда уравнения Гамильтона – Якоби полностью разделимы. (Следовательно, гамильтониан не зависит явно от времени, т. Е. Энергия сохраняется.) Переменные действие-угол определяют инвариантный тор, так называемый, потому что сохранение константы действия определяет поверхность тора , а переменные угла параметризуют координаты на торе.

Условия квантования Бора – Зоммерфельда, использовавшиеся для разработки квантовой механики до появления волновой механики, утверждают, что действие должно быть целым кратным Постоянная Планка ; аналогично, понимание Эйнштейном квантования EBK и трудность квантования неинтегрируемых систем были выражены в терминах инвариантных торов координат действие-угол.

Координаты действие-угол также полезны в теории возмущений в гамильтоновой механике, особенно при определении адиабатических инвариантов. Одним из первых результатов теории хаоса для нелинейных возмущений динамических систем с малым числом степеней свободы является теорема КАМ, которая утверждает, что инвариантные торы являются устойчив к малым возмущениям.

Использование переменных действие-угол было центральным для решения решетки Тода и для определения пар Лакса или, в более общем смысле, идеи изоспектральная эволюция системы.

• 1 Получение
• 2 Краткое изложение базового протокола
• 3 Вырождение
• 4 См. Также
• 5 Ссылки

Углы действия получаются из тип 2 каноническое преобразование, где производящая функция - характеристическая функция Гамильтона $W\; (q)\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; (\backslash \; mathbf\; \{q\})\}$(не основная функция Гамильтона $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$). Поскольку исходный гамильтониан не зависит явно от времени, новый гамильтониан $K\; (w,\; J)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (\backslash \; mathbf\; \{w\},\; \backslash \; mathbf\; \{J\})\}$является просто старый гамильтониан $H\; (q,\; p)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; (\backslash \; mathbf\; \{q\},\; \backslash \; mathbf\; \{p\})\}$, выраженный через новые канонические координаты, которые мы обозначаем как $w\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{w\}\}$(углы действия, которые являются обобщенными координатами ) и их новые обобщенные импульсы $J\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{J\}\}$. Здесь нам не нужно решать саму производящую функцию $W\; \{\backslash \; displaystyle\; W\}$; вместо этого мы будем использовать его просто как средство для связи новых и старых канонических координат.

вместо прямого определения углов действия $w\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{w\}\}$, мы определяем вместо этого их обобщенные импульсы, которые напоминают классическое действие для каждой исходной обобщенной координаты

$J\; k\; \equiv \; \oint \; \; pkdqk\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{k\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; oint\; p\_\; \{k\; \}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; q\_\; \{k\}\}$

где путь интегрирования неявно задается функцией постоянной энергии $E\; =\; E\; (qk,\; pk)\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; =\; E\; (q\_\; \{k\}\; ,\; p\_\; \{k\})\}$. Поскольку фактическое движение не участвует в этом интегрировании, эти обобщенные импульсы $J\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{k\}\}$являются константами движения, что означает, что преобразованный гамильтониан $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$не зависит от сопряженных обобщенных координат $wk\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{k\}\}$

$ddt\; J\; k\; =\; 0\; =\; \partial \; K\; \partial \; wk\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\}\; J\_\; \{k\}\; =\; 0\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; K\}\; \{\backslash \; partial\; w\_\; \{k\}\}\}\}$

где $wk\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{k\}\}$задаются типичным уравнением для канонического преобразования типа 2

$wk\; \equiv \; \partial \; W\; \partial \; J\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{k\; \}\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; W\}\; \{\backslash \; partial\; J\_\; \{k\}\}\}\}$

Следовательно, новый гамильтониан $K\; =\; K\; (J)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; K\; (\backslash \; mathbf\; \{J\}\; )\}$зависит только от новых обобщенных импульсов $J\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{J\}\}$.

Динамика углов действия задается уравнениями Гамильтона

$ddtwk\; =\; \partial \; К\; \partial \; J\; К\; \equiv \; \nu \; К\; (J)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\}\; w\_\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; K\}\; \{\backslash \; partial\; J\_\; \{k\}\}\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; nu\; \_\; \{k\}\; (\backslash \; mathbf\; \{J\})\}$

Правый- сторона руки является константой движения (так как все $J\; \{\backslash \; displaystyle\; J\}$являются такими). Следовательно, решение дается выражением

$wk\; =\; \nu \; K\; (J)\; t\; +\; \beta \; k\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{k\}\; =\; \backslash \; nu\; \_\; \{k\}\; (\backslash \; mathbf\; \{J\})\; t\; +\; \backslash \; beta\; \_\; \{k\}\}$

где $\beta \; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; \_\; \{k\}\}$- постоянная интегрирования. В частности, если исходная обобщенная координата подвергается колебаниям или вращению с периодом $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$, соответствующий угол действия $wk\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{\; k\}\}$изменяется на $\Delta \; wk\; =\; \nu \; k\; (J)\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; w\_\; \{k\}\; =\; \backslash \; nu\; \_\; \{k\}\; (\backslash \; mathbf\; \{J\})\; T\}$.

Эти $\nu \; k\; (J)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; \_\; \{k\}\; (\backslash \; mathbf\; \{J\})\}$- частоты колебаний / вращения для исходных обобщенных координат $qk\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{k\}\}$. Чтобы показать это, мы интегрируем чистое изменение угла действия $wk\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{k\}\}$ровно для одного полного изменения (т. Е. Колебания или вращения) его обобщенных координат $qk\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{k\}\}$

$\Delta \; wk\; \equiv \; \oint \; \partial \; wk\; \partial \; qkdqk\; =\; \oint \; \partial \; 2\; W\; \partial \; J\; k\; \partial \; qkdqk\; =\; dd\; J\; k\; \oint \; \partial \; W\; \partial \; qkdqk\; =\; dd\; J\; k\; \oint \; pkdqk\; =\; d\; J\; kd\; J\; k\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; w\_\; \{k\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; oint\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; w\_\; \{k\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\_\; \{k\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; q\_\; \{k\}\; =\; \backslash \; oint\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; W\}\; \{\backslash \; partial\; J\_\; \{k\}\; \backslash ,\; \backslash \; partial\; q\_\; \{k\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; q\_\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; J\_\; \{k\}\}\}\; \backslash \; oint\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; W\}\; \{\backslash \; partial\; q\_\; \{k\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; q\_\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; J\_\; \{k\}\}\}\; \backslash \; oint\; p\_\; \{k\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; q\_\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; J\_\; \{k\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; J\_\; \{k\}\}\}\; =\; 1\}$

Установка двух выражений для $\Delta \; wk\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; w\_\; \{k\}\}$равными, получаем желаемое уравнение

$\nu \; k\; (J)\; =\; 1\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; \_\; \{k\}\; (\backslash \; mathbf\; \{J\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{T\}\}\}$

углы действия $w\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{w\}\}$- это независимый набор обобщенных координат. Таким образом, в общем случае каждая исходная обобщенная координата $qk\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{k\}\}$может быть выражена как ряд Фурье во всех углах действия

$qk\; =\; \sum \; s\; 1\; =\; -\; \infty \; \infty \; \sum \; s\; 2\; =\; -\; \infty \; \infty \; \cdots \; \sum \; s\; N\; =\; -\; \infty \; \infty \; A\; s\; 1,\; s\; 2,\dots ,\; s\; N\; kei\; 2\; \pi \; s\; 1\; w\; 1\; ei\; 2\; \pi \; s\; 2\; w\; 2\; \cdots \; ei\; 2\; \pi \; s\; N\; вес\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{k\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{s\_\; \{1\}\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{s\_\; \{2\}\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\; \}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; sum\; \_\; \{s\_\; \{N\}\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; A\_\; \{s\_\; \{1\},\; s\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; s\_\; \{N\}\}\; ^\; \{k\}\; e\; ^\; \{i2\; \backslash \; pi\; s\_\; \{1\}\; w\_\; \{1\}\}\; e\; ^\; \{i2\; \backslash \; pi\; s\_\; \{2\}\; w\_\; \{2\}\}\; \backslash \; cdots\; e\; ^\; \{i2\; \backslash \; pi\; s\_\; \{N\}\; w\_\; \{N\}\}\}$

где $A\; s\; 1,\; s\; 2,\dots ,\; s\; N\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{s\_\; \{1\},\; s\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; s\_\; \{N\}\}\; ^\; \{k\}\}$- ряд Фурье коэффициент. Однако в большинстве практических случаев исходная обобщенная координата $qk\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{k\}\}$будет выражена как ряд Фурье только с ее собственными углами действия $wk\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{k\}\}$

$qk\; =\; \sum \; sk\; =\; -\; \infty \; \infty \; A\; skkei\; 2\; \pi \; skwk\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{k\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{s\_\; \{k\}\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; A\_\; \{s\_\; \{k\}\}\; ^\; \{k\}\; e\; ^\; \{i2\; \backslash \; pi\; s\_\; \{k\}\; w\_\; \{k\}\}\}$

Общая процедура состоит из трех шагов:

1. Вычислить новые обобщенные импульсы $J\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{k\}\}$
2. Выразить исходный гамильтониан целиком через эти переменные.
3. Возьмите производные гамильтониана по этим переменным. импульсы для получения частот $\nu \; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; \_\; \{k\}\}$

В некоторых случаях частоты двух разных обобщенных координат идентичны, т. е. $\nu \; К\; =\; \nu \; l\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; \_\; \{k\}\; =\; \backslash \; nu\; \_\; \{l\}\}$для $k\; \ne \; l\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \backslash \; neq\; l\}$. В таких случаях движение называется вырожденным.

вырожденным движением, сигнализирующим о наличии дополнительных общих сохраняющихся величин; например, частоты задачи Кеплера являются вырожденными, что соответствует сохранению вектора Лапласа – Рунге – Ленца.

Вырожденное движение также сигнализирует о том, что уравнения Гамильтона – Якоби полностью разделимы в более чем одной системе координат; например, проблема Кеплера полностью разделима как в сферических координатах, так и в параболических координатах.

• Интегрируемая система
• Тавтологическая одноформа
• Суперинтегрируемая гамильтонова система
• Метод Эйнштейна-Бриллюэна-Келлера

• Л. Д. Ландау и Э. М. Лифшиц, (1976) Механика, 3-е. изд., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (твердая обложка) и ISBN 0-08-029141-4 (мягкая обложка).
• H. Гольдштейн, (1980) Классическая механика, 2-е. изд., Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-02918-9
• G. Сарданашвили, (2015) Справочник по интегрируемым гамильтоновым системам, УРСС. ISBN 978-5-396-00687-4
• Превиато, Эмма (2003), Словарь прикладной математики для инженеров и ученых, CRC Press, Bibcode : 2003dame.book..... P, ISBN 978-1-58488-053-0