Альфапедия

Соотношение энергия-импульс

редактировать

В физике используется соотношение энергии-импульса или релятивистское дисперсионное соотношение - это релятивистское уравнение, связывающее полную энергию (которая также называется релятивистской энергией ) с инвариантная масса (которая также называется массой покоя) и импульс. Это расширение эквивалентности массы и энергии для тел или систем с ненулевым импульсом. Его можно записать в виде следующего уравнения:

E 2 = (pc) 2 + (m 0 c 2) 2 {\ displaystyle E ^ {2} = (pc) ^ {2} + \ left (m_ {0 } c ^ {2} \ right) ^ {2} \,}{\ displaystyle E ^ {2} = (шт) ^ {2} + \ влево (m_ {0} c ^ {2} \ right) ^ {2} \,}

(1)

Это уравнение справедливо для body или системы, например, одного или больше частиц с полной энергией E, инвариантной массой m 0 и импульсом величиной p; константа c - это скорость света. Это предполагает случай специальной теории относительности плоского пространства-времени. Полная энергия представляет собой сумму энергии покоя и кинетической энергии, в то время как инвариантная масса - это масса, измеренная в системе центра импульсов.

Для тел или систем с нулевым значением импульса, это упрощается до уравнения массы-энергии E = m 0 c 2 {\ displaystyle E = m_ {0} c ^ {2}}{\ displaystyle E = m_ {0} c ^ {2}} , где полная энергия в этом случае равна энергия покоя (также обозначается как E 0).

Модель моря Дирака, которая использовалась для предсказания существования антивещества, тесно связана с соотношением энергия-импульс.

Содержание

  • 1 Связь с E = mc
  • 2 Особые случаи
  • 3 Происхождение и вывод уравнения
    • 3.1 Эвристический подход для массивных частиц
    • 3.2 Норма четырехимпульса
      • 3.2.1 Специальная теория относительности
      • 3.2.2 Общая теория относительности
  • 4 Единицы энергии, массы и импульса
  • 5 Частные случаи
    • 5.1 Система центра движения (одна частица)
    • 5.2 Безмассовые частицы
    • 5.3 Принцип соответствия
  • 6 Системы многих частиц
    • 6.1 Сложение четырех импульсов
    • 6.2 Система центра импульсов
    • 6.3 Масса покоя и инвариантная масса
  • 7 Волны материи
  • 8 Тахион и экзотическая материя
  • 9 См. Также
  • 10 Ссылки

Связь с E = mc

Соотношение энергия-импульс согласуется с знакомой массой - соотношение энергии в обеих его интерпретациях: E = mc связывает полную энергию E с (общей) релятивистской массой m (альтернативно обозначается m rel или m tot), тогда как E 0 = m 0 c связывает энергию покоя E0с (инвариантом) масса покоя m 0.

В отличие от любого из этих уравнений, уравнение энергии-импульса (1) связывает полную энергию с массой покоя m 0. Все три уравнения выполняются одновременно.

Особые случаи

  1. Если тело является безмассовой частицей (m0= 0), то (1) сводится к E = pc. Для фотонов это соотношение, обнаруженное в классическом электромагнетизме 19 века, между импульсом излучения (вызывающим давление излучения ) и энергией излучения.
  2. Если скорость тела v намного меньше, чем c, то (1) уменьшается до E = 1 / 2m 0 v + m 0 c; то есть полная энергия тела - это просто его классическая кинетическая энергия (1 / 2m 0 v) плюс его энергия покоя.
  3. Если тело находится в состоянии покоя ( v = 0), то есть в его системе отсчета центра импульса (p = 0), мы имеем E = E 0 и m = m 0 ; таким образом, соотношение энергия-импульс и обе формы отношения масса-энергия (упомянутые выше) становятся одинаковыми.

Более общая форма отношения (1) сохраняется для общих относительность.

инвариантная масса (или масса покоя) является инвариантом для всех систем отсчета (отсюда и название), а не только в инерциальных системах в плоское пространство-время, но также ускоренные кадры, путешествующие в искривленном пространстве-времени (см. ниже). Однако полная энергия частицы E и ее релятивистский импульс p зависят от системы отсчета; относительное движение между двумя кадрами заставляет наблюдателей в этих кадрах измерять разные значения энергии и импульса частицы; один кадр измеряет E и p, в то время как другой кадр измеряет E ′ и p ′, где E ′ ≠ E и p ′ ≠ p, если между наблюдателями нет относительного движения, и в этом случае каждый наблюдатель измеряет одну и ту же энергию и импульсы. Хотя мы все еще имеем в плоском пространстве-времени:

E ′ 2 - (p ′ c) 2 = (m 0 c 2) 2. {\ displaystyle {E '} ^ {2} - \ left (p'c \ right) ^ {2} = \ left (m_ {0} c ^ {2} \ right) ^ {2} \,.}{\displaystyle {E'}^{2}-\left(p'c\right)^{2}=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}\,.}

Величины E, p, E ', p ′ все связаны посредством преобразования Лоренца. Это соотношение позволяет обойти преобразования Лоренца при определении только величин энергии и импульсов, приравнивая отношения в разных системах отсчета. Опять же в плоском пространстве-времени это переводится как;

E 2 - (p c) 2 = E ′ 2 - (p ′ c) 2 = (m 0 c 2) 2. {\ displaystyle {E} ^ {2} - \ left (pc \ right) ^ {2} = {E '} ^ {2} - \ left (p'c \ right) ^ {2} = \ left (m_ {0} c ^ {2} \ right) ^ {2} \,.}{\displaystyle {E}^{2}-\left(pc\right)^{2}={E'}^{2}-\left(p'c\right)^{2}=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}\,.}

Поскольку m 0 не меняется от кадра к кадру, соотношение энергия-импульс используется в расчеты релятивистской механики и физики частиц, поскольку энергия и импульс задаются в системе покоя частицы (то есть E ′ и p ′, как наблюдатель, движущийся с частицей, пришли к выводу, что будет) и измерены в лабораторном кадре (то есть E и p, как определено физиками-частицами в лаборатории и не движется вместе с частицами).

В релятивистской квантовой механике это основа для построения релятивистских волновых уравнений, поскольку, если релятивистское волновое уравнение, описывающее частицу, согласуется с этим уравнением - это согласуется с релятивистской механикой и является инвариантом Лоренца. В релятивистской квантовой теории поля это применимо ко всем частицам и полям.

Истоки и вывод уравнения

Соотношение энергия-импульс было впервые установлено Поль Дирак в 1928 году в форме E = c 2 p 2 + (m 0 c 2) 2 + V {\ displaystyle E = {\ sqrt {c ^ {2} p ^ {2} + (m_ {0} c ^ {2}) ^ {2}}} + V}{\ displaystyle E = {\ sqrt {c ^ {2} p ^ {2} + (m_ {0} c ^ {2}) ^ {2}}} + V} , где V - количество потенциальной энергии.

Уравнение может быть получено несколькими способами, два из самых простых включают:

  1. Из релятивистской динамики массивной частицы,
  2. путем оценки нормы четырехимпульс системы. Этот метод применим как к массивным, так и к безмассовым частицам, и может быть расширен для многочастичных систем с относительно небольшими усилиями (см. § Многочастичные системы ниже).

Эвристический подход для массивных частиц

Для массивного объекта, движущегося с тремя скоростями u = (u x, u y, u z) с величиной | и | = u в лабораторной рамке :

E = γ (u) m 0 c 2 {\ displaystyle E = \ gamma _ {(\ mathbf {u})} m_ {0} c ^ {2}}E = \ gamma _ {(\ mathbf {u})} m_0c ^ 2

- полная энергия движущегося объекта в лабораторном кадре,

p = γ (u) m 0 u {\ displaystyle \ mathbf {p} = \ gamma _ {(\ mathbf {u})} m_ { 0} \ mathbf {u}}{\ displaystyle \ mathbf {p} = \ gamma _ {(\ mathbf {u})} m_ {0} \ mathbf {u}}

- трехмерный релятивистский импульс объекта в лабораторном кадре с величиной | p | = p. Релятивистская энергия E и импульс p включают фактор Лоренца, определяемый как:

γ (u) = 1 1 - u ⋅ uc 2 = 1 1 - (uc) 2 { \ Displaystyle \ gamma _ {(\ mathbf {u})} = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {u}} {c ^ {2} }}}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {u} {c}} \ right) ^ {2}}}}}{\ displaystyle \ gamma _ {(\ mathbf {u})} = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {u}} { c ^ {2}}}}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {u} {c}} \ right) ^ {2}}}}}

Некоторые авторы используют релятивистская масса определяется как:

m = γ (u) m 0 {\ displaystyle m = \ gamma _ {(\ mathbf {u})} m_ {0}}{\ displaystyle m = \ gamma _ {(\ mathbf {u})} m_ { 0}}

хотя масса покоя m 0 имеет более фундаментальное значение и в этой статье будет использоваться в основном над релятивистской массой m.

Возведение в квадрат 3-импульса дает:

p 2 = p ⋅ p = m 0 2 u ⋅ u 1 - u ⋅ uc 2 = m 0 2 u 2 1 - (uc) 2 {\ displaystyle p ^ {2} = \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {p} = {\ frac {m_ {0} ^ {2} \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {u}} {1 - {\ frac {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {u}} {c ^ {2}}}}} = {\ frac {m_ {0} ^ {2} u ^ {2}} {1- \ left ({ \ frac {u} {c}} \ right) ^ {2}}}{\ displaystyle p ^ {2} = \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {p} = {\ frac {m_ {0} ^ {2} \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {u}} {1 - {\ frac {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {u}} {c ^ {2}}}}} = {\ гидроразрыв {m_ {0} ^ {2} u ^ {2}} {1- \ left ({\ frac {u} {c}} \ right) ^ {2}}}}

затем решение относительно u и подстановка в фактор Лоренца дает его альтернативную форму в терминах 3-импульса и массы, а не 3-скорости :

γ = 1 + (pm 0 c) 2 {\ displaystyle \ gamma = {\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {p} {m_ {0} c}} \ right) ^ {2} }}}\ gamma = \ sqrt {1 + \ left (\ frac {p} {m_0 c} \ right) ^ 2}

Вставка этой формы фактора Лоренца в уравнение энергии:

E = m 0 c 2 1 + (pm 0 c) 2 {\ displaystyle E = m_ {0} c ^ {2} { \ sqrt {1+ \ left ({\ frac {p} {m_ {0} c}} \ right) ^ {2}}}}E = m_0c ^ 2 \ sqrt {1 + \ left (\ frac {p} {m_0 c} \ right) ^ 2}

, за которым следуют другие результаты перегруппировки (1). Исключение фактора Лоренца также устраняет неявную зависимость частицы от скорости в (1), а также любые выводы о «релятивистской массе» массивной частицы. Этот подход не является общим, поскольку безмассовые частицы не рассматриваются. Наивная установка m 0 = 0 будет означать, что E = 0 и p= 0, и невозможно вывести соотношение энергии-импульса, что неверно.

Норма четырехимпульса

Энергия и импульс объекта, измеренные в двух инерциальных системах отсчета в пространстве энергии-импульса - желтая рамка измеряет E и p, а синяя рамка измеряет E 'и p' . Зеленая стрелка - это четырехмерный импульс P объекта, длина которого пропорциональна его массе покоя m 0. Зеленая рамка - это рамка центра импульса для объекта с энергией, равной энергии покоя. Гиперболы показывают, что преобразование Лоренца из одного кадра в другой - это гиперболическое вращение, а ϕ и ϕ + η - скорости синей и зеленой кадров,

Специальная теория относительности

В пространстве Минковского энергия (деленная на c) и импульс являются двумя компонентами четырехвектора Минковского , а именно четырехмерный импульс ;

P = (E c, p), {\ displaystyle \ mathbf {P} = \ left ({\ frac {E} {c}}, \ mathbf {p} \ right) \,,}{\ displaystyle \ mathbf {P} = \ слева ({\ гидроразрыва {E} {c}}, \ mathbf {p} \ right) \,,}

(это контравариантные компоненты).

Внутреннее произведение Минковского ⟨,⟩ этого вектора на себя дает квадрат нормы этого вектора, он пропорционален квадрат массы покоя тела m:

⟨P, P⟩ = | P | 2 знак равно (м 0 с) 2, {\ Displaystyle \ left \ langle \ mathbf {P}, \ mathbf {P} \ right \ rangle = | \ mathbf {P} | ^ {2} = \ left (m_ {0 } c \ right) ^ {2} \,,}{\ displaystyle \ left \ langle \ mathbf { P}, \ mathbf {P} \ right \ rangle = | \ mathbf {P} | ^ {2} = \ left (m_ {0} c \ right) ^ {2} \,,}

a Lorentz инвариантная величина и, следовательно, не зависит от системы отсчета. Используя метрику Минковского η с метрической сигнатурой (- + + +), внутреннее произведение будет

⟨P, P⟩ = | P | 2 знак равно - (м 0 с) 2, {\ displaystyle \ left \ langle \ mathbf {P}, \ mathbf {P} \ right \ rangle = | \ mathbf {P} | ^ {2} = - \ left (m_ {0} c \ right) ^ {2} \,,}{\ displaystyle \ left \ langle \ mathbf {P}, \ mathbf {P} \ right \ rangle = | \ mathbf {P} | ^ {2} = - \ left (m_ {0} c \ right) ^ {2} \,,}

и

⟨P, P⟩ = P α η α β P β = (E cpxpypz) (- 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1) (E cpxpypz) = - (E c) 2 + p 2, {\ displaystyle \ left \ langle \ mathbf {P}, \ mathbf {P} \ right \ rangle = P ^ { \ alpha} \ eta _ {\ alpha \ beta} P ^ {\ beta} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {E} {c}} p_ {x} p_ {y} p_ {z} \ end { pmatrix}} {\ begin {pmatrix} -1 0 0 0 \\ 0 1 0 0 \\ 0 0 1 0 \\ 0 0 0 1 \\\ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} {\ frac {E} {c}} \\ p_ {x} \\ p_ {y} \\ p_ {z} \ end {pmatrix}} = - \ left ({\ frac {E} {c}} \ right) ^ {2} + p ^ {2} \,,}{\ displaystyle \ left \ langle \ mathbf {P}, \ mathbf {P} \ right \ rangle = P ^ {\ alpha} \ eta _ {\ alpha \ beta} P ^ {\ beta} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {E} {c}} p_ {x} p_ {y} p_ {z} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} -1 0 0 0 \\ 0 1 0 0 \\ 0 0 1 0 \\ 0 0 0 1 \\\ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} {\ frac {E} {c}} \\ p_ {x} \\ p_ {y} \\ p_ {z} \ end {pmatrix}} = - \ left ({\ frac {E} {c}} \ right) ^ {2} + p ^ {2} \,,}

поэтому

- (m 0 c) 2 = - (E c) 2 + p 2. {\ displaystyle - \ left (m_ {0} c \ right) ^ {2} = - \ left ({\ frac {E} {c}} \ right) ^ {2} + p ^ {2}.}{\ displaystyle - \ left (m_ {0} c \ right) ^ {2} = - \ left ({\ frac {E} {c}} \ right) ^ {2} + p ^ {2}.}

Общая теория относительности

В общей теории относительности 4-импульс - это четырехмерный вектор, определенный в локальной системе координат, хотя по определению внутренний продукт аналогичен таковому в специальной теории относительности,

P, P⟩ = | P | 2 знак равно (м 0 с) 2, {\ Displaystyle \ left \ langle \ mathbf {P}, \ mathbf {P} \ right \ rangle = | \ mathbf {P} | ^ {2} = \ left (m_ {0 } c \ right) ^ {2} \,,}{\ displaystyle \ left \ langle \ mathbf { P}, \ mathbf {P} \ right \ rangle = | \ mathbf {P} | ^ {2} = \ left (m_ {0} c \ right) ^ {2} \,,}

, в котором метрика Минковского η заменена метрическим тензорным полем g:

⟨P, P ⟩ = | P | 2 знак равно п α г α β п β, {\ Displaystyle \ влево \ langle \ mathbf {P}, \ mathbf {P} \ right \ rangle = | \ mathbf {P} | ^ {2} = P ^ {\ alpha } g _ {\ alpha \ beta} P ^ {\ beta} \,,}{\ displaystyle \ left \ langle \ mathbf {P}, \ mathbf { P} \ right \ rangle = | \ mathbf {P} | ^ {2} = P ^ {\ alpha} g _ {\ alph a \ beta} P ^ {\ beta} \,,}

, решенный из уравнений поля Эйнштейна. Тогда:

P α g α β P β = (m 0 c) 2. {\ displaystyle P ^ {\ alpha} g _ {\ alpha \ beta} P ^ {\ beta} = \ left (m_ {0} c \ right) ^ {2} \,.}{\ displaystyle P ^ {\ alpha} g _ {\ alpha \ beta} P ^ {\ beta} = \ left (m_ {0} c \ right) ^ {2} \,.}

Выполнение суммирования по индексам с последующим сбором терминов «подобный времени», «подобный пространству-времени» и «подобный пространству» получаем:

g 00 (P 0) 2 ⏟ подобный времени + 2 g 0 i P 0 P i ⏟ пространство-время- как + gij P i P j ⏟ как пространство = (m 0 c) 2. {\ displaystyle \ underbrace {g_ {00} {\ left (P ^ {0} \ right)} ^ {2}} _ {\ text {time-like}} + 2 \ underbrace {g_ {0i} P ^ { 0} P ^ {i}} _ {\ text {space-like}} + \ underbrace {g_ {ij} P ^ {i} P ^ {j}} _ {\ text {space-like}} = \ left (m_ {0} c \ right) ^ {2} \,.}{\ displaystyle \ underbrace {g_ {00} {\ left (P ^ {0} \ right)} ^ {2} } _ {\ text {time-like}} + 2 \ underbrace {g_ {0i} P ^ {0} P ^ {i}} _ {\ text {spacetime-like}} + \ underbrace {g_ {ij} P ^ {i} P ^ {j}} _ {\ text {space-like}} = \ left ( m_ {0} c \ right) ^ {2} \,.}

где множитель 2 возникает из-за того, что метрика является симметричным тензором , а латинские индексы i, j принимают используются пространственные значения 1, 2, 3. Поскольку каждый компонент метрики в целом имеет пространственную и временную зависимость; это значительно сложнее, чем формула, приведенная в начале, см. метрический тензор (общая теория относительности) для получения дополнительной информации.

Единицы энергии, массы и импульса

В натуральных единицах, где c = 1, уравнение энергии-импульса сводится к

E 2 = p 2 + m 0 2. {\ displaystyle E ^ {2} = p ^ {2} + m_ {0} ^ {2} \,.}E ^ 2 = p ^ 2 + m_0 ^ 2 \,.

В физике элементарных частиц энергия обычно выражается в единицах электрон-вольт (эВ), импульс в эВ · с и масса в эВ · с. В электромагнетизме и из-за релятивистской инвариантности полезно иметь электрическое поле Eи магнитное поле Bв одной единице (Гаусс ), используя cgs (гауссову) систему единиц, где энергия дана в единицах эрг, масса - в граммах (г), а импульс - в г · см · с.

Теоретически энергия может быть выражена в граммах, хотя на практике требуется большое количество энергии, чтобы быть эквивалентным массам в этом диапазоне. Например, первая атомная бомба высвободила около 1 грамма тепла, а самые большие термоядерные бомбы сгенерировали килограмм или более высокая температура. Энергия термоядерных бомб обычно указывается в десятках килотонн и мегатоннах, относящихся к энергии, высвобождаемой при взрыве этого количества тринитротолуола (TNT).

Особые случаи

Система отсчета центра импульса (одна частица)

Для тела в системе отсчета покоя импульс равен нулю, поэтому уравнение упрощается до

E 0 = m 0 c 2, {\ displaystyle E_ {0} = m_ {0} c ^ {2} \,,}{\ displaystyle E_ {0} = m_ {0} c ^ {2} \,,}

где m 0 - масса покоя тела.

Безмассовые частицы

Если объект безмассовый, как в случае фотона, то уравнение сводится к

E = p c. {\ displaystyle E = pc \,.}{\ displaystyle E = pc \,.}

Это полезное упрощение. Его можно переписать другими способами, используя соотношения де Бройля :

E = h c λ = ℏ c k. {\ displaystyle E = {\ frac {hc} {\ lambda}} = \ hbar ck \,.}E = \ frac {hc} {\ lambda} = \ hbar ck \,.

, если задана длина волны λ или волновое число k.

Принцип соответствия

Переписываем соотношение для массивных частиц как:

E = m 0 c 2 1 + (pm 0 c) 2, {\ displaystyle E = m_ {0} c ^ {2} {\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {p} {m_ {0} c}} \ right) ^ {2}}} \,,}{\ displaystyle E = m_ {0} c ^ {2} {\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {p} {m_ {0} c}} \ right) ^ {2}}} \,,}

и расширяется до степени ряд по биномиальной теореме (или ряду Тейлора ):

E = m 0 c 2 [1 + 1 2 (pm 0 c) 2 - 1 8 (pm 0 c) 4 + ⋯], {\ displaystyle E = m_ {0} c ^ {2} \ left [1 + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {p} {m_ {0} c}} \ right) ^ {2} - {\ frac {1} {8}} \ left ({\ frac {p} {m_ {0} c}} \ right) ^ {4} + \ cdots \ right] \,,}{\ displaystyle E = m_ {0} c ^ {2} \ left [1 + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {p} {m_ {0} c}} \ right) ^ {2} - {\ frac {1} {8}} \ left ({\ frac {p} {m_ {0} c}} \ right) ^ {4} + \ cdots \ right] \,,}

в пределе u ≪ c имеем γ (u) ≈ 1, поэтому импульс имеет классическую форму p ≈ m 0 u, затем до первого порядка in (p / m 0c). (т.е. сохранить член (p / m 0c). для n = 1 и пренебречь всеми членами для n ≥ 2), мы имеем

E ≈ m 0 c 2 [1 + 1 2 ( m 0 um 0 c) 2], {\ displaystyle E \ приблизительно m_ {0} c ^ {2} \ left [1 + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {m_ {0}) u} {m_ {0} c}} \ right) ^ {2} \ right] \,,}{\ displaystyle E \ приблизительно m_ {0} c ^ {2} \ left [1 + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ гидроразрыв {m_ {0} u} {m_ {0} c}} \ right) ^ {2} \ right] \,,}

или

E ≈ m 0 c 2 + 1 2 m 0 u 2, {\ displaystyle E \ приблизительно m_ {0} c ^ {2} + {\ f rac {1} {2}} m_ {0} u ^ {2} \,,}{\ Displaystyle E \ приблизительно м_ {0} с ^ {2} + {\ f rac {1} {2}} m_ {0} u ^ {2} \,,}

, где второй член - это классическая кинетическая энергия, а первый - масса покоя частицы. Это приближение неприменимо для безмассовых частиц, поскольку для расширения требуется деление количества движения на массу. Кстати, в классической механике нет безмассовых частиц.

Системы многих частиц

Сложение четырех импульсов

В случае многих частиц с релятивистскими импульсами pnи энергией E n, где n = 1, 2,... (до общего числа частиц) просто помечает частицы, как измерено в конкретном кадре, четыре импульса в этом кадре могут быть добавлены;

∑ N п N знак равно ∑ N (E nc, pn) = (∑ N E nc, ∑ npn), {\ displaystyle \ sum _ {n} \ mathbf {P} _ {n} = \ sum _ { n} \ left ({\ frac {E_ {n}} {c}}, \ mathbf {p} _ {n} \ right) = \ left (\ sum _ {n} {\ frac {E_ {n}} {c}}, \ sum _ {n} \ mathbf {p} _ {n} \ right) \,,}{\ displaystyle \ sum _ {n} \ mathbf {P} _ { n} = \ sum _ {n} \ left ({\ frac {E_ {n}} {c}}, \ mathbf {p} _ {n} \ right) = \ left (\ sum _ {n} {\ гидроразрыв {E_ {n}} {c}}, \ sum _ {n} \ mathbf {p} _ {n} \ right) \,,}

и затем взять норму; чтобы получить соотношение для системы многих частиц:

| (∑ n P n) | 2 знак равно (∑ N E nc) 2 - (∑ npn) 2 знак равно (M 0 c) 2, {\ displaystyle \ left | \ left (\ sum _ {n} \ mathbf {P} _ {n} \ right) \ right | ^ {2} = \ left (\ sum _ {n} {\ frac {E_ {n}} {c}} \ right) ^ {2} - \ left (\ sum _ {n} \ mathbf { p} _ {n} \ right) ^ {2} = \ left (M_ {0} c \ right) ^ {2} \,,}{\ displaystyle \ left | \ left (\ sum _ {n} \ mathbf {P} _ {n} \ right) \ right | ^ {2} = \ left (\ sum _ {n} {\ frac {E_ {n}} {c}} \ right) ^ {2} - \ left (\ sum _ {n} \ mathbf {p} _ {n} \ right) ^ {2} = \ left (M_ {0} c \ right) ^ {2} \,,}

где M 0 - инвариантная масса вся система, и не равна сумме масс покоя частиц, если все частицы не находятся в состоянии покоя (см. масса в специальной теории относительности для более подробной информации). Подстановка и перестановка дают обобщение (1);

(∑ N E n) 2 знак равно (∑ npnc) 2 + (M 0 c 2) 2 {\ displaystyle \ left (\ sum _ {n} E_ {n} \ right) ^ {2} = \ left (\ sum _ {n} \ mathbf {p} _ {n} c \ right) ^ {2} + \ left (M_ {0} c ^ {2} \ right) ^ {2}}{\ displaystyle \ left (\ sum _ {n} E_ {n} \ right) ^ {2} = \ left (\ sum _ {n} \ mathbf {p} _ {n} c \ right) ^ {2} + \ left (M_ {0} c ^ {2} \ right) ^ {2}}

(2)

Все энергии и импульсы в уравнении зависят от кадра, в то время как M 0 не зависит от кадра.

Фрейм центра импульса

В фрейме центра импульса (кадр COM) по определению мы имеем:

∑ npn = 0, {\ displaystyle \ sum _ {n} \ mathbf {p} _ {n} = {\ boldsymbol {0}} \,,}\ sum_n \ mathbf {p} _n = \ boldsymbol {0} \,,

с импликацией из (2), что инвариантная масса также является центром импульса (COM) масса – энергия, не считая коэффициента c:

(∑ n E n) 2 = (M 0 c 2) 2 ⇒ ∑ n ECOM n = ECOM = M 0 c 2, {\ displaystyle \ left (\ sum _ {n} E_ {n} \ right) ^ {2} = \ left (M_ {0} c ^ {2} \ right) ^ {2} \ Rightarrow \ sum _ {n} E _ {\ mathrm {COM} \, n} = E _ {\ mathrm {COM}} = M_ {0} c ^ {2} \,,}{\ displaystyle \ left (\ sum _ {n} E_ {n} \ right) ^ {2} = \ left (M_ {0} c ^ {2} \ right) ^ {2} \ Rightarrow \ sum _ {n} E _ {\ mathrm {COM} \, n} = E _ {\ mathrm {COM}} = M_ {0} c ^ {2} \,,}

, и это верно для всех кадров, начиная с M 0 не зависит от кадра. Энергии E COM n - это энергии в кадре COM, а не в лабораторном кадре.

Масса покоя и инвариантная масса

Либо энергии, либо импульсы частиц, измеренные в некоторой системе отсчета, могут быть исключены с помощью соотношения энергии и импульса для каждой частицы:

E n 2 - (pnc) 2 = (mnc 2) 2, {\ displaystyle E_ {n} ^ {2} - \ left (\ mathbf {p} _ {n} c \ right) ^ {2} = \ left (m_ {n} c ^ {2} \ right) ^ {2} \,,}{\ displaystyle E_ {n} ^ {2} - \ left (\ mathbf {p} _ {n} c \ right) ^ {2} = \ влево (м_ {п} с ^ {2} \ вправо) ^ {2} \,,}

позволяющий выразить M 0 через энергии и массы покоя или импульсы и массы покоя. В конкретном фрейме квадраты сумм можно переписать как суммы квадратов (и произведений):

(∑ n E n) 2 = (∑ n E n) (∑ k E k) = ∑ n, k E n E k = 2 ∑ n < k E n E k + ∑ n E n 2, {\displaystyle \left(\sum _{n}E_{n}\right)^{2}=\left(\sum _{n}E_{n}\right)\left(\sum _{k}E_{k}\right)=\sum _{n,k}E_{n}E_{k}=2\sum _{n{\ displaystyle \ left ( \ sum _ {n} E_ {n} \ right) ^ {2} = \ left (\ sum _ {n} E_ {n} \ right) \ left (\ sum _ {k} E_ {k} \ right) = \ sum _ {n, k} E_ {n} E_ {k} = 2 \ sum _ {n <k} E_ {n} E_ {k} + \ sum _ {n} E_ {n} ^ {2} \,,}
(∑ npn) 2 = (∑ npn) ⋅ (∑ kpk) = ∑ n, kpn ⋅ pk = 2 ∑ n < k p n ⋅ p k + ∑ n p n 2, {\displaystyle \left(\sum _{n}\mathbf {p} _{n}\right)^{2}=\left(\sum _{n}\mathbf {p} _{n}\right)\cdot \left(\sum _{k}\mathbf {p} _{k}\right)=\sum _{n,k}\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{k}=2\sum _{n{\ displaystyle \ left (\ sum _ {n} \ mathbf {p} _ {n} \ right) ^ {2} = \ left (\ sum _ { n} \ mathbf {p} _ {n} \ right) \ cdot \ left (\ sum _ {k} \ mathbf {p} _ {k} \ right) = \ sum _ {n, k} \ mathbf {p } _ {n} \ cdot \ mathbf {p} _ {k} = 2 \ sum _ {n <k} \ mathbf {p} _ {n} \ cdot \ mathbf {p} _ {k} + \ sum _ {n} \ mathbf {p} _ {n} ^ {2} \,,}

, поэтому, подставляя суммы, мы можем ввести их массы покоя m n в (2):

∑ n (mnc 2) 2 + 2 ∑ n < k ( E n E k − c 2 p n ⋅ p k) = ( M 0 c 2) 2. {\displaystyle \sum _{n}\left(m_{n}c^{2}\right)^{2}+2\sum _{n{\ displaystyle \ sum _ {n} \ left (m_ {n} c ^ {2} \ right) ^ {2} +2 \ sum _ {n <k} \ left (E_ {n} E_ {k} -c ^ {2} \ mathbf {p} _ {n} \ cdot \ mathbf {p} _ {k} \ right) = \ left (M_ {0} c ^ {2} \ right) ^ {2} \,.}

Энергии могут быть исключены следующим образом:

E n = (pnc) 2 + (mnc 2) 2, E К знак равно (pkc) 2 + (mkc 2) 2, {\ displaystyle E_ {n} = {\ sqrt {\ left (\ mathbf {p} _ {n} c \ right) ^ { 2} + \ left (m_ {n} c ^ {2} \ right) ^ {2}}} \,, \ quad E_ {k} = {\ sqrt {\ left (\ mathbf {p} _ {k}) c \ right) ^ {2} + \ left (m_ {k} c ^ {2} \ right) ^ {2}}} \,,}{\ displaystyle E_ {n} = {\ sqrt {\ left (\ mathbf {p} _ {n} c \ right) ^ {2} + \ left (m_ {n} c ^ {2} \ right) ^ {2}}} \,, \ quad E_ {k} = {\ sqrt {\ left (\ mathbf {p} _ {k} c \ right) ^ {2} + \ left (m_ {k} c ^ {2} \ right) ^ {2} }} \,,}

аналогичным образом импульсы могут быть исключены следующим образом:

pn ⋅ pk = | p n | | p k | cos ⁡ θ n k, | p n | = 1 c E n 2 - (m n c 2) 2, | p k | Знак равно 1 с Е К 2 - (mkc 2) 2, {\ displaystyle \ mathbf {p} _ {n} \ cdot \ mathbf {p} _ {k} = \ left | \ mathbf {p} _ {n} \ right | \ left | \ mathbf {p} _ {k} \ right | \ cos \ theta _ {nk} \,, \ quad | \ mathbf {p} _ {n} | = {\ frac {1} {c }} {\ sqrt {E_ {n} ^ {2} - \ left (m_ {n} c ^ {2} \ right) ^ {2}}} \,, \ quad | \ mathbf {p} _ {k } | = {\ frac {1} {c}} {\ sqrt {E_ {k} ^ {2} - \ left (m_ {k} c ^ {2} \ right) ^ {2}}} \,, }{\ displaystyle \ mathbf {p} _ { n} \ cdot \ mathbf {p} _ {k} = \ left | \ mathbf {p} _ {n} \ right | \ left | \ mathbf {p} _ {k} \ right | \ cos \ theta _ { nk} \,, \ quad | \ mathbf {p} _ {n} | = {\ frac {1} {c}} {\ sqrt {E_ {n} ^ {2} - \ left (m_ {n} c ^ {2} \ right) ^ {2}}} \,, \ quad | \ mathbf {p} _ {k} | = {\ frac {1} {c}} {\ sqrt {E_ {k} ^ { 2} - \ left (m_ {k} c ^ {2} \ right) ^ {2}}} \,,}

где θ nk - угол между векторами импульса pnи pk.

Перестановка:

(M 0 c 2) 2 - ∑ n (mnc 2) 2 = 2 ∑ n < k ( E n E k − c 2 p n ⋅ p k). {\displaystyle \left(M_{0}c^{2}\right)^{2}-\sum _{n}\left(m_{n}c^{2}\right)^{2}=2\sum _{n{\ displaystyle \ left (M_ {0} c ^ {2} \ right) ^ {2} - \ sum _ {n} \ left (m_ {n} c ^ {2} \ right) ^ {2} = 2 \ sum _ {n <k} \ left (E_ {n} E_ {k} -c ^ {2} \ mathbf {p} _ {n} \ cdot \ mathbf {p} _ { k} \ right) \,.}

Поскольку инвариантная масса системы и массы покоя каждой частицы не зависят от системы отсчета, правая часть также является инвариантом (хотя энергии и импульсы все измеряются в определенной системе отсчета).

Волны материи

Использование соотношений де Бройля для энергии и импульса для волн материи,

E = ℏ ω, p = ℏ k, {\ displaystyle E = \ hbar \ omega \,, \ quad \ mathbf {p} = \ hbar \ mathbf {k} \,,}{\ displaystyle E = \ hbar \ omega \,, \ quad \ mathbf {p} = \ hbar \ mathbf {k} \,,}

, где ω - угловая частота и k - это волновой вектор с величиной | k | = k, равное волновому числу, соотношение энергия – импульс можно выразить через волновые величины:

(ℏ ω) 2 = (c ℏ k) 2 + (m 0 c 2) 2, {\ displaystyle \ left (\ hbar \ omega \ right) ^ {2} = \ left (c \ hbar k \ right) ^ {2} + \ left (m_ {0} c ^ {2} \ right) ^ {2} \,,}{\ displaystyle \ left (\ HBAR \ omega \ right) ^ {2 } = \ влево (с \ HBAR к \ вправо) ^ {2} + \ влево (m_ {0} с ^ {2} \ вправо) ^ {2} \,,}

и приведение в порядок, разделив на (ħc) всюду:

(ω c) 2 = k 2 + (m 0 c ℏ) 2. {\ displaystyle \ left ({\ frac {\ omega} {c}} \ right) ^ {2} = k ^ {2} + \ left ({\ frac {m_ {0} c} {\ hbar}} \ справа) ^ {2} \,.}\ left (\ frac {\ omega} {c} \ right) ^ 2 = k ^ 2 + \ left (\ гидроразрыва {m_0c} {\ hbar} \ right) ^ 2 \,.

(3)

Это также может быть получено из величины четырехволнового вектора

K = (ω c, k), {\ displaystyle \ mathbf {K} = \ left ({\ frac {\ omega} {c}}, \ mathbf {k} \ right) \,,}{\ displayst yle \ mathbf {K} = \ left ({\ frac {\ omega} {c}}, \ mathbf {k} \ right) \,,}

аналогично четырем импульсам выше.

Поскольку уменьшенная постоянная Планка ħ и скорость света c появляются и загромождают это уравнение, именно здесь натуральные единицы особенно важны. полезно. Нормируя их так, чтобы ħ = c = 1, мы имеем:

ω 2 = k 2 + m 0 2. {\ displaystyle \ omega ^ {2} = k ^ {2} + m_ {0} ^ {2} \,.}{\ displaystyle \ omega ^ {2} = k ^ {2} + m_ {0} ^ {2} \,.}

Тахион и экзотическая материя

Скорость брадиона с релятивистским соотношением энергия – импульс

E 2 = p 2 c 2 + m 0 2 c 4. {\ displaystyle E ^ {2} = p ^ {2} c ^ {2} + m_ {0} ^ {2} c ^ {4} \,.}{\ displaystyle E ^ {2} = p ^ {2} c ^ { 2} + m_ {0} ^ {2} c ^ {4} \,.}

никогда не может превышать c . Напротив, оно всегда больше, чем c для тахиона, уравнение энергии-импульса которого равно

E 2 = p 2 c 2 - m 0 2 c 4. {\ displaystyle E ^ {2} = p ^ {2} c ^ {2} -m_ {0} ^ {2} c ^ {4} \,.}{\ displaystyle E ^ {2} = p ^ {2} c ^ {2} -m_ {0} ^ {2} c ^ {4} \,.}

Напротив, гипотетическая экзотическая материя имеет отрицательную массу, а уравнение энергии-импульса имеет вид

E 2 = - p 2 c 2 + m 0 2 c 4. {\ displaystyle E ^ {2} = - p ^ {2} c ^ {2} + m_ {0} ^ {2} c ^ {4} \,.}{\ displaystyle E ^ {2} = - p ^ {2} c ^ {2} + m_ {0} ^ {2} c ^ {4} \,.}

См. также

Ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-19 10:35:34
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте