Производная по времени

редактировать

Производная функции по времени.

A производная по времени - это производная функции по времени, обычно интерпретируется как скорость изменения значения функции. Переменная, обозначающая время, обычно записывается как $t {\ displaystyle t \,}$ $t \,$ .

Contents

1 Notation
2 Использование в физике
- 2.1 Пример: круговое движение
3 В дифференциальной геометрии
4 Использование в экономике
5 См. Также
6 Ссылки

Обозначение

Для обозначения производной по времени используются различные обозначения. В дополнение к обычным (Лейбницевским ) обозначениям,

dxdt {\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}}}

\ frac { dx} {dt}

очень распространенное сокращенное обозначение, используемое, особенно в физике, это «точка над точкой». I.E.

x ˙ {\ displaystyle {\ dot {x}}}

{\ dot {x}}

(Это называется нотацией Ньютона )

Также используются высшие производные по времени: вторая производная по время записывается как

d 2 xdt 2 {\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}}}

\ frac {d ^ 2x} { dt ^ 2}

с соответствующим сокращением $x ¨ {\ displaystyle {\ ddot {x}}}$ ${\ ddot {x}}$ .

В качестве обобщения производная вектора по времени, скажем:

V → = [v 1, v 2, v 3, ⋯], {\ displaystyle {\ vec { V}} = \ left [v_ {1}, \ v_ {2}, \ v_ {3}, \ cdots \ right] \,}

\ vec V = \ left [v_1, \ v_2, \ v_3, \ cdots \ right] \,

определяется как вектор, компоненты которого являются производными компонентов исходный вектор. То есть

d V → dt = [dv 1 dt, dv 2 dt, dv 3 dt, ⋯]. {\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {V}}} {dt}} = \ left [{\ frac {dv_ {1}} {dt}}, {\ frac {dv_ {2}} {dt}}, {\ frac {dv_ {3}} {dt}}, \ cdots \ right ] \.}

\ frac {d \ vec V} {dt} = \ left [\ frac {d v_1 } {dt}, \ frac {d v_2} {dt}, \ frac {d v_3} {dt}, \ cdots \ right] \.

Использование в физике

Производные по времени являются ключевым понятием в физике. Например, для изменяющегося положения $x {\ displaystyle x \,}$ $x\,$ , его производная по времени $x ˙ {\ displaystyle {\ dot {x}}}$ ${\ dot {x}}$ - его скорость и его вторая производная по времени, $x ¨ {\ displaystyle {\ ddot {x}}}$ ${\ ddot {x}}$ , это его ускорение. Иногда также используются даже более высокие производные: третья производная положения по времени известна как рывок. См. графики движения и производные.

Большое количество фундаментальных уравнений в физике включает первую или вторую производные по времени от величин. Многие другие фундаментальные величины в науке являются производными по времени друг от друга:

сила - это производная по времени импульса
мощность - производная по времени энергия
электрического тока. - это производная по времени от электрического заряда

и так далее.

Обычным явлением в физике является производная по времени от вектора , например скорость или смещение. При работе с такой производной как величина, так и ориентация могут зависеть от времени.

Пример: круговое движение

Связь между декартовыми координатами (x, y) и полярными координатами (r, θ).

Например, представьте, что частица движется по кругу путь. Его положение задается вектором смещения $r = x ı ^ + y ȷ ^ {\ displaystyle r = x {\ hat {\ imath}} + y {\ hat {\ jmath}}}$ ${\ displaystyle r = x {\ hat {\ imath}} + y {\ hat {\ jmath}}}$ , связанное с углом θ и радиальным расстоянием r, как определено на рисунке:

x = r cos ⁡ (θ) y = r sin ⁡ (θ) {\ displaystyle {\ begin {align} x = r \ cos (\ theta) \\ y = r \ sin (\ theta) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} x = r \ cos (\ theta) \\ y = r \ sin ( \ theta) \ конец {выровнено}}}

В этом примере мы предполагаем, что θ = t. Следовательно, смещение (положение) в любой момент времени t определяется выражением

r (t) = r cos ⁡ (t) ı ^ + r sin ⁡ (t) ȷ ^ {\ displaystyle \ mathbf {r} (t) = r \ cos (t) {\ hat {\ imath}} + r \ sin (t) {\ hat {\ jmath}}}

{\ displaystyle \ mathbf {r} (t) = r \ cos (t) {\ hat {\ imath }} + р \ грех (т) {\ шляпа {\ jmath}}}

Эта форма показывает движение, описываемое r (t) находится в круге радиуса r, поскольку величина r (t) задается как

| r (t) | знак равно р (T) ⋅ р (T) знак равно Икс (T) 2 + Y (T) 2 = r соз 2 ⁡ (T) + грех 2 ⁡ (T) = R {\ Displaystyle | \ mathbf {r} (т) | = {\ sqrt {\ mathbf {r} (t) \ cdot \ mathbf {r} (t)}} = {\ sqrt {x (t) ^ {2} + y (t) ^ {2}} } = r \, {\ sqrt {\ cos ^ {2} (t) + \ sin ^ {2} (t)}} = r}

| \ mathbf {r} (t) | = \ sqrt {\ mathbf {r} (t) \ cdot \ mathbf {r} (t)} = \ sqrt {x (t) ^ 2 + y (t) ^ 2} = r \, \ sqrt {\ cos ^ 2 (t) + \ sin ^ 2 (t)} = r

с использованием тригонометрического тождества sin (t) + cos (t) = 1, где $⋅ {\ displaystyle \ cdot}$ $\ cdot$ - обычное евклидово скалярное произведение.

С этой формой перемещения теперь определяется скорость. Производная по времени от вектора смещения - это вектор скорости. В общем, производная вектора - это вектор, составленный из компонентов, каждая из которых является производной соответствующего компонента исходного вектора. Таким образом, в этом случае вектор скорости равен:

v (t) = dr (t) dt = r [d cos ⁡ (t) dt, d sin ⁡ (t) dt] = r [- sin ⁡ ( t), cos ⁡ (t)] = [- y (t), x (t)]. {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {v} (t) = {\ frac {d \, \ mathbf {r} (t)} {dt}} = r \ left [{\ frac {d \, \ cos (t)} {dt}}, {\ frac {d \, \ sin (t)} {dt}} \ right] \\ = r \ [- \ sin (t), \ \ cos ( t)] \\ = [- y (t), x (t)]. \ end {align}}}

\ begin {align} \ mathbf {v} (t) = \ frac {d \, \ mathbf {r} (t)} {dt} = r \ left [\ frac {d \, \ cos (t)} {dt}, \ frac {d \, \ sin (t)} {dt} \ right] \\ = r \ [- \ sin (t), \ \ cos (t)] \\ = [ -y (t), x (t)]. \ end {align}

Таким образом, скорость частицы отлична от нуля, даже если величина положения (то есть радиус пути) постоянен. Скорость направлена перпендикулярно смещению, что можно установить с помощью точечного произведения :

v ⋅ ​​r = [- y, x] ⋅ [x, y] = - y x + x y = 0. {\ displaystyle \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {r} = [- y, x] \ cdot [x, y] = - yx + xy = 0 \,.}

\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {r} = [-y, x] \ cdot [x, y] = -yx + xy = 0 \,.

Тогда ускорение является производной по времени скорости:

a (t) = dv (t) dt = [- x (t), - y (t)] = - r (t). {\ Displaystyle \ mathbf {a} (t) = {\ frac {d \, \ mathbf {v} (t)} {dt}} = [- x (t), - y (t)] = - \ mathbf {r} (t) \,.}

\ mathbf {a} (t) = \ frac {d \, \ mathbf {v} (t)} {dt} = [-x (t), -y (t)] = - \ mathbf {r} (t) \,.

Ускорение направлено внутрь, к оси вращения. Он указывает противоположно вектору положения и перпендикулярно вектору скорости. Это направленное внутрь ускорение называется центростремительным ускорением.

В дифференциальной геометрии

В дифференциальной геометрии величины часто выражаются относительно местного ковариантного базиса, $ei {\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i}}$ , где i варьируется по количеству измерений. Компоненты вектора $U {\ displaystyle \ mathbf {U}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {U}}$ , выраженные таким образом, преобразовываются как контравариантный тензор, как показано в выражении $U = U iei {\ displaystyle \ mathbf {U} = U ^ {i} \ mathbf {e} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {U} = U ^ {i} \ mathbf {e} _ {i}}$ , используя соглашение о суммировании Эйнштейна. Если мы хотим вычислить производные по времени этих компонентов вдоль траектории, так что мы имеем $U (t) = U i (t) ei (t) {\ displaystyle \ mathbf {U} (t) = U ^ {i} (t) \ mathbf {e} _ {i} (t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {U} (t) = U ^ {i} (t) \ mathbf {e} _ {i} (t)}$ , мы можем определить новый оператор, инвариантную производную $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ , который будет продолжать возвращать контравариантные тензоры:

δ U i δ t = d U idt + V j Γ jki U k {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ delta U ^ {i} } {\ delta t}} = {\ frac {dU ^ {i}} {dt}} + V ^ {j} \ Gamma _ {jk} ^ {i} U ^ {k} \\\ end {выровнено} }}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ delta U ^ {i}} {\ delta t}} = {\ frac {dU ^ {i}} {dt}} + V ^ {j} \ Gamma _ {jk} ^ {i} U ^ {k} \\\ конец {выровнено}}}

где $V j = dxjdt {\ displaystyle V ^ {j} = {\ frac {dx ^ {j}} {dt}}}$ ${\ displaystyle V ^ {j} = {\ frac {dx ^ {j}} {dt}}}$ (с $xj { \ displaystyle x ^ {j}}$ $x^{j}$ является j-й координатой) фиксирует компоненты скорости в локальном ковариантном базисе, а $Γ jki {\ displaystyle \ Gamma _ {jk} ^ {i} }$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {jk} ^ {i}}$ - это символы Кристоффеля для системы координат. Обратите внимание, что явная зависимость от t была подавлена в обозначениях. Затем мы можем написать:

d U dt = δ U я δ tei {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d \ mathbf {U}} {dt}} = {\ frac {\ delta U ^ {i}} {\ delta t}} \ mathbf {e} _ {i} \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d \ mathbf {U}} {dt}} = {\ frac {\ delta U ^ {i}} {\ delta t}} \ mathbf {e} _ {i} \\\ конец {выровнено}}

а также:

d 2 U dt 2 = δ 2 U i δ t 2 ei {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {U}} {dt ^ {2}}} = {\ frac {\ delta ^ {2} U ^ {i} } {\ delta t ^ {2}}} \ mathbf {e} _ {i} \\\ end {выровнено}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {U} } {dt ^ {2}}} = {\ frac {\ delta ^ {2} U ^ {i}} {\ delta t ^ {2}}} \ mathbf {e} _ {i} \\\ end { выровнено}}}

В терминах ковариантной производной, $∇ j {\ displaystyle \ nabla _ {j}}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {j}}$ , имеем:

δ U я δ t = V j ∇ j U i {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ delta U ^ {i}} {\ delta t}} = V ^ {j} \ nabla _ {j} U ^ {i} \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ delta U ^ {i}} {\ delta t}} = V ^ {j} \ nabla _ {j} U ^ {i} \\\ конец {выровнен}}}

Использование в экономике

В экономике многие теоретические модели эволюции различных экономических переменных строятся в непрерывном времени и поэтому используют производные по времени. Одна ситуация связана с переменной запаса и ее производной по времени, переменной потока . Примеры включают:

Чистый поток инвестиций в основной капитал - это производная по времени от основного капитала.
Поток инвестиций в запасы - это производная по времени от запаса. запасов.
Скорость роста денежной массы - это производная по времени денежной массы, деленная на саму денежную массу.

Иногда производная по времени от переменной потока может появляться в модель:

Скорость роста выпуска - это производная по времени потока выпуска, деленная на сам выпуск.
Темпы роста рабочей силы является производной по времени рабочей силы, деленной на саму рабочую силу.

И иногда появляется производная по времени переменной, которая, в отличие от приведенных выше примеров, не измеряется в денежных единицах:

Производная по времени от может появиться ключевой процентная ставка.
уровень инфляции - это темп роста уровня цен, то есть производная по времени от уровень цен деленный на p уровень риса.

См. также

Ссылки