Круговое движение

редактировать
Движение объекта по круговой траектории

В физике, круговое движение - это движение объекта по окружности окружности или поворот по круговой траектории. Он может быть однородным, с постоянной угловой скоростью вращения и постоянной скоростью, или неоднородным с изменяющейся скоростью вращения. Вращение вокруг фиксированной оси трехмерного тела включает круговое движение его частей. Уравнения движения описывают движение центра масс тела.

Примеры кругового движения включают: искусственный спутник, вращающийся вокруг Земли на постоянной высоте, лопасти потолочного вентилятора , вращающиеся вокруг ступицы, камень, который привязан к веревке и качаясь по кругу, автомобиль, поворачивающий по кривой на гоночной трассе , электрон, движущийся перпендикулярно однородному магнитному полю, и шестерня, вращающаяся внутри механизм.

Поскольку вектор скорости объекта постоянно меняет направление, движущийся объект испытывает ускорение за счет центростремительной силы в направлении центра вращения. Без этого ускорения объект двигался бы по прямой линии в соответствии с законами движения Ньютона.

Содержание

  • 1 Равномерное круговое движение
    • 1.1 Формулы
      • 1.1.1 В полярных координатах
      • 1.1.2 Использование комплексных чисел
      • 1.1.3 Скорость
      • 1.1.4 Релятивистское круговое движение
      • 1.1.5 Ускорение
  • 2 Неравномерное
  • 3 Приложения
  • 4 См. Также
  • 5 Ссылки
  • 6 Внешние ссылки

Равномерное круговое движение

Рис. 1: Скорость v и ускорение a при равномерном круговом движении с угловой скоростью ω; скорость постоянна, но скорость всегда касается орбиты; ускорение имеет постоянную величину, но всегда направлено к центру вращения. Рисунок 2: Векторы скорости в момент t и время t + dt перемещаются с орбиты слева в новые положения, где их хвосты совпадают, на верно. Поскольку скорость фиксирована по величине при v = r ω, векторы скорости также охватывают круговую траекторию с угловой скоростью ω. При dt → 0 вектор ускорения a становится перпендикулярным к v, что означает, что он указывает на центр орбиты в круге слева. Угол ω dt - это очень маленький угол между двумя скоростями, стремящийся к нулю при dt → 0. Рисунок 3: (Слева) Мяч в круговом движении - веревка обеспечивает центростремительную силу, чтобы удерживать мяч в круге (Справа) Трос перерезан и мяч движется по прямой линии со скоростью во время перерезания веревки в соответствии с законом инерции Ньютона, потому что центростремительной силы больше нет.

В физике, равномерное круговое движение описывает движение тела, пересекающего круговой путь с постоянной скоростью. Поскольку тело описывает круговое движение, его расстояние от оси вращения всегда остается постоянным. Хотя скорость тела постоянна, его скорость не постоянна: скорость, векторная величина, зависит как от скорости тела, так и от направления его движения. Эта изменяющаяся скорость указывает на наличие ускорения; это центростремительное ускорение имеет постоянную величину и всегда направлено к оси вращения. Это ускорение, в свою очередь, создается центростремительной силой ,, которая также является постоянной по величине и направлена ​​к оси вращения.

В случае вращения вокруг фиксированной оси твердого тела , которое не является пренебрежимо малым по сравнению с радиусом пути, каждая частица тела описывает равномерное круговое движение с той же угловой скоростью, но со скоростью и ускорением, изменяющимися в зависимости от положения относительно оси.

Формулы

Рисунок 1: Векторные отношения для равномерного кругового движения; вектор ω, представляющий вращение, перпендикулярен плоскости орбиты.

Для движения по окружности с радиусом r длина окружности равна C = 2πr. Если период одного вращения равен T, угловая скорость вращения, также известная как угловая скорость, ω составляет:

, а единицы измерения - радианы в секунду.

Скорость объекта, движущегося круг равен:

Угол θ, заметаемый за время t, равен:

θ = 2 π t T = ω t {\ displaystyle \ theta = 2 \ pi {\ frac {t} {T}} = \ omega t \,}{\ displaystyle \ theta = 2 \ pi {\ frac {t} {T}} = \ omega t \,}

угловое ускорение, α, частицы составляет:

В случае равномерного кругового движения α будет равно нулю.

Ускорение из-за изменения направления:

ac = v 2 r = ω 2 r {\ displaystyle a_ {c} = {\ frac {v ^ {2}} {r}} = \ omega ^ {2} r}{\ displaystyle a_ {c} = {\ frac {v ^ {2}} {r}} = \ omega ^ {2} r}

Центростремительная и центробежная сила также может быть определена с помощью ускорения:

Векторные взаимосвязи показаны на рисунке 1. Ось вращения изображена в виде вектора ω, перпендикулярного плоскости орбиты, с величиной ω = dθ / dt. Направление ω выбирается с использованием правила правой руки. Согласно этому соглашению для изображения вращения, скорость задается вектором перекрестным произведением как

v = ω × r, {\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r} \,}{\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \,}

, который является вектором, перпендикулярным как ω, так и r (t), касательным к орбите, и имеет величину ω r. Точно так же ускорение определяется как

a = ω × v = ω × (ω × r), {\ displaystyle \ mathbf {a} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v} = { \ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r} \ right) \,}{\displaystyle \mathbf {a} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \right)\,}

который является вектором, перпендикулярным обоим ω и v (t) величины ω | v | = ω r и направлено точно противоположно r(t).

В простейшем случае скорость, масса и радиус постоянны.

Рассмотрим тело весом в один килограмм, движущееся по кругу радиусом один метр, с угловой скоростью, равной одному радиан на секунда.

в полярных координатах

Рисунок 4: Полярные координаты для круговой траектории. Слева - единичный круг, показывающий изменения du ^ R {\ displaystyle \ mathbf {d {\ hat {u}} _ {R}}}{\displaystyle \mathbf {d{\hat {u}}_{R}} }и du ^ θ { \ displaystyle \ mathbf {d {\ hat {u}} _ {\ theta}}}{\ displaystyle \ mathbf {d {\ шляпа {и}} _ {\ theta}}} в единичных векторах u ^ R {\ displaystyle \ mathbf {{\ hat {u}} _ {R}}}{\displaystyle \mathbf {{\hat {u}}_{R}} }и u ^ θ {\ displaystyle \ mathbf {{\ hat {u}} _ {\ theta}}}{\displaystyle \mathbf {{\hat {u}}_{\theta }} }для небольшого приращения d θ {\ displaystyle \ mathrm {d \ theta}}{\mathrm {d\theta }}под углом θ {\ displaystyle \ mathrm {\ theta}}{\mathrm {\theta }}.

Во время кругового движения тело движется по кривой, которая может быть описано в полярной системы координату в качестве фиксированного расстояния R от центра орбиты, как принято происхождения, ориентированной под углом Q (т) из некоторого опорного направления. См. Рисунок 4. Вектор смещения r → {\ displaystyle {\ vec {r}}}{\vec {r}}- это радиальный вектор от начала координат до местоположения частицы:

r → (t) = R u ^ R (t), {\ displaystyle {\ vec {r}} (t) = R {\ hat {u}} _ {R} (t) \,}{\displaystyle {\vec {r}}(t)=R{\hat {u}}_{R}(t)\,}

где u ^ R (t) {\ displaystyle {\ hat {u}} _ {R} (t)}{\ displaystyle {\ hat {u}} _ {R} (t)} - это единичный вектор, параллельный радиус-вектору в момент времени t и указывающий от происхождение. Удобно ввести единичный вектор , ортогональный в u ^ R (t) {\ displaystyle {\ hat {u}} _ {R} (t)}{\ displaystyle {\ hat {u}} _ {R} (t)} как ну, а именно u ^ θ (t) {\ displaystyle {\ hat {u}} _ {\ theta} (t)}{\displaystyle {\hat {u}}_{\theta }(t)}. Принято ориентировать u ^ θ (t) {\ displaystyle {\ hat {u}} _ {\ theta} (t)}{\displaystyle {\hat {u}}_{\theta }(t)}так, чтобы указывать направление движения по орбите.

Скорость - это производная от смещения по времени:

v → (t) = d d t r → (t) = d R d t u ^ R (t) + R d u ^ R d t. {\ displaystyle {\ vec {v}} (t) = {\ frac {d} {dt}} {\ vec {r}} (t) = {\ frac {dR} {dt}} {\ hat {u }} _ {R} (t) + R {\ frac {d {\ hat {u}} _ {R}} {dt}} \.}{\ displaystyle {\ vec {v}} (t) = {\ frac {d} {dt}} {\ vec {r }} (t) ={\frac {dR}{dt}}{\hat {u}}_{R}(t)+R{\frac {d{\hat {u}}_{R}}{dt}}\.}

Поскольку радиус окружности постоянен, радиальная составляющая скорости равна нулю. Единичный вектор u ^ R (t) {\ displaystyle {\ hat {u}} _ {R} (t)}{\ displaystyle {\ hat {u}} _ {R} (t)} имеет неизменную во времени величину, равную единице, так что время меняется кончик всегда лежит на окружности единичного радиуса с углом θ, таким же, как угол r → (t) {\ displaystyle {\ vec {r}} (t)}{\ vec {r}} (t) . Если смещение частицы поворачивается на угол dθ за время dt, то же самое происходит и с u ^ R (t) {\ displaystyle {\ hat {u}} _ {R} (t)}{\ displaystyle {\ hat {u}} _ {R} (t)} , описывая дуга на единичной окружности величины dθ. См. Единичный круг слева на рисунке 4. Отсюда:

du ^ R dt = d θ dtu ^ θ (t), {\ displaystyle {\ frac {d {\ hat {u}} _ {R}} {dt}} = {\ frac {d \ theta} {dt}} {\ hat {u}} _ {\ theta} (t) \,}{\ displaystyle {\ frac {d {\ hat {u}} _ {R}} {dt}} = {\ frac {d \ theta} {dt}} {\ hat {u}} _ {\ theta} (t) \,}

где направление изменения должно быть перпендикулярно u ^ R (t) {\ displaystyle {\ hat {u}} _ {R} (t)}{\ displaystyle {\ hat {u}} _ {R} (t)} (или, другими словами, по u ^ θ (t) {\ displaystyle {\ hat {u}} _ {\ theta} (t)}{\displaystyle {\hat {u}}_{\theta }(t)}), потому что любое изменение du ^ R (t) {\ displaystyle d {\ hat {u}} _ {R } (t)}{\displaystyle d{\hat {u}}_{R}(t)}в направлении u ^ R (t) {\ displaystyle {\ hat {u}} _ {R} (t)}{\ displaystyle {\ hat {u}} _ {R} (t)} изменится размером u ^ R (t) {\ displaystyle {\ hat {u}} _ {R} (t)}{\ displaystyle {\ hat {u}} _ {R} (t)} . Знак положительный, потому что увеличение dθ означает, что объект и u ^ R (t) {\ displaystyle {\ hat {u}} _ {R} (t)}{\ displaystyle {\ hat {u}} _ {R} (t)} переместились внутрь направление u ^ θ (t) {\ displaystyle {\ hat {u}} _ {\ theta} (t)}{\displaystyle {\hat {u}}_{\theta }(t)}. Следовательно, скорость становится:

v → (t) = d d t r → (t) = R d u ^ R d t = R d θ d t u ^ θ (t) = R ω u ^ θ (t). {\ displaystyle {\ vec {v}} (t) = {\ frac {d} {dt}} {\ vec {r}} (t) = R {\ frac {d {\ hat {u}} _ { R}} {dt}} = R {\ frac {d \ theta} {dt}} {\ hat {u}} _ {\ theta} (t) = R \ omega {\ hat {u}} _ {\ theta} (t) \.}{\displaystyle {\vec {v}}(t)={\frac {d}{dt}}{\vec {r}}(t)=R{\frac {d{\hat {u}}_{R}}{dt}}=R{\frac {d\theta }{dt}}{\hat {u}}_{\theta }(t)=R\omega {\hat {u}}_{\theta }(t)\.}

Ускорение тела также можно разбить на радиальную и тангенциальную составляющие. Ускорение - это производная скорости по времени:

a → (t) = ddtv → (t) = ddt (R ω u ^ θ (t)) = R (d ω dtu ^ θ (t) + ω du ^ θ dt). {\ Displaystyle {\ begin {align} {\ vec {a}} (t) = {\ frac {d} {dt}} {\ vec {v}} (t) = {\ frac {d} {dt }} \ left (R \ omega {\ hat {u}} _ {\ theta} (t) \ right) \\ = R \ left ({\ frac {d \ omega} {dt}} {\ hat { u}} _ {\ theta} (t) + \ omega {\ frac {d {\ hat {u}} _ {\ theta}} {dt}} \ right) \. \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} {\ vec {a}} (t) = {\ frac { d} {dt}} {\ vec {v}} (t) = {\ frac {d} {dt}} \ left (R \ omega {\ hat {u}} _ {\ theta} (t) \ right) \\ = R \ left ({\ frac {d \ omega} {dt}} {\ hat {u}} _ {\ theta} (t) + \ omega {\ frac {d {\ hat {u }} _ {\ theta}} {dt}} \ right) \. \ end {align}}}

Производная по времени от u ^ θ (t) {\ displaystyle {\ hat {u}} _ {\ theta} (t)}{\displaystyle {\hat {u}}_{\theta }(t)}находится так же, как для u ^ R (t) {\ displaystyle {\ hat {u}} _ {R} (t)}{\ displaystyle {\ hat {u}} _ {R} (t)} . Опять же, u ^ θ (t) {\ displaystyle {\ hat {u}} _ {\ theta} (t)}{\displaystyle {\hat {u}}_{\theta }(t)}является единичным вектором, и его кончик очерчивает единичный круг с углом то есть π / 2 + θ. Следовательно, увеличение угла dθ на r → (t) {\ displaystyle {\ vec {r}} (t)}{\ vec {r}} (t) подразумевает u ^ θ (t) {\ displaystyle { \ hat {u}} _ {\ theta} (t)}{\displaystyle {\hat {u}}_{\theta }(t)}отслеживает дугу величины dθ, а как u ^ θ (t) {\ displaystyle {\ hat {u}} _ {\ theta} (t)}{\displaystyle {\hat {u}}_{\theta }(t)}ортогонален u ^ R (t) {\ displaystyle {\ hat {u}} _ {R} (t)}{\ displaystyle {\ hat {u}} _ {R} (t)} , мы имеем:

du ^ θ dt = - d θ dtu ^ R (t) = - ω u ^ R (t), {\ displaystyle {\ frac {d {\ hat {u}} _ {\ theta }} {dt}} = - {\ frac {d \ theta} {dt}} {\ hat {u}} _ {R} (t) = - \ omega {\ hat {u}} _ {R} ( t) \,}{\displaystyle {\frac {d{\hat {u}}_{\theta }}{dt}}=-{\frac {d\theta }{dt}}{\hat {u}}_{R}(t)=-\omega {\hat {u}}_{R}(t)\,}

где отрицательный знак необходим для сохранения u ^ θ (t) {\ displaystyle {\ hat {u}} _ {\ theta} (t)}{\displaystyle {\hat {u}}_{\theta }(t)}ортогонален u ^ R (t) {\ displaystyle {\ hat {u}} _ {R} (t)}{\ displaystyle {\ hat {u}} _ {R} (t)} . (В противном случае угол между u ^ θ (t) {\ displaystyle {\ hat {u}} _ {\ theta} (t)}{\displaystyle {\hat {u}}_{\theta }(t)}и u ^ R (t) {\ displaystyle {\ hat {u}} _ {R} (t)}{\ displaystyle {\ hat {u}} _ {R} (t)} будет уменьшаться с увеличением dθ.) См. единичный круг слева на рисунке 4. Следовательно, ускорение будет:

a → (t) = R (d ω dtu ^ θ (t) + ω du ^ θ dt) = R d ω dtu ^ θ (t) - ω 2 R u ^ R (t). {\ displaystyle {\ begin {align} {\ vec {a}} (t) = R \ left ({\ frac {d \ omega} {dt}} {\ hat {u}} _ {\ theta} ( t) + \ omega {\ frac {d {\ hat {u}} _ {\ theta}} {dt}} \ right) \\ = R {\ frac {d \ omega} {dt}} {\ hat {u}} _ {\ theta} (t) - \ omega ^ {2} R {\ hat {u}} _ {R} (t) \. \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {a}}(t)=R\left({\frac {d\omega }{dt}}{\hat {u}}_{\theta }(t)+\omega {\frac {d{\hat {u}}_{\theta }}{dt}}\right)\\=R{\frac {d\omega }{dt}}{\hat {u}}_{\theta }(t)-\omega ^{2}R{\hat {u}}_{R}(t)\.\end{aligned}}}

центростремительное ускорение - радиальная составляющая, направленная радиально внутрь:

a → R (t) = - ω 2 R u ^ R (t), {\ displaystyle {\ vec {a}} _ {R } (t) = - \ omega ^ {2} R {\ hat {u}} _ {R} (t) \,}{\displaystyle {\vec {a}}_{R}(t)=-\omega ^{2}R{\hat {u}}_{R}(t)\,}

, в то время как тангенциальная составляющая изменяет величину скорости:

a → θ (t) = R d ω dtu ^ θ (t) = d R ω dtu ^ θ (t) = d | v → (t) | d t u ^ θ (t). {\ displaystyle {\ vec {a}} _ {\ theta} (t) = R {\ frac {d \ omega} {dt}} {\ hat {u}} _ {\ theta} (t) = {\ frac {dR \ omega} {dt}} {\ hat {u}} _ {\ theta} (t) = {\ frac {d \ left | {\ vec {v}} (t) \ right |} {dt }} {\ hat {u}} _ {\ theta} (t) \.}{\ displaystyle {\ vec {a}} _ {\ theta} (t) = R {\ frac {d \ omega} {dt}} {\ hat {u}} _ {\ theta} (t) = {\ frac {dR \ omega} {dt}} {\ hat {u}} _ {\ theta} (t) = {\ frac {d \ left | {\ vec {v}} (t) \ right |} {dt}} {\ hat {u}} _ {\ theta} (t) \.}

Использование комплексных чисел

Круговое движение можно описать с помощью комплексных чисел. Пусть ось x будет действительной осью, а ось y {\ displaystyle y}y- мнимой осью. Положение тела тогда может быть задано как z {\ displaystyle z}z , сложный «вектор»:

z = x + iy = R (cos ⁡ [θ (t) ] + я грех ⁡ [θ (t)]) знак равно р ei θ (t), {\ displaystyle z = x + iy = R (\ cos [\ theta (t)] + i \ sin [\ theta (t) ]) = Re ^ {i \ theta (t)} \,}{\ displaystyle z = x + iy = R (\ cos [\ theta (t)] + i \ sin [\ theta (t)]) = Re ^ {я \ theta (t)} \,}

, где i - мнимая единица, и θ (t) {\ displaystyle \ theta (t)}\ theta (t) - аргумент комплексного числа как функции времени t.

Поскольку радиус постоянен:

R ˙ = R ¨ = 0, {\ displaystyle {\ dot {R}} = {\ ddot {R}} = 0 \,}{\ displaystyle {\ dot {R }} = {\ ddot {R}} = 0 \,}

где точка указывает на разницу во времени.

В этом обозначении скорость становится такой:

v = z ˙ = d (R ei θ [t]) dt = R d (ei θ [t]) dt = R ei θ (t) d (я θ [t]) dt знак равно я р θ ˙ (t) ei θ (t) = я ω R ei θ (t) = я ω z {\ displaystyle v = {\ dot {z}} = {\ frac {d \ left (Re ^ {i \ theta [t]} \ right)} {dt}} = R {\ frac {d \ left (e ^ {i \ theta [t]} \ right)} {dt} } = Re ^ {i \ theta (t)} {\ frac {d (i \ theta [t])} {dt}} = iR {\ dot {\ theta}} (t) e ^ {i \ theta ( t)} = i \ omega Re ^ {i \ theta (t)} = i \ omega z}{\ displaystyle v = {\ dot {z}} = {\ frac {d \ left (Re ^ {i \ theta [t]} \ right)} {dt} } = R {\ frac {d \ left (e ^ {i \ theta [t]} \ right)} {dt}} = Re ^ {i \ theta (t)} {\ frac {d (i \ theta [ t])} {dt}} = iR {\ dot {\ theta}} (t) e ^ {i \ theta (t)} = i \ omega Re ^ {i \ theta (t)} = i \ omega z }

, и ускорение станет:

a = v ˙ = i ω ˙ z + i ω z ˙ = ( i ω ˙ - ω 2) z = (i ω ˙ - ω 2) R ei θ (t) = - ω 2 R ei θ (t) + ω ˙ ei π 2 R ei θ (t). {\ displaystyle {\ begin {align} a = {\ dot {v}} = i {\ dot {\ omega}} z + i \ omega {\ dot {z}} = \ left (i {\ dot {\ omega}} - \ omega ^ {2} \ right) z \\ = \ left (i {\ dot {\ omega}} - \ omega ^ {2} \ right) Re ^ {i \ theta (t)} \\ = - \ omega ^ {2} Re ^ {i \ theta (t)} + {\ dot {\ omega}} e ^ {i {\ frac {\ pi} {2}}} Re ^ {i \ theta (t)} \. \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} a = {\ dot {v}} = i {\ dot {\ omega}} z + i \ omega {\ dot {z}} = \ left (i {\ dot {\ omega}} - \ omega ^ {2} \ right) z \\ = \ left (i {\ dot {\ omega}} - \ omega ^ {2} \ right) Re ^ { i \ theta (t)} \\ = - \ omega ^ {2} Re ^ {i \ theta (t)} + {\ dot {\ omega}} e ^ {i {\ frac {\ pi} {2 }}} Re ^ {я \ theta (t)} \. \ End {align}}}

Первый член противоположен по направлению вектору смещения, а второй перпендикулярен ему, как и предыдущие результаты, показанные ранее.

Скорость

На рисунке 1 показан уровень векторы скорости и ускорения для равномерного движения в четырех разных точках орбиты. Поскольку скорость v касается круговой траектории, никакие две скорости не указывают в одном направлении. Хотя объект имеет постоянную скорость, его направление постоянно меняется. Это изменение скорости вызвано ускорением a, величина которого (как и скорость) остается постоянной, но направление также всегда меняется. Ускорение направлено радиально внутрь (центростремительно ) и перпендикулярно скорости. Это ускорение известно как центростремительное ускорение.

Для траектории радиуса r, когда угол θ выметается, расстояние, пройденное на периферии орбиты, равно s = rθ. Следовательно, скорость движения по орбите равна

v = rd θ dt = r ω {\ displaystyle v = r {\ frac {d \ theta} {dt}} = r \ omega}{\displaystyle v=r{\frac {d\theta }{dt}}=r\omega },

, где угловой скорость вращения ω. (Путем перестановки ω = v / r.) Таким образом, v является константой, и вектор скорости v также вращается с постоянной величиной v с той же угловой скоростью ω.

Релятивистское круговое движение

В этом случае вектор трех ускорений перпендикулярен вектору трех скоростей,

u → ⋅ a → = 0. {\ displaystyle {\ vec { u}} \ cdot {\ vec {a}} = 0.}{\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {a}}=0.}

и квадрат собственного ускорения, выраженный как скалярный инвариант, одинаков во всех системах отсчета,

α 2 = γ 4 a 2 + γ 6 (U → ⋅ a →) 2, {\ Displaystyle \ alpha ^ {2} = \ gamma ^ {4} a ^ {2} + \ gamma ^ {6} ({\ vec {u}} \ cdot { \ vec {a}}) ^ {2},}{\ displaystyle \ alpha ^ {2} = \ gamma ^ {4} a ^ {2} + \ gamma ^ {6} ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {a}}) ^ {2},}

становится выражением для кругового движения,

α 2 = γ 4 a 2. {\ displaystyle \ alpha ^ {2} = \ gamma ^ {4} a ^ {2}.}{\ displaystyle \ alpha ^ {2} = \ gamma ^ {4} a ^ {2}.}

или, взяв положительный квадратный корень и используя трехкратное ускорение, мы приходим к правильному ускорению для кругового движения:

α = γ 2 v 2 r. {\ displaystyle \ alpha = \ gamma ^ {2} {\ frac {v ^ {2}} {r}}.}{\ displaystyle \ alpha = \ gamma ^ {2} {\ frac {v ^ {2}} {r}}.}

Ускорение

Левый кружок на рисунке 2 - это орбита, показывающая векторы скорости в два соседних момента времени. Справа эти две скорости перемещаются так, что их хвосты совпадают. Поскольку скорость постоянна, векторы скорости справа охватывают круг с течением времени. Для угла стреловидности dθ = ω dt изменение v представляет собой вектор под прямым углом к ​​v и имеет величину v dθ, что, в свою очередь, означает, что величина ускорения задана по

ac = vd θ dt = v ω = v 2 r {\ displaystyle a_ {c} = v {\ frac {d \ theta} {dt}} = v \ omega = {\ frac {v ^ {2 }} {r}}}{\ displaystyle a_ {c} = v {\ frac {d \ theta} {dt}} = v \ omega = {\ frac {v ^ {2}} {r}}}
Центростремительное ускорение для некоторых значений радиуса и величины скорости
| v |.. r1 м / с. 3,6 км / ч. 2,2 миль / ч2 м / с. 7,2 км / ч. 4,5 миль / ч5 м / с. 18 км / ч. 11 миль / ч10 м / с. 36 км / ч. 22 миль / ч20 м / с. 72 км / ч. 45 миль / ч50 м / с. 180 км / ч. 110 миль / ч100 м / с. 360 км / ч. 220 миль / ч
Медленная прогулка Велосипед Городской автомобиль Высший пилотаж
10 см. 3,9 дюймаЛабораторная. центрифуга 10 м / с. 1,0 г40 м / с. 4,1 г250 м / с. 25 g1,0 км / с. 100 g4,0 км / с. 410 g25 км / с. 2500 г100 км / с. 10000 г
20 см. 7,9 дюйма5,0 м / с. 0,51 г20 м / с. 2,0 г130 м / с. 13 г500 м / с. 51 г2,0 км / с. 200 г13 км / с. 1300 г50 км / с. 5100 г
50 см. 1,6 фута2,0 м / с. 0,20 г8,0 м / с. 0,82 г50 м / с. 5,1 г200 м / с. 20 г800 м / с. 82 г5,0 км / с. 510 г20 км / с. 2000 г
1 м. 3,3 футаДетская площадка. карусель 1,0 м / с. 0,10 г4,0 м / с. 0,41 г25 м / с. 2,5 г100 м / с. 10 г400 м / с. 41 г2,5 км / с. 250 г10 км / с. 1000 г
2 м. 6,6 футов500 мм / с. 0,051 г2,0 м / с. 0,20 г13 м / с. 1,3 г50 м / с. 5,1 г200 м / с. 20 g1,3 км / с. 130 g5,0 км / с. 510 g
5 м. 16 фут200 мм / с. 0,020 г800 мм / с. 0,082 г5,0 м / с. 0,51 г20 м / с. 2,0 г80 м / с. 8,2 г500 м / с. 51 г2,0 км / с. 200 г
10 м. 33 футаАмериканские горки. вертикальная петля 100 мм / с. 0,010 г400 мм / с. 0,041 г2,5 м / с. 0,25 г10 м / с. 1,0 г40 м / с. 4,1 г250 м / с. 25 г1,0 км / с. 100 г
20 м. 66 футов50 мм / с. 0,0051 г200 мм / с. 0,020 г1,3 м / с. 0,13 г5,0 м / с. 0,51 г20 м / с. 2 г130 м / с. 13 г500 м / с. 51 г
50 м. 160 футов20 мм / с. 0,0020 г80 мм / с. 0,0082 г500 мм / с. 0,051 г2,0 м / с. 0,20 г8,0 м / с. 0,82 g50 м / с. 5,1 g200 м / с. 20 g
100 м. 330 футовАвтострада. на- наклон 10 мм / с. 0,0010 г40 мм / с. 0,0041 г250 мм / с. 0,025 г1,0 м / с. 0,10 г4,0 м / с. 0,41 г25 м / с. 2,5 г100 м / с. 10 г
200 м. 660 футов5,0 мм / с. 0,00051 г20 мм / с. 0,0020 г130 м / с. 0,013 г500 мм / с. 0,051 г2,0 м / с. 0,20 г13 м / с. 1,3 г50 м / с. 5,1 г
500 м. 1600 футов2,0 мм / с. 0,00020 г8,0 мм / с. 0,00082 г50 мм / с. 0,0051 г200 мм / с. 0,020 г800 мм / с. 0,082 г5,0 м / с. 0,51 г20 м / с. 2,0 г
1 км. 3300 футовВысокоскоростная. железная дорога 1,0 мм / с. 0,00010 г4,0 мм / с. 0,00041 г25 мм / с. 0,0025 г100 мм / с. 0,010 г400 мм / с. 0,041 г2,5 м / с. 0,25 г10 м / с. 1,0 г

Не- равномерное

Неравномерное круговое движение. svg

В неравномерном круговом движении объект движется по круговой траектории с переменной скоростью. Поскольку скорость изменяется, в дополнение к нормальному ускорению существует тангенциальное ускорение.

При неравномерном круговом движении чистое ускорение (a) происходит в направлении Δv, которое направлено внутри круга, но не проходит через его центр (см. Рисунок). Чистое ускорение можно разделить на два компонента: тангенциальное ускорение и нормальное ускорение, также известное как центростремительное или радиальное ускорение. В отличие от тангенциального ускорения центростремительное ускорение присутствует как при равномерном, так и при неравномерном круговом движении.

Freebody round.svg

При неравномерном круговом движении нормальная сила не всегда направлена ​​в противоположном направлении от веса. Вот пример, когда объект движется по прямому пути, а затем снова зацикливает петлю на прямой путь.

Freebody object.svg

На этой диаграмме показана нормальная сила, направленная в других направлениях, а не в противоположных направлениях силе веса. Нормальная сила фактически представляет собой сумму радиальной и тангенциальной сил. Составляющая силы веса отвечает за касательную силу здесь (мы пренебрегли силой трения). Радиальная сила (центростремительная сила) возникает из-за изменения направления скорости, как обсуждалось ранее.

При неравномерном круговом движении нормальная сила и вес могут указывать в одном направлении. Обе силы могут указывать вниз, но объект останется на круговой траектории, не падая прямо вниз. Сначала давайте посмотрим, почему нормальная сила может указывать вниз. На первой диаграмме предположим, что объект - это человек, сидящий внутри плоскости, две силы указывают вниз только тогда, когда он достигает вершины круга. Причина этого в том, что нормальная сила - это сумма тангенциальной силы и центростремительной силы. Касательная сила равна нулю вверху (поскольку работа не выполняется, когда движение перпендикулярно направлению приложенной силы. Здесь сила веса перпендикулярна направлению движения объекта в верхней части круга) и точки центростремительной силы вниз, поэтому нормальная сила также будет направлена ​​вниз. С логической точки зрения, человек, который летит в самолете, окажется вверху круга вверх ногами. В этот момент сиденье человека фактически давит на человека, что является нормальной силой.

Normal and weight.svg

Причина, по которой объект не падает под действием только направленной вниз силы, проста. Подумайте, что удерживает предмет после того, как его бросили. Когда объект подбрасывается в воздух, на него действует только направленная вниз сила земной гравитации. Это не означает, что если объект подбросить в воздух, он мгновенно упадет. Этот объект удерживает в воздухе его скорость. Первый из законов движения Ньютона гласит, что инерция объекта удерживает его в движении, и поскольку объект в воздухе имеет скорость, он будет продолжать двигаться в этом направлении.

Переменная угловая скорость для объекта, движущегося по круговой траектории, также может быть достигнута, если вращающееся тело не имеет однородного распределения массы. Для неоднородных объектов необходимо подходить к проблеме, как описано в.

Приложения

Решение приложений, имеющих дело с неравномерным круговым движением, включает анализ сил. При равномерном круговом движении единственной силой, действующей на объект, движущийся по кругу, является центростремительная сила. При неравномерном круговом движении на объект действуют дополнительные силы из-за ненулевого тангенциального ускорения. Хотя на объект действуют дополнительные силы, сумма всех сил, действующих на объект, должна быть равна центростремительной силе.

F net = ma F net = mar F net = mv 2 r F net = F c {\ displaystyle {\ begin {align} F_ {net} = ma \, \\ F_ {net} = ma_ { r} \, \\ F_ {net} = {\ frac {mv ^ {2}} {r}} \, \\ F_ {net} = F_ {c} \, \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}F_{net}=ma\,\\F_{net}=ma_{r}\,\\F_{net}={\frac {mv^{2}}{r}}\,\\F_{net}=F_{c}\,\end{aligned}}}

Радиальное ускорение используется при расчете общей силы. Касательное ускорение не используется при вычислении общей силы, поскольку оно не отвечает за удержание объекта на круговой траектории. Единственное ускорение, обеспечивающее движение объекта по кругу, - это радиальное ускорение. Поскольку сумма всех сил представляет собой центростремительную силу, рисование центростремительной силы на диаграмме свободного тела не обязательно и обычно не рекомендуется.

Используя F net = F c {\ displaystyle F_ {net} = F_ {c} \,}F _ {{net}} = F_ {c} \, , мы можем нарисовать диаграммы свободного тела, чтобы перечислить все силы, действующие на затем установите для объекта значение F c {\ displaystyle F_ {c} \,}F_ {c} \, . После этого мы можем решить, что когда-либо неизвестно (это может быть масса, скорость, радиус кривизны, коэффициент трения, нормальная сила и т. Д.). Например, изображение выше, показывающее объект в верхней части полукруга, будет выражено как F c = n + mg {\ displaystyle F_ {c} = n + mg \,}{\ displaystyle F_ {c} = n + mg \,} .

При равномерном круговом движении полное ускорение объекта по круговой траектории равно радиальному ускорению. Из-за наличия тангенциального ускорения в неравномерном круговом движении это больше не выполняется. Чтобы найти полное ускорение объекта в неоднородной окружности, найдите векторную сумму тангенциального ускорения и радиального ускорения.

ar 2 + at 2 = a {\ displaystyle {\ sqrt {a_ {r} ^ {2} + a_ {t} ^ {2}}} = a}{\ displaystyle {\ sqrt {a_ {r} ^ {2 } + a_ {t} ^ {2}}} = a}

Радиальное ускорение по-прежнему равно v 2 r {\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {r}}}{\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {r}}} . Касательное ускорение - это просто производная скорости в любой заданной точке: a t = d v d t {\ displaystyle a_ {t} = {\ frac {dv} {dt}} \,}{\displaystyle a_{t}={\frac {dv}{dt}}\,}. Эта сумма квадратов отдельных радиальных и тангенциальных ускорений верна только для кругового движения; для общего движения в плоскости с полярными координатами (r, θ) {\ displaystyle (r, \ theta)}(r,\theta), член Кориолиса ac = 2 (drdt) (d θ dt) {\ displaystyle a_ {c} = 2 ({\ frac {dr} {dt}}) ({\ frac {d \ theta} {dt}})}{\displaystyle a_{c}=2({\frac {dr}{dt}})({\frac {d\theta }{dt}})}следует добавить к в {\ displaystyle a_ {t}}a_{t}, тогда как радиальное ускорение становится ar = - v 2 r + d 2 rdt 2 {\ displaystyle a_ {r} = {\ frac {-v ^ {2}} {r}} + {\ frac {d ^ {2} r} {dt ^ {2}}}}{\ displaystyle a_ {r} = {\ frac {-v ^ {2}} {r}} + {\ frac {d ^ {2} r} {dt ^ {2}}}} .

См. Также

Ссылки

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-15 08:26:02
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте