Ковариантная производная

редактировать

Задание производных по касательно мирам разнообразия

В математике ковариантная производная - это способ задания производной вдоль векторных касательныхов многообразия. В качестве альтернативы, ковариантная производная - это способ введения и работы с связью в множестве с помощью дифференциального оператора, в отличие от подхода, данного принципа соединение на связке кадров - см. аффинное соединение. В частном случае разнообразия, изометрически вложенного в многомерное евклидово пространство, ковариантная производная может рассматриваться как ортогональная проекция евклидовой производной по области на касательное пространство. В этом случае евклидова производная разбивается на две части: внешнюю нормальную компоненту (зависящую от вложения) и внутреннюю ковариантную производную компоненту.

Название мотивировано важностью изменения координат в физике : ковариантная производная преобразует ковариантно при общем преобразовании единицы измерения, что есть, линейно через матрицу Якоби преобразования.

В этой статье представлено введение в ковариантную производную функцию поля по отношению к векторному полюсу, как на языке без координат и с использованием данной системы координат и традиционной индексной нотации. Ковариантная производная тензорного представляет собой расширение той же концепции. Ковариантная производная напрямую обобщает понятие дифференциации, связанное с связью на векторном пучке, также известное как соединение Кошуля .

Содержание

1 История
2 Мотивация
- 2.1 Примечания
3 Неформальное определение с использованием вложения в евклидово пространство
4 Формальное определение
- 4.1 Функции
- 4.2 Векторные поля
- 4.3 Координатные поля
- 4.4 Тензорные поля
5 Описание координат
6 Примеры
7 Обозначение
8 Производная вдоль кривой
9 Связь с производной Ли
10 См. Также
11 Примечания
12 Ссылки

История

Исторически, на рубеже 20-го года ковариантная производная была введена Грегорио Риччи-Курбастро и Туллио Леви- Чивита в теорию римана и псевдориманова геометрия. Риччи и Леви-Чивита (следуя идеям Элвина Бруно Кристоффеля ) заметили, что символы Кристоффеля, используемые для определения кривизны, также могут обеспечивать понятие дифференцирование, который обобщает классическую производную по направлению векторных полей на множестве. Эта новая производная - связь Леви-Чивита - была ковариантной в том смысле, что удовлетворяла требованию Римана о том, что геометрические объекты не должны зависеть от их описания в системе координат.

Вскоре другие математики, в том числе Герман Вейл, Арнольдус Схоутен и Эли Картан, отметили, что ковариантный производная может быть определена абстрактно без наличие метрики . Решающей особенностью была определенная точная зависимость от метрики, а то, что символы Кристоффеляяли определенному закону преобразования второго порядка. Это преобразование может служить отправной точкой для определения ковариантным образом. Таким образом, теория ковариантного дифференцирования отделилась от строго риманова контекста, чтобы включить более широкий диапазон геометрии.

В 1940-х годах практики дифференциальной геометрии начали вводить другие понятия ковариантного дифференцирования в целом связки, которые, в отличие от классических связок, представляли интерес для геометрии, не часть тензорного анализа масштабия. По большому счету, эти обобщенные ковариантные производные нужно было специально специфицировать с помощью некоторой версии концепции связи. В 1950 году Жан-Луи Кошул объединил эти новые идеи ковариантного дифференцирования в том, что сегодня известно как связь Кошуля или связь на векторном расслоении. Используя идеи из когомологий алгебры Ли, Кошул успешно преобразовал многие аналитические особенности ковариантного дифференцирования в алгебраические. В частности, в связи Кошуля устранили необходимость в неудобных манипуляциях с символами Кристоффеля (и другими не тенными объектами) в дифференциальной геометрии. Таким образом, они быстро вытеснили классическое понятие ковариантной производной во многих трактовках этого предмета после 1950 года.

Мотивация

Ковариантная производная является обобщением производной по направлению из безопасного исчисления. Как и в случае производной по направлению, ковариантная производная - это правило $∇ uv {\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {u}} {\ mathbf {v}}}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {u}} {\ mathbf {v}}}$ , которое принимает в качестве свои входные данные: (1) вектор u, определенное поле , v, определенное в окрестностях P.Выходными данными $∇ УФ (P) {\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf { u}} {\ mathbf {v}} (P)}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {u}} {\ mathbf {v}} (P)}$ , также в точке P. Основное отличие от обычного направленного производного состоит в том, что $∇ uv {\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {u}} {\ mathbf {v}}}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {u}} {\ mathbf {v}}}$ должен в определенном точном смысле не зависеть от способа, он выражается в системе координат .

Вектор может быть описан как список чисел в терминах базиса, но как геометрический объект сохраняет свою независимость независимо от того, как он решает это в основе. Это постоянство идентичности отражается в том факте, когда вектор записывается в одном базисе, а затем изменяется, меняется в соответствии с формулой базиса. Такой закон преобразован как ковариантное преобразование. Ковариантная производная должна изменяться при изменении таким же образом, как и базис: ковариантная производная должна изменяться ковариантным преобразованием (отсюда и название).

В случае евклидова пространства, производная среда определяется как разность между двумя деревьями в двух соседних точках. В такой системе переводит один из векторов в начало другого, сохраняя его параллельность. В декартовой системе координат (фиксированная ортонормированная ) «Сохранение параллельности» Сохранение постоянных компонентов. Евклидово пространство представляет собой простейший пример: ковариантную производную, которая получается путем взятия обычной производной по компонентам в направлении с районом между двумя соседними точками.

В общем случае, однако, необходимо учитывать изменение системы координат. Например, если та же ковариантная производная записана в полярных координатах на двухмерной евклидовой плоскости, то она содержит дополнительные термины, которые описывают, как сама координатная сетка «вращается». В других термины описывают, как координатная сетка расширяется, сжимается, скручивается, переплетается и т. Д. В этом случае «Сохранение параллельности» не означает сохранение постоянных компонентов при перемещении.

Рассмотрим пример движения по кривой γ (t) в евклидовой плоскости. В полярных координатах γ может быть записан в терминах его радиальных и угловых координат как γ (t) = (r (t), θ (t)). Вектор в конкретный момент времени t (например, ускорение кривой) выражается в терминах $(er, e θ) {\ displaystyle (\ mathbf {e} _ {r}, \ mathbf {e} _ {\ theta})}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {e} _ {r}, \ mathbf {e} _ {\ theta})}$ , где $er {\ displaystyle \ mathbf {e} _ {r}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {r}}$ и $e θ {\ displaystyle \ mathbf {e} _ {\ theta} }$ ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {\ theta}}$ - служебные системы координатных координат, используемые касательные компоненты для разложения на радиусы и тангенциальные компоненты. Немного позже базис в полярных координатах кажется слегка повернутым относительно первого набора. Ковариантная производная базисных векторов (символы Кристоффеля ) природа для выражения этого изменения.

В искривленном появлении, как рассматриваемая поверхность Земли (рассматриваемая как сфера переносится), не очень хорошо определен, и его аналог, параллельный перенос, зависит от пути, по которому переносится вектор.

Вектор e на глобусе на экваторе в точке Q направлен на север. Предположим, мы параллельно переносим вектор вдоль экватора до точки P, а затем (сохраняя его продолжение себе) перетаскиваем его по меридиану к полюсу N и (сохраняя направление там) позволяем переносим его вдоль другого меридиан возвращается к Q. замечаем, что вектор, переносимый по замкнутому контуру, не возвращается как тот же вектор; вместо этого у него другая ориентация. Этого не произошло бы в евклидовом критическом пространстве. Тот же эффект можно заметить, если мы протащим вектор по бесконечно малой замкнутой последовательной последовательностью в двух направлениях, а обратно. Бесконечно малое изменение даты является мерой кривизны.

Замечания

Определение ковариантной производной не использует метрику в визу. Однако для каждой метрики существует уникальная свободная от кручения ковариантная производная, называемая связностью Леви-Чивиты, такая, что ковариантная производная метрики равна нулю.
свойства производной подразумевают, что $∇ vu {\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u}}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u}}$ таким же образом зависит от сколь угодно малой окрестности точка p как например производная скалярной функции вдоль кривой в данной точке p зависит от сколь угодно малой окрестности точки p.
Информация о достопримечательностях ковариантной производной может быть установка для определения Авторский перенос вектор. Также кривизна, кручение и геодезические могут быть только в терминах ковариантной производной или другой части вариации идеи линейной связи ..

Неформальное определение с использованием вложения в евклидово пространство

Предположим, риманово многообразие $M {\ displaystyle M}$ $M$ вложено в евклидово пространство $(R n, ⟨⋅, ⋅⟩) {\ displaystyle (\ mathbb {R} ^ {n}, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {R} ^ {n}, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}$ через последовательно дифференцируемый (C) отображение $Ψ →: р d ⊃ U → R n {\ displaystyle {\ vec {\ Psi}}: \ mathbb {R} ^ {d} \ supset U \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ vec \ Psi: \ R ^ d \ supset U \ rightarrow \ R ^ n$ такое, что касательное пространство в точке $Ψ → (p) ∈ M {\ displaystyle {\ vec {\ Psi}} (p) \ in M}$ $\ vec \ Psi ( п) \ в M$ охватывает

{∂ Ψ → ∂ ​​xi | п: я ∈ {1,…, d}} {\ displaystyle \ left \ lbrace \ left. {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {i}}} \ right | _ {p}: i \ in \ lbrace 1, \ dots, d \ rbrace \ right \ rbrace}

\ left \ lbrace \ left. {\ frac {\ partial {\ vec \ Psi}} {\ partial x ^ {i}}} \ right | _ {p}: i \ in \ lbrace 1, \ dots, d \ rbrace \ right \ rbrace

и скалярное произведение на $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ согласована с метрикой на M:

gij = ⟨∂ Ψ → ∂ xi, ∂ Ψ → ∂ xj⟩. {\ displaystyle g_ {ij} = \ left \ langle {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {i}}}, {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi }}} {\ partial x ^ {j}}} \ right \ rangle.}

{\ displaystyle g_ {ij} = \ left \ langle {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {i}}}, {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {j}}} \ right \ rangle.}

(Временная метрика универсия всегда считается регулярной, условием совместимости подразумевает линейную независимость касательных отношений векторов частных производных.)

Для касательного отношения векторов частных производных. отношения векторов частных производных. поля $V → знак равно vj ∂ Ψ → ∂ xj {\ displaystyle {\ vec {V}} = v ^ {j} {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {j}}} \,}$ ${\ displaystyle {\ vec {V}} = v ^ {j} {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {j}}} \,}$ , имеем

∂ V → ∂ xi = ∂ vj ∂ xi ∂ Ψ → ∂ xj + vj ∂ 2 Ψ → ∂ xi ∂ xj {\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ vec {V}}} {\ partial x ^ {i}}} = {\ frac {\ partial v ^ {j}} {\ partial x ^ {i}}} {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {j}}} + v ^ {j} {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ { i} \, \ partial x ^ {j}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ vec {V}}} {\ partial x ^ {i}}} = {\ frac {\ partial v ^ {j}} {\ partial x ^ {i}}} {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {j}}} + v ^ {j} {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {i} \, \ partial x ^ {j}}}}

Последний член не является касательным к M, но может быть выражен как линейная комбинация базовых элементов касательного пр остра нства с использованием символов Кристоффеля как линейные множители плюс вектор, ортогональный касательной пространство:

∂ 2 Ψ → ∂ xi ∂ xj = Γ kij ∂ Ψ → ∂ xk + n → {\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {\ Psi} }} {\ partial x ^ {i} \, \ partial x ^ {j}}} = {\ Gamma ^ {k}} _ {ij} {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}}} { \ partial x ^ {k}}} + {\ vec {n}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {i} \, \ partial x ^ {j}}} = {\ Gamma ^ {k}} _ {ij} {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial х ^ {k}}} + {\ vec {n}}}

В случае Лев связии-Чивита ковариантная производная $∇ ei V → {\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {i}} {\ vec {V}}}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {i }} {\ vec {V}}}$ , также записывается $∇ i V → {\ displaystyle \ nabla _ {i} {\ vec {V}}}$ $\ nabla _ {i } {\ vec V }$ , как ортогональная проекция производной на касательном пространстве:

∇ ei V →: = ∂ V → ∂ xi - n → = (∂ vk ∂ xi + vj Γ kij) ∂ Ψ → ∂ xk. {\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {i}} {\ vec {V}}: = {\ frac {\ partial {\ vec {V}}} {\ partial x ^ {i}}} - {\ vec {n}} = \ left ({\ frac {\ partial v ^ {k}} {\ partial x ^ {i}}} + v ^ {j} {\ Gamma ^ {k}} _ { ij} \ right) {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {k}}}.}

{\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {i}} {\ vec {V}}: = {\ frac {\ partial {\ vec {V}}} {\ partial x ^ {i}}} - {\ vec {n}} = \ left ({\ frac {\ partial v ^ {k}} {\ partial x ^ {i }}} + v ^ {j} {\ Gamma ^ {k}} _ {ij} \ right) {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {k}}}. }

Время $n → {\ displaystyle {\ vec {n} }}$ $\ vec n$ ортогонален касательному пространству, можно решить нормальные уравнения:

⟨∂ 2 Ψ → ∂ xi ∂ xj, ∂ Ψ → ∂ xl⟩ = Γ kij ⟨∂ Ψ → ∂ xk, ∂ Ψ → ∂ xl⟩ знак равно Γ kijgkl {\ displaystyle \ left \ langle {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {i} \, \ partial x ^ {j}} }, {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {l}}} \ right \ rangle = {\ Gamma ^ {k}} _ {ij} \ left \ langle {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {k}}}, {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {l}}} \ right \ rangle = {\ Gamma ^ {k}} _ {ij} \, g_ {kl}}

{\ displaystyle \ left \ langle {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {\ Psi}}} { \ partial x ^ {i} \, \ partial x ^ {j}}}, {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {l}}} \ right \ rangle = { \ Gamma ^ {k}} _ {ij} \ left \ langle {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {k}}}, {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ par tial x ^ {l}}} \ right \ rangle = {\ Gamma ^ {k}} _ {ij} \, g_ {kl}}

С другой стороны,

∂ gab ∂ xc = ⟨∂ 2 Ψ → ∂ xc ∂ xa, ∂ Ψ → ∂ ​​xb⟩ + ⟨∂ Ψ → ∂ xa, ∂ 2 Ψ → ∂ xc ∂ xb⟩ {\ displaystyle {\ frac {\ partial g_ {ab}} {\ partial x ^ {c}}} = \ left \ langle {\ frac {\ partial ^ {2 } {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {c} \, \ partial x ^ {a}}}, {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}}}} {\ частичный x ^ {b}}} \ right \ rangle + \ left \ langle {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {a}}}, {\ frac {\ partial ^ { 2} {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {c} \, \ partial x ^ {b}}} \ right \ rangle}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial g_ {ab}} {\ partial x ^ {c}}} = \ left \ langle {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {c} \, \ partial x ^ {a}}}, {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}} } {\ partial x ^ {b}}} \ right \ rangle + \ left \ langle {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {a}}}, {\ frac { \ partial ^ {2} {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {c} \, \ partial x ^ {b}}} \ right \ rangle}

подразумевает

(∂ gjk ∂ xi ∂ gki ∂ xj ∂ gij ∂ xk) = (0 1 1 1 0 1 1 1 1 0) (⟨∂ Ψ → ∂ xi, ∂ 2 Ψ → ∂ xj ∂ xk⟩ ⟨∂ Ψ → ∂ xj, ∂ 2 Ψ → ∂ xk ∂ xi⟩ ⟨∂ Ψ → ∂ xk, ∂ 2 Ψ → ∂ xi ∂ xj⟩) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ partial g_ {jk}} {\ partial x ^ {i}}} \ \ {\ frac {\ partial g_ {ki}} {\ partial x ^ {j}}} \\ {\ frac {\ partial g_ {ij}} {\ partial x ^ {k}}} \ end {pmatrix} } = {\ begin {pmatrix} 0 1 1 \\ 1 0 1 \\ 1 1 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ left \ langle {\ frac {\ partial { \ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {i}}}, {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {j} \, \ partial x ^ {k}}} \ right \ rangle \\ \ left \ langle {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {j}}}, {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {\ Psi}}} { \ частичный x ^ {k} \, \ partial x ^ {i}}} \ ri ght \ rangle \\\ left \ langle {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ { k}}}, {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {i} \, \ partial x ^ {j}}} \ right \ rangle \ end { pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ partial g_ {jk}} {\ partial x ^ {i}} } \\ {\ frac {\ partial g_ {ki}} {\ partial x ^ {j}}} \\ {\ frac {\ partial g_ {ij}} {\ partial x ^ {k}}} \ end { pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 1 1 \\ 1 0 1 \\ 1 1 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ left \ langle {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ частичный x ^ {i}}}, {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {j} \, \ partial x ^ {k}}} \ right \ rangle \\\ left \ langle {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {j}}}, {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {k} \, \ partial x ^ {i}}} \ right \ rangle \\\ left \ langle {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {k}}}, {\ frac {\ partial ^ { 2} {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {i} \, \ partial x ^ {j}}} \ right \ rangle \ end {pmatrix}}}

(используя симметрию скалярного произведения и меняя порядок частных дифференцирования)

∂ gjk ∂ xi + ∂ gki ∂ xj - ∂ gij ∂ xk = 2 ⟨∂ Ψ → ∂ xk, ∂ 2 Ψ → ∂ xi ∂ xj⟩ {\ Displaystyle {\ frac {\ partial g_ {jk}} {\ partial x ^ {i}}} + {\ frac {\ partial g_ {ki}} {\ partial x ^ {j}}} - {\ frac {\ partial g_ {ij}} {\ partial x ^ {k}}} = 2 \ left \ langle {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {k} }}, {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {i} \, \ partial x ^ {j}}} \ right \ ra ngl e}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial g_ {jk}} {\ partial x ^ {i}}} + {\ frac {\ частичный g_ {ki}} {\ partial x ^ {j}}} - {\ frac {\ partial g_ {ij}} {\ partial x ^ {k}}} = 2 \ left \ langle {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {k}}}, {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {i} \, \ частичный x ^ {j}}} \ right \ rangle}

и дает символы Кристоффеля для связи Леви-Чивиты в терминах метрики:

gkl Γ kij = 1 2 (∂ gjl ∂ xi + ∂ gli ∂ xj - ∂ gij ∂ xl). {\ displaystyle g_ {kl} {\ Gamma ^ {k}} _ {ij} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial g_ {jl}} {\ partial x ^ { i}}} + {\ frac {\ partial g_ {li}} {\ partial x ^ {j}}} - {\ frac {\ partial g_ {ij}} {\ partial x ^ {l}}} \ right).}

{\ displaystyle g_ {kl} {\ Gamma ^ {k}} _ {ij} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial g_ { jl}} {\ partial x ^ {i}}} + {\ frac {\ partial g_ {li}} {\ partial x ^ {j}}} - {\ frac {\ par tial g_ {ij}} {\ partial x ^ {l}}} \ right).}

Для очень примера примера, отражающего суть вышеприведенного описания, нарисуйте круг на плоском листе бумаги. Двигайтесь по кругу с постоянной скоростью. Производная вашей скорости, ваш вектор ускорения, всегда направлен радиально внутрь. Скатайте этот лист бумаги в цилиндр. Теперь (евклидова) производная скорость компонента, иногда внутрь оси цилиндра, в зависимости от того, что приближается к солнцестоянию или равноденствию. И наоборот, в точке (1/4 круга круга), когда скорость вдоль изгиба цилиндра, внутреннее ускорение является максимальным.) Это (евклидова) нормальная компонента. Компонент ковариантной производной - это элемент параллельной поверхности цилиндра, и он такой же, как и перед скручиванием листа в цилиндр.

Формальное определение

Ковариантная производная - это (Кошулская) связь на касательном пучке и других тензорных связках : он дифференцирует данной поля аналогично обычному дифференциалу функций. Определение распространяется на дифференциацию двойников векторных полей (т. Е. ковекторных полей) и произвольных тензорных полей уникальным способом, который обеспечивает совместимость с тензорным произведением и операциями трассировки (тензорное сжатие).

Функции

Дана точка pия разнообразная, вещественная функция f на множестве и касательный вектор v в точке p, ковариантная производная f в точке p вдоль v - скаляр в точке p, обозначаемый $(∇ vf) p {\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} f \ right) _ {p}}$ ${\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} f \ right) _ {p}}$ , который представляет главная часть изменения значения f, когда аргумент f изменяется бесконечно малымом ущерба v . (Это дифференциал функции f, вычисленный относительно вектора v .) Формально существует дифференцируемая кривая $ϕ: [- 1, 1] → M {\ displaystyle \ phi: [- 1, 1] \ to M}$ ${\ displaystyle \ phi : [- 1,1] \ to M}$ такой, что $ϕ (0) = p {\ displaystyle \ phi (0) = p}$ ${\ displaystyle \ phi (0) = p}$ и $ϕ ′ (0) = v {\ displaystyle \ phi '(0) = \ mathbf {v}}$ $\phi '(0)=\mathbf {v}$ , а ковариантная производная f в точке p определяется как

(∇ vf) p = (f ∘ ϕ) ′ (0) = lim t → 0 t - 1 (f [ϕ (t)] - f [p]). {\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} f \ right) _ {p} = \ left (f \ circ \ phi \ right) '\ left (0 \ right) = \ lim _ {t \ to 0} t ^ {- 1} \ left (f \ left [\ phi \ left (t \ right) \ right] -f \ left [p \ right] \ right).}

\left(\nabla _{\mathbf {v} }f\right)_{p}=\left(f\circ \phi \right)'\left(0\right)=\lim _{t\to 0}t^{-1}\left(f\left[\phi \left(t\right)\right]-f\left[p\right]\right).

Когда v - векторное поле, ковариантная производная $∇ vf {\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} f}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} f}$ - это функция, которая ассоциируется с каждой точкой p в общей области f и v скаляр $(∇ vf) p {\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} f \ right) _ {p}}$ ${\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} f \ right) _ {p}}$ . Это совпадает с обычной производной Ли функции f вдоль поля v.

Векторные поля

A ковариантной производной $∇ {\ displaystyle \ nabla}$ $\ nabla$ в точке точка p на гладком разнообразии сопоставляет касательный вектор $(∇ vu) p {\ displaystyle (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u}) _ {p}}$ ${\ displaystyle (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u}) _ {p}}$ к каждой пара $(u, v) {\ displaystyle (\ mathbf {u}, \ mathbf {v})}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {u}, \ mathbf {v})}$ , состоящая из касательного инструмента v в точке p и точке поля u определено в окрестностях, так что выполняются следующие свойства (для любых векторов v, xи y в p, присутствуют поля u и w, определенно в окрестностях p, скалярные значения g и h в p и скалярная функция f, определенная в окрестностях p):

$(∇ vu) p {\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u } \ right) _ {p}}$ ${\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf { u} \ right) _ {p}}$ линейно по $v {\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf {v}$ поэтому
$(∇ gx + hyu) p = (∇ xu) pg + (∇ yu) ph {\ displaystyle \ le ft (\ nabla _ {g \ mathbf {x}) + h \ mathbf {y}} \ mathbf {u} \ right) _ {p} = \ left (\ nabla _ {\ mathbf {x}} \ mathbf { u} \ right) _ {p} g + \ left (\ nabla _ {\ mathbf {y}} \ mathbf {u} \ right) _ {p} h}$ ${\ displaystyle \ left (\ nabla _ {g \ mathbf {x} + h \ mathbf {y}} \ mathbf {u} \ right) _ {p} = \ left (\ nabla _ {\ mathbf {x}} \ mathbf {u} \ right) _ {p} g + \ left (\ nabla _ {\ mathbf {y}} \ mathbf {u} \ right) _ {p} h}$
$(∇ vu) p {\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} \ right) _ {p}}$ ${\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf { u} \ right) _ {p}}$ является аддитивным в $u {\ displaystyle \ mathbf {u}}$ $\ mathbf {u}$ , поэтому:
$(∇ v [u + ш]) п знак равно (∇ vu) п + (∇ vw) п {\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ left [\ mathbf {u} + \ mathbf {w} \ right] \ справа) _ {p} = \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} \ right) _ {p} + \ слева (\ набла _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {w} \ right) _ {p}}$ ${\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ left [\ mathbf {u} + \ mathbf {w} \ right] \ right) _ {p} = \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} \ right) _ {p} + \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {w} \ right) _ {p}}$
$(∇ vu) p {\ displaystyle (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf { u}) _ {p}}$ ${\ displaystyle (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u}) _ {p}}$ подчиняется правило продукта ; то есть, где $∇ vf {\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} f}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} f}$ определено выше,
$(∇ v [fu]) p = f (p) ( ∇ vu) п + (∇ vf) щенок {\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ left [f \ mathbf {u} \ right] \ right) _ {p} = f (p) \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u}) _ {p} + (\ nabla _ {\ mathbf {v}} f \ right) _ {p} \ mathbf {u} _ { p}}$ ${\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ left [f \ mathbf {u} \ right] \ right) _ {p} = f (p) \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u}) _ {p} + (\ nabla _ {\ mathbf {v}} f \ right) _ {p} \ mathbf {u} _ {p}}$ .

Если u и v являются векторными полями, определенными в общем домене, то $∇ vu {\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u}}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u}}$ обозначает новое поле, значение которого в каждой точке касательного $(∇ vu) p {\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} \ right) _ {p}}$ ${\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf { u} \ right) _ {p}}$ . Обратите внимание, что $(∇ vu) p {\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} \ right) _ {p}}$ ${\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf { u} \ right) _ {p}}$ зависит не только от значения u и v в точке p, но также и на значениях u в бесконечно малой окрестности p из-за последнего свойства, правила произведения.

Поля ковекторов

Дано поле ковекторов (или одноформных ) $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ определено в окрестностях p, его ковариантной производной $(∇ v α) p {\ displaystyle (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ alpha) _ {p}}$ ${\ displaystyle (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ alpha) _ {p}}$ определяется таким образом, чтобы результирующая операция была совместима с тензорным сжатием и правилом произведения. То есть $(∇ v α) p {\ displaystyle (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ alpha) _ {p}}$ ${\ displaystyle (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ alpha) _ {p}}$ определяется как единственная форма в p такое, что для всех векторных полей u в окрестностях p

(∇ v α) p (up) = ∇ v [α (u)] p - α p [(∇ ву) п]. {\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ alpha \ right) _ {p} \ left (\ mathbf {u} _ {p} \ right) = \ nabla _ {\ mathbf {v} } \ left [\ alpha \ left (\ mathbf {u} \ right) \ right] _ {p} - \ alpha _ {p} \ left [\ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf { u} \ right) _ {p} \ right].}

{\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ alpha \ right) _ {p} \ left (\ mathbf {u} _ {p} \ right) = \ nabla _ {\ mathbf {v}} \ left [\ альфа \ влево (\ mathbf {u} \ right) \ right] _ {p} - \ alpha _ {p} \ left [\ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} \ right) _ {p} \ right].}

Ковариантная производная ковекторного поля вдоль ближнего поля v снова является ковекторным полем.

Тензорные поля

После того, как ковариантная производная определена для полей векторов и ковекторов, ее можно определить для произвольных тензорных полей, наложив следующие тождества для каждой пары тензоров поля $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ и $ψ {\ displaystyle \ psi \,}$ $\ psi \,$ в окрестности точки p:

∇ v (φ ⊗ ψ) п знак равно (∇ v φ) п ⊗ ψ (p) + φ (p) ⊗ (∇ v ψ) p, {\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} \ left (\ varphi \ otimes \ psi \ right) _ {p} = \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ varphi \ right) _ {p} \ otimes \ psi (p) + \ varphi (p) \ otimes \ left (\ nabla _ { \ mathbf {v}} \ psi \ right) _ {p},}

{\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} \ left (\ varphi \ otimes \ psi \ right) _ {p} = \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ varphi \ right) _ {p} \ otimes \ psi (p) + \ varphi (p) \ otimes \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ psi \ right) _ {p},}

и для $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ и $ψ {\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ той же валентности

∇ v (φ + ψ) p = (∇ v φ) p + (∇ v ψ) p. {\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} (\ varphi + \ psi) _ {p} = (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ varphi) _ {p} + (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ psi) _ {p}.}

{\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} (\ varphi + \ psi) _ {p} = (\ nabla _ {\ mathbf { v}} \ varphi) _ {p} + (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ psi) _ {p}.}

Ковариантная производная тензорного поля вдоль типа поля v снова является тензорным полем того же.

Явно, пусть T будет тензорным полем типа (p, q). Рассмотрим T как дифференцируемую полилинейную карту гладких участков α, α,..., α котангенсного пучка TM и участков X 1, X 2,... X p касательного пучка TM, записывается T (α, α,..., X 1, X 2,...) в R . Ковариантная производная T вдоль Y задается формулой

(∇ YT) (α 1, α 2,…, X 1, X 2,…) = Y (T (α 1, α 2,…, X 1, X 2, …)) - T (∇ Y α 1, α 2,…, X 1, X 2,…) - T (α 1, ∇ Y α 2,…, X 1, X 2,…) -… - T ( α 1, α 2,…, ∇ YX 1, X 2,…) - T (α 1, α 2,…, X 1, ∇ YX 2,…) -… {\ displaystyle {\ begin {выровнено} (\ nabla _ {Y} T) \ left (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, X_ {1}, X_ {2}, \ ldots \ right) = Y \ left (T \ left (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, X_ {1}, X_ {2}, \ ldots \ right) \ right) \\ - T \ left (\ nabla _ {Y } \ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, X_ {1}, X_ {2}, \ ldots \ right) -T \ left (\ alpha _ {1}, \ nabla _ {Y } \ alpha _ {2}, \ ldots, X_ {1}, X_ {2}, \ ldots \ right) - \ ldots \\ - T \ left (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, \ nabla _ {Y} X_ {1}, X_ {2}, \ ldots \ right) -T \ left (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, X_ {1 }, \ nabla _ {Y} X_ {2}, \ ldots \ right) - \ ldots \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} (\ nabla _ {Y} T) \ left (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, X_ {1}, X_ {2}, \ ldots \ right) = Y \ left (T \ left (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, X_ {1}, X_ {2}, \ ldots \ right) \ right) \\ - T \ left (\ nabla _ {Y} \ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, X_ {1}, X_ {2}, \ ldots \ right) -T \ left (\ alpha _ {1}, \ nabla _ {Y} \ alpha _ {2}, \ ldots, X_ {1}, X_ {2}, \ ldots \ right) - \ ldots \\ - T \ left (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, \ nabla _ {Y} X_ {1}, X_ {2}, \ ldots \ right) -T \ left (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, X_ {1}, \ nabla _ {Y} X_ { 2}, \ ldots \ right) - \ ldots \ end {align}}}

Описание координат

Данные координатные функц ии

хi, я знак равно 0, 1, 2,… {\ Displaystyle х ^ {я}, \ я = 0,1,2, \ точки}

x ^ i, \ i = 0,1,2, \ точки

любой касательный вектор может быть описан его компонентами в базисе

ei = ∂ ∂ xi {\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} = {\ partial \ over \ partial x ^ {i}}}

\ mathbf {e} _i = {\ partial \ over \ partial x ^ i}

Ковариантная производная базисного параллельного базисного года снова является вектором и поэтому может быть выражена как линейная комбинация $Γ kek {\ displaystyle \ Gamma ^ {k} \ mathbf {е} _ {k} \,}$ ${\ displaystyle \ Gamma ^ {k} \ mathbf {e} _ {k} \,}$ . Чтобы указать ковариантную производную, достаточно указать ковариантную производную каждогоисного поля $ei {\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \,}$ ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {я} \,}$ вдоль $ej {\ displaystyle \ mathbf {e} _ {j} \,}$ ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {j} \,}$ .

∇ ejei = Γ kijek, {\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} \ mathbf {e} _ {i} = {\ Gamma ^ {k}} _ {ij} \ mathbf {e} _ {k},}

{\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} \ mathbf {e} _ {i} = {\ Gamma ^ {k}} _ {ij} \ mathbf {e} _ {k},}

коэффициенты $Γ ijk {\ displaystyle \ Gamma _ {\ ij} ^ {k}}$ $\ Gamma ^ k _ {\ ij}$ - компоненты связи по отношению к системе локальных координат. В теории римановых и псевдоримановых различных компонентов связности Леви-Чивиты относительно системы локальных координат называются символами Кристоффеля.

, используя правила в оценке, мы находим, что для общих данных поля $v = vjej {\ displaystyle \ mathbf {v} = v ^ {j} \ mathbf {e} _ {j}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} = v ^ {j} \ mathbf {e} _ {j}}$ и $u = uiei {\ displaystyle \ mathbf {u} = u ^ {i} \ mathbf {e } _ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} = u ^ {i} \ mathbf {e} _ {i}}$ получаем

∇ vu = ∇ vjejuiei = vj ∇ ejuiei = vjui ∇ ejei + vjei ∇ ejui = vjui Γ kijek + vj ∂ ui ∂ xjei {\ displaystyle {\ begin { align} \ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} = \ nabla _ {v ^ {j} \ mathbf {e} _ {j}} u ^ {i} \ mathbf {e} _ { i} \\ = v ^ {j} \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} u ^ {i} \ mathbf {e} _ {i} \\ = v ^ {j} u ^ {i} \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} \ mathbf {e} _ {i} + v ^ {j} \ mathbf {e} _ {i} \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} u ^ {i} \\ = v ^ {j} u ^ {i} {\ Gamma ^ {k}} _ {ij} \ mathbf {e} _ {k} + v ^ {j } {\ partial u ^ {i} \ over \ partial x ^ {j}} \ ma thbf {e} _ {i} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} = \ nabla _ {v ^ {j} \ mathbf {e} _ {j}} u ^ {i} \ mathbf {e} _ {i} \\ = v ^ {j} \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} u ^ {i} \ mathbf {e} _ {i} \\ = v ^ {j} u ^ {i} \ nabla _ { \ mathbf {e} _ {j}} \ mathbf {e} _ {i} + v ^ {j} \ mathbf {e} _ {i} \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} u ^ {i} \\ = v ^ {j} u ^ {i} {\ Gamma ^ {k}} _ {ij} \ mathbf {e} _ { k} + v ^ {j} {\ partial u ^ {i} \ over \ partial x ^ {j}} \ mathbf {e} _ {i} \ end {align}}}

так

∇ vu = (vjui Γ kij + vj ∂ uk ∂ xj) ek {\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} = \ left (v ^ {j} u ^ {i} {\ Gamma ^ {k}} _ {ij} + v ^ {j} {\ partial u ^ {k} \ over \ partial x ^ {j}} \ right) \ mathbf {e} _ {k}}

{\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} = \ left (v ^ {j} u ^ {i} {\ Gamma ^ {k}} _ {ij} + v ^ {j} {\ partial u ^ {k} \ over \ partial x ^ {j}} \ right) \ mathbf {e} _ {k}}

Первый член этой формула отвечает за «скручивание» системы координат относительно ковариантной производной, а вторая - за изменение компонента поля u. В частности,

∇ eju = ∇ ju = (∂ ui ∂ xj + uk Γ ikj) ei {\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} \ mathbf {u} = \ nabla _ { j} \ mathbf {u} = \ left ({\ frac {\ partial u ^ {i}} {\ partial x ^ {j}}} + u ^ {k} {\ Gamma ^ {i}} _ {kj } \ right) \ mathbf {e} _ {i}}

{\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {e } _ {j}} \ mathbf {u} = \ nabla _ {j} \ mathbf {u} = \ left ({\ frac {\ partial u ^ {i}} {\ partial x ^ {j}}} + u ^ {k} {\ Gamma ^ {i}} _ {kj} \ right) \ mathbf {e} _ {i}}

Словами: ковариантная производная - это обычная производная по координатам с поправками, которые говорят, как меняются координаты.

Для ковекторов аналогично имеем

∇ ej θ = (∂ θ i ∂ xj - θ k Γ kij) e ∗ i {\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} { \ mathbf {\ theta}} = \ left ({\ frac {\ partial \ theta _ {i}} {\ partial x ^ {j}}} - \ theta _ {k} {\ Gamma ^ {k}} _ {ij} \ right) {\ mathbf {e} ^ {*}} ^ {i}}

{\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} { \ mathbf {\ t heta}} = \ left ({\ frac {\ partial \ theta _ {i}} {\ partial x ^ {j}}} - \ theta _ {k} {\ Gamma ^ {k}} _ {ij} \ справа) {\ mathbf {e} ^ {*}} ^ {i}}

где $e ∗ i (ej) = δ ij {\ displaystyle {\ mathbf {e} ^ {* }} ^ {i} (\ mathbf {e} _ {j}) = {\ delta ^ {i}} _ {j}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {e} ^ {*}} ^ {i} (\ mathbf {e} _ {j}) = {\ delta ^ {i}} _ {j}}$ .

Ковариантная производная тензорного поля типа (r, s) вдоль $ec { \ displaystyle e_ {c}}$ $e_c$ задается выражением:

(∇ ec T) a 1… arb 1… bs = ∂ ∂ xc T a 1… arb 1… bs + Γ a 1 dc T da 2… arb 1… bs + ⋯ + Γ ardc T a 1… ar - 1 db 1… bs - Γ db 1 c T a 1… ardb 2… bs - ⋯ - Γ dbsc T a 1… Произв. 1… бс - 1 д. {\ displaystyle {\ begin {align} {(\ nabla _ {e_ {c}} T) ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s}} = {} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {c}}} {T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s}} \ \ + \, {\ Gamma ^ {a_ {1}}} _ {dc} {T ^ {da_ {2} \ ldots a_ {r}}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s}} + \ cdots + {\ Gamma ^ {a_ {r}}} _ {dc} {T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r-1} d}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s}} \\ - \, {\ Gamma ^ {d}} _ {b_ {1} c} {T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}}} _ {db_ {2} \ ldots b_ {s} } - \ cdots - {\ Gamma ^ {d}} _ {b_ {s} c} {T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s-1 } d}. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {выровнено } {(\ nabla _ {e_ {c}} T) ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s}} = {} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {c}}} {T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s}} \\ + \, {\ Gamma ^ {a_ {1}}} _ {dc} {T ^ {da_ {2} \ ldots a_ {r}}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s}} + \ cdots + {\ Gamma ^ { a_ {r}}} _ {dc} {T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r-1} d}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s}} \\ - \, {\ Гамма ^ {d}} _ {b_ {1} c} {T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}}} _ {db_ {2} \ ldots b_ {s}} - \ cdots - {\ Gamma ^ {d}} _ {b_ {s} c} {T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s-1} d}. \ end {выровнено }}}

Или, говоря словами: возьмите частную производную тензора и добавьте: $+ Γ aidc {\ displaystyle + {\ Gamma ^ {a_ {i}}} _ {dc}}$ ${ \ displaystyle + {\ Gamma ^ {a_ {i}}} _ {dc}}$ для каждого верхнего индекса $ai {\ displaystyle a_ {i}}$ $a_ {i}$ и $- Γ dbic {\ displaystyle - {\ Gamma ^ {d}} _ {b_ {i } c}}$ ${\ displaystyle - {\ Gamma ^ {d}} _ {b_ {i} c}}$ для каждого нижнего индекса $bi {\ displaystyle b_ {i}}$ $b_ {i}$ .

Если вместо тензора пытаются различить тензорная плотность (вес +1), то вы также добавляете член

- Γ ddc T a 1… arb 1… bs. {\ displaystyle - {\ Gamma ^ {d}} _ {dc} {T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s}}.}

{\ displaystyle - {\ Gamma ^ {d}} _ {dc} {T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s}}.}

Если это тензорная плотность веса W, умножьте этот член на W., $- g {\ displaystyle {\ sqrt {-g}}}$ $\ sqrt {-g}$ - скалярная плотность (вес +1), получаем:

(- г); с знак равно (- г), с - - г Γ ddc {\ displaystyle \ left ({\ sqrt {-g}} \ right) _ {; c} = \ left ({\ sqrt {-g}} \ right) _ {, c} - {\ sqrt {-g}} \, {\ Gamma ^ {d}} _ {dc}}

{\ displaystyle \ left ({\ sqrt {-g}} \ right) _ {; c} = \ left ({\ sqrt {-g}} \ right) _ {, c} - {\ sqrt {-g}} \, {\ Gamma ^ {d}} _ {dc}}

где точка с запятой ";" указывает на ковариантную дифференциацию, а запятая "," указывает на частичную дифференциацию. Между прочим, это конкретное выражение равно нулю, потому что ковариантная производная функция только от метрики всегда равна нулю.

Примеры

Для скалярного поля $ϕ {\ displaystyle \ displaystyle \ phi \,}$ $\ displaystyle \ phi \,$ ковариантное дифференцирование - это просто частичное дифференцирование:

ϕ; a ≡ ∂ a ϕ {\ Displaystyle \ Displaystyle \ phi _ {; a} \ Equiv \ partial _ {a} \ phi}

{\ displaystyle \ displaystyle \ phi _ {; a} \ Equiv \ partial _ {a} \ phi}

для контравариантного взаимодействия поля $λ a {\ displaystyle \ lambda ^ {a} \,}$ $\ lambda ^ a \,$ , имеет:

λ а; б ≡ ∂ б λ a + Γ abc λ с {\ displaystyle {\ lambda ^ {a}} _ {; b} \ Equiv \ partial _ {b} \ lambda ^ {a} + {\ Gamma ^ {a}} _ {bc} \ lambda ^ {c}}

{\ displaystyle {\ lambda ^ {a}} _ {; b} \ Equiv \ partial _ {b} \ lambda ^ {a} + {\ Gamma ^ {a}} _ {bc} \ lambda ^ {c}}

Для ковариантного векторного поля $λ a {\ displaystyle \ lambda _ {a} \,}$ $\ lambda_a \,$ , мы имеем:

λ а; с ≡ ∂ с λ a - Γ bca λ b {\ displaystyle \ lambda _ {a; c} \ Equiv \ partial _ {c} \ lambda _ {a} - {\ Gamma ^ {b}} _ {ca} \ лямбда _ {b}}

{\ displaystyle \ lambda _ {a; c} \ Equiv \ partial _ { c} \ lambda _ {a} - {\ Gamma ^ {b}} _ {ca} \ lambda _ {b}}

Для тензорного поля типа (2,0) $τ ab {\ displaystyle \ tau ^ {ab} \,}$ $\ tau ^ {ab} \,$ , мы имеем:

τ ab; с ≡ ∂ с τ ab + Γ acd τ db + Γ bcd τ ad {\ displaystyle {\ tau ^ {ab}} _ {; c} \ Equiv \ partial _ {c} \ tau ^ {ab} + {\ Gamma ^ {a}} _ {cd} \ tau ^ {db} + {\ Gamma ^ {b}} _ {cd} \ tau ^ {ad}}

{\ displaystyle {\ tau ^ {ab}} _ {; c} \ Equiv \ partial _ {c} \ tau ^ {ab} + {\ Gamma ^ {a}} _ {cd} \ tau ^ {db} + {\ Гамма ^ {b}} _ {cd} \ tau ^ {ad}}

Для тензорного поля типа (0,2) $τ ab {\ displaystyle \ tau _ {ab} \,}$ $\ tau_ {ab} \,$ , имеем:

τ ab; с ≡ ∂ с τ ab - Γ dca τ db - Γ dcb τ ad {\ displaystyle \ tau _ {ab; c} \ Equiv \ partial _ {c} \ tau _ {ab} - {\ Gamma ^ {d}} _ {ca} \ tau _ {db} - {\ Gamma ^ {d}} _ {cb} \ tau _ {ad}}

{\ Displaystyle \ tau _ {ab; c} \ Equiv \ partial _ {c} \ tau _ {ab} - {\ Gamma ^ {d}} _ {ca} \ tau _ {db} - {\ Gamma ^ {d}} _ {cb} \ tau _ {ad}}

Для тензорного поля типа (1,1) $τ ab {\ displaystyle {\ tau ^ {a}} _ {b} \,}$ ${\ displaystyle {\ tau ^ {a}} _ {b} \,}$ , имеем:

τ ab; с ≡ ∂ с τ ab + Γ acd τ db - Γ dcb τ ad {\ displaystyle {\ tau ^ {a}} _ {b; c} \ Equiv \ partial _ {c} {\ tau ^ {a}} _ {b} + {\ Gamma ^ {a}} _ {cd} {\ tau ^ {d}} _ {b} - {\ Gamma ^ {d}} _ {cb} {\ tau ^ {a}} _ {d}}

{\ displaystyle {\ tau ^ {a}} _ {b; c} \ Equiv \ partial _ {c} {\ tau ^ {a}} _ {b} + {\ Gamma ^ {a}} _ {cd} {\ tau ^ {d}} _ {b} - {\ Gamma ^ {d}} _ {cb} {\ tau ^ {a}} _ {d}}

Приведенные выше обозначения означают

τ ab; с ≡ (∇ ec τ) ab {\ displaystyle {\ tau ^ {ab}} _ {; c} \ Equiv \ left (\ nabla _ {\ mathbf {e} _ {c}} \ tau \ right) ^ { ab}}

{\ displaystyle {\ tau ^ {ab}} _ {; c} \ Equiv \ left (\ nabla _ {\ mathbf { e} _ {c}} \ tau \ right) ^ {ab}}

Ковариантные производные не коммутируют; т.е. $λ a; b c ≠ λ a; c b {\ displaystyle \ lambda _ {a; bc} \ neq \ lambda _ {a; cb} \,}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {a; bc} \ neq \ lambda _ {a; cb} \,}$ . Можно показать, что:

λ a; б в - λ а; cb = R dabc λ d {\ displaystyle \ lambda _ {a; bc} - \ lambda _ {a; cb} = {R ^ {d}} _ {abc} \ lambda _ {d}}

{\ displaystyle \ lambda _ {a; bc} - \ lambda _ {a; cb} = {R ^ {d}} _ {abc} \ lambda _ {d}}

где $R dabc {\ displaystyle {R ^ {d}} _ {abc} \,}$ ${\ displaystyle {R ^ {d}} _ {abc} \,}$ - это тензор Римана. Аналогично

λ a; б в - λ а; cb = - R adbc λ d {\ displaystyle {\ lambda ^ {a}} _ {; bc} - {\ lambda ^ {a}} _ {; cb} = - {R ^ {a}} _ {dbc} \ lambda ^ {d}}

{\ displaystyle {\ lambda ^ {a}} _ {; bc } - {\ lambda ^ {a}} _ {; cb} = - {R ^ {a}} _ {dbc} \ lambda ^ {d}}

τ ab; c d - τ a b; dc = - R aecd τ eb - R BECD τ ae {\ displaystyle {\ tau ^ {ab}} _ {; cd} - {\ tau ^ {ab}} _ {; dc} = - {R ^ {a} } _ {ecd} \ tau ^ {eb} - {R ^ {b}} _ {ecd} \ tau ^ {ae}}

{\ displaystyle {\ tau ^ {ab}} _ {; cd} - {\ tau ^ {ab}} _ {; dc} = - {R ^ {a}} _ {ecd} \ tau ^ {eb} - {R ^ {b}} _ {ecd} \ tau ^ {ae}}

Последнее можно показать, взяв (без ограничения общности), что $τ ab = λ a μ b {\ displaystyle \ tau ^ {ab} = \ lambda ^ {a} \ mu ^ {b} \,}$ ${\ displaystyle \ tau ^ {ab} = \ lambda ^ {a} \ mu ^ {b} \,}$ .

Обозначение

В учебниках по физике ковариантная производная иногда просто выражается в терминах его компонентов в этом уравнении.

Часто используется обозначение, в котором ковариантная производная указывается с помощью точки с запятой, а обычная частная производная обозначается запятой. В этих обозначениях мы пишем то же самое, что:

∇ e j v = d e f v s; j e s v i; j = vi, j + vk Γ ikj {\ displaystyle \ nabla _ {e_ {j}} \ mathbf {v} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {v ^ {s}} _ {; j} e_ {s} \; \; \; \; \; \; {v ^ {i}} _ {; j} = {v ^ {i}} _ {, j} + v ^ {k } {\ Gamma ^ {i}} _ {kj}}

{\ displaystyle \ nabla _ {e_ {j}} \ mathbf {v} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {v ^ {s}} _ {; j} e_ {s} \; \; \; \; \; \; {v ^ {i}} _ {; j} = {v ^ {i}} _ {, j} + v ^ {k} {\ Gamma ^ {i}} _ {kj}}

Это еще раз показывает, что ковариантная производная векторного поля не просто получается путем дифференцирования по координатам $vi, j {\ displaystyle {v ^ {i}} _ {, j}}$ ${ \ displaystyle {v ^ {i}} _ {, j}}$ , но также зависит от самого вектора v через $vk Γ ikj {\ displaystyle v ^ {k} {\ Gamma ^ {i}} _ {kj}}$ ${\ displaystyle v ^ {k} {\ Gamma ^ {i}} _ {kj}}$ .

В некоторых старых текстах (в частности, Adler, Bazin Schiffer, Introduction to General Relativity) ковариантная производная обозначается двойной трубкой, а частная производная - одной трубкой:

∇ ejv = defvi | | j = v i | j + vk Γ ikj {\ displaystyle \ nabla _ {e_ {j}} \ mathbf {v} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {v ^ {i}} _ {|| j } = {v ^ {i}} _ {| j} + v ^ {k} {\ Gamma ^ {i}} _ {kj}}

{\ displaystyle \ nabla _ {e_ {j}} \ mathbf {v} \ {\ stackrel {\ mathrm { def}} {=}} \ {v ^ {i}} _ {|| j} = {v ^ {i}} _ {| j} + v ^ {k} {\ Gamma ^ {i}} _ { kj}}

Производная вдоль кривой

Поскольку ковариантная производная $∇ XT {\ displaystyle \ nabla _ {X} T}$ $\ nabla_XT$ тензорного поля $T {\ displaystyle T}$ $T$ в точке $p {\ displaystyle p}$ $p$ зависит только от значения векторного поля $X {\ displaystyle X}$ $X$ в $p {\ displaystyle p}$ $p$ можно определить ковариантную производную вдоль гладкой кривой $γ (t) {\displaystyle \gamma (t)}$ $\ гамма (т)$ in a manifold:

D t T = ∇ γ ˙ ( t) T. {\displaystyle D_{t}T=\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}T.}

D_tT = \ nabla _ {\ dot \ gamma (t)} T.

Note that the tensor field $T {\displaystyle T}$ $T$ only needs to be defined on the curve $γ ( t) {\displaystyle \gamma (t)}$ $\ гамма (т)$ for this definition to make sense.

In particular, $γ ˙ ( t) {\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ $\ dot {\ gamma} (t)$ is a vector field along the curve $γ {\displaystyle \gamma }$ $\ gamma$ itself. If $∇ γ ˙ ( t) γ ˙ ( t) {\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)}$ $\ nabla _ {\ dot \ gamma (t)} \ dot \ gamma (t)$ vanishes then the curve is called a geodesic of the covariant производная. Если ковариантная производная является связностью Леви-Чивиты определенной метрики, то геодезические для этой связи - это в точности геодезические метрики , параметризованные дугой длина.

Производная вдоль кривой также используется для определения параллельного переноса вдоль кривой.

Иногда ковариантная производная вдоль кривой называется абсолютной или внутренней производной .

Отношение к производной Ли

Ковариантная производная вводит дополнительную геометрическую структуру на многообразие, которое позволяет сравнивать векторы в соседних касательных пространствах: не существует канонического способа сравнения векторов из разных касательных пространств, потому что нет канонической системы координат.

Однако существует другое обобщение производных по направлению, которое является каноническим: производная Ли, которая оценивает изменение одного векторного поля вдоль потока другого векторного поля. Таким образом, необходимо знать оба векторных поля в открытой окрестности, а не только в одной точке. Ковариантная производная, с другой стороны, вносит собственное изменение для векторов в заданном направлении, и она зависит только от направления вектора в одной точке, а не от векторного поля в открытой окрестности точки. Другими словами, ковариантная производная линейна (над C (M)) по аргументу направления, в то время как производная Ли линейна ни по одному аргументу.

Обратите внимание, что антисимметричная ковариантная производная ∇ u v - ∇ v u и производная Ли L u v отличаются на кручение связности, так что если связность не имеет кручения, то ее антисимметризация является производной Ли.

См. Также

Заметки

Ссылки

Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996). Основы дифференциальной геометрии, Vol. 1 (Новое изд.). Wiley Interscience. ISBN 0-471-15733-3.
И.Х. Сабитов (2001) [1994], Математическая энциклопедия, EMS Press
Штернберг, Шломо (1964). Лекции по дифференциальной геометрии. Прентис-Холл.
Спивак, Майкл (1999). Всестороннее введение в дифференциальную геометрию (том второй). Publish or Perish, Inc.