Вторая производная

математическая операция Вторая производная квадратичной функции - константа.

В исчисление, вторая производная или производная второго порядка от функции f является производной производная от f. Грубо говоря, вторая производная измеряет, как изменяется сама скорость изменения величины; например, вторая производная от положения объекта по времени - это мгновенное ускорение объекта или скорость, с которой скорость объекта изменяется относительно ко времени. В нотации Лейбница :

$a\; =\; dvdt\; =\; d\; 2\; xdt\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}\; \{dt\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{\; 2\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{x\}\}\}\; \{dt\; ^\; \{2\}\}\},\}$

где a - ускорение, v - скорость, t - время, x - положение, а d - мгновенная "дельта" или изменение. Последнее выражение $d\; 2\; xdt\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{d\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{x\}\}\}\; \{dt\; ^\; \{2\}\}\}\}$является второй производной от положение (x) по времени.

На графике функции вторая производная соответствует кривизне или вогнутости графика. График функции с положительной второй производной вогнут вверх, а график функции с отрицательной второй производной изгибается в противоположном направлении.

Содержание

• 1 Правило степени второй производной
• 2 Обозначение
• 3 Пример
• 4 Отношение к графику
  • 4.1 Вогнутость
  • 4.2 Точки перегиба
  • 4.3 Тест второй производной
• 5 Предел
• 6 Квадратичное приближение
• 7 Собственные значения и собственные векторы второй производной
• 8 Обобщение на более высокие измерения
  • 8.1 Гессиан
  • 8.2 Лапласиан
• 9 См. Также
• 10 Ссылки
• 11 Дополнительная литература
  • 11.1 Печать
  • 11.2 Электронные книги
• 12 Внешние ссылки

Правило степени второй производной

Правило степени для первой производной, если применить дважды, создаст следующее правило мощности второй производной:

$d\; 2\; dx\; 2\; [xn]\; =\; ddxddx\; [xn]\; =\; ddx\; [nxn\; -\; 1]\; =\; nddx\; [xn\; -\; 1]\; =\; n\; (n\; -\; 1)\; xn\; -\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\}\; \{dx\; ^\; \{2\}\}\}\; [x\; ^\; \{n\}]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; [\; x\; ^\; \{n\}]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; [nx\; ^\; \{n-1\}]\; =\; n\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; [x\; ^\; \{n-1\}]\; =\; n\; (\; n-1)\; x\; ^\; \{n-2\}.\}$

Обозначение

Вторая производная функции $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$обычно обозначается $f\; ″\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}\text{'}\; (x)\}$. То есть:

$f\; ″\; =\; (f\; \prime )\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}\text{'}\; =\; (f\; \text{'})\text{'}\}$

При использовании нотации Лейбница для производных, вторая производная зависимой переменной y относительно независимой переменной x записывается как

$d\; 2\; ydx\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; y\}\; \{dx\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

Это обозначение получено из следующей формулы:

$d\; 2\; y\; d\; x\; 2\; =\; d\; d\; x\; (d\; y\; d\; x).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; y\}\; \{dx\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; right).\}$

Пример

Для функции

$f\; (x)\; =\; x\; 3,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; x\; ^\; \{3\},\}$

производная от f - функция

$f\; \prime \; (x)\; =\; 3\; x\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}(x)\; =\; 3x\; ^\; \{2\}.\}$

Вторая производная от f является производной от f', а именно

$f\; ″\; (x)\; =\; 6\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}\text{'}\; (x)\; =\; 6x.\}$

Связь с графиком

График $f\; (x)\; =\; sin\; \; (2\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \backslash \; sin\; (2x)\}$от $-\; \pi \; /\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; pi\; /\; 4\}$до $5\; \pi \; /\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; 5\; \backslash \; pi\; /\; 4\}$. Касательная линия синего цвета, если кривая вогнута вверх, зеленого цвета, если кривая вогнута вниз, и красного цвета в точках перегиба (0, $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$/ 2 и $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$).

Вогнутость

Вторая производная функции f может использоваться для определения вогнутости графика f. Функция, вторая производная которой положительное значение будет вогнутым вверх (также называемым выпуклым), что означает, что касательная линия будет находиться под графиком функции. Аналогично, функция, вторая производная которой отрицательна, будет быть вогнутым вниз (также называемым просто вогнутым), и его касательные линии будут лежать над графиком функции.

Точки перегиба

Если вторая производная функции меняет знак, график функции переключается с вогнутой вниз на вогнутую вверх или наоборот. Точка, в которой это происходит, называется точкой перегиба . Предполагая, что вторая производная непрерывна, она должна e значение нуля в любой точке перегиба, хотя не каждая точка, где вторая производная равна нулю, обязательно является точкой перегиба.

Проверка второй производной

Связь между второй производной и графиком может использоваться для проверки того, является ли стационарная точка для функции (т. Е. Точка, где $f\; \prime \; (x)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}(x)\; =\; 0\}$) - локальный максимум или локальный минимум. В частности,

• Если , то $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$имеет локальный максимум в $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$.
• Если $f\; \prime \; \prime \; (x)>0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{\backslash \; prime\; \backslash \; prime\}\; (x)>0\}$, затем $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$имеет локальный минимум в $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$.
• Если $f\; \prime \; \prime \; (x)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{\backslash \; prime\; \backslash \; prime\}\; (x)\; =\; 0\}$, тест второй производной ничего не говорит о точке $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, возможной точке перегиба.

Причину, по которой вторая производная дает такие результаты, можно увидеть с помощью аналогия с реальным миром. Рассмотрим транспортное средство, которое сначала движется вперед с большой скоростью, но с отрицательным ускорением. Ясно, что положение транспортного средства в точке, где скорость достигает нуля, будет максимальным расстоянием от начальной позиции. - по истечении этого времени скорость станет отрицательной, и автомобиль начнет движение назад. То же самое верно и для минимума, для транспортного средства, которое сначала имеет очень отрицательную скорость, но положительное ускорение.

Предел

Можно записать единственный предел для второй производной:

$f\; ″\; (x)\; =\; lim\; h\; \to \; 0\; f\; (x\; +\; h)\; -\; 2\; f\; (x)\; +\; f\; (x\; -\; h)\; h\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}\text{'}\; (x)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{h\; \backslash \; to\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (x\; +\; h)\; -2f\; (x)\; +\; f\; (xh)\}\; \{h\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

Предел называется второй симметричной производной. Обратите внимание, что вторая симметричная производная может существовать, даже если (обычная) вторая производная отсутствует.

Выражение справа можно записать как разностное разностных частных:

$f\; (x\; +\; h)\; -\; 2\; f\; (x)\; +\; f\; (x\; -\; h)\; h\; 2\; знак\; равно\; f\; (x\; +\; h)\; -\; f\; (x)\; h\; -\; f\; (x)\; -\; f\; (x\; -\; h)\; hh.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (x\; +\; h)\; -2f\; (x)\; +\; f\; (xh)\}\; \{h\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; frac\; \{f\; (x\; +\; h)\; -f\; (\; x)\}\; \{h\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (x)\; -f\; (xh)\}\; \{h\}\}\}\; \{h\}\}.\}$

Это ограничение можно рассматривать как непрерывную версию второе отличие для последовательностей.

Однако наличие вышеуказанного ограничения не означает, что функция $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$имеет вторую производную. Приведенный выше предел просто дает возможность вычислить вторую производную, но не дает определения. Контрпримером является знаковая функция $sgn\; \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{sgn\}\; (x)\}$, которая определяется как:

Знак функция не является непрерывной в нуле, и поэтому вторая производная для $x\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 0\}$не существует. Но указанный выше предел существует для $x\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 0\}$:

$lim\; h\; \to \; 0\; sign\; \; (0\; +\; h)\; -\; 2\; sign\; \; (0)\; +\; sign\; \; (0\; -\; h)\; h\; 2\; =\; lim\; h\; \to \; 0\; знак\; \; (h)\; -\; 2\; \cdot \; 0\; +\; sign\; \; (-\; h)\; час\; 2\; =\; lim\; h\; \to \; 0\; sign\; \; (h)\; +\; (-\; sgn\; \; (h))\; h\; 2\; =\; lim\; h\; \to \; 0\; 0\; h\; 2\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; lim\; \_\; \{h\; \backslash \; to\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; operatorname\; \{sgn\}\; (0\; +\; h)\; -2\; \backslash \; operatorname\; \{sgn\}\; (0)\; +\; \backslash \; operatorname\; \{sgn\}\; (0-h)\}\; \{h\; ^\; \{2\; \}\}\}\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{h\; \backslash \; to\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; operatorname\; \{sgn\}\; (h)\; -2\; \backslash \; cdot\; 0+\; \backslash \; operatorname\; \{sgn\}\; (-\; h)\}\; \{h\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{h\; \backslash \; to\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; operatorname\; \{sgn\}\; (h)\; +\; (-\; \backslash \; operatorname\; \{sgn\}\; (h))\}\; \{h\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{h\; \backslash \; to\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{0\}\; \{h\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; 0.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Квадратичное приближение

Так же, как первая производная связана с линейными приближениями, вторая производная связана с наилучшим квадратичным приближением для функции f. Это квадратичная функция , первая и вторая производные которой совпадают с производными функции f в данной точке. Формула наилучшего квадратичного приближения функции f вокруг точки x = a:

$f\; (x)\; \approx \; f\; (a)\; +\; f\; \prime \; (a)\; (x\; -\; a)\; +\; 1\; 2\; f\; ″\; (a)\; (\; х\; -\; а)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; \backslash \; приблизительно\; f\; (a)\; +\; f\; \text{'}(a)\; (xa)\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; f\text{'}\; \text{'}(a)\; (xa)\; ^\; \{2\}.\}$

Это квадратичное приближение является полиномом Тейлора второго порядка для функции с центром в точке x = a.

Собственные значения и собственные векторы второй производной

Для многих комбинаций граничных условий можно получить явные формулы для собственных значений и собственных векторов второй производной. Например, предполагая $x\; \in \; [0,\; L]\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; [0,\; L]\}$и однородные граничные условия Дирихле (т. Е. $v\; (0)\; =\; v\; (L)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; (0)\; =\; v\; (L)\; =\; 0\}$), собственные значения равны $\lambda \; j\; =\; -\; j\; 2\; \pi \; 2\; L\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{j\}\; =\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{j\; ^\; \{2\}\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\}\; \{L\; ^\; \{2\}\}\}\}$и соответствующий собственные векторы (также называемые собственными функциями ): $vj\; (x)\; =\; 2\; L\; sin\; \; (j\; \pi \; x\; L)\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{j\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; tfrac\; \{2\}\; \{L\}\}\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{j\; \backslash \; pi\; x\}\; \{L\}\}\; \backslash \; right)\}$. Здесь $v\; j\; ″\; (x)\; =\; \lambda \; j\; v\; j\; (x),\; j\; =\; 1,\dots ,\; \infty .\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; \text{'}\text{'}\; \_\; \{j\}\; (x)\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{j\}\; v\_\; \{j\}\; (x),\; \backslash ,\; j\; =\; 1,\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; infty.\}$

Для других хорошо известных случаев, см. Собственные значения и собственные векторы второй производной.

Обобщение на более высокие измерения

Гессиан

Вторая производная обобщается на более высокие измерения через понятие вторых частных производных. Для функции f: R→ Rк ним относятся три частичных второго порядка

$\partial \; 2\; f\; \partial \; x\; 2,\; \partial \; 2\; f\; \partial \; y\; 2\; и\; \partial \; 2\; f\; \partial \; z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\},\; \backslash ;\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; y\; ^\; \{2\}\}\},\; \{\backslash \; text\; \{и\}\}\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; z\; ^\; \{2\}\}\}\}$

и смешанные частичные

$\partial \; 2\; f\; \partial \; x\; \partial \; y,\; \partial \; 2\; f\; \partial \; x\; \partial \; z\; и\; \partial \; 2\; f\; \partial \; y\; \partial \; z.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\; \backslash ,\; \backslash \; partial\; y\}\},\; \backslash ;\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\; \backslash ,\; \backslash \; partial\; z\; \}\},\; \{\backslash \; text\; \{и\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; y\; \backslash ,\; \backslash \; partial\; z\}\}.\}$

Если и изображение функции, и домен имеют потенциал, тогда они укладываются в симметричную матрицу , известную как гессиан . собственные значения этой матрицы могут использоваться для реализации многопараметрического аналога теста второй производной. (См. Также тест второй частной производной.)

Лапласиан

Другим распространенным обобщением второй производной является лапласиан . Это дифференциальный оператор $\nabla \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\}$(или $\Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\}$), определенный в

$\nabla \; 2\; f\; знак\; равно\; \partial \; 2\; f\; \partial \; x\; 2\; +\; \partial \; 2\; f\; \partial \; y\; 2\; +\; \partial \; 2\; f\; \partial \; z\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; f\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; y\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; z\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

Лапласиан функции равен дивергенции градиента и след матрицы Гессе.

См. Также

• Chirpyness, вторая производная от мгновенной фазы
• Конечная разность, используется для аппроксимации второй производной
• Тест второй частной производной
• Симметрия вторые производные

Ссылки

Дополнительная литература

Печать

• Anton, Howard; Бивенс, Ирландия; Дэвис, Стивен (2 февраля 2005 г.), Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable (8-е изд.), Нью-Йорк: Wiley, ISBN 978-0-471-47244-5
• Апостол, Том М. (июнь 1967), Calculus, Vol. 1: Исчисление одной переменной с введением в линейную алгебру, 1(2-е изд.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1
• Апостол, Том М. (Июнь 1969 г.), Calculus, Vol. 2. Исчисление с несколькими переменными и линейная алгебра с приложениями, 1(2-е изд.), Wiley, ISBN 978-0-471-00007-5
• Ивс, Ховард (2 января, 1990), Введение в историю математики (6-е изд.), Брукс Коул, ISBN 978-0-03-029558-4
• Ларсон, Рон; Хостетлер, Роберт П.; Эдвардс, Брюс Х. (28 февраля 2006 г.), Исчисление: Ранние трансцендентные функции (4-е изд.), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-60624-5
• Spivak, Майкл (сентябрь 1994), Calculus (3-е изд.), Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-89-8
• Стюарт, Джеймс (24 декабря, 2002), Calculus (5-е изд.), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-39339-7
• Thompson, Silvanus P. ( 8 сентября 1998 г.), Calculus Made Easy (Revised, Updated, Expanded ed.), New York: St. Martin's Press, ISBN 978-0-312-18548 -0

Интернет-книги

• Кроуэлл, Бенджамин (2003), Исчисление
• Гаррет, Пол (2004), Заметки по исчислению первого года
• Хуссейн, Фараз (2006), Понимание исчисления
• Кейслер, Х. Джером (2000), Элементарное исчисление: подход, использующий бесконечно малые
• Маух, Шон (2004), Полная версия книги Шона по прикладной математике, заархивировано из оригинального 15.04.2006
• Слаутер, Дэн (2000), Dif Отношение уравнений к дифференциальным уравнениям
• Стрэнг, Гилберт (1991), Исчисление
• Строян, Кейт Д. (1997), Краткое введение в исчисление бесконечно малых, архивировано с оригинал от 11 сентября 2005 г.
• Wikibooks, Calculus

Внешние ссылки

• Дискретная вторая производная от неравномерно расположенных точек