Обозначения Лейбница

dy dx д ²г dx ² Первая и вторая производные y по x в обозначениях Лейбница. Готфрид Вильгельм фон Лейбниц (1646–1716), немецкий философ, математик и тезка этого широко используемого математического обозначения в исчислении.

В исчислении, нотация Лейбница, названная в честь немецкого 17-го века философа и математика Готфрида Вильгельма Лейбница, использует символы де и д представляют бесконечно малые (или бесконечно малые ) приращения х и у, соответственно, так же, как А х и А y представляют собой конечные приращения x и y соответственно.

Рассмотрим y как функцию переменной x, или y = f ( x). Если это так, то производная от у по отношению к й, которые позже стали рассматриваться как предел

${\ displaystyle \ lim _ {\ Delta x \ rightarrow 0} {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}} = \ lim _ {\ Delta x \ rightarrow 0} {\ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x}},}$

был, согласно Лейбницу, частным бесконечно малого приращения y на бесконечно малое приращение x, или

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = f '(x),}$

где правая часть - обозначение Жозефа-Луи Лагранжа для производной f в точке x. Бесконечно малые приращения называются дифференциалами. С этим связан интеграл, в котором суммируются бесконечно малые приращения (например, для вычисления длин, площадей и объемов как сумм крошечных кусочков), для которого Лейбниц также предоставил тесно связанные обозначения, включающие те же дифференциалы, обозначение, эффективность которого оказалась решающей в развитие континентальной европейской математики.

Концепция бесконечно малых Лейбница, долгое время считавшаяся слишком неточной для использования в качестве основы исчисления, в конечном итоге была заменена строгими концепциями, разработанными Вейерштрассом и другими в XIX веке. Следовательно, факторное обозначение Лейбница было переинтерпретировано, чтобы обозначить предел современного определения. Однако во многих случаях этот символ действовал как фактическое частное, и его полезность сохраняла его популярность даже перед лицом нескольких конкурирующих обозначений. В 20 веке было разработано несколько различных формализмов, которые могут дать строгий смысл понятиям бесконечно малых и бесконечно малых смещений, включая нестандартный анализ, касательное пространство, нотацию O и другие.

Производные и интегралы исчисления могут быть упакованы в современную теорию дифференциальных форм, в которой производная действительно является отношением двух дифференциалов, а интеграл аналогичным образом ведет себя в точном соответствии с обозначениями Лейбница. Однако это требует, чтобы производная и интеграл сначала были определены другими средствами, и как таковые выражают самосогласованность и вычислительную эффективность нотации Лейбница, а не дают ей новую основу.

• 1 История
• 2 Обозначения Лейбница для дифференцирования
  • 2.1 Обозначения Лейбница для высших производных
  • 2.2 Использование в различных формулах
• 3 Современное обоснование бесконечно малых
• 4 Другие обозначения Лейбница
• 5 Смотрите также
• 6 Заметки
• 7 Рекомендации

Подход Ньютона – Лейбница к исчислению бесконечно малых был введен в 17 веке. В то время как Ньютон работал с течениями и флюентом, Лейбниц основывал свой подход к обобщениям сумм и разностей. Лейбниц был первым, кто использовал этого персонажа. Он основал этот символ на латинском слове summa («сумма»), которое он написал umma с удлиненными буквами s, которые обычно использовались в Германии в то время. Рассматривая различия как операцию, обратную суммированию, он использовал символ d, первую букву латинской разницы, чтобы обозначить эту обратную операцию. Лейбниц придирчиво относился к обозначениям; проводить годы, экспериментируя, корректируя, отвергая и переписываясь с другими математиками о них. Обозначения, которые он использовал для дифференциала y, последовательно варьировались от ω, l и${\ displaystyle \ textstyle \ int}$ у/dпока он, наконец, не остановился на dy. Его интегральный знак впервые появился публично в статье De Geometria Recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum (О скрытой геометрии и анализе неделимых и бесконечностей), опубликованной в Acta Eruditorum в июне 1686 года, но он использовал его в частных рукописях в по крайней мере с 1675 года. Лейбниц впервые использовал dx в статье « Nova Methodus pro Maximis et Minimis », также опубликованной в Acta Eruditorum в 1684 году.dx/dyдействительно встречается в частных рукописях 1675 г., в таком виде он не фигурирует ни в одном из вышеупомянутых опубликованных произведений. Лейбниц, однако, использовал в печати такие формы, как dy ad dx и dy  : dx.

Английские математики были обременены точечной записью Ньютона до 1803 года, когда Роберт Вудхаус опубликовал описание континентальной системы обозначений. Позже Аналитическое общество в Кембриджском университете способствовало принятию обозначений Лейбница.

В конце XIX века последователи Вейерштрасса перестали буквально понимать обозначения Лейбница для производных и интегралов. То есть математики чувствовали, что концепция бесконечно малых содержит логические противоречия в своем развитии. Ряд математиков 19-го века (Вейерштрасс и другие) нашли логически строгие способы обработки производных и интегралов без бесконечно малых, используя пределы, как показано выше, в то время как Коши использовал как бесконечно малые, так и пределы (см. Cours d'Analyse ). Тем не менее, обозначения Лейбница до сих пор широко используются. Хотя обозначения не следует понимать буквально, они обычно проще, чем альтернативы, когда техника разделения переменных используется при решении дифференциальных уравнений. В физических приложениях можно, например, считать, что f ( x) измеряется в метрах в секунду, а d x - в секундах, так что f ( x) d x измеряется в метрах, как и значение его определенного интеграла. Таким образом, обозначение Лейбница гармонирует с анализом размерностей.

Основная статья: Обозначение для дифференцирования

Предположим, что зависимая переменная y представляет собой функцию f от независимой переменной x, то есть

${\ Displaystyle у = е (х).}$

Тогда производная функции f в обозначениях Лейбница для дифференцирования может быть записана как

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} \, {\ text {или}} {\ frac {d} {dx}} y \, {\ text {или}} {\ frac {d {\ bigl (} f (x) {\ bigr)}} {dx}}.}$

Выражение Лейбница, также иногда записываемое как dy / dx, является одним из нескольких обозначений, используемых для производных и производных функций. Распространенной альтернативой является обозначение Лагранжа

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} \, = y '= f' (x).}$

Другой альтернативой является обозначение Ньютона, часто используемое для производных по времени (например, скорости ), которое требует размещения точки над зависимой переменной (в данном случае x):

${\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = {\ dot {x}}.}$

Обозначение « простых » Лагранжа особенно полезно при обсуждении производных функций и имеет то преимущество, что имеет естественный способ обозначения значения производной функции при конкретном значении. Однако у системы обозначений Лейбница есть и другие достоинства, благодаря которым они пользовались популярностью на протяжении многих лет.

В современной интерпретации выражение dy/dxне следует понимать как деление двух величин dx и dy (как это предполагал Лейбниц); скорее, все выражение следует рассматривать как один символ, который является сокращением для

${\ displaystyle \ lim _ {\ Delta x \ to 0} {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}}}$

(обратите внимание, что Δ по сравнению с d, где Δ означает конечную разницу).

Выражение также можно рассматривать как приложение дифференциального оператора d/dx(опять же, один символ) в y, рассматриваемый как функция от x. Этот оператор записывается D в обозначениях Эйлера. Лейбниц не использовал эту форму, но его использование символа d довольно близко соответствует этой современной концепции.

Хотя в нотации не подразумевается деление, нотация, подобная делению, полезна, поскольку во многих ситуациях оператор производной ведет себя как деление, что упрощает получение и запоминание некоторых результатов о производных. Это обозначение обязано своей долговечностью тому факту, что оно, кажется, достигает самой сути геометрических и механических приложений исчисления.

Обозначения Лейбница для высших производных

Если y = f ( x), n- я производная от f в обозначениях Лейбница имеет вид

${\ displaystyle f ^ {(n)} (x) = {\ frac {d ^ {n} y} {dx ^ {n}}}.}$

Это обозначение для второй производной получается с использованиемd/dx как оператор следующим образом,

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} \, = \, {\ frac {d} {dx}} \ left ({\ frac {dy} {dx}} \верно).}$

Третья производная, которую можно записать как,

${\ displaystyle {\ frac {d \ left ({\ frac {d \ left ({\ frac {dy} {dx}} \ right)} {dx}} \ right)} {dx}} \,,}$

можно получить из

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {3} y} {dx ^ {3}}} \, = \, {\ frac {d} {dx}} \ left ({\ frac {d ^ {2} y } {dx ^ {2}}} \ right) \, = \, {\ frac {d} {dx}} \ left ({\ frac {d} {dx}} \ left ({\ frac {dy} { dx}} \ right) \ right).}$

Точно так же индуктивно могут быть получены высшие производные.

Хотя при тщательно подобранных определениях можно интерпретировать dy/dxкак частное от дифференциалов этого не следует делать с формами более высокого порядка.

Однако это обозначение не использовалось Лейбницем. В печати он не использовал многоуровневую нотацию или числовые показатели (до 1695 г.). Например, чтобы написать x ³, он написал бы xxx, как это было принято в его время. Квадрат дифференциала, который может появиться, например, в формуле длины дуги, был записан как dxdx. Однако Лейбниц действительно использовал свою d- нотацию, как мы сегодня использовали бы операторы, а именно он записывал вторую производную как ddy и третью производную как dddy. В 1695 году Лейбниц начал писать d ² ⋅ x и d ³ ⋅ x для ddx и dddx соответственно, но Л'Опиталь в своем учебнике по исчислению, написанном примерно в то же время, использовал оригинальные формы Лейбница.

Использование в различных формулах

Одна из причин того, что обозначения Лейбница в исчислении сохранились так долго, заключается в том, что они позволяют легко вспомнить соответствующие формулы, используемые для дифференцирования и интегрирования. Например, цепное правило - предположим, что функция g дифференцируема в точке x и y = f ( u) дифференцируема в точке u = g ( x). Тогда составная функция y = f ( g ( x)) дифференцируема в точке x, и ее производная может быть выражена в обозначениях Лейбница как,

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {dy} {du}} \ cdot {\ frac {du} {dx}}.}$

Это можно обобщить, чтобы иметь дело с составными частями нескольких должным образом определенных и связанных функций, u 1, u 2,..., u n, и будет выражаться как,

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {dy} {du_ {1}}} \ cdot {\ frac {du_ {1}} {du_ {2}}} \ cdot {\ frac {du_ {2}} {du_ {3}}} \ cdots {\ frac {du_ {n}} {dx}}.}$

Кроме того, интегрирование по формуле подстановки может быть выражено как

${\ displaystyle \ int y \, dx = \ int y {\ frac {dx} {du}} \, du,}$

где x рассматривается как функция новой переменной u, а функция y слева выражается через x, а справа - через u.

Если y = f ( x), где f - обратимая дифференцируемая функция, производная обратной функции, если она существует, может быть задана следующим образом:

${\ displaystyle {\ frac {dx} {dy}} = {\ frac {1} {\ left ({\ frac {dy} {dx}} \ right)}},}$

где скобки добавлены, чтобы подчеркнуть тот факт, что производная не является дробью.

Однако при решении дифференциальных уравнений легко думать, что dy s и dx s разделимы. Один из простейших типов дифференциальных уравнений - это

${\ Displaystyle M (x) + N (y) {\ frac {dy} {dx}} = 0,}$

где M и N - непрерывные функции. Решить (неявно) такое уравнение можно, исследуя уравнение в его дифференциальной форме,

${\ Displaystyle М (х) dx + N (y) dy = 0}$

и интегрируя, чтобы получить

${\ Displaystyle \ int M (x) \, dx + \ int N (y) \, dy = C.}$

Переписывание, когда это возможно, дифференциального уравнения в эту форму и применение приведенного выше аргумента известно как метод разделения переменных для решения таких уравнений.

В каждом из этих случаев нотация Лейбница для производной, похоже, действует как дробь, хотя в ее современной интерпретации это не так.

В 1960-х годах, опираясь на более ранние работы Эдвина Хьюитта и Ежи Тоша, Абрахам Робинсон разработал математические объяснения бесконечно малых Лейбница, которые были приемлемы по современным стандартам строгости, и разработал нестандартный анализ, основанный на этих идеях. Методы Робинсона используют лишь небольшая часть математиков. Джером Кейслер написал учебник по исчислению для первого года обучения « Элементарное исчисление: бесконечно малый подход», основанный на подходе Робинсона.

С точки зрения современной теории бесконечно малых, Δ x является бесконечно малым приращением x, Δ y является соответствующим приращением y, а производная является стандартной частью бесконечно малого отношения:

${\ displaystyle f '(x) = {\ rm {st}} {\ Bigg (} {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}} {\ Bigg)}}$.

Затем устанавливается, так что по определению это отношение dy к dx. ${\ displaystyle dx = \ Delta x}$${\ displaystyle dy = f '(x) dx}$${\ displaystyle f '(x)}$

Точно так же, хотя большинство математиков сейчас рассматривают интеграл

${\ Displaystyle \ int е (х) \, dx}$

как предел

${\ displaystyle \ lim _ {\ Delta x \ rightarrow 0} \ sum _ {i} f (x_ {i}) \, \ Delta x,}$

где Δ x - интервал, содержащий x i, Лейбниц рассматривал его как сумму (знак интеграла для него обозначал суммирование) бесконечного числа бесконечно малых величин f ( x)  dx. С точки зрения нестандартного анализа, интеграл правильно рассматривать как стандартную часть такой бесконечной суммы.

Компромисс, необходимый для получения точности этих концепций, заключается в том, что набор действительных чисел должен быть расширен до набора гиперреальных чисел.

Лейбниц экспериментировал с множеством различных обозначений в различных областях математики. Он считал, что хорошая система обозначений является основой математических исследований. В письме к l'Hôpital в 1693 году он говорит:

Один из секретов анализа состоит в характеристике, т. Е. В искусстве умелого использования имеющихся знаков, и вы заметите, сэр, по небольшой рамке [на детерминантах], что Виета и Декарт не познали всех тайн..

Со временем он уточнил свои критерии хорошей записи и пришел к осознанию ценности «принятия символизма, который можно было бы выстроить в линию, как обычный шрифт, без необходимости расширять промежутки между линиями, чтобы освободить место для символов с растягивающимися частями». Например, в своих ранних работах он активно использовал винкулум для обозначения группировки символов, но позже он представил идею использования пар круглых скобок для этой цели, тем самым успокаивая наборщиков, которым больше не нужно было увеличивать промежутки между строками на странице. и сделать страницы более привлекательными.

Многие из более чем 200 новых символов, введенных Лейбницем, используются до сих пор. Помимо уже упомянутых дифференциалов dx, dy и знака интеграла (∫), он также ввел двоеточие (:) для деления, точку (⋅) для умножения, геометрические знаки для подобия (~) и сравнения (≅), использование знака равенства Recorde (=) для пропорций (вместо нотации Oughtred : :) и обозначения с двойным суффиксом для определителей.

• Обозначение Ньютона
• Противоречие между исчислениями Лейбница и Ньютона

• Бриггс, Уильям; Кокран, Лайл (2010), Исчисление / Ранние трансцендентальные методы / Одна переменная, Аддисон-Уэсли, ISBN   978-0-321-66414-3
• Кахори, Флориан (1993) [1928], История математических обозначений, Нью-Йорк: Довер, ISBN   0-486-67766-4
• Кац, Виктор Дж. (1993), История математики / Введение (2-е изд.), Аддисон Уэсли Лонгман, ISBN   978-0-321-01618-8
• Мазур, Джозеф (2014), Просвещающие символы / Краткая история математической нотации и ее скрытых возможностей, Princeton University Press, ISBN   978-0-691-17337-5
• Своковски, Эрл В. (1983), Исчисление с аналитической геометрией (альтернативный редактор), Приндл, Вебер и Шмидт, ISBN   0-87150-341-7