Действие (физика)

В физике, действие- это атрибут динамики физической системы, из которого уравнения движения системы могут быть выведены с помощью принципа стационарного действия. Действие - это математический функционал, который принимает траекторию, также называемую путем или историей, системы в качестве аргумента и имеет действительное число в качестве результата. Как правило, действие принимает разные значения для разных путей. Действие имеет измерения из [энергия] ⋅ [время] или [импульс] ⋅ [длина], а его единица СИ - джоуль -секунда. Действие представляет интерес только тогда, когда сохраняется полная энергия системы.

Содержание

• 1 Введение
  • 1.1 Решение дифференциального уравнения
  • 1.2 Минимизация интеграла действия
• 2 История
• 3 Математический определение
• 4 Действие в классической физике
  • 4.1 Действие (функционал)
  • 4.2 Сокращенное действие (функционал)
  • 4.3 Основная функция Гамильтона
  • 4.4 Характеристическая функция Гамильтона
  • 4.5 Другие решения Гамильтона – Якоби уравнения
  • 4.6 Действие обобщенной координаты
  • 4.7 Действие для гамильтонова потока
• 5 Уравнения Эйлера – Лагранжа для интеграла действия
  • 5.1 Пример: свободная частица в полярных координатах
• 6 Принцип действия
  • 6.1 Классические поля
  • 6.2 Законы сохранения
  • 6.3 Квантовая механика и квантовая теория поля
  • 6.4 Отдельная релятивистская частица
  • 6.5 Современные расширения
• 7 См. Также
• 8 Ссылки
• 9 Источники и дальнейшее чтение
• 10 Внешние ссылки

Введение

Принцип Гамильтона гласит, что Дифференциальные уравнения движения для любой физической системы можно переформулировать как эквивалентное интегральное уравнение. Таким образом, есть два различных подхода к формулированию динамических моделей.

Это применимо не только к классической механике отдельной частицы, но также к классическим полям, таким как электромагнитное и гравитационные поля. Принцип Гамильтона также был распространен на квантовую механику и квантовую теорию поля - в частности, формулировка интеграла по путям квантовой механики использует эту концепцию - где физическая система случайным образом следует по одному из возможных путей, причем фаза амплитуды вероятности для каждого пути определяется действием для этого пути.

Решение дифференциального уравнения

Эмпирические законы часто выражаются как дифференциальные уравнения, которые описывают, как физические величины, такие как положение и импульс, изменяются непрерывно с временем, пробел или его обобщение. Учитывая начальные и граничные условия для ситуации, «решением» этих эмпирических уравнений является одна или несколько функций, которые описывают поведение системы и являются называется уравнениями движения.

Минимизация интеграла действия

Действие является частью альтернативного подхода к поиску таких уравнений движения. Классическая механика постулирует, что путь, по которому фактически следует физическая система, - это путь, для которого действие минимизировано, или, в более общем смысле, стационарно. Другими словами, действие удовлетворяет вариационному принципу : принципу стационарного действия (см. Также ниже). Действие определяется интегралом, и классические уравнения движения системы могут быть получены путем минимизации значения этого интеграла.

Этот простой принцип обеспечивает глубокое понимание физики и является важным понятием в современной теоретической физике.

История

Действие было определено несколькими ныне устаревшими способами во время разработки

• Готфрид Лейбниц, Иоганн Бернулли и Пьер Луи Мопертюи определили действие света как интеграл его скорости или обратную скорость по длине его пути.
• Леонард Эйлер (и, возможно, Лейбниц) определил действие материальной частицы как интеграл скорости частицы на ее пути в пространстве.
• Пьер Луи Мопертюи ввел несколько специальных и противоречивых определений действия в рамках одной статьи, определяющей действие как потенциальную энергию, как виртуальную кинетическую энергию и как гибрид, обеспечивающий сохранение количества движения при столкновениях.

Математическое определение

Выражено математическим языком, используя вариационное исчисление, эволюция физики Физическая система (то есть, как система фактически переходит из одного состояния в другое) соответствует стационарной точке (обычно минимальной) действия.

Несколько различных определений «действия» широко используются в физике. Действие обычно представляет собой интеграл во времени. Однако, когда действие относится к полям, оно также может быть интегрировано по пространственным переменным. В некоторых случаях действие интегрируется по пути, по которому идет физическая система.

Действие обычно представлено как интеграл во времени, взятый на пути системы между начальным временем и окончательным временем разработки системы:

$S\; =\; \int \; t\; 1\; t\; 2\; L\; dt,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{t\_\; \{1\}\}\; ^\; \{t\_\; \{2\}\}\; L\; \backslash ,\; dt,\}$

где подынтегральное выражение L называется лагранжиан. Чтобы интеграл действия был четко определен, траектория должна быть ограничена во времени и пространстве.

Действие имеет измерения из [энергия] ⋅ [время], а его единица СИ - джоуль -секунда, что идентично единице углового момента.

Действие в классической физике

В классической физике термин «действие» имеет количество значений.

Действие (функциональное)

Чаще всего этот термин используется для функционального $S\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\}$, который принимает на входе функцию времени и (для полей ) пространство и возвращает скаляр . В классической механике входная функция - это эволюция q(t) системы между двумя временами t 1 и t 2 , где qпредставляет обобщенные координаты. Действие $S\; [q\; (t)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\; [\backslash \; mathbf\; \{q\}\; (t)]\}$определяется как интеграл лагранжиана L для входной эволюции между двумя временами:

$S\; [q\; (t)]\; =\; \int \; t\; 1\; t\; 2\; L\; [q\; (t),\; q\; \dot{}\; (t),\; t]\; dt,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\; [\backslash \; mathbf\; \{q\}\; (t)]\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{t\_\; \{1\}\}\; ^\; \{t\_\; \{2\}\}\; L\; [\backslash \; mathbf\; \{q\}\; (t),\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{q\}\}\}\; (t),\; t]\; \backslash ,\; dt,\}$

где конечные точки эволюции фиксированы и определены как $q\; 1\; =\; q\; (t\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; \_\; \{1\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; (t\_\; \{1\})\}$и $q\; 2\; =\; q\; (t\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; \_\; \{\; 2\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; (t\_\; \{2\})\}$. Согласно принципу Гамильтона, истинная эволюция qtrue (t) - это эволюция, для которой действие $S\; [q\; (t)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\; \}\; [\backslash \; mathbf\; \{q\}\; (t)]\}$- стационарный (минимум, максимум или седловая точка ). Этот принцип приводит к уравнениям движения в лагранжевой механике.

Сокращенное действие (функционал)

Обычно обозначается как $S\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\; \_\; \{0\}\; \}$, это тоже функционал. Здесь входная функция - это путь, по которому проходит физическая система, без учета ее параметризации по времени. Например, траектория планетарной орбиты представляет собой эллипс, а путь частицы в однородном гравитационном поле - параболу; в обоих случаях путь не зависит от того, как быстро частица проходит путь. Сокращенное действие $S\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\; \_\; \{0\}\}$определяется как интеграл обобщенных импульсов вдоль пути в обобщенных координатах :

$S\; 0\; знак\; равно\; \int \; p\; \cdot \; dq\; =\; \int \; pidqi.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\; \_\; \{0\}\; =\; \backslash \; int\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; =\; \backslash \; int\; p\_\; \{i\}\; \backslash ,\; dq\_\; \{i\}.\}$

Согласно принцип Мопертюи, истинный путь - это путь, для которого сокращенное действие $S\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\; \_\; \{0\}\}$равно стационарный.

главная функция Гамильтона

Основная функция Гамильтона определяется уравнениями Гамильтона – Якоби (HJE), другой альтернативной формулировкой классической механики. Эта функция S связана с функционалом $S\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\}$, фиксируя начальное время t 1 и начальную конечную точку q1и обеспечение возможности изменения верхних пределов t 2 и второй конечной точки q2; эти переменные являются аргументами функции S. Другими словами, функция действия S является неопределенным интегралом лагранжиана по времени.

характеристическая функция Гамильтона

Когда полная энергия E сохраняется, уравнение Гамильтона – Якоби может быть решено с помощью аддитивного разделения переменных :

$S\; (q\; 1,\dots ,\; q\; N,\; t)\; знак\; равно\; W\; (q\; 1,\dots ,\; q\; N)\; -\; E\; \cdot \; t,\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (q\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; q\_\; \{N\},\; t)\; =\; W\; (\; q\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; q\_\; \{N\})\; -\; E\; \backslash \; cdot\; t,\}$

где не зависящая от времени функция W (q 1 , q 2 ,… q N ) называется характеристической функцией Гамильтона. Физический смысл этой функции можно понять, взяв ее полную производную по времени

$d\; W\; d\; t\; =\; \partial \; W\; \partial \; q\; i\; q\; \dot{}\; i\; =\; p\; i\; q\; \dot{}\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dW\}\; \{dt\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; W\}\; \{\backslash \; partial\; q\_\; \{i\}\}\}\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; \_\; \{i\}\; =\; p\_\; \{i\}\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; \_\; \{i\}.\}$

Это может быть интегрировано, чтобы получить

$W\; (q\; 1,\dots ,\; q\; N)\; =\; \int \; piq\; \dot{}\; idt\; =\; \int \; pidqi,\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; (q\_\; \{1\}\; ,\; \backslash \; dots,\; q\_\; \{N\})\; =\; \backslash \; int\; p\_\; \{i\}\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; \_\; \{i\}\; \backslash ,\; dt\; =\; \backslash \; int\; p\_\; \{i\}\; \backslash ,\; dq\_\; \{i\},\}$

который является просто сокращенное действие.

Другие решения уравнений Гамильтона – Якоби

Уравнения Гамильтона – Якоби часто решаются методом аддитивной разделимости; в некоторых случаях отдельные члены решения, например S k(qk), также называются «действием».

Действие обобщенной координаты

Это единственная переменная J k в координатах действие-угол, определенных путем интегрирования единственного обобщенного импульса вокруг замкнутой траектории в фазовом пространстве, соответствующем вращательному или колебательному движению:

$J\; k\; =\; \oint \; pkdqk\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{k\}\; =\; \backslash \; oint\; p\_\; \{k\}\; \backslash ,\; dq\_\; \{k\}\}$

Переменная J k называется "действием" обобщенной координаты q k ; соответствующая каноническая переменная, сопряженная с J k , является его «углом» w k по причинам, более подробно описанным в разделе координаты действие-угол. Интегрирование осуществляется только по одной переменной q k и, следовательно, в отличие от интегрированного скалярного произведения в сокращенном интеграле действия выше. Переменная J k равна изменению в S k(qk), поскольку q k изменяется вокруг замкнутого пути. Для нескольких представляющих интерес физических систем J k либо является постоянным, либо изменяется очень медленно; следовательно, переменная J k часто используется в расчетах возмущений и при определении адиабатических инвариантов.

Действие для гамильтонова потока

См. тавтологическая одноформа.

Уравнения Эйлера – Лагранжа для интеграла действия

Как отмечалось выше, требование, чтобы интеграл действия был стационарным при малых возмущениях эволюции, эквивалентно набору дифференциальных уравнений (называемые уравнениями Эйлера – Лагранжа ), которые могут быть определены с использованием вариационного исчисления. Мы проиллюстрируем этот вывод здесь, используя только одну координату, x; расширение до нескольких координат простое.

Принимая принцип Гамильтона, мы предполагаем, что лагранжиан L (подынтегральная функция интеграла действия) зависит только от координаты x (t) и ее времени производная dx (t) / dt, а также может явно зависеть от времени. В этом случае интеграл действия может быть записан как

$S\; =\; \int \; t\; 1\; t\; 2\; L\; (x,\; x\; \dot{},\; t)\; dt,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{t\_\; \{1\; \}\}\; ^\; \{t\_\; \{2\}\}\; L\; (x,\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\},\; t)\; \backslash ,\; dt,\}$

где начальное и конечное время (t 1 и t 2 ), а конечная и начальная позиции указываются заранее как $x\; 1\; =\; x\; (t\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\}\; =\; x\; (t\_\; \{1\})\}$и $x\; 2\; =\; x\; (t\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{2\}\; =\; x\; (t\_\; \{2\})\}$. Пусть x true (t) представляет истинную эволюцию, которую мы ищем, и пусть $x\; per\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \_\; \{\backslash \; text\; \{per\}\}\; (t)\}$быть его слегка измененной версией, хотя и с теми же конечными точками, $x\; per\; (t\; 1)\; =\; x\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \_\; \{\backslash \; text\; \{per\}\}\; (t\_\; \{1\})\; =\; x\_\; \{1\}\}$и $x\; per\; (t\; 2)\; =\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \_\; \{\backslash \; text\; \{per\}\}\; (t\_\; \{2\})\; =\; x\_\; \{2\}\}$. Разница между этими двумя эволюциями, которую мы назовем $\epsilon \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; (t)\}$, всегда бесконечно мала:

$\epsilon \; (t)\; =\; x\; per\; (t)\; -\; x\; истинно\; (t).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; (t)\; =\; x\; \_\; \{\backslash \; text\; \{per\}\}\; (t)\; -x\; \_\; \{\backslash \; text\; \{true\}\}\; (t).\}$

В конечных точках разница исчезает, т. е. $\epsilon \; (t\; 1)\; =\; \epsilon \; (t\; 2)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; (t\_\; \{1\})\; =\; \backslash \; varepsilon\; (t\_\; \{2\})\; =\; 0\}$.

Разница между интегралами действий в расширенном до первого порядка для двух эволюций

Интегрирование по частям последнего члена вместе с граничными условиями $\epsilon \; (t\; 1)\; =\; \epsilon \; (t\; 2)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; (t\_\; \{1\})\; =\; \backslash \; varepsilon\; (t\_\; \{\; 2\})\; =\; 0\}$, получаем уравнение

$\delta \; S\; =\; \int \; t\; 1\; t\; 2\; (\epsilon \; \partial \; L\; \partial \; x\; -\; \epsilon \; ddt\; \partial \; L\; \partial \; x\; \dot{})\; dt.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{t\_\; \{1\}\}\; ^\; \{t\_\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; varepsilon\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; -\; \backslash \; varepsilon\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; dt.\}$

Требование, чтобы $S\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\}$быть стационарным подразумевает, что изменение первого порядка должно быть нулевым для любого возможного возмущения ε (t) относительно истинной эволюции:

$\delta \; S\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\; =\; 0\}$

Это может быть верно, только если

$\partial \; L\; \partial \; x\; -\; ddt\; \partial \; L\; \partial \; Икс\; \dot{}\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; partial\; L\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\}\; -\; \{d\; \backslash \; over\; dt\}\; \{\backslash \; partial\; L\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\}\; =\; 0\}$

Уравнение Эйлера – Лагранжа выполняется при условии, что функциональная производная интеграла действия тождественно равна нулю:

$\delta \; S\; \delta \; x\; (t)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; delta\; \{\backslash \; mathcal)\; \{S\}\}\}\; \{\backslash \; delta\; x\; (t)\}\}\; =\; 0.\}$

Величина $\partial \; L\; \partial \; x\; \dot{}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; dot\; \{x\; \}\}\}\}\}$является кал привел сопряженный импульс для координаты x. Важным следствием уравнений Эйлера – Лагранжа является то, что если L явно не содержит координату x, то есть

, если $\partial \; L\; \partial \; x\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\; \}\; =\; 0\}$, затем $\partial \; L\; \partial \; x\; \dot{}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\}\}\}$постоянна во времени.

В таких случаях координата x называется циклической координатой, и ее сопряженный импульс сохраняется.

Пример: свободная частица в полярных координатах

Простые примеры помогают оценить использование принципа действия через уравнения Эйлера – Лагранжа. Свободная частица (масса m и скорость v) в евклидовом пространстве движется по прямой. Используя уравнения Эйлера – Лагранжа, это можно показать в полярных координатах следующим образом. В отсутствие потенциала лагранжиан просто равен кинетической энергии

$L\; =\; 1\; 2\; mv\; 2\; =\; 1\; 2\; m\; (x\; \dot{}\; 2\; +\; y\; \dot{}\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\; 2\}\}\; mv\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; m\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; dot\; \{y\}\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\}$

в ортонормированных (x, y) координатах, где точка представляет дифференцирование по параметру кривой (обычно время t). В полярных координатах (r, φ) кинетическая энергия и, следовательно, лагранжиан становятся

$L\; =\; 1\; 2\; m\; (r\; \dot{}\; 2\; +\; r\; 2\; \phi \; \dot{}\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; m\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; dot\; \{r\}\}\; ^\; \{2\}\; +\; r\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; varphi\}\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right\; ).\}$

Радиальная r и угловая φ компоненты уравнений Эйлера – Лагранжа становятся соответственно

Решение этих двух уравнений дается выражением

для набор констант a, b, c, d, определяемых начальными условиями. Таким образом, решение действительно представляет собой прямую, заданную в полярных координатах.

Принцип действия

Классические поля

Принцип действияможет быть расширен для получения уравнений движения для полей, например, электромагнитное поле или гравитационное поле.

В уравнении Эйнштейна используется действие Эйнштейна – Гильберта, ограниченное вариационным принципом .

траектория (путь в пространстве-времени ) тела в гравитационном поле может быть найдена с использованием принципа действия. Для свободно падающего тела эта траектория является геодезической.

Законы сохранения

Последствия симметрии в физической ситуации можно найти с помощью принципа действия вместе с уравнениями Эйлера – Лагранжа, которые выводятся из принципа действия. Примером может служить теорема Нётер, которая утверждает, что каждой непрерывной симметрии в физической ситуации соответствует закон сохранения (и наоборот). Эта глубокая связь требует принятия принципа действия.

Квантовая механика и квантовая теория поля

В квантовой механике система не следует единственному пути, действие которого стационарно, а поведение система зависит от всех разрешенных путей и ценности их действия. Действие, соответствующее различным путям, используется для вычисления интеграла по путям, который дает амплитуды вероятности различных результатов.

Хотя в классической механике он эквивалентен законам Ньютона, принцип действиялучше подходит для обобщений и играет важную роль в современной физике. Действительно, этот принцип - одно из величайших обобщений в физической науке. Лучше всего это понимается в рамках квантовой механики, особенно в формулировке интеграла по путям Ричарда Фейнмана, где он возникает из деструктивной интерференции квантовых амплитуд.

Уравнения Максвелла могут также быть выведены как условия стационарного действия.

Отдельная релятивистская частица

Когда релятивистские эффекты значительны, действие точечной частицы массы m, перемещающейся через мировая линия C, параметризованная собственным временем $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$, составляет

$S\; =\; -\; mc\; 2\; \int \; C\; d\; \tau .\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; -mc\; ^\; \{2\}\; \backslash \; int\; \_\; \{C\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; tau.\}$

Если вместо этого, частица параметризуется координатным временем t частицы, а координатное время изменяется от t 1 на t 2 , тогда действие становится

$\int \; t\; 1\; t\; 2\; L\; dt,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{t1\}\; ^\; \{t2\}\; L\; \backslash ,\; dt,\}$

где лагранжиан is

$L\; =\; -\; mc\; 2\; 1\; -\; v\; 2\; c\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; -mc\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{v\; ^\; \{2\}\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\}\}.\}$

Современные расширения

Принцип действия можно обобщить и дальше. Например, действие не обязательно должно быть целым, потому что нелокальные действия возможны. Конфигурационное пространство даже не обязательно должно быть функциональным пространством, учитывая определенные особенности, такие как некоммутативная геометрия. Однако физическая основа для этих математических расширений еще предстоит установить экспериментально.

См. Также

• Вариационное исчисление
• Функциональная производная
• Функциональный интеграл
• Гамильтонова механика
• Лагранжиан
• Лагранжева механика
• Мера (физика)
• Теорема Нётер
• Формулировка интеграла по путям
• Принцип наименьшего действия
• Принцип максимальной энтропии
• Некоторые действия:
  • Действие Намбу – Гото
  • Действие Полякова
  • Действие Баггера – Ламберта – Густавссона
  • Действие Эйнштейна – Гильберта

Ссылки

Источники и дополнительная литература

Для аннотированной библиографии см. Эдвин Ф. Тейлор, который перечисляет, среди прочего, следующие книги

• The Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978- 0-521-57507-2.
• Корнелиус Ланцош, Вариационные принципы механики (Dover Publications, Нью-Йорк, 1986). ISBN 0-486-65067-7. Ссылка, наиболее цитируемая всеми, кто исследует эту область.
• Л. Д. Ландау и Э. М. Лифшиц, Механика, Курс теоретической физики (Butterworth-Heinenann, 1976), 3-е изд., Т. 1. ISBN 0-7506-2896-0. Начинается с принципа наименьшего действия.
• Томас А. Мур «Принцип наименьшего действия» в Энциклопедии физики Macmillan (Simon & Schuster Macmillan, 1996), том 2, ISBN 0-02-897359-3, OCLC 35269891, страницы 840-842.
• Джеральд Джей Сассман и Джек Уисдом, Структура и интерпретация классической механики (MIT Press, 2001). Начинается с принципа наименьшего действия, использует современные математические обозначения и проверяет ясность и согласованность процедур, программируя их на компьютерном языке.
• Дэйр А. Уэллс, Lagrangian Dynamics, Outline Series Шаума (McGraw-Hill, 1967) ISBN 0-07-069258-0, 350-страничный исчерпывающий «план» предмета.
• Роберт Вайншток, Вариационное исчисление , с приложениями к физике и технике (Dover Publications, 1974). ISBN 0-486-63069-2. Старый, но полезный, с формализмом, тщательно определенным перед использованием в физике и технике.
• и Стэнли Мандельштам, Вариационные принципы в динамике и квантовой теории (Dover Publications, 1979). Хорошая трактовка, которая не избегает философских последствий теории и восхваляет фейнмановскую трактовку квантовой механики, которая сводится к принципу наименьшего действия в пределе большой массы.
• страница Эдвина Ф. Тейлора.

Внешние ссылки

• Принцип наименьшего действия интерактивного Интерактивное объяснение / веб-страница