Войти
Фазовый путь осциллятора затухания 
Фазовое пространство динамической системы с фокусная стабильность, показывающая одно фазовое пространство траектория В теории динамических систем, фазовое пространство - это пространство, в котором все возможные состояния система представлена с каждым возможным состоянием, соответствующим одной уникальной точке в фазовом пространстве. Для механических систем фазовое пространство обычно состоит из всех возможных значений переменных позиция и импульс. Концепция фазового пространства была разработана в конце 19 века Людвигом Больцманном, Анри Пуанкаре и Джозайей Уиллардом Гиббсом.
В фазовом пространстве каждые степень свободы или параметр системы представлен в виде оси многомерного пространства; Одномерная система называется фазовой линией, а двумерная система называется фазовой плоскостью. Для каждого возможного состояния системы или допустимой комбинации значений параметров системы точка включается в многомерное пространство. Состояние системы, эволюционирующее во времени, отслеживает путь (траектория в фазовом пространстве для системы) через многомерное пространство. Траектория в фазовом пространстве представляет собой набор состояний, совместимых с запуском из одного конкретного начального условия, расположенного в полном фазовом пространстве, которое представляет набор состояний, совместимых с запуском из любого начального условия. В целом фазовая диаграмма представляет все, чем может быть система, и ее форма может легко прояснить качества системы, которые в противном случае могли бы быть неочевидными. Фазовое пространство может содержать большое количество измерений. Например, для газа, содержащего много молекул, может потребоваться отдельное измерение для положений и импульсов каждой частицы по x, y и z (6 измерений для идеализированного одноатомного газа), а для более сложных молекулярных систем требуются дополнительные измерения для описания колебательных режимов молекулярные связи, а также вращаются вокруг 3-х осей. Фазовые пространства легче использовать при анализе поведения механических систем, ограниченных движением вокруг и вдоль различных осей вращения или перемещения, например в робототехнике, например, анализ диапазона движения манипулятора манипулятора или определение оптимального пути для достижения определенного результата положения / импульса.
Эволюция ансамбля классических систем в фазовом пространстве (вверху). Системы представляют собой массивную частицу в одномерной потенциальной яме (красная кривая, нижний рисунок). Первоначально компактный ансамбль со временем закручивается. В классической механике любой выбор обобщенных координат qiдля положения (то есть координат в пространстве конфигурации ) определяет сопряженные обобщенные импульсы pi, которые вместе определяют координаты на фазовом пространстве. Более абстрактно, в классической механике фазовое пространство - это кокасательное расслоение конфигурационного пространства, и в этой интерпретации описанная выше процедура выражает, что выбор локальных координат в конфигурационном пространстве вызывает выбор естественных локальных координат Дарбу. для стандартной симплектической структуры на котангенсном пространстве.
Движение ансамбля систем в этом пространстве изучается классической статистической механикой. Локальная плотность точек в таких системах подчиняется теореме Лиувилля, и поэтому может считаться постоянной. В контексте модельной системы в классической механике координаты фазового пространства системы в любой момент времени состоят из всех динамических переменных системы. Благодаря этому можно вычислить состояние системы в любой момент времени в будущем или прошлом путем интегрирования уравнений движения Гамильтона или Лагранжа.
Иллюстрация того, как можно построить фазовый портрет для движения простого маятника.
Течение временного ряда в фазовом пространстве, заданное дифференциальным уравнением маятника. Ось X соответствует положению маятника, а ось Y - его скорости. Для простых систем может быть всего одна или две степени свободы. Одна степень свободы возникает, когда у человека есть автономное обыкновенное дифференциальное уравнение с одной переменной, 
Фазовое пространство двумерной системы называется фазовой плоскостью, которая возникает в классической механике для одиночной частицы, движущейся в одном измерении, и где две переменные - это положение и скорость.. В этом случае набросок фазового портрета может дать качественную информацию о динамике системы, например, о предельном цикле осциллятора Ван дер Поля показано на схеме.
Здесь по горизонтальной оси указано положение, а по вертикальной оси - скорость. По мере развития системы ее состояние следует одной из линий (траекторий) на фазовой диаграмме.
Фазовый портрет осциллятора Ван дер Поля Классическими примерами фазовых диаграмм из теории хаоса являются:
График Переменные положения и импульса как функции времени иногда называют фазовой диаграммой или фазовой диаграммой . Однако последнее выражение, «фазовая диаграмма », более Обычно в физических науках используется диаграмма, показывающая различные области стабильности термодинамических фаз химической системы, которая состоит из давления, температуры и
В квантовой механике координаты p и q фазового пространства обычно становятся эрмитовыми операторами в Гильберте. пробел.
Но в качестве альтернативы они могут сохранить свой класс Их функциональная интерпретация при условии, что их функции складываются новыми алгебраическими способами (посредством звездного произведения Гроенвольда 1946 года ). Это согласуется с принципом неопределенности квантовой механики. Каждая квантово-механическая наблюдаемая соответствует уникальной функции или распределению в фазовом пространстве, и наоборот, как указано Германом Вейлем (1927) и дополнено Джон фон Нейман (1931); Юджин Вигнер (1932); и, в большом синтезе, Г. Дж. Греневольд (1946). С помощью Дж. Э. Мойала (1949) они завершили основы формулировки фазового пространства квантовой механики, полной и логически автономной переформулировки квантовой механики. (Его современные абстракции включают квантование деформации и геометрическое квантование.)
Ожидаемые значения при квантовании в фазовом пространстве получаются изоморфно отслеживанию наблюдаемых операторов с помощью матрицы плотности в Гильберте. пространство: они получены интегралами по фазовому пространству наблюдаемых, причем квазивероятностное распределение Вигнера эффективно служит мерой.
Таким образом, выражая квантовую механику в фазовом пространстве (та же область, что и для классической механики), отображение Вейля облегчает распознавание квантовой механики как деформации (обобщение) классической механики, с параметром деформации ħ / S, где S - действие соответствующего процесса. (Другие известные деформации в физике включают деформацию классической ньютоновской теории в релятивистскую механику с параметром деформации v / c; или деформацию ньютоновской гравитации в общую теорию относительности с параметром деформации Радиус Шварцшильда / характеристическая размерность.)
Классические выражения, наблюдаемые и операции (такие как скобки Пуассона) модифицируются с помощью ħ-зависимых квантовых поправок, как обычное коммутативное умножение, применяемое в классической механике. обобщены на некоммутативное умножение звезд, характеризующее квантовую механику и лежащее в основе ее принципа неопределенности.
В контекстах термодинамики и статистической механики термин фазовое пространство имеет два значения: во-первых, он используется в в том же смысле, что и в классической механике. Если термодинамическая система состоит из N частиц, то точка в 6N-мерном фазовом пространстве описывает динамическое состояние каждой частицы в этой системе, поскольку каждая частица связана с трехпозиционными переменными и тремя переменными импульса. В этом смысле, пока частицы различимы, точка в фазовом пространстве называется микросостоянием системы. (Для неразличимых частиц микросостояние будет состоять из набора из N! Точек, соответствующих всем возможным обменам N частиц.) N обычно порядка числа Авогадро, таким образом описание системы на микроскопическом уровне часто нецелесообразно. Это приводит к использованию фазового пространства в другом смысле.
Фазовое пространство также может относиться к пространству, которое параметризуется макроскопическими состояниями системы, такими как давление, температура и т. Д. Например, можно просмотреть диаграмму давление-объем или диаграммы энтропии-температуры. как описание части этого фазового пространства. Соответственно, точка в этом фазовом пространстве называется макросостоянием. Легко может быть несколько микросостояний с одним и тем же макросостоянием. Например, при фиксированной температуре система может иметь множество динамических конфигураций на микроскопическом уровне. При использовании в этом смысле фаза - это область фазового пространства, в которой находится рассматриваемая система, например, в жидкой фазе или твердой фазе и т. Д.
Поскольку микросостояний намного больше, чем макросостояний, фазовое пространство в первом смысле обычно представляет собой многообразие гораздо больших размеров, чем во втором смысле. Ясно, что для регистрации каждой детали системы вплоть до молекулярного или атомного масштаба требуется гораздо больше параметров, чем просто указать, скажем, температуру или давление в системе.
Фазовое пространство широко используется в не отображающей оптике, ветви оптики, посвященной освещению. Это также важное понятие в гамильтоновой оптике.
В классической статистической механике (непрерывные энергии) концепция фазового пространства представляет собой классический аналог статистической суммы (сумма по состояниям), известная как фазовый интеграл. Вместо суммирования фактора Больцмана по дискретно разнесенным энергетическим состояниям (определяемым соответствующими целыми квантовыми числами для каждой степени свободы) можно интегрировать по непрерывному фазовому пространству. Такое интегрирование по существу состоит из двух частей: интегрирования импульсной составляющей всех степеней свободы (импульсное пространство) и интегрирования позиционной составляющей всех степеней свободы (конфигурационное пространство). Как только фазовый интеграл известен, его можно связать с классической статистической суммой путем умножения нормировочной константы, представляющей количество состояний квантовой энергии на единицу фазового пространства. Эта нормализационная константа является просто величиной, обратной постоянной Планка, возведенной в степень, равную количеству степеней свободы системы.
