Радиус Шварцшильда

Связь между свойствами массы и соответствующими физическими константами. Считается, что каждый массивный объект обладает всеми пятью свойствами. Однако из-за очень больших или очень маленьких констант, как правило, невозможно проверить более двух или трех свойств для любого объекта.

• Радиус Шварцшильда (rs) представляет способность массы вызывать искривление в пространстве и времени.
• Стандартный гравитационный параметр (μ) представляет собой способность массивного тела воздействовать на другие тела ньютоновскими силами тяготения.
• Инерционная масса (м) представляет собой ньютоновский отклик массы на силы.
• Энергия покоя (E0) представляет способность массы преобразовываться в другие формы энергии.
• Комптоновская длина волны (λ) представляет собой квантовый отклик массы на локальную геометрию.

Радиус Шварцшильда (иногда исторически именуемый гравитационным радиусом ) - это физический параметр, который появляется в решении Шварцшильда до уравнений поля Эйнштейна, соответствующих радиус, определяющий горизонт событий черной дыры Шварцшильда . Это характерный радиус, связанный с каждым количеством массы. Радиус Шварцшильда (Sch. R) был назван в честь немецкого астронома Карла Шварцшильда, который рассчитал это точное решение для теории общей теории относительности в 1916 году.

Радиус Шварцшильда задается как

$rs\; =\; 2\; GM\; c\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{s\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2GM\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\},\}$

где G - гравитационная постоянная, M - масса объекта, а c - скорость света.

Содержание

• 1 История
• 2 Параметры
• 3 Вывод
• 4 Классификация черных дыр по радиусу Шварцшильда
  • 4.1 Сверхмассивная черная дыра
  • 4.2 Звездная черная дыра
  • 4.3 Первичная черная дыра
• 5 Другое применение
  • 5.1 В гравитационном замедлении времени
  • 5.2 В ньютоновских гравитационных полях
  • 5.3 На кеплеровских орбитах
  • 5.4 Релятивистские круговые орбиты и фотонная сфера
  • 5.5 Радиус Шварцшильда для массы Планка
  • 5.6 Радиус Шварцшильда и принцип неопределенности в масштабе Планка
• 6 См. Также
• 7 Примечания
• 8 Ссылки

История

В 1916 году Карл Шварцшильд получил точное решение уравнений Эйнштейна для гравитационного поля вне невращающегося сферически-симметричного тела с массой $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$(см. метрика Шварцшильда ). Решение содержало термины вида $1\; -\; rs\; /\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; 1-\; \{r\_\; \{s\}\}\; /\; r\}$и $1\; 1\; -\; rs\; /\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1-\; \{r\_\; \{s\}\}\; /\; r\}\}\}$, которые становятся сингулярным при $r\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; 0\}$и $r\; =\; rs\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; r\_\; \{s\}\}$соответственно. $r\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{s\}\}$стал известен как радиус Шварцшильда. Физическое значение этих особенностей обсуждалось на протяжении десятилетий. Было обнаружено, что точка в $r\; =\; rs\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; r\_\; \{s\}\}$является сингулярностью координат, что означает, что это артефакт конкретной системы координат, которая использовалась, а тот, который находится в $r\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; 0\}$, является физическим и не может быть удален. Радиус Шварцшильда, тем не менее, является физически значимой величиной, как отмечалось выше и ниже.

Это выражение ранее было вычислено с использованием механики Ньютона как радиус сферически-симметричного тела, при котором убегающая скорость была равна скорости света. Он был идентифицирован в 18 веке Джоном Мичеллом и астрономами 19-го века, такими как Пьер-Симон Лаплас.

Параметры

Радиус Шварцшильда объекта пропорционален масса. Соответственно, Солнце имеет радиус Шварцшильда приблизительно 3,0 км (1,9 мили), тогда как радиус Земли составляет всего около 9 мм (0,35 дюйма), а Луна составляет около 0,1 мм (0,0039 дюйма). Масса наблюдаемой Вселенной имеет радиус Шварцшильда приблизительно 13,7 миллиарда световых лет.

Объект	Масса: $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$	радиус Шварцшильда : $2\; GM\; c\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{2GM\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\}$	Плотность Шварцшильда: $3\; c\; 6\; 32\; \pi \; G\; 3\; M\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{3c\; ^\; \{6\}\}\; \{32\; \backslash \; pi\; G\; ^\; \{3\}\; M\; ^\; \{2\}\}\}\}$или $3\; c\; 2\; 8\; \pi \; G\; r\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{3c\; ^\; \{2\}\}\; \{8\; \backslash \; pi\; Gr\; ^\; \{2\}\}\}\}$
Наблюдаемая Вселенная	8,8 × 10 кг	1,3 × 10 м (13,7 млрд ly )	9,5 × 10 кг / м
Млечный Путь	1,6 × 10 кг	2,4 × 10 м (~ 0,25 ly )	0,000029 кг / м
TON 618 (самая большая известная черная дыра )	1,3 × 10 кг	1,9 × 10 м (~ 1300 AU )	0,0045 кг / м
SMBH в NGC 4889	4,2 × 10 кг	6,2 × 10 м	0,042 кг / м
SMBH в Мессье 87	1,3 × 10 кг	1,9 × 10 м	0,44 кг / м
SMBH в Галактика Андромеды	3,4 × 10 кг	5,0 × 10 м	640 кг / м
Стрелец A * (SMBH в Млечном Пути)	8,2 × 10 кг	1.2 × 10 м	1,1 × 10 кг / м
Солнце	1,99 × 10 кг	2,95 × 10 м	1,84 × 10 кг / м
Юпитер	1,90 × 10 кг	2,82 метра	2,02 × 10 кг / м
Земля	5,97 × 10 кг	8,87 × 10 м	2,04 × 10 кг / м
Луна	7,35 × 10 кг	1,09 × 10 м	1,35 × 10 кг / м
Человек	70 кг	1,04 × 10 м	1,49 × 10 кг / м
Биг Мак	0,215 кг	3,19 × 10 м	1,58 × 10 кг / м
Планковская масса	2,18 × 10 кг	3,23 × 10 м	1,54 × 10 кг / м

Вывод

Классификация черных дыр по радиусу Шварцшильда

Классификация черных дыр

Класс	Прибл.. масса	Прибл.. радиус
Сверхмассивная черная дыра	10–10 M Солнце	0,001–400 AU
Черная дыра средней массы	10 M Солнце	10 км ≈ R Земля
Звездная черная дыра	10 M Солнце	30 км
Микро-черная дыра	до M Луна	до 0,1 мм

Любой объект, радиус которого меньше, чем его радиус Шварцшильда. диус называется черной дырой. Поверхность в радиусе Шварцшильда действует как горизонт событий в невращающемся теле (вращающаяся черная дыра работает несколько иначе). Ни свет, ни частицы не могут выйти через эту поверхность из области внутри, отсюда и название «черная дыра».

Черные дыры могут быть классифицированы на основе их радиуса Шварцшильда или, что эквивалентно, их плотности, где плотность определяется как масса черной дыры, деленная на объем ее сферы Шварцшильда. Поскольку радиус Шварцшильда линейно связан с массой, а замкнутый объем соответствует третьей степени радиуса, поэтому маленькие черные дыры гораздо плотнее больших. Объем, заключенный в горизонте событий самых массивных черных дыр, имеет среднюю плотность ниже, чем у звезд главной последовательности.

Сверхмассивная черная дыра

A Сверхмассивная черная дыра (SMBH) - самый большой тип черной дыры, хотя существует несколько официальных критериев того, как такой объект считается таким, порядка сотен от тысяч до миллиардов солнечных масс. (Были обнаружены сверхмассивные черные дыры размером до 21 миллиарда (2,1 × 10) M☉, например NGC 4889.) В отличие от черных дыр звездных масс, сверхмассивные черные дыры имеют сравнительно низкие средние плотности. (Обратите внимание, что (невращающаяся) черная дыра - это сферическая область в пространстве, которая окружает сингулярность в ее центре; это не сама сингулярность.) С учетом этого средняя плотность сверхмассивной черной дыры может быть меньше, чем плотность воды.

Радиус Шварцшильда тела пропорционален его массе и, следовательно, его объему, если предположить, что тело имеет постоянную плотность массы. Напротив, физический радиус тела пропорционален кубическому корню из его объема. Следовательно, по мере того, как тело накапливает материю с заданной фиксированной плотностью (в этом примере 997 кг / м, плотность воды), его радиус Шварцшильда будет увеличиваться быстрее, чем его физический радиус. Когда тело такой плотности вырастет до примерно 136 миллионов солнечных масс (1,36 × 10) M☉, его физический радиус превзойдет его радиус Шварцшильда, и, таким образом, оно образует сверхмассивную черную дыру.

Считается, что подобные сверхмассивные черные дыры не образуются сразу в результате сингулярного коллапса звездного скопления. Вместо этого они могут начать жизнь в виде меньших черных дыр звездных размеров и расти за счет аккреции вещества или даже других черных дыр.

Радиус Шварцшильда сверхмассивной черной дыры при Галактический Центр составляет приблизительно 12 миллионов километров.

Звездная черная дыра

Звездные черные дыры имеют гораздо большую среднюю плотность, чем сверхмассивные черные дыры. Если накапливать вещество с ядерной плотностью (плотность ядра атома, около 10 кг / м ; нейтронные звезды также достигают этой плотности), такие скопление попало бы в его собственный радиус Шварцшильда примерно на 3 M☉и, таким образом, было бы звездной черной дырой.

Изначальной черной дырой

Небольшая масса имеет чрезвычайно малый радиус Шварцшильда. Масса, подобная горе Эверест, имеет радиус Шварцшильда, намного меньший, чем нанометр. Его средняя плотность при таком размере будет настолько высока, что ни один известный механизм не сможет формировать такие чрезвычайно компактные объекты. Такие черные дыры могли образоваться на ранней стадии эволюции Вселенной, сразу после Большого взрыва, когда плотности были чрезвычайно высоки. Следовательно, эти гипотетические миниатюрные черные дыры называются первичными черными дырами.

Другие применения

В гравитационном замедлении времени

Гравитационное замедление времени рядом с большим, медленно вращающимся, почти сферическим телом, такие как Земля или Солнце, можно разумно аппроксимировать с использованием радиуса Шварцшильда следующим образом:

$trt\; =\; 1\; -\; rsr\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{t\_\; \{r\}\}\; \{t\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{s\}\}\}\; \{r\}\}\}\}\}$

где:

tr- время, прошедшее для наблюдателя с радиальной координатой r в гравитационном поле;

t- время, прошедшее для наблюдатель, удаленный от массивного объекта (и, следовательно, вне гравитационного поля);

r- радиальная координата наблюдателя (которая аналогична классическому расстоянию от центра объекта);

rs- радиус Шварцшильда.

Результаты эксперимента Паунда – Ребки в 1959 году оказались совместимыми с предсказаниями общей теории относительности. Измеряя гравитационное замедление времени Земли, этот эксперимент косвенно измерил радиус Земли по Шварцшильду.

В ньютоновских гравитационных полях

Ньютоновское гравитационное поле около большого, медленно вращающегося, почти сферического тела можно разумно аппроксимировать с помощью радиуса Шварцшильда следующим образом:

$mg\; =\; GM\; mr\; 2\; \Rightarrow \; gr\; 2\; =\; GM\; \{\backslash \; displaystyle\; mg\; =\; \{\backslash \; frac\; \{GMm\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; quad\; gr\; ^\; \{2\}\; =\; GM\}$

и

$rs\; =\; 2\; GM\; c\; 2\; \Rightarrow \; rsc\; 2\; =\; 2\; GM\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{s\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2GM\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; quad\; r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{s\}\}\; c\; ^\; \{2\; \}\; =\; 2GM\}$

Следовательно, разделив верхнее на нижнее:

$grs\; (rc)\; 2\; =\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{g\}\; \{r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{s\}\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\; \backslash \; frac\; \{r\}\; \{c\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}$

где:

g- ускорение свободного падения в радиальной координате r;

rs- Радиус Шварцшильда гравитирующего центрального тела;

r- радиальная координата;

c- скорость света в вакууме.

На поверхности Земли:

$9.80665\; м\; /\; с\; 2\; 8,870056\; мм\; (6375416\; м\; 299792458\; м\; /\; с)\; 2\; =\; (1105,59\; с\; -\; 2)\; (0,0212661\; с)\; 2\; =\; 1\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{9.80665\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{m\}\; /\; \backslash \; mathrm\; \{s\}\; ^\; \{2\}\}\; \{8.870056\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{mm\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{6375416\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{m\}\})\; \{299792458\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{m\}\; /\; \backslash \; mathrm\; \{s\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; left\; (1105,59\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{s\}\; ^\; \{-\; 2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (0,0212661\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{\; s\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}.\}$

В кеплеровских орбитах

Для всех круговых орбит вокруг данного центрального тела:

$mv\; 2\; r\; =\; Центростремительная\; сила\; =\; Гравитационная\; сила\; =\; GM\; mr\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{mv\; ^\; \{2\}\}\; \{r\}\}\; =\; \{\backslash \; text\; \{Центростремительная\; сила\}\}\; =\; \{\backslash \; text\; \{Гравитационная\; сила\}\; \}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{GMm\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\}$

Следовательно,

$rv\; 2\; =\; GM,\; \{\backslash \; displaystyle\; rv\; ^\; \{2\}\; =\; GM,\}$

но

$rsc\; 2\; =\; 2\; GM\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{s\}\}\; c\; ^\; \{2\}\; =\; 2GM\}$(получено выше)

Следовательно,

$rrs\; (vc)\; 2\; =\; 1\; 2\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{r\}\; \{r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{s\}\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{v\}\; \{c\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \}$

где:

r- орбита; радиус; ;

rs- радиус Шварцшильда гравитирующего центрального тела;

v- орбитальная скорость; ;

c- скорость l ight в вакууме.

Это равенство можно обобщить на эллиптические орбиты следующим образом:

$ars\; (2\; \pi \; ac\; T)\; 2\; =\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{s\}\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; a\}\; \{cT\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}$

где :

a- большая полуось . ;

T- это период обращения.

для Земли, как планеты, вращающейся вокруг Солнца :

$1\; а.е.\; 2953,25\; м\; (2\; \pi \; а.е.\; светового\; года)\; 2\; =\; (50655379,7)\; (9,8714403\; \times \; 10\; -\; 9)\; =\; 1\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{AU\}\}\; \{2953.25\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{m\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{AU\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{свет\; \backslash ,\; год\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; left\; (50655379.7\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (9.8714403\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{-\; 9\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}.\}$

Релятивистские круговые орбиты и фотонная сфера

Уравнение Кеплера для круговых орбит может быть обобщено до релятивистского уравнения для круговых орбит, учитывая замедление времени в члене скорости:

$rrs\; (vc\; 1\; -\; rsr)\; 2\; =\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{r\}\; \{r\_\; \{s\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{v\}\; \{c\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{r\_\; \{s\}\}\; \{\; r\}\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}$

$rrs\; (vc)\; 2\; (1\; -\; rsr)\; =\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{r\}\; \{\; r\_\; \{s\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{v\}\; \{c\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{r\_\; \{s\}\}\; \{r\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}$

$(vc)\; 2\; (rrs\; -\; 1)\; =\; 1\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{v\}\; \{c\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{r\}\; \{r\_\; \{s\}\}\}\; -\; 1\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{2\}\}.\}$

Это последнее уравнение показывает, что объект, движущийся по орбите со скоростью света, будет иметь радиус орбиты в 1,5 раза больше радиуса Шварцшильда. Это специальная орбита, известная как фотонная сфера.

радиус Шварцшильда для массы Планка

Для массы Планка $м\; P\; =\; \hslash \; c\; /\; G\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{P\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; hbar\; c\; /\; G\}\}\}$, радиус Шварцшильда $r\; S\; =\; 2\; \ell \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{S\}\; \}\; =\; 2\; \backslash \; ell\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{P\}\}\}$и длина волны Комптона $\lambda \; C\; =\; 2\; \pi \; \ell \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{\; C\}\}\; =\; 2\; \backslash \; pi\; \backslash \; ell\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{P\}\}\}$того же порядка, что и планковская длина $\ell \; P\; =\; \hslash \; G\; /\; c\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{P\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; hbar\; G\; /\; c\; ^\; \{3\}\}\}\}$.

Радиус Шварцшильда и принцип неопределенности на шкале Планка

$rs\; =\; 2\; GM\; c\; 2\; знак\; равно\; 2\; G\; c\; 3\; M\; c\; =\; 2\; G\; c\; 3\; P\; 0\; \approx \; 2\; G\; c\; 3\; \hslash \; 2\; r\; =\; \ell \; P\; 2\; R.\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{s\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2GM\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2G\}\; \{c\; ^\; \{3\}\}\}\; Mc\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2G\}\; \{c\; ^\; \{3\; \}\}\}\; P\_\; \{0\}\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{2G\}\; \{c\; ^\; \{3\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\}\; \{2r\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; ell\; \_\; \{P\}\; ^\; \{2\}\}\; \{r\}\}.\}$

Тогда $rsr\; \sim \; \ell \; P\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{s\}\; r\; \backslash \; sim\; \backslash \; ell\; \_\; \{P\}\; ^\; \{2\}\}$или $\Delta \; rs\; \Delta \; r\; \ge \; \ell \; P\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; r\_\; \{s\}\; \backslash \; Delta\; r\; \backslash \; geq\; \backslash \; ell\; \_\; \{P\}\; ^\; \{2\}\}$

См. также

• Черная дыра, общий обзор
• Предел Чандрасекара, второе требование для образования черной дыры
• Джон Мичелл

Классификация черных дыр по типу:

• Статическая или черная дыра Шварцшильда
• Вращающаяся черная дыра или черная дыра Керра
• Заряженная черная дыра или черная дыра Ньюмана и черная дыра Керра-Ньюмана

Классификация черных дыр по массе:

• Микрочерная дыра и сверхмерная черная дыра
• Планковская длина
• Изначальная черная дыра, гипотетический остаток Большого взрыва
• Звездная черная дыра, который может быть либо статической черной дырой, либо вращающейся черной дырой
• Сверхмассивной черной дырой, которая также может быть это может быть статическая черная дыра или вращающаяся черная дыра
• Видимая вселенная, если ее плотность равна критической плотности, как гипотетическая черная дыра
• Виртуальная черная дыра

Примечания

Ссылки