Предельный цикл

редактировать

Поведение в нелинейной системе

Стабильный предельный цикл (выделен жирным шрифтом) и две другие траектории, переходящие в него

Стабильный предельный цикл (выделен жирным шрифтом) для осциллятора Ван дер Поля

В математике, при исследовании динамических систем с двумерным фазовым пространством, предельный цикл представляет собой замкнутую траекторию в фазовом пространстве, обладающую тем свойством, что по меньшей мере одна другая траектория закручивается в нее либо по мере приближения времени к бесконечности, либо по мере того, как время приближается к отрицательной бесконечности. Такое поведение проявляется в некоторых нелинейных системах. Предельные циклы использовались для моделирования поведения очень многих реальных колебательных систем. Изучение предельных циклов было начато Анри Пуанкаре (1854–1912).

Содержание

1 Определение
2 Свойства
3 Стабильные, нестабильные и полустабильные предельные циклы
4 Поиск предельных циклов
5 Открытые проблемы
6 Приложения
7 См. также
8 Ссылки
9 Дополнительная литература
10 Внешние ссылки

Определение

Мы рассматриваем двумерную динамическую систему вида

x ′ (t) = V ( x (t)) {\ displaystyle x '(t) = V (x (t))}

x'(t)=V(x(t))

где

V: R 2 → R 2 {\ displaystyle V: \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {2}}

V: {\ mathbb {R}} ^ {2} \ to {\ mathbb {R}} ^ {2}

- гладкая функция. Траектория этой системы - это некоторая гладкая функция $x (t) {\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ со значениями в $R 2 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2} }$ $\ mathbb {R} ^ {2}$ , который удовлетворяет этому дифференциальному уравнению. Такая траектория называется замкнутой (или периодической), если она не постоянна, но возвращается к своей начальной точке, т. Е. Если существует некий $t 0>0 {\ displaystyle t_ {0}>0}$ $t_{0}>0$ таким образом, чтобы $x (t + t 0) знак равно Икс (T) {\ Displaystyle х (т + t_ {0}) = х (т)}$ $x (t + t_ {0}) = x (t)$ для всех $t ∈ R {\ Displaystyle т \ in \ mathbb { R}}$ $t \ in {\ mathbb {R}}$ . Орбита - это изображение траектории, подмножество $R 2 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2 }}$ $\ mathbb {R} ^ {2}$ . Замкнутая орбита или цикл - это изображение замкнутой траектории. Предельный цикл - это цикл, который является предельным множеством некоторой другой траектории.

Свойства

По теореме о кривой Жордана каждая замкнутая траектория делит плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю по кривой.

Дан предельный цикл и траектория внутри него, которая приближается к предельному циклу для времени приближаясь к $+ ∞ {\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ , то вокруг предельного цикла существует такая окрестность, что все траектории внутри, начинающиеся в окрестности, приближаются к предельному циклу на время, приближающееся к $+ ∞ {\ Displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ . Соответствующее утверждение справедливо для внутренней траектории, которая приближается к предельному циклу за время, приближающееся к $- ∞ {\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ , а также для внешних траекторий, приближающихся к предельному циклу.

Стабильные, нестабильные и полуустойчивые предельные циклы

В случае, когда все соседние траектории приближаются к предельному циклу, когда время приближается к бесконечности, это называется стабильным или привлекательный предельный цикл (ω-предельный цикл). Если вместо этого все соседние траектории приближаются к нему, когда время приближается к отрицательной бесконечности, то это неустойчивый предельный цикл (α-предельный цикл). Если есть соседняя траектория, которая закручивается в предельный цикл, когда время приближается к бесконечности, и другая, которая закручивается в нее, когда время приближается к отрицательной бесконечности, то это полустабильный предельный цикл. Существуют также предельные циклы, которые не являются ни стабильными, ни нестабильными, ни полустабильными: например, соседняя траектория может приближаться к предельному циклу снаружи, но внутренняя часть предельного цикла приближается к семейству других циклов (что не t - предельные циклы).

Устойчивые предельные циклы являются примерами аттракторов . Они подразумевают самоподдерживающиеся колебания : замкнутая траектория описывает идеальное периодическое поведение системы, и любое небольшое возмущение от этой замкнутой траектории заставляет систему возвращаться к ней, заставляя систему придерживаться предельного цикла.

Поиск предельных циклов

Каждая замкнутая траектория содержит внутри стационарную точку системы, то есть точку $p {\ displaystyle p}$ $p$ где $V (p) = 0 {\ displaystyle V (p) = 0}$ $V (p) = 0$ . Теорема Бендиксона – Дюлака и теорема Пуанкаре – Бендиксона предсказывают отсутствие или существование, соответственно, предельных циклов двумерных нелинейных динамических систем.

Открытые проблемы

Поиск предельных циклов, в общем, очень сложная задача. Число предельных циклов полиномиального дифференциального уравнения на плоскости является основным объектом второй части шестнадцатой проблемы Гильберта. Неизвестно, например, существует ли какая-либо система $x ′ = V (x) {\ displaystyle x '= V (x)}$ $x'=V(x)$ в плоскости, где оба компонента $V {\ displaystyle V}$ $V$ - это квадратичные полиномы двух переменных, так что в системе более 4 предельных циклов.

Приложения

Примеры ответвлений предельных циклов из фиксированных точек вблизи бифуркации Хопфа. Траектории отмечены красным, устойчивые конструкции - синим, неустойчивые - голубым. Выбор параметра определяет возникновение и стабильность предельных циклов.

Предельные циклы важны во многих научных приложениях, где моделируются системы с автоколебаниями. Некоторые примеры включают:

Аэродинамические колебания предельного цикла
Модель Ходжкина – Хаксли для потенциалов действия в нейронах.
Селькова. модель гликолиза.
Суточные колебания экспрессии генов, уровней гормонов и температуры тела животных, которые являются частью циркадного ритма.
миграции рака Ячейки в ограниченных микросредах следует колебаниям предельного цикла.
Некоторые нелинейные электрические цепи демонстрируют колебания предельного цикла, которые вдохновили оригинальную модель Ван дер Поля.

См. Также

Ссылки

Дополнительная литература

Стивен Х. Строгац (2014). Нелинейная динамика и хаос: с приложениями к физике, биологии, химии и технике. Авалон. ISBN 9780813349114.
M. Видьясагар (2002). Нелинейный системный анализ (второе изд.). СИАМ. ISBN 9780898715262.
Филип Хартман, «Обычное дифференциальное уравнение», Общество промышленной и прикладной математики, 2002.
Витольд Гуревич, «Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям», Дувр, 2002.
Соломон Лефшец, «Дифференциальные уравнения: геометрическая теория», Довер, 2005 г.
Лоуренс Перко, «Дифференциальные уравнения и динамические системы», Springer-Verlag, 2006.
Артур Маттак, Предельные циклы: критерии существования и несуществования, MIT Open Courseware http://videolectures.net/mit1803s06_mattuck_lec32/#

Внешние ссылки

«предельный цикл». planetmath.org. Проверено 6 июля 2019.