Орбита (динамика)

редактировать

В математике, при изучении динамических систем, орбита - это совокупность точек, связанных функцией эволюции динамической системы. Его можно понимать как подмножество фазового пространства, покрываемое траекторией динамической системы при конкретном наборе начальных условий по мере развития системы. Поскольку траектория фазового пространства однозначно определяется для любого заданного набора координат фазового пространства, разные орбиты не могут пересекаться в фазовом пространстве, поэтому набор всех орбит динамической системы является разбиением фазовое пространство. Понимание свойств орбит с помощью топологических методов - одна из задач современной теории динамических систем.

Для динамических систем с дискретным временем орбитами являются последовательности ; для реальных динамических систем орбиты являются кривыми ; а для голоморфных динамических систем орбитами являются римановы поверхности.

Содержание

  • 1 Определение
    • 1.1 Реальная динамическая система
    • 1.2 Динамическая система с дискретным временем
    • 1.3 Общие динамические система
    • 1.4 Примечания
  • 2 Примеры
  • 3 Стабильность орбит
  • 4 См. также
  • 5 Ссылки

Определение

Диаграмма, показывающая периодическую орбиту системы масса-пружина в простое гармоническое движение. (Здесь оси скорости и положения были перевернуты по сравнению со стандартным соглашением, чтобы выровнять две диаграммы)

Учитывая динамическую систему (T, M, Φ) с T группой, M набором и Φ функцией эволюции

Φ: U → M {\ displaystyle \ Phi: U \ to M}\ Phi: U \ to M , где U ⊂ T × M {\ displaystyle U \ subset T \ times M}U \ subset T \ times M с Φ (0, x) = x {\ displaystyle \ Phi (0, x) = x}{\ displaystyle \ Phi (0, x) = x}

мы определяем

I (x): = {t ∈ T: (t, x) ∈ U}, {\ displaystyle I (x): = \ {t \ in T: (t, x) \ in U \},}I (x): = \ {t \ in T: (t, x) \ in U \},

, тогда множество

γ x: = {Φ (t, x): t ∈ I (x)} ⊂ M {\ displaystyle \ gamma _ {x}: = \ {\ Phi (t, x): t \ in I (x) \} \ subset M}\ gamma _ {x}: = \ {\ Phi (t, x): t \ in I (x) \} \ subset M

называется орбита через x. Орбита, состоящая из одной точки, называется постоянной орбитой . Непостоянная орбита называется закрытой или периодической, если в существует t ≠ 0 {\ displaystyle t \ neq 0}t \ neq 0 . I (x) {\ displaystyle I (x)}I (x) такой, что

Φ (t, x) = x {\ displaystyle \ Phi (t, x) = x}{\ displaystyle \ Phi (t, x) = x} .

Реальная динамическая система

Для реальной динамической системы (R, M, Φ), I (x) является открытым интервалом в вещественных числах, то есть I (x) = (tx -, tx +) {\ displaystyle I (x) = (t_ {x} ^ {-}, t_ {x} ^ {+})}I (x) = (t_ {x} ^ {-}, t_ {x} ^ {+}) . Для любого x из M

γ x +: = {Φ (t, x): t ∈ (0, tx +)} {\ displaystyle \ gamma _ {x} ^ {+}: = \ {\ Phi ( t, x): t \ in (0, t_ {x} ^ {+}) \}}\ gamma _ {x} ^ {+}: = \ {\ Phi (t, x) : t \ in (0, t_ {x} ^ {+}) \}

называется положительной полуорбитой через x и

γ x -: = { Φ (t, x): t ∈ (tx -, 0)} {\ displaystyle \ gamma _ {x} ^ {-}: = \ {\ Phi (t, x): t \ in (t_ {x} ^ {-}, 0) \}}\ gamma _ {x} ^ {-}: = \ {\ Phi (t, x): t \ in (t_ {x} ^ {-}, 0) \}

называется отрицательной полуорбитой через x.

Динамическая система с дискретным временем

Для динамической системы с дискретным временем:

вперед орбита x является набором:

γ x + = def {Φ (t, x): t ≥ 0} {\ displaystyle \ gamma _ {x} ^ {+} \ {\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {=}} \ \ {\ Phi (t, x) : t \ geq 0 \}}{\ displaystyle \ gamma _ {x} ^ {+} \ {\ overset {\ under установить {\ mathrm {def}} {}} {=}} \ \ {\ Phi (t, x): t \ geq 0 \}}

назад орбита x является набором:

γ x - = def {Φ (- t, x): t ≥ 0} {\ displaystyle \ gamma _ { x} ^ {-} \ {\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {=}} \ \ {\ Phi (-t, x): t \ geq 0 \}}{\ displaystyle \ gamma _ {x} ^ {-} \ {\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {=}} \ \ {\ Phi (-t, x): t \ geq 0 \}}

и орбита x является набором:

γ x = def γ x - ∪ γ x + {\ displaystyle \ gamma _ {x} \ {\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {=}} \ \ gamma _ {x} ^ {-} \ cup \ gamma _ {x} ^ {+}}{\ displaystyle \ gamma _ {x} \ {\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {= }} \ \ gamma _ {x} ^ {-} \ чашка \ gamma _ {x} ^ {+}}

где:

  • Φ {\ displaystyle \ Phi}\ Phi - эволюционная функция Φ: X → X {\ displaystyle \ Phi: X \ to X}{\ displaystyle \ Phi: X \ to X} , которая здесь итерационная функция,
  • set X {\ displaystyle X}X - это динамическое пространство,
  • t {\ displaystyle t}t - номер итерации, который равен натуральному числу и t. ∈ Т {\ Displaystyle т \ в Т}{\ displaystyle t \ in T}
  • x {\ displaystyle x}x - начальное состояние системы, а x ∈ X {\ displaystyle x \ in X}{\ displaystyle x \ in X}

Обычно используются разные обозначения:

  • Φ (t, x) {\ displaystyle \ Phi (t, x)}{\ displaystyle \ Phi (t, x)} записывается как Φ t (x) {\ displaystyle \ Phi ^ {t} (x)}{\ displaystyle \ Phi ^ {t} (x)}
  • xt = Φ t (x) {\ displaystyle x_ {t} = \ Phi ^ {t} (x)}{\ displaystyle x_ {t} = \ Phi ^ {t} (x)} где x 0 {\ displaystyle x_ {0}}x_0 равно x {\ displaystyle x}x в обозначениях выше.

Общая динамическая система

Для общей динамической системы, особенно в однородной динамике, когда у вас есть "хорошая" группа G {\ displaystyle G}G действует в вероятностном пространстве X {\ displaystyle X}X с сохранением меры, на орбите G. x ⊂ X {\ displaystyle Gx \ subset X}Gx \ подмножество X будет называться периодическим (или, что эквивалентно, замкнутым), если стабилизатор S tab G (x) {\ displaystyle Stab_ {G} (x)}Удар _ {{G}} (x) представляет собой решетку внутри G {\ displaystyle G}G .

Кроме того, связанный член представляет собой ограниченную орбиту, когда набор G. x {\ displaystyle Gx}Gx предварительно компактно внутри X {\ displaystyle X}X .

Классификация орбит может привести к интересным вопросам, связанным с другими областями математики, например, с гипотезой Оппенгейма (доказано Маргулисом) и гипотеза Литтлвуда (частично доказана Линденштраусом) связаны с вопросом, существует ли любая ограниченная орбита некоторого естественного действия на однородном пространстве SL 3 (R) ∖ SL 3 (Z) {\ displaystyle SL_ {3} (\ mathbb {R}) \ backslash SL_ {3} (\ mathbb {Z})}{\ displaystyle SL_ {3} (\ mathbb {R}) \ backslash SL_ {3} (\ mathbb {Z})} действительно периодическое наблюдение, это наблюдение принадлежит Рагхунатану, а на другом языке - Касселсу и Суиннертону. -Дайер. Такие вопросы тесно связаны с теоремами глубокой классификации мер.

Примечания

Часто бывает, что функция эволюции может быть понята как составляющая элементы группы, и в этом случае теоретико-групповые орбиты из группового действия - это то же самое, что и динамические орбиты.

Примеры

Критическая орбита дискретной динамической системы на основе комплексного квадратичного многочлена. Он имеет тенденцию слабо притягивать фиксированную точку с множителем = 0,99993612384259

Устойчивость орбит

Базовая классификация орбит:

  • постоянные орбиты или фиксированные точки
  • периодические орбиты
  • непостоянные и непериодические орбиты

Орбита может не замкнуться двумя способами. Это может быть асимптотически периодическая орбита, если она сходится к периодической орбите. Такие орбиты не закрываются, потому что они никогда не повторяются по-настоящему, но они становятся сколь угодно близкими к повторяющейся орбите. Орбита также может быть хаотичной. Эти орбиты сколь угодно близки к начальной точке, но никогда не сходятся к периодической орбите. Они демонстрируют чувствительную зависимость от начальных условий, что означает, что небольшие различия в начальном значении вызовут большие различия в будущих точках орбиты.

Есть и другие свойства орбит, которые позволяют классифицировать их по-разному. Орбита может быть гиперболической, если близлежащие точки приближаются или отклоняются от орбиты экспоненциально быстро.

См. Также

Литература

Последняя правка сделана 2021-06-01 13:56:08
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте