Раздвоение Хопфа

редактировать

Комплексные собственные значения произвольного отображения (точки). В случае бифуркации Хопфа два комплексно сопряженных собственных значения пересекают мнимую ось.

В математической теории бифуркаций, Хопф раздвоение является критической точкой, где стабильность способности системы переключается и периодическое решение возникает. Более точно, это локальная бифуркацией, в котором фиксированная точка из динамической системы теряет устойчивость, как пара комплексно сопряженных собственных значений -of на линеаризации вокруг неподвижной точки, пересекает комплексную плоскость мнимой оси. При достаточно общих предположениях о динамической системе предельный цикл малой амплитуды разветвляется от фиксированной точки.

Бифуркация Хопфа также известна как бифуркация Пуанкаре – Андронова – Хопфа, названная в честь Анри Пуанкаре, Александра Андронова и Эберхарда Хопфа.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Обзор
- 1.1 Сверхкритические и подкритические бифуркации Хопфа
- 1.2 Пример
2 Определение бифуркации Хопфа
3 критерий Рауса-Гурвица
- 3.1 Серия Штурма
- 3.2 Предложения
4 Пример
5 См. Также
6 Ссылки
7 Дальнейшее чтение
8 Внешние ссылки

Обзор

Сверхкритические и подкритические бифуркации Хопфа

Динамика бифуркации Хопфа вблизи. Возможные траектории показаны красным цветом, устойчивые структуры - синим, а неустойчивые структуры - голубым пунктиром. Сверхкритическая бифуркация Хопфа: 1a) устойчивая неподвижная точка 1b) неустойчивая неподвижная точка, устойчивый предельный цикл 1c) динамика фазового пространства. Докритическая бифуркация Хопфа: 2a) устойчивая неподвижная точка, неустойчивый предельный цикл 2b) нестабильная неподвижная точка 2c) динамика фазового пространства. определяет угловую динамику и, следовательно, направление намотки траекторий.

{\ displaystyle \ lambda = 0}

\ lambda = 0

{\ displaystyle \ omega}

\омега

Предельный цикл орбитально устойчив, если определенная величина, называемая первым коэффициентом Ляпунова, отрицательна, а бифуркация является сверхкритической. В противном случае он нестабилен, а бифуркация подкритична.

Нормальная форма бифуркации Хопфа:

{\ displaystyle {\ frac {dz} {dt}} = z ((\ lambda + i) + b | z | ^ {2}),}

{\ frac {dz} {dt}} = z ((\ lambda + i) + b | z | ^ {2}),

где z, b являются комплексными, а λ - параметром.

Напишите: Число α называется первым коэффициентом Ляпунова. ${\ Displaystyle б = \ альфа + я \ бета. \,}$ $б = \ альфа + я \ бета. \,$

Если α отрицательно, то существует устойчивый предельный цикл при λ gt; 0:

{\ Displaystyle г (т) = ре ^ {я \ омега т} \,}

z (t) = re ^ {{i \ omega t}} \,

куда

{\ displaystyle r = {\ sqrt {- \ lambda / \ alpha}} {\ text {and}} \ omega = 1 + \ beta r ^ {2}. \,}

r = {\ sqrt {- \ lambda / \ alpha}} {\ text {and}} \ omega = 1 + \ beta r ^ {2}. \,

В таком случае бифуркация называется сверхкритической.

Если α положительно, то существует неустойчивый предельный цикл при λ lt;0. Бифуркация называется докритической.

Пример

Бифуркация Хопфа в системе Селькова (см. Статью). При изменении параметров предельный цикл (отмечен синим цветом) выходит из устойчивого равновесия.

Хопфа бифуркации происходят в модели Лотки-Вольтерра от взаимодействия хищник-жертва (известный как парадокс обогащения ), в модели Ходжкина-Хаксли для нерва мембранного потенциала, модель Селькова из гликолиза, то реакция Белоусова-Жаботинского, то аттрактор Лоренца, то Брюсселятор и классический электромагнетизм.

Модель Селькова - это

{\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = - x + ay + x ^ {2} y, ~~ {\ frac {dy} {dt}} = b-ay-x ^ {2} y. }

{\ frac {dx} {dt}} = - x + ay + x ^ {2} y, ~~ {\ frac {dy} {dt}} = b-ay-x ^ {2} y.

Справа показан фазовый портрет, иллюстрирующий бифуркацию Хопфа в модели Селькова.

В системах железнодорожного транспорта особенно важен анализ бифуркаций Хопфа. Обычно устойчивое движение железнодорожного подвижного состава на низких скоростях переходит в неустойчивое движение на высоких скоростях. Одной из целей нелинейного анализа этих систем является выполнение аналитического исследования бифуркации, нелинейной поперечной устойчивости и поведения рельсовых транспортных средств на касательной дороге с использованием метода Боголюбова.

Определение бифуркации Хопфа

Возникновение или исчезновение периодической орбиты из-за локального изменения свойств устойчивости неподвижной точки известно как бифуркация Хопфа. Следующая теорема работает для неподвижных точек с одной парой сопряженных ненулевых чисто мнимых собственных значений. Он сообщает условия, при которых происходит это явление бифуркации.

Теорема (см. Раздел 11.2). Позвольте быть якобианом непрерывной параметрической динамической системы, вычисленной в устойчивой точке. Предположим, что все собственные значения имеют отрицательную действительную часть, кроме одной сопряженной ненулевой чисто мнимой пары. Хопфа возникает тогда, когда эти два собственных пересекают мнимую ось из - за изменениями параметров системы. ${\ displaystyle J_ {0}}$ $J_ {0}$ ${\ displaystyle Z_ {e}}$ $Z_ {e}$ ${\ displaystyle J_ {0}}$ $J_ {0}$ ${\ displaystyle \ pm я \ бета}$ $\ pm i \ beta$

Критерий Рауса-Гурвица

Критерий Рауса – Гурвица (раздел I.13) дает необходимые условия для возникновения бифуркации Хопфа. Посмотрим, как можно конкретно использовать эту идею.

Серия Штурм

Пусть - ряд Штурма, связанный с характеристическим многочленом. Их можно записать в виде: ${\ displaystyle p_ {0}, ~ p_ {1}, ~ \ dots ~, ~ p_ {k}}$ ${\ displaystyle p_ {0}, ~ p_ {1}, ~ \ dots ~, ~ p_ {k}}$ ${\ displaystyle P}$ $п$

{\ displaystyle p_ {i} (\ mu) = c_ {i, 0} \ mu ^ {ki} + c_ {i, 1} \ mu ^ {ki-2} + c_ {i, 2} \ mu ^ { ки-4} + \ cdots}

p_ {i} (\ mu) = c _ {{i, 0}} \ mu ^ {{ki}} + c _ {{i, 1}} \ mu ^ {{ki-2}} + c _ {{i, 2}} \ mu ^ {{ki-4}} + \ cdots

Коэффициенты для in соответствуют так называемым определителям Гурвица. Их определение связано с ассоциированной матрицей Гурвица. ${\ displaystyle c_ {я, 0}}$ $c _ {{i, 0}}$ ${\ displaystyle i}$ $я$ ${\ Displaystyle \ {1, ~ \ точки ~, ~ к \}}$ ${\ Displaystyle \ {1, ~ \ точки ~, ~ к \}}$

Предложения

Предложение 1. Если все детерминанты Гурвица положительны, возможно, тогда ассоциированный якобиан не имеет чисто мнимых собственных значений. ${\ displaystyle c_ {я, 0}}$ $c _ {{i, 0}}$ ${\ displaystyle c_ {k, 0}}$ $c _ {{k, 0}}$

Предложение 2. Если все детерминанты Гурвица (для всех в положительны, и тогда все собственные значения ассоциированного якобиана имеют отрицательные действительные части, за исключением чисто мнимой сопряженной пары. ${\ displaystyle c_ {я, 0}}$ $c _ {{i, 0}}$ ${\ displaystyle i}$ $я$ ${\ Displaystyle \ {0, ~ \ точки ~, ~ k-2 \}}$ ${\ Displaystyle \ {0, ~ \ точки ~, ~ k-2 \}}$ ${\ displaystyle c_ {k-1,0} = 0}$ $c _ {{k-1,0}} = 0$ ${\ displaystyle c_ {k-2,1} lt;0}$ $c _ {{k-2,1}} lt;0$

Это последнее предложение дает условия, которые мы ищем для возникновения бифуркации Хопфа (см. Теорему выше) для параметрической непрерывной динамической системы.

Пример

Рассмотрим классический осциллятор Ван-дер-Поля, записанный с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений:

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} {\ dfrac {dx} {dt}} = \ mu (1-y ^ {2}) xy, \\ {\ dfrac {dy} {dt }} = x. \ end {array}} \ right.}

\ left \ {{\ begin {array} {l} {\ dfrac {dx} {dt}} = \ mu (1-y ^ {2}) xy, \\ {\ dfrac {dy} {dt}} = x. \ end {array}} \ right.

Матрица Якоби, ассоциированная с этой системой, выглядит следующим образом:

{\ displaystyle J = {\ begin {pmatrix} - \ mu (-1 + y ^ {2}) amp; - 2 \ mu yx-1 \\ 1 amp; 0 \ end {pmatrix}}.}

J = {\ begin {pmatrix} - \ mu (-1 + y ^ {2}) amp; - 2 \ mu yx-1 \\ 1 amp; 0 \ end {pmatrix}}.

Характеристический полином (in) линеаризации в точке (0,0) равен: ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$

{\ Displaystyle P (\ lambda) = \ lambda ^ {2} - \ mu \ lambda +1.}

P (\ lambda) = \ lambda ^ {2} - \ mu \ lambda +1.

Коэффициенты: Соответствующий ряд Штурма : ${\ displaystyle a_ {0} = 1, a_ {1} = - \ mu, a_ {2} = 1}$ $a_ {0} = 1, a_ {1} = - \ mu, a_ {2} = 1$

{\ displaystyle {\ begin {array} {l} p_ {0} (\ lambda) = a_ {0} \ lambda ^ {2} -a_ {2} \\ p_ {1} (\ lambda) = a_ {1 } \ lambda \ end {массив}}}

{\ begin {array} {l} p_ {0} (\ lambda) = a_ {0} \ lambda ^ {2} -a_ {2} \\ p_ {1} (\ lambda) = a_ {1} \ lambda \ end {массив}}

В Sturm полиномы можно записать в виде (здесь): ${\ Displaystyle я = 0,1}$ $я = 0,1$

{\ displaystyle p_ {i} (\ mu) = c_ {i, 0} \ mu ^ {ki} + c_ {i, 1} \ mu ^ {ki-2} + c_ {i, 2} \ mu ^ { ки-4} + \ cdots}

p_ {i} (\ mu) = c _ {{i, 0}} \ mu ^ {{ki}} + c _ {{i, 1}} \ mu ^ {{ki-2}} + c _ {{i, 2}} \ mu ^ {{ki-4}} + \ cdots

Вышеупомянутое предложение 2 говорит, что нужно иметь:

{\ displaystyle c_ {0,0} = 1gt; 0, c_ {1,0} = - \ mu = 0, c_ {0,1} = - 1 lt;0.}

c _ {{0,0}} = 1gt; 0, c _ {{1,0}} = - \ mu = 0, c _ {{0,1}} = - 1 lt;0.

Поскольку 1gt; 0 и −1 lt;0 очевидны, можно сделать вывод, что бифуркация Хопфа может произойти для осциллятора Ван-дер-Поля, если. ${\ displaystyle \ mu = 0}$ $\ mu = 0$

Смотрите также

Реакционно-диффузионные системы

использованная литература

дальнейшее чтение

Guckenheimer, J.; Myers, M.; Штурмфельс, Б. (1997). "Вычисление бифуркаций Хопфа I". Журнал СИАМ по численному анализу. 34 (1): 1-21. CiteSeerX 10.1.1.52.1609. DOI : 10.1137 / S0036142993253461.
Hale, J.; Кочак, Х. (1991). Динамика и бифуркации. Тексты по прикладной математике. 3. Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-97141-2.
Хассард, Брайан Д.; Казаринов, Николай Д.; Ван, Йе-Хей (1981). Теория и приложения бифуркации Хопфа. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-23158-2.
Кузнецов, Юрий А. (2004). Элементы прикладной теории бифуркаций (Третье изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-21906-6.
Строгац, Стивен Х. (1994). Нелинейная динамика и хаос. Эддисон Уэсли. ISBN 978-0-7382-0453-6.

внешние ссылки