Гиперболический набор

В теории динамических систем говорят, что подмножество Λ гладкого многообразия M имеет гиперболическую структуру относительно гладкого отображения f, если его касательное расслоение может быть разбито на два инвариантных подрасслоения, одно из которых сжимается, а другое расширяется под действием е, относительно некоторой римановой метрики на М. Аналогичное определение применимо к случаю потоков.

В частном случае, когда все многообразие M гиперболично, отображение f называется диффеоморфизмом Аносова. Динамика f на гиперболическом множестве, или гиперболическая динамика, проявляет черты локальной структурной устойчивости и была много изучена, ср. Аксиома А.

Пусть M является компактным гладким многообразием, F: M → M Диффеоморфизм и Df: TM → TM дифференциал от е. Е -инвариантное подмножество Λ из М называется гиперболическим, или иметь гиперболическую структуру, если ограничение на Л касательного расслоения М допускает расщепление в сумму Уитни два Df -инвариантных подрасслоений, называется стабильное расслоение и неустойчивый пучок и обозначены E ^s и E ^u. Что касается некоторой римановой метрики на M, ограничение Df на E ^s должно быть сжатием, а ограничение Df на E ^u должно быть расширением. Таким образом, существуют постоянные 0 lt; λ lt;1 и c gt; 0 такие, что

${\ displaystyle T _ {\ Lambda} M = E ^ {s} \ oplus E ^ {u}}$

и

${\ displaystyle (Df) _ {x} E_ {x} ^ {s} = E_ {f (x)} ^ {s}}$и для всех${\ displaystyle (Df) _ {x} E_ {x} ^ {u} = E_ {f (x)} ^ {u}}$${\ displaystyle x \ in \ Lambda}$

и

${\ Displaystyle \ | Df ^ {n} v \ | \ Leq c \ лямбда ^ {n} \ | v \ |}$для всех и${\ displaystyle v \ in E ^ {s}}$${\ displaystyle ngt; 0}$

и

${\ Displaystyle \ | Df ^ {- n} v \ | \ Leq c \ лямбда ^ {n} \ | v \ |}$для всех и.${\ displaystyle v \ in E ^ {u}}$${\ displaystyle ngt; 0}$

Если Λ гиперболическая, то существует риманова метрика, для которой c  = 1 - такая метрика называется адаптированной.

• Гиперболическая точка равновесия p - это фиксированная точка или точка равновесия функции f, такая, что ( Df) p не имеет собственного значения с модулем 1. В этом случае Λ = { p }.
• В более общем случае периодическая орбита в е с периодом п является гиперболической тогда и только тогда, когда Df ^п в любой точке орбиты не имеет собственных значений с абсолютным значением 1, и это достаточно, чтобы проверить это условие в одной точке орбиты.

• Авраам, Ральф; Марсден, Джерролд Э. (1978). Основы механики. Месса для чтения: Бенджамин / Каммингс. ISBN   0-8053-0102-X.
• Брин, Майкл; Гаррет, Штук (2002). Введение в динамические системы. Издательство Кембриджского университета. ISBN   0-521-80841-3.

Эта статья включает материал из Hyperbolic Set на PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.