Расход (математика)

редактировать

Поток в фазовом пространстве, заданный дифференциальным уравнением маятника. По оси x показано положение маятника, а по оси y - его скорость.

В математике поток формализует представление о движении частиц в жидкости. Потоки широко распространены в науке, включая инженерное дело и физику. Понятие потока является основным при изучении обыкновенных дифференциальных уравнений. Неформально поток можно рассматривать как непрерывное движение точек во времени. Более формально поток - это групповое действие вещественных чисел в наборе.

Идея векторного потока, то есть поток, определяемый векторным полем , возникает в областях дифференциальной топологии, римановой геометрии и групп Ли. Конкретные примеры векторных потоков включают геодезический поток, гамильтонов поток, поток Риччи, поток средней кривизны и Аносов течет. Потоки также могут быть определены для систем случайных величин и случайных процессов и возникают при изучении эргодических динамических систем. Наиболее известным из них, пожалуй, является поток Бернулли.

Содержание

1 Формальное определение
- 1.1 Альтернативные обозначения
2 Орбиты
3 Примеры
- 3.1 Автономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- 3.2 Обыкновенные дифференциальные уравнения, зависящие от времени
- 3.3 Потоки векторных полей на многообразиях
- 3.4 Решения уравнения теплопроводности
- 3.5 Решения волнового уравнения
- 3.6 Течение Бернулли
4 См. Также
5 Ссылки

Формальное определение

A поток на множестве X - это групповое действие из аддитивной группы из вещественных чисел на X. Более точно, поток - это отображение

φ: X × R → X {\ displaystyle \ varphi: X \ times \ mathbb {R} \ rightarrow X}

\ varphi: X \ times \ R \ rightarrow X

такое, что для всех x ∈ X и все действительные числа s и t,

φ (x, 0) = x; {\ Displaystyle \ varphi (x, 0) = x;}

\ varphi (x, 0) = x;

φ (φ (x, t), s) = φ (x, s + t). {\ displaystyle \ varphi (\ varphi (x, t), s) = \ varphi (x, s + t).}

\ varphi (\ varphi (x, t), s) = \ varphi (x, s + t).

Обычно вместо φ (x, t) пишут φ (x), поэтому что приведенные выше уравнения могут быть выражены как φ = Id (тождественная функция ) и φ ∘ φ = φ (групповой закон). Тогда для всех t ∈ ℝ отображение φ: X → X является биекцией с обратным φ: X → X. Это следует из приведенного выше определения, и действительный параметр t может быть взят как обобщенная функциональная степень, как в итерация функции.

Потоки обычно должны быть совместимы со структурами , предоставленными на множестве X. В частности, если X снабжен топологией , то обычно требуется, чтобы φ была непрерывной. Если X снабжен дифференцируемой структурой , то обычно требуется, чтобы φ был дифференцируемым. В этих случаях поток образует однопараметрическую подгруппу гомеоморфизмов и диффеоморфизмов соответственно.

В определенных ситуациях можно также рассмотреть локальные потоки, которые определены только в некотором подмножестве

d o m (φ) = {(x, t) | t ∈ [a x, b x], a x < 0 < b x, x ∈ X } ⊂ X × R {\displaystyle \mathrm {dom} (\varphi)=\{(x,t)\ |\ t\in [a_{x},b_{x}],\ a_{x}<0

\ mathrm {dom} (\ varphi) = \ {(x, t) \ | \ t \ in [a_x, b_x], \ a_x <0 <b_x, \ x \ in X \} \ subset X \ times \ mathbb R

называется областью потока функции φ. Это часто имеет место с потоками векторных полей.

Альтернативные обозначения

Это очень распространено во многих областях, включая инженерию, физику и изучение дифференциальных уравнений, чтобы использовать нотацию, которая делает поток неявным. Таким образом, x (t) записывается для φ (x 0), и можно сказать, что «переменная x зависит от времени t и начального условия x = x 0 ». Примеры приведены ниже.

В случае потока векторного поля V на гладком многообразии X, поток часто обозначается таким образом, что его генератор делается явным. Например,

Φ V: X × R → X; (x, t) Φ V t (x). {\ displaystyle \ Phi _ {V}: X \ times \ mathbb {R} \ to X; \ qquad (x, t) \ mapsto \ Phi _ {V} ^ {t} (x).}

\ Phi_V: X \ times \ mathbb R \ to X; \ qquad (x, t) \ mapsto \ Phi_V ^ t (x).

Орбиты

Для данного x в X множество ${φ (x, t): t ∈ R} {\ displaystyle \ {\ varphi (x, t): t \ in \ mathbb {R} \ }}$ ${\ displaystyle \ {\ varphi (x, t): t \ in \ mathbb {R} \}}$ называется орбитой точки x при φ. Неформально это можно рассматривать как траекторию частицы, которая изначально находилась в точке x. Если поток генерируется векторным полем , то его орбиты являются изображениями его интегральных кривых.

Примеры

Автономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Пусть F: R→Rбудет (не зависящим от времени) векторным полем и x: R→Rбудет решением задачи начального значения

x ˙ (t) = F (x (t)), x (0) = x 0. {\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {x}}} (t) = {\ boldsymbol {F}} ({\ boldsymbol {x}} (t)), \ qquad {\ boldsymbol {x}} (0) = {\ boldsymbol {x}} _ {0}.}

\ dot {\ boldsymbol {x}} (t) = \ boldsymbol {F} (\ boldsymbol {x} (t)), \ qquad \ boldsymbol {x} (0) = \ boldsymbol {x} _0.

Тогда φ (x0, t) = x (t) - это поток векторного поля F . Это четко определенный локальный поток при условии, что векторное поле F: R→ Rявляется липшицево-непрерывным. Тогда φ: R×R→ Rтакже липшицево-непрерывно, где бы оно ни было определено. В общем, может быть трудно показать, что поток φ определен глобально, но один простой критерий состоит в том, что векторное поле F имеет компактную опору.

Зависящие от времени обыкновенные дифференциальные уравнения

В случае зависящих от времени векторных полей F: R×R→R, один обозначает φ (x0) = x (t + t 0), где x: R→R- решение

x ˙ (t) = F (x (t), t), x (t 0) = x 0. {\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {x}}} (t) = {\ boldsymbol {F}} ({\ boldsymbol {x}} (t), t), \ qquad {\ boldsymbol {x}} ( t_ {0}) = {\ boldsymbol {x}} _ {0}.}

\ dot {\ boldsymbol {x}} (t) = \ boldsymbol {F} (\ boldsymbol {x} (t), t), \ qquad \ boldsymbol {x} (t_0) = \ boldsymbol {x} _0.

Тогда φ (x0) - это зависящий от времени поток F . Согласно приведенному выше определению, это не «поток», но его можно легко рассматривать как единое целое, переставив аргументы. А именно, отображение

φ: (R n × R) × R → R n × R; φ ((Икс 0, T 0), T) знак равно (φ T, T 0 (Икс 0), T + T 0) {\ Displaystyle \ varphi: (\ mathbb {R} ^ {n} \ раз \ mathbb { R}) \ times \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R}; \ qquad \ varphi (({\ boldsymbol {x}} _ {0}, t_ {0 }), t) = (\ varphi ^ {t, t_ {0}} ({\ boldsymbol {x}} _ {0}), t + t_ {0})}

{\ displaystyle \ varphi: (\ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R}) \ times \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {n} \ раз \ mathbb {R}; \ qquad \ varphi (({\ boldsymbol {x}} _ {0}, t_ {0}), t) = (\ varphi ^ {t, t_ {0}} ({\ boldsymbol {x}} _ {0}), t + t_ {0})}

действительно удовлетворяет групповому закону для последняя переменная:

φ (φ ((x 0, t 0), t), s) = φ ((φ t, t 0 (x 0), t + t 0), s) = (φ s, t + t 0 (φ t, t 0 (x 0)), s + t + t 0) = (φ s, t + t 0 (x (t + t 0)), s + t + t 0) = (x (s + t + t 0), s + t + t 0) = (φ s + t, t 0 (x 0), s + t + t 0) = φ ((x 0, t 0), с + т). {\ displaystyle \ varphi (\ varphi (({\ boldsymbol {x}} _ {0}, t_ {0}), t), s) = \ varphi ((\ varphi ^ {t, t_ {0}} ( {\ boldsymbol {x}} _ {0}), t + t_ {0}), s) = (\ varphi ^ {s, t + t_ {0}} (\ varphi ^ {t, t_ {0}}) ({\ boldsymbol {x}} _ {0})), s + t + t_ {0}) = (\ varphi ^ {s, t + t_ {0}} ({\ boldsymbol {x}} (t + t_ {0})), s + t + t_ {0}) = ({\ boldsymbol {x}} (s + t + t_ {0}), s + t + t_ {0}) = (\ varphi ^ {s + t, t_ {0}} ({\ boldsymbol {x}} _ {0}), s + t + t_ {0}) = \ varphi (({\ boldsymbol {x}} _ {0}, t_ {0}), s + t).}

{\ displaystyle \ varphi ( \ varphi (({\ boldsymbol {x}} _ {0}, t_ {0}), t), s) = \ varphi ((\ varphi ^ {t, t_ {0}} ({\ boldsymbol {x} } _ {0}), t + t_ {0}), s) = (\ varphi ^ {s, t + t_ {0}} (\ varphi ^ {t, t_ {0}} ({\ boldsymbol {x }} _ {0})), s + t + t_ {0}) = (\ varphi ^ {s, t + t_ {0}} ({\ boldsymbol {x}} (t + t_ {0})), s + t + t_ {0}) = ({\ boldsymbol {x}} (s + t + t_ {0}), s + t + t_ {0}) = (\ varphi ^ {s + t, t_ {0}} ({\ boldsymbol {x}} _ {0}), s + t + t_ {0}) = \ varphi (({\ boldsymbol {x}} _ {0}, t_ {0}), s + t).}

Можно увидеть зависящие от времени потоки векторных полей как частные случаи не зависящих от времени с помощью следующего трюка. Определите

G (x, t): = (F (x, t), 1), y (t): = (x (t + t 0), t + t 0). {\ displaystyle {\ boldsymbol {G}} ({\ boldsymbol {x}}, t): = ({\ boldsymbol {F}} ({\ boldsymbol {x}}, t), 1), \ qquad {\ boldsymbol {y}} (t): = ({\ boldsymbol {x}} (t + t_ {0}), t + t_ {0}).}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {G}} ({\ boldsymbol {x}}, t): = ({\ boldsymbol {F}} ({\ boldsymbol {x}}, t), 1), \ qquad {\ boldsymbol {y}} (t): = ({\ boldsymbol {x}} (t + t_ {0}), t + t_ {0}).}

Тогда y (t) является решением "не зависящей от времени" задачи начального значения

y ˙ (s) = G (y (s)), y (0) = (x 0, t 0) {\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {y}}} (s) = {\ boldsymbol {G}} ({\ boldsymbol {y}} (s)), \ qquad {\ boldsymbol {y}} (0) = ({\ boldsymbol {x} } _ {0}, t_ {0})}

\ dot {\ boldsymbol {y}} (s) = \ boldsymbol {G} (\ boldsymbol {y} (s)), \ qquad \ boldsymbol {y} (0) = (\ boldsymbol {x} _0, t_0)

тогда и только тогда, когда x (t) является решением исходной зависящей от времени задачи начального значения. Кроме того, тогда отображение φ является в точности потоком "независимого от времени" векторного поля G.

Потоки векторных полей на многообразиях

Потоки не зависящих от времени и зависящих от времени векторных полей определены на гладких многообразия точно так же, как они определены на евклидовом пространстве, и их локальное поведение такое же. Однако глобальная топологическая структура гладкого многообразия сильно проявляется в том, какие глобальные векторные поля оно может поддерживать, и потоки векторных полей на гладких многообразиях действительно являются важным инструментом в дифференциальной топологии. Основная часть исследований динамических систем проводится на гладких многообразиях, которые в приложениях рассматриваются как «пространства параметров».

Решения уравнения теплопроводности

Пусть Ω - подобласть (ограниченная или нет) в ℝ (с целым числом n). Обозначим через Γ его границу (предполагаемую гладкой). Рассмотрим следующее Уравнение теплопроводности на Ω × (0, T), для T>0,

ut - Δ u = 0 в Ω × (0, T), u = 0 на Γ × ( 0, T), {\ displaystyle {\ begin {array} {rcll} u_ {t} - \ Delta u = 0 {\ t_dv {in}} \ Omega \ times (0, T), \\ u = 0 { \ t_dv {on}} \ Gamma \ times (0, T), \ end {array}}}

\ begin {array} {rcll} u_t - \ Delta u = 0 \ t_dv {in} \ Omega \ times (0, T), \\ u = 0 \ t_dv {on} \ Gamma \ times (0, T), \ end {array}

со следующим начальным граничным условием u (0) = u в Ω.

Уравнение u = 0 на Γ × (0, T) соответствует однородному граничному условию Дирихле. Математической постановкой этой проблемы может быть полугрупповой подход. Чтобы использовать этот инструмент, мы вводим неограниченный оператор Δ D, определенный на $L 2 (Ω) {\ displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}$ $L ^ 2 (\ Omega)$ по его домену

D (Δ D) знак равно H 2 (Ω) ∩ H 0 1 (Ω) {\ displaystyle D (\ Delta _ {D}) = H ^ {2} (\ Omega) \ cap H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}

D (\ Delta_D) = H ^ 2 (\ Omega) \ cap H_0 ^ 1 (\ Omega)

(см. Классические пространства Соболева с $H k (Ω) = W k, 2 (Ω) {\ displaystyle H ^ {k} (\ Омега) = W ^ {к, 2} (\ Omega)}$ $H ^ k (\ Omega) = W ^ {k, 2} (\ Omega)$ и

H 0 1 (Ω) = C 0 ∞ (Ω) ¯ H 1 (Ω) {\ displaystyle H_ {0 } ^ {1} (\ Omega) = {\ overline {C_ {0} ^ {\ infty} (\ Omega)}} ^ {H ^ {1} (\ Omega)}}

H_0 ^ 1 (\ Omega) = {\ overline {C_0 ^ \ infty (\ Omega)}} ^ {H ^ 1 (\ Omega)}

- это закрытие бесконечно дифференцируемые функции с компактной опорой в Ω для нормы $H 1 (Ω) - {\ displaystyle H ^ {1} (\ Omega) -}$ $H ^ 1 (\ Omega) -$ ).

Для любого $v ∈ D (Δ D) {\ displaystyle v \ in D (\ Delta _ {D})}$ $v \ in D (\ Delta_D)$ мы имеем

Δ D v = Δ v = ∑ i = 1 n ∂ 2 ∂ xi 2 v. {\ displaystyle \ Delta _ {D} v = \ Delta v = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x_ {i} ^ {2}} } v ~.}

\ Delta_D v = \ Delta v = \ sum_ {i = 1} ^ n \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x_i ^ 2} v ~.

С этим оператором уравнение теплопроводности принимает вид $u ′ (t) = Δ D u (t) {\ displaystyle u '(t) = \ Delta _ {D} u (t) }$ $u'(t) = \Delta_Du(t)$ и u (0) = u. Таким образом, поток, соответствующий этому уравнению, равен (см. Обозначения выше)

φ (u 0, t) = et Δ D u 0 {\ displaystyle \ varphi (u ^ {0}, t) = {\ t_dv {e }} ^ {t \ Delta _ {D}} u ^ {0}}

\ varphi (u ^ 0, t) = \ t_dv {e} ^ {t \ Delta_D} u ^ 0

где exp (tΔ D) - (аналитическая) полугруппа, порожденная Δ D.

Решения волнового уравнения

Снова, пусть Ω - подобласть (ограниченная или нет) в ℝ (с целым числом n). Обозначим через Γ его границу (предполагаемую гладкой). Рассмотрим следующее волновое уравнение на $Ω × (0, T) {\ displaystyle \ Omega \ times (0, T)}$ $\ Omega \ times (0, T)$ (для T>0),

utt - Δ u = 0 в Ω × (0, T), u = 0 на Γ × (0, T), {\ displaystyle {\ begin {array} {rcll} u_ {tt} - \ Delta u = 0 {\ t_dv {in}} \ Omega \ times (0, T), \\ u = 0 {\ t_dv {on}} \ Gamma \ times (0, T), \ end {array}}}

\ begin {array} {rcll} u_ {tt} - \ Delta u = 0 \ t_dv {in} \ Omega \ times (0, T), \\ u = 0 \ t_dv {on} \ Gamma \ times (0, T), \ end {array}

с следующее начальное условие: u (0) = u в $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ и $ut (0) = u 2, 0 в Ω {\ displaystyle u_ {t} ( 0) = u ^ {2,0} {\ t_dv {in}} \ Omega}$ $u_t (0) = u ^ {2,0} \ t_dv {in} \ Omega$ .

Использование того же полугруппового подхода, что и в случае уравнения теплопроводности выше. Мы запишем волновое уравнение как уравнение в частных производных первого порядка по времени, введя следующий неограниченный оператор:

A = (0 I d Δ D 0) {\ displaystyle {\ mathcal {A}} = \ left ({\ begin {array} {cc} 0 Id \\\ Delta _ {D} 0 \ end {array}} \ right)}

\ мат hcal {A} = \ left (\ begin {array} {cc} 0 Id \\ \ Delta_D 0 \ end {array} \ right)

с доменом $D (A) = H 2 (Ω) ∩ H 0 1 ( Ом) × ЧАС 0 1 (Ом) {\ Displaystyle D ({\ mathcal {A}}) = H ^ {2} (\ Omega) \ cap H_ {0} ^ {1} (\ Omega) \ times H_ { 0} ^ {1} (\ Omega)}$ $D (\ mathcal {A}) = H ^ 2 (\ Omega) \ cap H_0 ^ 1 (\ Omega) \ раз H_0 ^ 1 (\ Omega)$ на $H = H 0 1 (Ω) × L 2 (Ω) {\ displaystyle H = H_ {0} ^ {1} (\ Omega) \ times L ^ {2} (\ Omega)}$ $H = H ^ 1_0 (\ Omega) \ times L ^ 2 (\ Omega)$ (оператор $Δ D {\ displaystyle \ Delta _ {D}}$ $\ Delta_D$ определен в предыдущем примере).

Мы вводим векторы-столбцы

U = (u 1 u 2) {\ displaystyle U = \ left ({\ begin {array} {c} u ^ {1} \\ u ^ {2 } \ end {array}} \ right)}

U = \ left (\ begin {array} {c} u ^ 1 \\ u ^ 2 \ end {array} \ right)

(где $u 1 = u {\ displaystyle u ^ {1} = u}$ $u ^ 1 = u$ и $u 2 = ut {\ displaystyle u ^ {2} = u_ {t}}$ $u ^ 2 = u_t$ ) и

U 0 = (u 1, 0 u 2, 0) {\ displaystyle U ^ {0} = \ left ({\ begin {array} {c} u ^ {1,0} \\ u ^ {2,0} \ end {array}} \ right)}

U ^ 0 = \ left (\ begin {array} {c} u ^ {1,0} \\ u ^ {2,0} \ end {array} \ right)

С этими понятиями волновое уравнение принимает вид $U ′ ( t) = AU (t) {\ displaystyle U '(t) = {\ mathcal {A}} U (t)}$ $U'(t) = \mathcal{A}U(t)$ и $U (0) = U 0 {\ displaystyle U ( 0) = U ^ {0}}$ $U (0) = U ^ 0$ .

Таким образом, поток, соответствующий этому уравнению, равен $φ (U 0, t) = et AU 0 {\ displaystyle \ varphi (U ^ {0}, t) = {\ t_dv {e}} ^ {t {\ mathcal {A}}} U ^ {0}}$ $\ varphi (U ^ 0, t) = \ t_dv {e} ^ {t \ mathcal {A}} U ^ 0$ где $et A {\ displaystyle {\ t_dv {e}} ^ {t { \ mathcal {A}}}}$ $\ t_dv {e} ^ {t \ mathcal {A}}$ - (унитарная) полугруппа, порожденная $A {\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ $\ mathcal {A}$ .

потоком Бернулли

Ergodic динамические системы, то есть системы, демонстрирующие случайность, также обладают потоками. Самым знаменитым из них, возможно, является поток Бернулли. Теорема об изоморфизме Орнштейна утверждает, что для любой заданной энтропии H существует поток φ (x, t), называемый потоком Бернулли, такой, что поток в момент времени t = 1, т.е. φ (x, 1), является сдвигом Бернулли.

Более того, этот поток уникален с точностью до постоянного изменения масштаба времени. То есть, если ψ (x, t) - другой поток с той же энтропией, то ψ (x, t) = φ (x, t) для некоторой постоянной c. Понятия единственности и изоморфизма здесь являются понятиями изоморфизма динамических систем. Многие динамические системы, включая биллиард Синая и потоки Аносова, изоморфны сдвигам Бернулли.

См. Также

Литература

Д.В. Аносов (2001) [1994], Математическая энциклопедия, EMS Press
Д.В. Аносов (2001) [1994], Математическая энциклопедия, EMS Press
Д.В. Аносов (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
В этой статье используются материалы из Flow на PlanetMath, который распространяется под лицензией Creative Лицензия Commons Attribution / Share-Alike.