Теорема Бендиксона – Дюлака

редактировать

В математике, теорема Бендиксона – Дюлака о динамических системах утверждает, что если существует $C 1 {\ displaystyle C ^ {1}}$ $C ^ {1}$ функция $φ (x, y) {\ displaystyle \ varphi (x, y)}$ ${\ displaystyle \ varphi (x, y)}$ (называемая функцией Дюлака) такое, что выражение

Согласно теореме Дюлака любая двумерная автономная система с периодической орбитой внутри такой орбиты есть область с положительным расхождением и область с отрицательным расхождением. Здесь представлены красные и зеленые области соответственно

∂ (φ f) ∂ x + ∂ (φ g) ∂ y {\ displaystyle {\ frac {\ partial (\ varphi f)} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial (\ varphi g)} {\ partial y}}}

{\ display style {\ frac {\ partial (\ varphi f)} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial (\ varphi g)} {\ partial y}}}

имеет один и тот же знак ( $≠ 0 {\ displaystyle \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ neq 0}$ ) почти везде в односвязная область плоскости, тогда автономная система плоскости

dxdt = f (x, y), {\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = f (x, y),}

{\ displaystyle {\ frac { dx} {dt}} = е (x, y),}

dydt = g (x, y) {\ displaystyle {\ frac {dy} {dt}} = g (x, y)}

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dt}} = g (x, y)}

не имеет непостоянных периодических решений, лежащих целиком в пределах региона. «Почти везде» означает везде, кроме, возможно, в наборе меры 0, например, точки или линии.

Теорема была впервые установлена шведским математиком Иваром Бендиксон в 1901 году и дополнительно уточненный французским математиком Анри Дюлаком в 1933 году с использованием теоремы Грина.

Доказательство

Без ограничения общности, пусть существует функция $φ (Икс, Y) {\ Displaystyle \ varphi (x, y)}$ ${\ displaystyle \ varphi (x, y)}$ такое, что

∂ (φ f) ∂ x + ∂ (φ g) ∂ y>0 {\ displaystyle {\ frac {\ partial (\ varphi f)} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial (\ varphi g)} {\ partial y}}>0}

{\frac {\partial (\varphi f)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi g)}{\partial y}}>0

в односвязном регионе $R {\ displaystyle R}$ $R$ . Пусть $C {\ displaystyle C}$ $C$ будет замкнутой траекторией плоской автономной системы в $R {\ displaystyle R}$ $R$ . Пусть $D {\ displaystyle D}$ $D$ будет внутренней частью $C {\ displaystyle C}$ $C$ . Тогда по теореме Грина,

D (∂ (φ f) ∂ x + ∂ (φ g) ∂ y) dxdy = ∮ C (- φ gdx + φ fdy) = ∮ C φ (- y ˙ dx + x ˙ dy). {\ displaystyle {\ begin {align} \ iint _ {D} \ left ({\ frac {\ partial (\ varphi f)} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial (\ varphi g)} {\ partial y}} \ right) \, dx \, dy = \ oint _ {C} \ left (- \ varphi g \, dx + \ varphi f \, dy \ right) \\ [6pt] = {} \ oint _ {C} \ varphi \ left (- {\ dot {y}} \, dx + {\ dot {x}} \, dy \ right). \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ iint _ {D} \ left ({\ frac {\ partial (\ varphi f)} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial (\ varphi g)} {\ partial y}} \ right) \, dx \, dy = \ oint _ {C} \ left (- \ varphi g \, dx + \ varphi f \, dy \ right) \\ [6pt] = {} \ oint _ {C} \ varphi \ left (- {\ dot {y}} \, dx + {\ точка {x}} \, dy \ right). \ end {align}}}

Из-за константы знак, левый интеграл в предыдущей строке должен быть положительным. Но на $C {\ displaystyle C}$ $C$ , $dx = x ˙ dt {\ displaystyle dx = {\ dot {x}} \, dt}$ ${\ displaystyle dx = {\ dot {x}} \, dt}$ и $dy = y ˙ dt {\ displaystyle dy = {\ dot {y}} \, dt}$ ${\ displaystyle dy = {\ dot {y}} \, dt}$ , так что нижнее интегральное выражение фактически везде 0, и по этой причине правый интеграл равен 0. Это противоречие, поэтому такой замкнутой траектории быть не может $C {\ displaystyle C}$ $C$ .

Ссылки

Анри Дюлак (1870-1955) был французским математиком из Фейенс