Модель Ходжкина – Хаксли

редактировать

Описывает, как нейроны передают электрические сигналы.

Основные компоненты моделей типа Ходжкина – Хаксли. Модели типа Ходжкина – Хаксли представляют биофизические характеристики клеточных мембран. Липидный бислой представлен как емкость (C m). Управляемые по напряжению ионные каналы и каналы утечки представлены нелинейной (g n) и линейной (g L) проводимостью соответственно. Электрохимические градиенты, управляющие потоком ионов, представлены батареями (E), а ионные насосы и теплообменники представлены источниками тока (I p).

Модель Ходжкина – Хаксли или на основе проводимости модель - это математическая модель, которая описывает, как потенциалы действия в нейронах инициируются и распространяются. Это набор нелинейных дифференциальные уравнения, которые аппроксимируют электрические характеристики возбудимых клеток, таких как нейроны и сердечные миоциты. Это непрерывная динамическая система.

Алан Ходжкин и Эндрю Хаксли описал модель в 1952 году, чтобы объяснить ионные механизмы, лежащие в основе инициирования и распространения потенциалов действия в гигантском аксоне кальмара. Они получили в 1963 году Нобелевскую премию по физиологии или Медицина для этой работы.

Содержание

1 Основные компоненты
2 Характеристики ионного тока
- 2.1 Напряжение управляемых ионных каналов
- 2.2 Каналы утечки
- 2.3 Насосы и теплообменники
3 Математические характеристики
- 3.1 Центральный коллектор
- 3.2 Разветвления
4 Усовершенствования и альтернативные модели
5 См. Также
6 Ссылки
7 Дополнительная литература
8 Внешние ссылки

Основные компоненты

Типичная модель Ходжкина – Хаксли рассматривает каждый компонент возбудимой клетки как электрический элемент (как показано на рисунке). липидный бислой представлен как емкость (Cm). управляемые по напряжению ионные каналы представлены электрическими проводимостью (gn, где n - конкретный ионный канал), которые зависят как от напряжения, так и от времени. Каналы утечки представлены линейной проводимостью (g L). электрохимические градиенты, управляющие потоком ионов, представлены источниками напряжения (En), напряжения которых определяются соотношением внутри- и внеклеточных концентраций ионных частиц. представляет интерес. Наконец, ионные насосы представлены источниками тока (Ip). мембранный потенциал обозначается V m.

Математически ток, протекающий через липидный бислой, записывается как

I c = C md V mdt {\ displaystyle I_ {c} = C_ {m} {\ frac {{\ mathrm {d}} V_ {m}} {{\ mathrm {d}} t}}}

I_ {c} = C_ {m} {\ frac {{\ mathrm {d}} V_ {m}} {{\ mathrm {d}} t}}

, а ток через данный ионный канал равен произведению

I i = gi ( V m - V i) {\ displaystyle I_ {i} = {g_ {i}} (V_ {m} -V_ {i}) \;}

I_ {i} = {g_ {i}} (V_ {m } -V_ {i}) \;

где $V i {\ displaystyle V_ {i} }$ $V_ {i}$ - реверсивный потенциал i-го ионного канала. Таким образом, для ячейки с натриевыми и калиевыми каналами полный ток через мембрану определяется как:

I = C md V mdt + g K (V m - VK) + g N a (V m - VN a) + gl (V m - V l) {\ displaystyle I = C_ {m} {\ frac {{\ mathrm {d}} V_ {m}} {{\ mathrm {d}} t}} + g_ {K} (V_ {m} -V_ {K}) + g_ {Na} (V_ {m} -V_ {Na}) + g_ {l} (V_ {m} -V_ {l})}

{\ displaystyle I = C_ {m} {\ frac {{\ mathrm {d}} V_ {m}} {{\ mathrm {d}} t} } + g_ {K} (V_ {m} -V_ {K}) + g_ {Na} (V_ {m} -V_ {Na}) + g_ {l} (V_ {m} -V_ {l})}

где I общий ток мембраны на единицу площади, C m - емкость мембраны на единицу площади, g K и g Na - проводимость калия и натрия на единицу площади соответственно, V K и V Na - потенциалы обращения калия и натрия, соответственно, а g l и V l - проводимость утечки на единицу площади и потенциал обращения утечки соответственно. Элементами этого уравнения, зависящими от времени, являются V m, g Na и g K, где две последние проводимости также явно зависят от напряжения.

Характеристика ионного тока

В потенциалозависимых ионных каналах проводимость канала $gl {\ displaystyle g_ {l}}$ ${\ displaystyle g_ {l}}$ является функцией как времени, так и напряжение ( $gn (t, V) {\ displaystyle g_ {n} (t, V)}$ ${\ displaystyle g_ {n} (t, V)}$ на рисунке), а в каналах утечки $gl {\ displaystyle g_ {l} }$ ${\ displaystyle g_ {l}}$ - константа ( $g L {\ displaystyle g_ {L}}$ $g_ {L}$ на рисунке). Ток, создаваемый ионными насосами, зависит от ионных частиц, характерных для этого насоса. В следующих разделах эти составы описаны более подробно.

ионные каналы, управляемые напряжением

Используя серию экспериментов с ограничением напряжения и варьируя внеклеточные концентрации натрия и калия, Ходжкин и Хаксли разработали модель, в которой свойства возбудимая клетка описывается набором из четырех обыкновенных дифференциальных уравнений. Вместе с уравнением для полного тока, упомянутым выше, это:

I = C md V mdt + g ¯ K n 4 (V m - VK) + g ¯ Na m 3 h (V m - VN a) + г ¯ l (В м - V l), {\ Displaystyle I = C_ {m} {\ frac {{\ mathrm {d}} V_ {m}} {{\ mathrm {d}} t}} + {\ bar {g}} _ {\ text {K}} n ^ {4} (V_ {m} -V_ {K}) + {\ bar {g}} _ {\ text {Na}} m ^ {3} h (V_ {m} -V_ {Na}) + {\ bar {g}} _ {l} (V_ {m} -V_ {l}),}

I = C_ {m} {\ frac {{\ mathrm {d}} V_ {m}} {{\ mathrm {d}} t} } + {\ bar {g}} _ {\ text {K}} n ^ {4} (V_ {m} -V_ {K}) + {\ bar {g}} _ {\ text {Na}} m ^ {3} h (V_ {m} -V_ {Na}) + {\ bar {g}} _ {l} (V_ {m} -V_ {l}),

dndt = α n (V m) (1 - n) - β N (В м) n {\ displaystyle {\ frac {dn} {dt}} = \ alpha _ {n} (V_ {m}) (1-n) - \ beta _ {n} ( V_ {m}) n}

{\ frac {dn} {dt}} = \ alpha _ {n} (V_ {m}) (1-n) - \ beta _ {n} (V_ {m}) n

dmdt = α m (V m) (1 - m) - β m (V m) m {\ displaystyle {\ frac {dm} {dt}} = \ alpha _ {m } (V_ {m}) (1-m) - \ beta _ {m} (V_ {m}) m}

{\ frac {dm} {dt}} = \ alpha _ {m} (V_ {m}) (1-m) - \ beta _ {m } (V_ {m}) m

dhdt = α h (V m) (1 - h) - β h (V m) час {\ displaystyle {\ frac {dh} {dt}} = \ alpha _ {h} (V_ {m}) (1-h) - \ beta _ {h} (V_ {m}) h}

{\ frac {dh} {dt}} = \ alpha _ {h} (V_ {m}) (1-h) - \ beta _ {h} (V_ {m}) h

где I - ток на единицу площади, а $α i {\ displaystyle \ alpha _ {i}}$ $\ alpha _ {i}$ и $β i {\ displaystyle \ beta _ {i}}$ $\ beta _ {i}$ - константы скорости для i-го ионного канала, которые зависят от напряжения, но не от времени. $g ¯ n {\ displaystyle {\ bar {g}} _ {n}}$ ${\ bar {g}} _ {n}$ - максимальное значение проводимости. n, m и h - безразмерные величины от 0 до 1, которые связаны с активацией калиевого канала, активацией натриевого канала и инактивацией натриевого канала соответственно. Для $p = (n, m, h) {\ displaystyle p = (n, m, h)}$ $p=(n,m,h)$ , $α p {\ displaystyle \ alpha _ {p}}$ $\ alpha _ {p}$ и $β п {\ displaystyle \ beta _ {p}}$ $\ beta _ {p}$ принимает форму

α p (V m) = p ∞ (V m) / τ p {\ displaystyle \ alpha _ {p} (V_ {m}) = p _ {\ infty} (V_ {m}) / \ tau _ {p}}

\ alpha _ {p} (V_ {m}) = p _ {\ infty} (V_ {m}) / \ tau _ {p}

β p (V m) = (1 - p ∞ (V m)) / τ p. {\ displaystyle \ beta _ {p} (V_ {m}) = (1-p _ {\ infty} (V_ {m})) / \ tau _ {p}.}

\ beta _ { p} (V_ {m}) = (1-p _ {\ infty} (V_ {m})) / \ tau _ {p}.

$p ∞ {\ displaystyle p_ { \ infty}}$ $p _ {\ infty}$ и $(1 - p ∞) {\ displaystyle (1-p _ {\ infty})}$ $(1-p _ {\ infty})$ - значения устойчивого состояния для активации и деактивации соответственно, и обычно представлены уравнениями Больцмана как функции от $V m {\ displaystyle V_ {m}}$ $V_ {m}$ . В исходной статье Ходжкина и Хаксли функции $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ и $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ b eta$ задаются как

α n (V m) = 0,01 (10 + V m) exp ⁡ (10 + V m 10) - 1 α m (V m) = 0,1 (25 + V m) exp ⁡ (25 + V m 10) - 1 α h (V m) = 0,07 exp ⁡ (V m 20) β n (V m) = 0,125 exp ⁡ (V m 80) β m (V m) = 4 exp ⁡ (V m 18) β h (V m) = 1 ехр ⁡ (30 + V м 10) + 1 {\ displaystyle {\ begin {array} {lll} \ alpha _ {n} (V_ {m}) = {\ frac {0,01 (10 + V_ {m })} {\ exp {\ big (} {\ frac {10 + V_ {m}} {10}} {\ big)} - 1}} \ alpha _ {m} (V_ {m}) = { \ frac {0.1 (25 + V_ {m})} {\ exp {\ big (} {\ frac {25 + V_ {m}} {10}} {\ big)} - 1}} \ alpha _ { h} (V_ {m}) = 0,07 \ exp {\ bigg (} {\ frac {V_ {m}} {20}} {\ bigg)} \\\ beta _ {n} (V_ {m}) = 0,125 \ exp {\ bigg (} {\ frac {V_ {m}} {80}} {\ bigg)} \ beta _ {m} (V_ {m}) = 4 \ exp {\ bigg (} {\ frac {V_ {m}} {18}} {\ bigg)} \ beta _ {h} (V_ {m}) = {\ frac {1} {\ exp {\ big (} {\ frac {30+) V_ {m}} {10}} {\ big)} + 1}} \ end {array}}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {lll} \ alpha _ {n} (V_ {m}) = {\ frac {0,01 (10 + V_ {m})} {\ exp {\ big (} {\ frac {10 + V_ {m}} {10}} {\ big)} - 1}} \ альфа _ {m} (V_ {m}) = {\ frac {0,1 (25 + V_ {m})} {\ exp {\ big (} {\ frac {25 + V_ {m}} {10}} { \ big)} - 1}} \ alpha _ {h} (V_ {m}) = 0,07 \ exp {\ bigg (} {\ frac {V_ {m}} {20}} {\ bigg)} \\ \ beta _ {n} (V_ {m}) = 0,125 \ exp {\ bigg (} {\ frac {V_ {m}} {80}} {\ bigg)} \ beta _ {m} (V_ {m }) = 4 \ exp {\ bigg ( } {\ frac {V_ {m}} {18}} {\ bigg)} \ beta _ {h} (V_ {m}) = {\ frac {1} {\ exp {\ big (} {\ frac {30 + V_ {m}} {10}} {\ big)} + 1}} \ end {array}}}

в то время как во многих современных программах модели типа Ходжкина – Хаксли ge преобразовать $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ и $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ b eta$ в

A p (V m - B p) exp ⁡ ( В м - В п С п) - D п {\ displaystyle {\ frac {A_ {p} (V_ {m} -B_ {p})} {\ exp {\ big (} {\ frac {V_ {m}) -B_ {p}} {C_ {p}}} {\ big)} - D_ {p}}}}

{\ frac {A_ {p} (V_ {m} -B_ {p})} {\ exp {\ big (} {\ frac {V_ {m} -B_ {p}} {C_ {p}}} {\ big)} - D_ {p}}}

Чтобы охарактеризовать каналы с ограничением по напряжению, уравнения соответствуют данным фиксации напряжения. Для вывода уравнений Ходжкина – Хаксли при ограничении напряжения см. Вкратце, когда мембранный потенциал поддерживается на постоянном значении (т. Е. Фиксируется по напряжению), для каждого значения мембранного потенциала нелинейные уравнения стробирования сводятся к уравнениям вида:

m (t) = m 0 - [ (m 0 - m ∞) (1 - e - t / τ m)] {\ displaystyle m (t) = m_ {0} - [(m_ {0} -m _ {\ infty}) (1-e ^ { -t / \ tau _ {m}})] \,}

m (t) = m_ {0} - [(m_ {0} -m _ {\ infty}) (1-e ^ {- t / \ tau _ {m}})] \,

час (t) = час 0 - [(час 0 - час ∞) (1 - е - t / τ час)] {\ displaystyle h ( t) = h_ {0} - [(h_ {0} -h _ {\ infty}) (1-e ^ {- t / \ tau _ {h}})] \,}

h (t) = h_ {0} - [(h_ {0} -h _ {\ infty}) (1-e ^ {- t / \ tau _ {h}})] \,

n (t) = n 0 - [(n 0 - n ∞) (1 - e - t / τ n)] {\ displaystyle n (t) = n_ {0} - [(n_ {0} -n _ {\ infty}) (1 -e ^ {- t / \ tau _ {n}})] \,}

n (t) = n_ {0} - [(n_ {0} -n _ {\ infty}) (1-e ^ {- t / \ tau _ {n}})] \,

Таким образом, для каждого значения мембранного потенциала $V m {\ displaystyle V_ {m}}$ $V _ {{m}}$ натриевые и калиевые токи могут быть описаны как

IN a (t) = g ¯ N am (V m) 3 h (V m) (V m - EN a), {\ displaystyle I _ {\ mathrm {Na}} (t) = {\ bar {g}} _ {\ mathrm {Na}} m (V_ {m}) ^ {3} h (V_ {m}) (V_ {m} -E _ {\ mathrm {Na} }),}

I _ {\ mathrm {Na}} (t) = {\ bar {g}} _ { \ mathrm {Na}} m (V_ {m}) ^ {3} h (V_ {m}) (V_ {m} -E _ {\ mathrm {Na}}),

IK (t) = g ¯ K n (V m) 4 (V m - EK). {\ displaystyle I _ {\ mathrm {K}} (t) = {\ bar {g}} _ {\ mathrm {K}} n (V_ {m}) ^ {4} (V_ {m} -E _ {\ mathrm {K}}).}

I _ {\ mathrm {K}} (t) = {\ bar {g}} _ {\ mathrm {K } } n (V_ {m}) ^ {4} (V_ {m} -E _ {\ mathrm {K}}).

Чтобы прийти к полному решению для распространенного потенциала действия, нужно записать текущий член I в левой части первого дифференциального уравнения через V, так что уравнение становится уравнением только для напряжения. Связь между I и V может быть получена из теории кабеля и задается формулой

I = a 2 R ∂ 2 V ∂ x 2, {\ displaystyle I = {\ frac {a} {2R }} {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial x ^ {2}}},}

I = {\ frac {a} {2R}} {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial x ^ {2}}},

где a - радиус аксона, R - удельное сопротивление аксоплазмы , а x - положение вдоль нервного волокна. Подстановка этого выражения на I преобразует исходный набор уравнений в набор дифференциальных уравнений в частных производных, поскольку напряжение становится функцией как x, так и t.

Алгоритм Левенберга – Марквардта часто используется для согласования этих уравнений с данными фиксации напряжения.

В то время как в исходных экспериментах рассматривались только натриевые и калиевые каналы, алгоритм Ходжкина– Модель Хаксли также может быть расширена для учета других видов ионных каналов.

каналов утечки

Каналы утечки учитывают естественную проницаемость мембраны для ионов и принимают форму уравнения для напряжения - стробированные каналы, где проводимость $gleak {\ displaystyle g_ {leak}}$ ${\ displaystyle g_ {leak}}$ является постоянной. Таким образом, ток утечки из-за пассивных ионных каналов утечки в формализме Ходжкина-Хаксли равен $I l = gleak (V - V Leak) {\ displaystyle I_ {l} = g_ {leak} (V-V_ {leak})}$ ${\ displaystyle I_ {l } = g_ {утечка} (V-V_ {утечка})}$ .

Насосы и теплообменники

Мембранный потенциал зависит от поддержания градиента ионной концентрации на нем. Поддержание этих градиентов концентрации требует активного транспорта ионных частиц. Из них наиболее известны обменники натрий-калий и натрий-кальций. Некоторые из основных свойств обменника Na / Ca уже хорошо известны: стехиометрия обмена составляет 3 Na: 1 Ca, а обменник является электрогенным и чувствительным к напряжению. Обменник Na / K также был подробно описан со стехиометрией 3 Na: 2 K.

Математические свойства

Модель Ходжкина – Хаксли можно рассматривать как дифференциал уравнение с четырьмя переменными состояния, v (t), m (t), n (t) и h (t), которые изменяются во времени t. Систему сложно изучать, потому что она является нелинейной системой и не может быть решена аналитически. Однако для анализа системы доступно множество числовых методов. Можно доказать, что существуют определенные свойства и общие закономерности, такие как предельные циклы.

Моделирование модели Ходжкина – Хаксли в фазовом пространстве в терминах напряжения v (t) и регулирующей переменной n (t) калия. Замкнутая кривая известна как предельный цикл.

Центральный коллектор

. Поскольку существует четыре переменных состояния, визуализация пути в фазовом пространстве может быть затруднена. Обычно выбираются две переменные, напряжение v (t) и переменная стробирования калия n (t), что позволяет визуализировать предельный цикл. Однако нужно быть осторожным, потому что это специальный метод визуализации четырехмерной системы. Это не доказывает существования предельного цикла.

Лучшая проекция может быть построена на основе тщательного анализа якобиана системы, оцененного в точке равновесия. В частности, собственные значения якобиана указывают на существование центрального многообразия. Аналогично, собственные векторы якобиана показывают ориентацию центрального многообразия. Модель Ходжкина – Хаксли имеет два отрицательных собственных значения и два комплексных собственных значения с немного положительными действительными частями. Собственные векторы, связанные с двумя отрицательными собственными значениями, уменьшатся до нуля с увеличением времени t. Оставшиеся два комплексных собственных вектора определяют центральное многообразие. Другими словами, 4-мерная система коллапсирует на 2-мерную плоскость. Любое решение, начинающееся с центрального коллектора, будет распадаться по направлению к центральному коллектору. Кроме того, предельный цикл содержится на центральном многообразии.

Напряжение v (t) (в милливольтах) модели Ходжкина – Хаксли, построенное за 50 миллисекунд. Вводимый ток варьируется от -5 наноампер до 12 наноампер. График проходит через три стадии: стадию равновесия, стадию с одним всплеском и стадию предельного цикла.

Бифуркации

Если введенный ток $I {\ displaystyle I}$ $I$ использовались в качестве параметра бифуркации , тогда модель Ходжкина – Хаксли претерпевает бифуркацию Хопфа. Как и в случае с большинством нейронных моделей, увеличение подаваемого тока увеличивает скорость возбуждения нейрона. Одним из следствий бифуркации Хопфа является минимальная скорость стрельбы. Это означает, что либо нейрон вообще не срабатывает (соответствует нулевой частоте), либо срабатывает с минимальной частотой срабатывания. Из-за принципа «все или ничего» не происходит плавного увеличения амплитуды потенциала действия, а скорее происходит внезапный «скачок» амплитуды. Результирующий переход известен как утка.

Улучшения и альтернативные модели

Модель Ходжкина – Хаксли считается одним из величайших достижений биофизики 20-го века. Тем не менее, современные модели типа Ходжкина-Хаксли были расширены несколькими важными способами:

На основании экспериментальных данных были включены дополнительные популяции ионных каналов.
Модель Ходжкина-Хаксли была модифицирована для включения теория переходного состояния и создать термодинамические модели Ходжкина – Хаксли.
Модели часто включают очень сложные геометрические формы дендритов и аксонов, часто основывается на данных микроскопии.
Стохастические модели поведения ионных каналов, ведущие к стохастическим гибридным системам.
Модель Пуассона – Нернста – Планка (PNP) основана на на приближении среднего поля ионных взаимодействий и континуальных описаниях концентрации и электростатического потенциала.

Также было разработано несколько упрощенных нейронных моделей (например, модель ФитцХью – Нагумо ), способствуя эффективному крупномасштабному моделированию групп нейронов, а также математическому пониманию динамики генерации потенциала действия. эрация.

См. Также

Ссылки

Дополнительная литература

Внешние ссылки

Интерактивное моделирование модели HH с помощью Javascript Работает в любом браузере с поддержкой HTML5. Позволяет изменять параметры модели и текущего впрыска.
Интерактивный Java-апплет модели HH Параметры модели могут быть изменены, а также возможны параметры возбуждения и построение графиков в фазовом пространстве всех переменных.
Прямая ссылка на модель Ходжкина-Хаксли и Описание в базе данных биомоделей
Нейронные импульсы: потенциал действия в действии Гаррет Неске, Демонстрации Вольфрама Проект
Интерактивная модель Ходжкина – Хаксли Шимона Марома, Демонстрационный проект Вольфрама
ModelDB База данных исходного кода вычислительной нейробиологии, содержащая 4 версии (в разных симуляторах) оригинальной модели Ходжкина – Хаксли модель и сотни моделей, которые применяют модель Ходжкина – Хаксли к другим каналам во многих типах электрически возбудимых клеток.
Несколько статей о стохастической версии модели и ее связи с исходной.