Войти
В математике используется теорема Пуанкаре – Бендиксона - это утверждение о долгосрочном поведении орбит непрерывных динамических систем на плоскости, цилиндре или двумерной сфере.
Для дифференцируемой реальной динамической системы, определенной на открытом подмножестве плоскости, каждое непустое компактное ω-предельное множество на орбите, которое содержит только конечное число неподвижных точек, либо
Более того, существует не более одной орбиты, соединяющей разные фиксированные точки i в том же направлении. Однако может быть счетное количество гомоклинических орбит, соединяющих одну неподвижную точку.
Более слабая версия теоремы была первоначально задумана Анри Пуанкаре (1892), хотя ему не хватало полного доказательства, которое позже было дано Иваром Бендиксоном. (1901).
Условие нахождения динамической системы на плоскости необходимо для теоремы. Например, на торе возможна рекуррентная непериодическая орбита. В частности, хаотическое поведение может возникать только в непрерывных динамических системах, фазовое пространство которых имеет три или более измерений. Однако теорема не применяется к дискретным динамическим системам, где хаотическое поведение может возникать в двумерных или даже одномерных системах.
Одним из важных выводов является то, что двумерная непрерывная динамическая система не может вызвать странный аттрактор. Если бы странный аттрактор C действительно существовал в такой системе, то он мог бы быть заключен в замкнутое и ограниченное подмножество фазового пространства. Сделав это подмножество достаточно маленьким, можно исключить любые близлежащие стационарные точки. Но тогда теорема Пуанкаре – Бендиксона утверждает, что C вовсе не странный аттрактор - это либо предельный цикл, либо он сходится к предельному циклу.
