Теорема о кривой Жордана

Замкнутая кривая делит плоскость на две области Иллюстрация теоремы о кривой Жордана. Кривая Жордана (нарисованная черным цветом) делит плоскость на «внутреннюю» область (голубой) и «внешнюю» область (розовый).

В топологии кривая Жордана, иногда называемая плоской простой замкнутой кривой, представляет собой несамопересекающуюся непрерывную петлю на плоскости. Теорема о жордановой кривой утверждает, что каждая жорданова кривая делит плоскость на «внутреннюю» область, ограниченную кривой, и «внешнюю» область, содержащую все близкие и далекие внешние точки, так что каждые непрерывный путь, соединяющий точку одного региона с точкой другого, где-то пересекается с этим циклом. Хотя утверждение этой теоремы кажется интуитивно очевидным, требуется некоторая изобретательность, чтобы доказать ее элементарными средствами. «Хотя JCT - одна из самых известных топологических теорем, многие даже среди профессиональных математиков никогда не читали ее доказательств». (Тверберг (1980, Введение)). Более прозрачные доказательства опираются на математический аппарат алгебраической топологии, и они приводят к обобщениям на многомерные пространства.

Теорема Жордана о кривой названа в честь математика Камиллы Джордан (1838–1922), который нашел ее первое доказательство. В течение десятилетий математики считали это доказательство ошибочным и первое строгое доказательство было проведено Освальдом Вебленом. Однако это представление было опровергнуто Томасом К. Хейлзом и другими.

• 1 Определения и формулировка теоремы Джордана
• 2 Доказательство и обобщения
• 3 История и другие доказательства
• 4 См. Также
• 5 Примечания
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Кривая Жордана или простая замкнутая кривая на плоскости R - это изображение C injective непрерывное отображение окружности на плоскость, φ: S → R . Жорданова дуга на плоскости - это образ инъективного непрерывного отображения замкнутого и ограниченного интервала [a, b] на плоскость. Это плоская кривая , которая не обязательно гладкая или алгебраическая.

. В качестве альтернативы, жорданова кривая является изображением непрерывного отображения φ: [0,1] → R такой, что φ (0) = φ (1) и ограничение φ на [0,1) инъективно. Первые два условия говорят, что C - непрерывный цикл, тогда как последнее условие оговаривает, что C не имеет точек самопересечения.

С этими определениями теорема Жордана может быть сформулирована следующим образом:

Пусть C - жорданова кривая на плоскости R . Тогда его дополнение, R\ C состоит ровно из двух связанных компонентов. Один из этих компонентов является ограниченным (внутренним ), а другой - неограниченным (внешним ), а кривая C является границей каждого компонента.

Напротив, дополнение жордановой дуги на плоскости связно.

Теорема о кривой Жордана была независимо обобщена на более высокие измерения Х. Лебег и Л.Э.Дж. Брауэра в 1911 году, что привело к теореме Жордана – Брауэра об отделимости .

Пусть X - n-мерная топологическая сфера в (n + 1) -мерном евклидовом пространстве. R(n>0), то есть изображение инъективного непрерывного отображения n-сферы S в R . Тогда дополнение Y к X в R состоит ровно из двух компонент связности. Одна из этих компонент ограничена (внутренняя), а другая неограниченна (внешняя). Множество X - их общая граница.

Доказательство использует теорию гомологии. Сначала устанавливается, что в более общем случае, если X гомеоморфно k-сфере, то редуцированные целочисленные группы гомологий Y = R \ X следующие:

$H\; ~\; q\; (Y)\; =\; \{Z,\; q\; =\; n\; -\; k\; или\; q\; =\; n,\; \{0\}\; в\; противном\; случае.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{H\}\}\; \_\; \{q\}\; (Y)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; \backslash \; mathbb\; \{Z\},\; q\; =\; nk\; \{\backslash \; text\; \{или\}\}\; q\; =\; n,\; \backslash \backslash \backslash \; \{0\; \backslash \; \},\; \{\backslash \; text\; \{else\}\}.\; \backslash \; end\; \{ases\}\}\}$

Это доказывается индукцией по k с использованием последовательности Майера – Вьеториса. Когда n = k, нулевая приведенная гомология Y имеет ранг 1, что означает, что Y имеет 2 связных компонента (которые, кроме того, являются путем, соединенным ), и с небольшой дополнительной работой можно показать, что их общая граница - X. Дальнейшее обобщение было найдено Дж. W. Alexander, который установил двойственность Александера между редуцированными гомологиями компактного подмножества X в R и редуцированными когомологиями его дополнения. Если X - n-мерное компактное связное подмногообразие в R (или S ) без границы, его дополнение имеет 2 связные компоненты.

Существует усиление теоремы Жордана о кривой, называемое теоремой Жордана – Шенфлиса, которая утверждает, что внутренние и внешние плоские области определяются кривой Жордана в R являются гомеоморфными внутренней и внешней части единичного диска. В частности, для любой точки P во внутренней области и точки A на жордановой кривой существует жорданова дуга, соединяющая P с A и, за исключением конечной точки A, полностью лежащая во внутренней области. Альтернативная и эквивалентная формулировка теоремы Джордана – Шенфлиса утверждает, что любая жорданова кривая φ: S → R, где S рассматривается как единичная окружность на плоскости, может быть продолжена до гомеоморфизм ψ: R→ Rплоскости. В отличие от обобщения теоремы Лебега и Брауэра о кривой Жордана, это утверждение становится ложным в более высоких измерениях: в то время как внешний вид единичного шара в R является односвязным, потому что он втягивает на единичную сферу, рогатая сфера Александра представляет собой подмножество R, гомеоморфное сфере , но так скручено в пространстве, что неограниченный компонент его дополнение в R не односвязно и, следовательно, не гомеоморфно внешнему виду единичного шара.

Утверждение теоремы о кривой Жордана сначала может показаться очевидным, но доказать эту теорему довольно сложно. Бернар Больцано был первым, кто сформулировал точное предположение, заметив, что это не самоочевидное утверждение, но оно требует доказательства. Легко установить этот результат для полигонов, но проблема возникла в том, чтобы обобщить его на все виды кривых с плохим поведением, которые включают нигде не дифференцируемые кривые, такие как Коха. снежинка и другие фрактальные кривые, или даже кривая Жордана с положительной площадью, построенная Осгудом (1903).

Первое доказательство этой теоремы было дано Камилла Джордана в своих лекциях по реальном анализе и была опубликована в его книге Cours d'analyse de l'École Polytechnique. Существуют некоторые разногласия относительно того, было ли доказательство Джордана полным: большинство комментаторов утверждали, что первое полное доказательство было дано позже Освальдом Вебленом, который сказал следующее о доказательстве Джордана:

Его доказательство Однако многих математиков это не устраивает. Это предполагает теорему без доказательства в важном частном случае простого многоугольника, и аргументация с этого момента, следует признать, по крайней мере, что не все детали даны.

Однако, Томас К. Хейлз писал:

Почти все современные цитаты, которые я нашел, согласны с тем, что первое правильное доказательство принадлежит Веблену... Ввиду резкой критики доказательства Джордана я был удивлен, когда сел читать его доказательство не находят в этом ничего предосудительного. С тех пор я связался с рядом авторов, критиковавших Джордана, и в каждом случае автор признавал, что не знал напрямую об ошибке в доказательстве Джордана.

Хейлз также указал, что частным случаем простых многоугольников является не только легкое упражнение, но Джордан в любом случае не использовал его, и процитировал Майкла Рикена, который сказал:

Доказательство Джордана по существу верно... Доказательство Джордана не представляет детали удовлетворительным образом. Но идея верна, и после некоторой доработки доказательство будет безупречным.

Ранее доказательство Жордана и другое раннее доказательство Шарля Жана де ла Валле Пуссена уже были критически проанализированы и завершены Шенфлисом ( 1924).

Из-за важности теоремы о кривой Жордана в низкоразмерной топологии и комплексном анализе она привлекла большое внимание выдающихся математиков первой половины. ХХ века. Различные доказательства теоремы и ее обобщений были построены Дж. В. Александер, Луи Антуан, Людвиг Бибербах, Луитцен Брауэр, Арно Данжуа, Фридрих Хартогс, Бела Керекьярто, Альфред Прингсхейм и Артур Мориц Шёнфлис.

Новые элементарные доказательства теоремы о кривой Жордана, а также упрощения предыдущих доказательств, продолжаются до осуществляться.

• Элементарные доказательства были представлены Филипповым (1950) и Твербергом (1980).
• Доказательство с использованием нестандартного анализа Narens (1971).
• Доказательство с использованием конструктивной математики Гордона О. Берга, У. Джулиана, Р. Майнса и др. (1975).
• Доказательство с использованием теоремы Брауэра о фиксированной точке от Маэхары (1984).
• Доказательство с использованием непланарности полный двудольный граф K 3,3 был дан Thomassen (1992).

Корень трудности объясняется в Tverberg (1980) следующим образом. Относительно просто доказать, что теорема Жордана верна для любого жорданового многоугольника (лемма 1) и что любую жордановую кривую можно сколь угодно хорошо аппроксимировать жордановым многоугольником (лемма 2). Жорданов многоугольник - это полигональная цепь, границу ограниченного связного открытого множества, назовем его открытым многоугольником, а его замыкание - замкнутым многоугольником. Рассмотрим диаметр $\delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \}$наибольшего диска, содержащегося в замкнутом многоугольнике. Очевидно, $\delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\}$положительно. Используя последовательность жордановых многоугольников (которые сходятся к заданному Кривая Жордана) имеем последовательность $\delta \; 1,\; \delta \; 2,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{1\},\; \backslash \; delta\; \_\; \{2\},\; \backslash \; dots\}$предположительно сходящийся к положительному числу, диаметр $\delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\}$самого большого диска, содержащегося в замкнутая область, ограниченная жордановой кривой. Однако мы должны доказать, что последовательность $\delta \; 1,\; \delta \; 2,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{1\},\; \backslash \; delta\; \_\; \{2\},\; \backslash \; dots\}$не сходится к нулю., используя только заданную кривую Жордана, а не область, предположительно ограниченную кривой. В этом суть леммы Тверберга 3. Грубо говоря, замкнутые многоугольники не должны всюду истончаться до нуля. Более того, они не должны где-то сводиться к нулю, что является предметом леммы Тверберга 4.

Первое формальное доказательство теоремы о кривой Жордана было создано Хейлзом (2007a). в системе HOL Light в январе 2005 г. и содержал около 60 000 строк. Еще одно строгое формальное доказательство, состоящее из 6500 строк, было произведено в 2005 году международной командой математиков с использованием системы Мицара. Доказательство Mizar и HOL Light основано на библиотеках ранее доказанных теорем, поэтому эти два размера несопоставимы. Нобуюки Сакамото и Кейта Ёкояма (2007) показали, что в обратной математике теорема о кривой Жордана эквивалентна слабой лемме Кенига по системе $RCA\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathsf\; \{RCA\}\}\; \_\; \{0\}\}$.

• теорема Данжуа – Рисса, описание определенных наборов точек на плоскости, которые могут быть подмножествами Джордана кривые
• Озера Вада
• Квазифуксова группа, математическая группа, сохраняющая жордановую кривую
• Комплексный анализ

1. ^Суловский, Марек (2012). Глубина, пересечения и конфликты в дискретной геометрии. Logos Verlag Berlin GmbH. п. 7. ISBN 9783832531195.
2. ^Камилла Джордана (1887)
3. ^Освальд Веблен (1905)
4. ^Хейлз (2007b)
5. ^Хейлз (2007b)
6. ^A. Schoenflies (1924). "Bemerkungen zu den Beweisen von C. Jordan und Ch. J. de la Vallée Poussin". Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. 33 : 157–160.

• Берг, Гордон О.; Джулиан, В.; Майнс, Р.; Ричман, Фред (1975), «Теорема о конструктивной кривой Джордана», Скалистая гора Журнал математики, 5(2): 225–236, doi : 10.1216 / RMJ-1975-5-2-225, ISSN 0035-7596, MR 0410701
• Филиппов, А.Ф. (1950), «Элементарное доказательство теоремы Джордана» (PDF), УМН, 5 (5): 173–176
• Хейлз, Томас С. (2007a), «Теорема кривой Джордана, формально и неформально», The American Mathematical Monthly, 114 (10): 882–894, ISSN 0002-9890, MR 2363054
• Хейлз, Томас (2007b), "Доказательство Джордана теорема о кривой Жордана " (PDF), Исследования по логике, грамматике и риторике, 10 (23)
• Jordan, Camille (1887), Cours d'analyse ( PDF), стр. 587–594
• Маэхара, Рюдзи (1984), «Теорема Джордана о кривой через теорему Брауэра о неподвижной точке», The American Mathematical Monthly, 91(10): 641–643, doi : 10.2307 / 2323369, ISSN 0002-9890, JSTOR 2323369, MR 0769530
• Наренс, Луис (1971), «Нестандартное доказательство теоремы о кривой Джордана», Pacific Journal of Mathematics, 36: 219–229, doi : 10.2140 / pjm.1971.36.219, ISSN 0030-8730, MR 0276940
• Осгуд, Уильям Ф. (1903), «Кривая Джордана в положительной области», Труды Американского математического общества, 4(1): 107–112, doi : 10.2307 / 1986455, ISSN 0002 -9947, JFM 34.0533.02, JSTOR 1986455
• Росс, Фиона; Росс, Уильям Т. (2011), «Теорема Джордана о кривой нетривиальна», Journal of Mathematics and the Arts, 5(4): 213–219, doi : 10.1080 / 17513472.2011.634320. сайт автора
• Сакамото, Нобуюки; Йокояма, Кейта (2007), «Теорема Жордана и теорема Шенфлиса в слабой арифметике второго порядка», Архив математической логики, 46 (5): 465–480, doi : 10.1007 / s00153-007-0050-6, ISSN 0933-5846, MR 2321588
• Thomassen, Carsten (1992), "The Теорема Джордана – Шенфлиса и классификация поверхностей », American Mathematical Monthly, 99 (2): 116–130, doi : 10.2307 / 2324180, JSTOR 2324180
• Тверберг, Хельге (1980), «Доказательство теоремы о кривой Джордана» (PDF), Бюллетень Лондонского математического общества, 12(1): 34–38, CiteSeerX 10.1.1.374.2903, doi : 10.1112 / blms / 12.1.34
• Веблен, Освальд (1905), «Теория плоских кривых в условиях неметрического анализа», Труды Американского математического общества, 6(1): 83–98, doi : 10.2307 / 1986378, JSTOR 1986378, MR 1500697

• MI Войцеховский (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
• Полное формальное доказательство теоремы Джордана о кривой на 6500 строк в статье Мицар.
• Сборник доказательств теоремы о кривой Жордана на домашней странице Эндрю Раники
• Простое доказательство теоремы о кривой Жордана (PDF) Дэвид Б. Голд
• Brown, R.; Антолино-Камарена, О. (2014). "Исправление к" Группоидам, свойству Фрагмена-Брауэра и теореме о жордановой кривой ", J. Homotopy and Related Structures 1 (2006) 175-183". arXiv :1404.0556.

doi :10.1007/15.40062-014-0089-0