Последовательность Майера – Виеториса

редактировать

В математике, особенно алгебраическая топология и гомология теория, то последовательность Майер-Виторис является алгебраическим инструментом помощи вычислительные алгебраические инварианты из топологических пространств, известных как их гомологии и когомологий групп. Результатом стали два австрийских математика, Вальтер Майер и Леопольд Виеторис. Метод состоит в разбиении пространства на подпространства, для которых группы гомологий или когомологий может быть легче вычислить. Последовательность связывает группы (ко) гомологий пространства с группами (ко) гомологий подпространств. Это естественная длинная точная последовательность, элементами которой являются группы (ко) гомологий всего пространства, прямая сумма групп (ко) гомологий подпространств и группы (ко) гомологий пересечения подпространств.

Последовательность Майера – Виеториса верна для множества теорий когомологий и гомологий, включая симплициальные гомологии и сингулярные когомологии. В общем, последовательность верна для тех теорий, удовлетворяющих аксиомам Эйленберга – Стинрода, и имеет вариации как для приведенных, так и для относительных (ко) гомологий. Поскольку (ко) гомологии большинства пространств не могут быть вычислены непосредственно из их определений, в надежде получить частичную информацию используются такие инструменты, как последовательность Майера – Виеториса. Многие пространства, встречающиеся в топологии, создаются путем объединения очень простых участков. Тщательный выбор двух покрывающих подпространств так, чтобы вместе с их пересечением они имели более простые (ко) гомологии, чем гомология всего пространства, может позволить полностью вывести (ко) гомологии пространства. В этом отношении последовательность Майера – Виеториса аналогична теореме Зейферта – ван Кампена для фундаментальной группы, и точное соотношение существует для гомологий размерности один.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Предпосылки, мотивация и история
2 Основные версии для сингулярных гомологий
- 2.1 Нередуцированная версия
- 2.2 Граничная карта
- 2.3 Уменьшенная версия
- 2.4 Аналогия с теоремой Зейферта – ван Кампена
3 Основные приложения
- 3,1 к- сфера
- 3.2 Бутылка Клейна
- 3.3 Клиновые суммы
- 3.4 Подвески
4 Дальнейшее обсуждение
- 4.1 Относительная форма
- 4.2 Естественность
- 4.3 Когомологические версии
- 4.4 Вывод
- 4.5 Другие теории гомологии
- 4.6 Когомологии пучков
5 См. Также
6 Примечания
7 ссылки
8 Дальнейшее чтение

Предпосылки, мотивация и история

Леопольд Виеторис к 110-летию со дня рождения

Подобно фундаментальной группе или высшим гомотопическим группам пространства, группы гомологий являются важными топологическими инвариантами. Хотя некоторые теории (ко) гомологий вычислимы с использованием инструментов линейной алгебры, многие другие важные теории (ко) гомологий, особенно сингулярные (ко) гомологии, не вычисляются непосредственно из их определения для нетривиальных пространств. Для сингулярных (ко) гомологий группы особых (ко) цепей и (ко) циклов часто слишком велики, чтобы обращаться с ними напрямую. Необходимы более тонкие и косвенные подходы. Последовательность Майера – Виеториса является таким подходом, дающим частичную информацию о группах (ко) гомологий любого пространства, связывая его с группами (ко) гомологий двух его подпространств и их пересечением.

Наиболее естественный и удобный способ выразить свое отношение предполагает алгебраическое понятие точных последовательностей : последовательности объектов (в данном случае группах ) и морфизмы (в данном случае группы гомоморфизмах ) между ними таким образом, что изображение одного морфизма равно ядром из следующий. В общем, это не позволяет полностью вычислить группы (ко) гомологий пространства. Однако, поскольку многие важные пространства, встречающиеся в топологии, представляют собой топологические многообразия, симплициальные комплексы или CW-комплексы, которые строятся путем соединения вместе очень простых фрагментов, теорема, подобная теореме Майера и Виеториса, потенциально имеет широкое и глубокое применение.

Майера познакомил с топологией его коллега Виеторис, когда он посещал свои лекции в 1926 и 1927 годах в местном университете в Вене. Ему рассказали о предполагаемом результате и способе его решения, и он решил вопрос для чисел Бетти в 1929 году. Он применил свои результаты к тору, который рассматривается как объединение двух цилиндров. Позднее Вьеторис доказал полный результат для групп гомологий в 1930 году, но не выразил его в виде точной последовательности. Концепция точной последовательности появилась в печати только в 1952 году в книге Сэмюэля Эйленберга и Нормана Стинрода « Основы алгебраической топологии », где результаты Майера и Виеториса были выражены в современной форме.

Основные версии сингулярных гомологий

Пусть X является топологическим пространством и, B два подпространства, чьи интерьеры покрывают X. (Внутренности A и B не обязательно должны быть непересекающимися.) Последовательность Майера – Вьеториса в сингулярных гомологиях для триады ( X, A, B) - это длинная точная последовательность, связывающая группы особых гомологий (с группой коэффициентов - целые числа Z) пространства Х,, B, и пересечение ∩ B. Есть нередуцированная и сокращенная версия.

Нередуцированная версия

Для нередуцированной гомологии последовательность Майера – Виеториса утверждает, что следующая последовательность является точной:

{\ displaystyle \ cdots \ to H_ {n + 1} (X) \, {\ xrightarrow {\ partial _ {*}}} \, H_ {n} (A \ cap B) \, {\ xrightarrow {(i_ {*}, j _ {*})}} \, H_ {n} (A) \ oplus H_ {n} (B) \, {\ xrightarrow {k _ {*} - l _ {*}}} \, H_ { n} (X) \, {\ xrightarrow {\ partial _ {*}}} \, H_ {n-1} (A \ cap B) \ to \ cdots}

{\ displaystyle \ cdots \ to H_ {n + 1} (X) \, {\ xrightarrow {\ partial _ {*}}} \, H_ {n} (A \ cap B) \, {\ xrightarrow {(i_ {*}, j _ {*})}} \, H_ {n} (A) \ oplus H_ {n} (B) \, {\ xrightarrow {k _ {*} - l _ {*}}} \, H_ { n} (X) \, {\ xrightarrow {\ partial _ {*}}} \, H_ {n-1} (A \ cap B) \ to \ cdots}

{\ displaystyle \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ cdots \ к H_ {0} (A) \ oplus H_ {0} (B) \, { \ xrightarrow {k _ {*} - l _ {*}}} \, H_ {0} (X) \ to 0.}

{\ displaystyle \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ cdots \ к H_ {0} (A) \ oplus H_ {0} (B) \, { \ xrightarrow {k _ {*} - l _ {*}}} \, H_ {0} (X) \ to 0.}

Здесь i : A ∩ B ↪ A, j : A ∩ B ↪ B, k : A ↪ X и l : B ↪ X - отображения включения и обозначают прямую сумму абелевых групп. ${\ displaystyle \ oplus}$ $\ oplus$

Граничная карта

Иллюстрация граничного отображения ∂ * на торе, где 1-цикл х = у + v является суммой двух 1-цепей, граница которых лежит в пересечении A и B.

Граничные карты ∂ ∗, понижающие размерность, можно определить следующим образом. Элемент в H n ( X) - это класс гомологии n -цикла x, который, например, путем барицентрического подразделения может быть записан как сумма двух n -цепей u и v, образы которых полностью лежат в A и B соответственно. Таким образом, ∂ x = ∂ ( u + v) = 0, так что ∂ u = −∂ v. Это означает, что образы обоих этих граничных ( п - 1) -циклов содержатся в пересечении ∩ B. Тогда ∂ ∗ ([ x ]) можно определить как класс ∂ u в H n −1 ( A ∩ B). Выбор другого разложения x = u ′ + v ′ не влияет на [∂ u ], поскольку ∂ u + ∂ v = ∂ x = ∂ u ′ + ∂ v ′, откуда следует ∂ u - ∂ u ′ = ∂ ( v ′ - v), поэтому ∂ u и ∂ u ′ принадлежат одному классу гомологий; а также не выбрать другой репрезентативной х ', так как тогда ∂ х' = ∂ х = 0. Отметим, что карты в последовательности Майера-Виеториса зависит от выбора порядка для A и B. В частности, карта границ меняет знак, если местами A и B поменять местами.

Уменьшенная версия

Для редуцированных гомологий также существует последовательность Майера – Виеториса в предположении, что A и B имеют непустое пересечение. Последовательность идентична для положительных размеров и заканчивается следующим образом:

{\ displaystyle \ cdots \ to {\ tilde {H}} _ {0} (A \ cap B) \, {\ xrightarrow {(i _ {*}, j _ {*})}} \, {\ tilde {H }} _ {0} (A) \ oplus {\ tilde {H}} _ {0} (B) \, {\ xrightarrow {k _ {*} - l _ {*}}} \, {\ tilde {H} } _ {0} (X) \ до 0.}

{\ displaystyle \ cdots \ to {\ tilde {H}} _ {0} (A \ cap B) \, {\ xrightarrow {(i _ {*}, j _ {*})}} \, {\ tilde {H }} _ {0} (A) \ oplus {\ tilde {H}} _ {0} (B) \, {\ xrightarrow {k _ {*} - l _ {*}}} \, {\ tilde {H} } _ {0} (X) \ до 0.}

Аналогия с теоремой Зейферта – ван Кампена.

Существует аналогия между последовательностью Майера – Виеториса (особенно для групп гомологий размерности 1) и теоремой Зейферта – ван Кампена. Всякий раз, когда она линейно связна, редуцированная последовательность Майера – Виеториса дает изоморфизм ${\ displaystyle A \ cap B}$ $A \ cap B$

{\ displaystyle H_ {1} (X) \ cong (H_ {1} (A) \ oplus H_ {1} (B)) / {\ text {Ker}} (k _ {*} - l _ {*})}

H_ {1} (X) \ cong (H_ {1} (A) \ oplus H_ {1} (B)) / {\ text {Ker}} (k _ {*} - l _ {*})

где по точности

{\ displaystyle {\ text {Ker}} (k _ {*} - l _ {*}) \ cong {\ text {Im}} (i _ {*}, j _ {*}).}

{\ text {Ker}} (k _ {*} - l _ {*}) \ cong {\ text {Im}} (i _ {*}, j _ {*}).

Это в точности абелианизированная формулировка теоремы Зейферта – ван Кампена. Сравните с фактом абелианизации фундаментальной группы, когда она линейно связна. ${\ displaystyle H_ {1} (X)}$ $H_ {1} (X)$ ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X)}$ $\ pi _ {1} (X)$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$

Основные приложения

k- сфера

Разложение для X = S ²

Чтобы полностью вычислить гомологии k -сферы X = S ^k, пусть A и B - две полусферы X с гомотопией пересечения, эквивалентные ( k - 1) -мерной экваториальной сфере. Так как K - мерное полушария гомеоморфное к K -Дисков, которые являются сжимаемыми, группа гомологии для A и B является тривиальной. Тогда последовательность Майера – Виеториса для редуцированных групп гомологии дает

{\ displaystyle \ cdots \ longrightarrow 0 \ longrightarrow {\ tilde {H}} _ {n} \! \ left (S ^ {k} \ right) \, {\ xrightarrow {\ overset {} {\ partial _ {* }}}} \, {\ tilde {H}} _ {n-1} \! \ left (S ^ {k-1} \ right) \ longrightarrow 0 \ longrightarrow \ cdots}

{\ displaystyle \ cdots \ longrightarrow 0 \ longrightarrow {\ tilde {H}} _ {n} \! \ left (S ^ {k} \ right) \, {\ xrightarrow {\ overset {} {\ partial _ {* }}}} \, {\ tilde {H}} _ {n-1} \! \ left (S ^ {k-1} \ right) \ longrightarrow 0 \ longrightarrow \ cdots}

Из точности сразу следует, что отображение ∂ * является изоморфизмом. Используя приведенные гомологии в 0-области (две точки) в качестве базового варианта, следует

{\ displaystyle {\ tilde {H}} _ {n} \! \ left (S ^ {k} \ right) \ cong \ delta _ {kn} \, \ mathbb {Z} = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} amp; {\ t_dv {if}} n = k \\ 0 amp; {\ t_dv {if}} n \ neq k \ end {case}}}

{\ displaystyle {\ tilde {H}} _ {n} \! \ left (S ^ {k} \ right) \ cong \ delta _ {kn} \, \ mathbb {Z} = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} amp; {\ t_dv {if}} n = k \\ 0 amp; {\ t_dv {if}} n \ neq k \ end {case}}}

где δ - символ Кронекера. Такое полное понимание гомологических групп сфер резко контрастирует с нынешними знаниями о гомотопических группах сфер, особенно для случая n gt; k, о котором мало что известно.

Бутылка Клейна

Бутылка Клейна ( фундаментальный многоугольник с соответствующими обозначениями краев) разложена на две полосы Мёбиуса A (синим цветом) и B (красным).

Несколько более сложно применение последовательности Майера-Виеториса является вычисление групп гомологии бутылки Клейна X. Один использует разложение X как объединение двух лент Мёбиуса A и B, приклеенных вдоль их граничной окружности (см. Иллюстрацию справа). Тогда, В и их пересечение ∩ B являются гомотопически эквивалентны окружностям, поэтому нетривиальной части выходов последовательностей

{\ displaystyle 0 \ rightarrow {\ тильда {H}} _ {2} (X) \ rightarrow \ mathbb {Z} \ {\ xrightarrow {\ overset {} {\ alpha}}} \ \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z} \ rightarrow \, {\ tilde {H}} _ {1} (X) \ rightarrow 0}

{\ displaystyle 0 \ rightarrow {\ тильда {H}} _ {2} (X) \ rightarrow \ mathbb {Z} \ {\ xrightarrow {\ overset {} {\ alpha}}} \ \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z} \ rightarrow \, {\ tilde {H}} _ {1} (X) \ rightarrow 0}

а тривиальная часть подразумевает исчезающие гомологии для размерностей больше 2. Центральное отображение α переводит 1 в (2, −2), поскольку граничная окружность ленты Мёбиуса дважды оборачивается вокруг сердцевинной окружности. В частности, α инъективен, поэтому гомологии размерности 2 также равны нулю. Наконец, выбирая (1, 0) и (1, −1) в качестве основы для Z ², получаем

{\ Displaystyle {\ тильда {H}} _ {n} \ влево (X \ вправо) \ cong \ delta _ {1n} \, (\ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z} _ {2}) = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z} _ {2} amp; {\ t_dv {if}} n = 1 \\ 0 amp; {\ t_dv {if}} n \ neq 1 \ end { случаи}}}

{\ Displaystyle {\ тильда {H}} _ {n} \ влево (X \ вправо) \ cong \ delta _ {1n} \, (\ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z} _ {2}) = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z} _ {2} amp; {\ t_dv {if}} n = 1 \\ 0 amp; {\ t_dv {if}} n \ neq 1 \ end { случаи}}}

Суммы клина

Это разложение клина сумма X два 2-сфер K и L дает все группы гомологии X.

Пусть Х является клиновидной суммой двух пространств K и L, и, кроме того, предположим, что идентифицированный Basepoint является деформационным ретрактом из открытых окрестностей U ⊆ K и V ⊆ L. Полагая A = K ∪ V и B = U ∪ L, получаем, что A ∪ B = X и A ∩ B = U ∪ V, что стягиваемо по построению. Тогда сокращенная версия последовательности дает (по точности)

{\ displaystyle {\ tilde {H}} _ {n} (K \ vee L) \ cong {\ tilde {H}} _ {n} (K) \ oplus {\ tilde {H}} _ {n} ( L)}

{\ tilde {H}} _ {n} (K \ vee L) \ cong {\ tilde {H}} _ {n} (K) \ oplus {\ tilde {H}} _ {n} (L)

для всех размеров n. Иллюстрации справа показывает X в виде суммы двух 2- х сфер K и L. Для этого конкретного случая, используя результат выше для 2-сфер, мы имеем

{\ displaystyle {\ tilde {H}} _ {n} \ left (S ^ {2} \ vee S ^ {2} \ right) \ cong \ delta _ {2n} \, (\ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z}) = \ left \ {{\ begin {matrix} \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z} amp; {\ t_dv {if}} n = 2 \\ 0 amp; {\ t_dv {if}} n \ neq 2 \ end {matrix}} \ right.}

{\ tilde {H}} _ {n} \ left (S ^ {2} \ vee S ^ {2} \ right) \ cong \ delta _ {{2n}} \, ({\ mathbb {Z}} \ oplus {\ mathbb {Z}}) = \ left \ {{\ begin {matrix} {\ mathbb {Z}} \ oplus {\ mathbb {Z}} amp; {\ t_dv {if}} n = 2 \\ 0 amp; {\ t_dv {if}} n \ neq 2 \ end {matrix}} \ right.

Подвески

Это разложение подвески X от 0-сферы Y дает все группы гомологии X.

Если X - надстройка SY пространства Y, пусть A и B - дополнения в X верхней и нижней «вершин» двойного конуса соответственно. Тогда X - это объединение A ∪ B, причем A и B стягиваемы. Кроме того, пересечение ∩ B гомотопически эквивалентно Y. Следовательно, выходы последовательности Майера-Вьеторис, для всех п,

{\ displaystyle {\ tilde {H}} _ {n} (SY) \ cong {\ tilde {H}} _ {n-1} (Y)}

{\ tilde {H}} _ {n} (SY) \ cong {\ tilde {H}} _ {{n-1}} (Y)

Иллюстрации справа показывает 1-сферу Х в виде суспензии в 0-сфере Y. Заметив в общем, что k- сфера является подвешиванием ( k - 1) -сферы, легко вывести группы гомологий k -сферы по индукции, как указано выше.

Дальнейшее обсуждение

Относительная форма

Относительная форма последовательности Майера-Виеториса также не существует. Если Y ⊂ X и является объединением C ⊂ A и D ⊂ B, то точная последовательность такова:

{\ displaystyle \ cdots \ to H_ {n} (A \ cap B, C \ cap D) \, {\ xrightarrow {(i _ {*}, j _ {*})}} \, H_ {n} (A, C) \ oplus H_ {n} (B, D) \, {\ xrightarrow {k _ {*} - l _ {*}}} \, H_ {n} (X, Y) \, {\ xrightarrow {\ partial _ {*}}} \, H_ {n-1} (A \ cap B, C \ cap D) \ to \ cdots}

{\ displaystyle \ cdots \ to H_ {n} (A \ cap B, C \ cap D) \, {\ xrightarrow {(i _ {*}, j _ {*})}} \, H_ {n} (A, C) \ oplus H_ {n} (B, D) \, {\ xrightarrow {k _ {*} - l _ {*}}} \, H_ {n} (X, Y) \, {\ xrightarrow {\ partial _ {*}}} \, H_ {n-1} (A \ cap B, C \ cap D) \ to \ cdots}

Натуральность

Группы гомологий естественны в том смысле, что если является непрерывным отображением, то существует каноническое прямое отображение групп гомологий, такое что композиция прямых поступлений является прямым направлением композиции: то есть последовательность Майера – Виеториса также естественна в смысл, что если ${\ displaystyle f: X_ {1} \ to X_ {2}}$ ${\ displaystyle f: X_ {1} \ to X_ {2}}$ ${\ displaystyle f _ {*}: H_ {k} (X_ {1}) \ to H_ {k} (X_ {2})}$ ${\ displaystyle f _ {*}: H_ {k} (X_ {1}) \ to H_ {k} (X_ {2})}$ ${\ displaystyle (g \ circ h) _ {*} = g _ {*} \ circ h _ {*}.}$ ${\ displaystyle (g \ circ h) _ {*} = g _ {*} \ circ h _ {*}.}$

{\ displaystyle {\ begin {matrix} X_ {1} = A_ {1} \ cup B_ {1} \\ X_ {2} = A_ {2} \ cup B_ {2} \ end {matrix}} \ qquad { \ text {and}} \ qquad {\ begin {matrix} f (A_ {1}) \ subset A_ {2} \\ f (B_ {1}) \ subset B_ {2} \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} X_ {1} = A_ {1} \ cup B_ {1} \\ X_ {2} = A_ {2} \ cup B_ {2} \ end {matrix}} \ qquad { \ text {and}} \ qquad {\ begin {matrix} f (A_ {1}) \ subset A_ {2} \\ f (B_ {1}) \ subset B_ {2} \ end {matrix}}}

то соединительный морфизм последовательности Майера – Виеториса коммутирует с. То есть коммутирует следующая диаграмма (горизонтальные карты - обычные): ${\ displaystyle \ partial _ {*},}$ ${\ displaystyle \ partial _ {*},}$ ${\ displaystyle f _ {*}}$ $f _ {*}$

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ cdots amp; H_ {n + 1} (X_ {1}) amp; \ longrightarrow amp; H_ {n} (A_ {1} \ cap B_ {1}) amp; \ longrightarrow amp; H_ {n} ( A_ {1}) \ oplus H_ {n} (B_ {1}) amp; \ longrightarrow amp; H_ {n} (X_ {1}) amp; \ longrightarrow amp; H_ {n-1} (A_ {1} \ cap B_ {1}) amp; \ longrightarrow amp; \ cdots \\ amp; f _ {*} {\ Bigg \ downarrow} amp;amp; f _ {*} {\ Bigg \ downarrow} amp;amp; f _ {*} {\ Bigg \ downarrow} amp;amp; f _ {*} {\ Bigg \ downarrow} amp;amp; f_ {*} {\ Bigg \ downarrow} \\\ cdots amp; H_ {n + 1} (X_ {2}) amp; \ longrightarrow amp; H_ {n} (A_ {2} \ cap B_ {2}) amp; \ longrightarrow amp; H_ {n } (A_ {2}) \ oplus H_ {n} (B_ {2}) amp; \ longrightarrow amp; H_ {n} (X_ {2}) amp; \ longrightarrow amp; H_ {n-1} (A_ {2} \ cap B_ { 2}) amp; \ longrightarrow amp; \ cdots \\\ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ cdots amp; H_ {n + 1} (X_ {1}) amp; \ longrightarrow amp; H_ {n} (A_ {1} \ cap B_ {1}) amp; \ longrightarrow amp; H_ {n} ( A_ {1}) \ oplus H_ {n} (B_ {1}) amp; \ longrightarrow amp; H_ {n} (X_ {1}) amp; \ longrightarrow amp; H_ {n-1} (A_ {1} \ cap B_ {1}) amp; \ longrightarrow amp; \ cdots \\ amp; f _ {*} {\ Bigg \ downarrow} amp;amp; f _ {*} {\ Bigg \ downarrow} amp;amp; f _ {*} {\ Bigg \ downarrow} amp;amp; f _ {*} {\ Bigg \ downarrow} amp;amp; f_ {*} {\ Bigg \ downarrow} \\\ cdots amp; H_ {n + 1} (X_ {2}) amp; \ longrightarrow amp; H_ {n} (A_ {2} \ cap B_ {2}) amp; \ longrightarrow amp; H_ {n } (A_ {2}) \ oplus H_ {n} (B_ {2}) amp; \ longrightarrow amp; H_ {n} (X_ {2}) amp; \ longrightarrow amp; H_ {n-1} (A_ {2} \ cap B_ { 2}) amp; \ longrightarrow amp; \ cdots \\\ end {matrix}}}

Когомологические версии

Майер-Виторис длинного точная последовательность для сингулярных когомологий групп с коэффициентом группы G является двойной гомологической версией. Это следующее:

{\ Displaystyle \ cdots \ к H ^ {n} (X; G) \ к H ^ {n} (A; G) \ oplus H ^ {n} (B; G) \ к H ^ {n} (A \ cap B; G) \ to H ^ {n + 1} (X; G) \ to \ cdots}

{\ Displaystyle \ cdots \ к H ^ {n} (X; G) \ к H ^ {n} (A; G) \ oplus H ^ {n} (B; G) \ к H ^ {n} (A \ cap B; G) \ to H ^ {n + 1} (X; G) \ to \ cdots}

где сохраняющие размерность отображения являются ограничивающими отображениями, индуцированными из включений, а (ко-) граничные отображения определены аналогично гомологической версии. Есть и относительная формулировка.

В качестве важного частного случая, когда G - группа действительных чисел R, а лежащее в основе топологическое пространство имеет дополнительную структуру гладкого многообразия, последовательность Майера – Виеториса для когомологий де Рама имеет вид

{\ Displaystyle \ cdots \ к H ^ {n} (X) \, {\ xrightarrow {\ rho}} \, H ^ {n} (U) \ oplus H ^ {n} (V) \, {\ xrightarrow {\ Delta}} \, H ^ {n} (U \ cap V) \, {\ xrightarrow {d ^ {*}}} \, H ^ {n + 1} (X) \ to \ cdots}

{\ Displaystyle \ cdots \ к H ^ {n} (X) \, {\ xrightarrow {\ rho}} \, H ^ {n} (U) \ oplus H ^ {n} (V) \, {\ xrightarrow {\ Delta}} \, H ^ {n} (U \ cap V) \, {\ xrightarrow {d ^ {*}}} \, H ^ {n + 1} (X) \ to \ cdots}

где { U, V } является открытым покрытием из X, ρ обозначает карту рестрикции, и Δ разница. Карта определяется аналогично карте сверху. Кратко это можно описать следующим образом. Например, для класса когомологий [ ω ], представленного замкнутой формой ω в U ∩ V, выразим ω как разность форм через разбиение единицы, подчиненное открытому покрытию { U, V }. Внешняя производная д £ U и д £ V согласен на U П V и, следовательно, вместе определяют п + 1 вид сг на X. Тогда d ^∗ ([ ω ]) = [ σ ]. ${\ displaystyle d ^ {*}}$ $г ^ {*}$ ${\ displaystyle \ partial _ {*}}$ ${\ displaystyle \ partial _ {*}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {U} - \ omega _ {V}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {U} - \ omega _ {V}}$

Для когомологий де Рама с компактными носителями существует "перевернутый" вариант указанной выше последовательности:

${\ displaystyle \ cdots \ to H_ {c} ^ {n} (U \ cap V) \, \ xrightarrow {\ delta} \, H_ {c} ^ {n} (U) \ oplus H_ {c} ^ { n} (V) \, \ xrightarrow {\ Sigma} \, H_ {c} ^ {n} (X) \, \ xrightarrow {d ^ {*}} \, H_ {c} ^ {n + 1} ( U \ cap V) \ to \ cdots}$ ${\ displaystyle \ cdots \ to H_ {c} ^ {n} (U \ cap V) \, \ xrightarrow {\ delta} \, H_ {c} ^ {n} (U) \ oplus H_ {c} ^ { n} (V) \, \ xrightarrow {\ Sigma} \, H_ {c} ^ {n} (X) \, \ xrightarrow {d ^ {*}} \, H_ {c} ^ {n + 1} ( U \ cap V) \ to \ cdots}$

где,, являются, как указано выше, является подписанным отображением включения, где проходит форму с компактным носителем в форму на нуль, и это сумма. ${\ displaystyle U}$ $U$ ${\ displaystyle V}$ $V$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ дельта$ ${\ displaystyle \ delta: \ omega \ mapsto (я _ {*} ^ {U} \ omega, -i _ {*} ^ {V} \ omega)}$ ${\ displaystyle \ delta: \ omega \ mapsto (я _ {*} ^ {U} \ omega, -i _ {*} ^ {V} \ omega)}$ ${\ displaystyle i ^ {U}}$ ${\ displaystyle i ^ {U}}$ ${\ displaystyle U}$ $U$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ $\Сигма$

Вывод

Рассмотрят длинную точную последовательность, связанную с самыми короткими точными последовательностями из цепных групп (составных группы цепных комплексов )

{\ Displaystyle 0 \ к C_ {n} (A \ cap B) \, {\ xrightarrow {\ alpha}} \, C_ {n} (A) \ oplus C_ {n} (B) \, {\ xrightarrow { \ beta}} \, C_ {n} (A + B) \ to 0}

{\ Displaystyle 0 \ к C_ {n} (A \ cap B) \, {\ xrightarrow {\ alpha}} \, C_ {n} (A) \ oplus C_ {n} (B) \, {\ xrightarrow { \ beta}} \, C_ {n} (A + B) \ to 0}

где α ( х) = ( х, - х), β ( х, у) = х + у, а С п ( + Б) представляет собой цепь группа, состоящая из сумм цепей в А и цепей в B. Это факт, что особые n -симплексы X, образы которых содержатся либо в A, либо в B, порождают всю группу гомологий H n ( X). Другими словами, H n ( A + B) изоморфен H n ( X). Это дает последовательность Майера – Виеториса для сингулярных гомологий.

То же самое вычисление применимо к коротким точным последовательностям векторных пространств дифференциальных форм

{\ Displaystyle 0 \ к \ Omega ^ {n} (X) \ к \ Omega ^ {n} (U) \ oplus \ Omega ^ {n} (V) \ к \ Omega ^ {n} (U \ cap V) \ к 0}

{\ Displaystyle 0 \ к \ Omega ^ {n} (X) \ к \ Omega ^ {n} (U) \ oplus \ Omega ^ {n} (V) \ к \ Omega ^ {n} (U \ cap V) \ к 0}

дает последовательность Майера – Виеториса для когомологий де Рама.

С формальной точки зрения последовательность Майера – Виеториса может быть получена из аксиом Эйленберга – Стинрода для теорий гомологии с использованием длинной точной последовательности в гомологиях.

Другие теории гомологии

Вывод последовательности Майера – Виеториса из аксиом Эйленберга – Стинрода не требует аксиомы размерности, поэтому в дополнение к существующим в обычных теориях когомологий, она выполняется в необычных теориях когомологий (таких как топологическая K-теория и кобордизм ).

Когомологии пучков

С точки зрения когомологий пучков последовательность Майера – Виеториса связана с когомологиями Чеха. В частности, она возникает из - за дегенерации в спектральной последовательности, которая относится к Чеху пучковых когомологий (иногда называемый Майер-Виеторис спектральной последовательности ) в случае, когда открытое покрытие используется для вычисления когомологий Чеха состоит из двух открытых множеств. Эта спектральная последовательность существует в произвольных топосах.

Смотрите также

Заметки

Рекомендации

Ботт, Рауль ; Ту, Лоринг В. (1982), Дифференциальные формы в алгебраической топологии, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90613-3.

Корри, Лео (2004), Современная алгебра и рост математических структур, Биркхойзер, с. 345, ISBN 3-7643-7002-5.

Дьедонне, Жан (1989), История алгебраической и дифференциальной топологии 1900–1960 гг., Биркхойзер, с. 39, ISBN 0-8176-3388-X.

Димка, Александру (2004), Пучки в топологии, Universitext, Берлин: Springer-Verlag, DOI : 10.1007 / 978-3-642-18868-8, ISBN 978-3-540-20665-1, Руководство по ремонту 2050072

Эйленберг, Самуэль ; Стинрод, Норман (1952), Основы алгебраической топологии, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-07965-3.

Хэтчер, Аллен (2002), алгебраическая топология, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-79540-1, MR 1867354.

Хирцебрух, Фридрих (1999), «Эмми Нётер и топология», в Тейхере, М. (ред.), «Наследие Эмми Нётер», Труды Израильской математической конференции, Университет Бар-Илан / Американское математическое общество / Издательство Оксфордского университета, стр. 61–63, ISBN 978-0-19-851045-1, OCLC 223099225.

Коно, Акира; Тамаки, Дай (2006) [2002], Обобщенные когомологии, Серия Иванами в современной математике, Переводы математических монографий, 230 (перевод с японского издания 2002 г., изд. Тамаки), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-3514-2, Руководство по ремонту 2225848

Мэсси, Уильям (1984), Алгебраическая топология: введение, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90271-5.

Майер, Вальтер (1929), "Убер abstrakte Topologie", Ежемесячник für Mathematik, 36 (1): 1-42, DOI : 10.1007 / BF02307601, ISSN 0026-9255. (на немецком)

Спаниер, Эдвин (1966), алгебраическая топология, Springer-Verlag, ISBN 0-387-94426-5.

Вердье, Жан-Луи (1972), «Cohomologie dans les topos», у Артина, Майкла ; Гротендик, Александр ; Вердье, Жан-Луи (ред.), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963–64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - Том 2, Лекционные заметки по математике (на французском), 270, Берлин; Гейдельберг: Springer-Verlag, стр. 1, DOI : 10.1007 / BFb0061320, ISBN 978-3-540-06012-3

Вьеторис, Leopold (1930), "Убер умереть Homologiegruppen дер Vereinigung zweier Komplexe", Ежемесячник für Mathematik, 37: 159-62, DOI : 10.1007 / BF01696765. (на немецком)

дальнейшее чтение

Рейтбергер, Генрих (2002), «Леопольд Вьеторис (1891–2002)» (PDF), Уведомления Американского математического общества, 49 (20), ISSN 0002-9920.