Список теорий когомологий

Это список некоторых из обычных и обобщенных (или экстраординарный) теории гомологий и когомологий в алгебраической топологии, которые определены в категориях комплексов CW или спектров. Для других видов теорий гомологии см. ссылки в конце этой статьи.

• 1 Обозначение
• 2 Теории обыкновенных гомологий
  • 2.1 Гомологии и когомологии с целыми коэффициентами.
  • 2.2 Гомологии и когомологии с рациональными (или действительными или комплексными) коэффициентами.
  • 2.3 Гомологии и когомологии с коэффициентами mod p.
• 3 K-теории
  • 3.1 Реальная K-теория
  • 3.2 Комплексная K-теория
  • 3.3 Кватернионная K-теория
  • 3.4 K-теория с коэффициентами
  • 3.5 Самостоятельная сопряженная K-теория
  • 3.6 Коннективные K-теории
  • 3.7 KR-теория
• 4 Теории бордизмов и кобордизмов
  • 4.1 Стабильная гомотопия и когомотопия
  • 4.2 Неориентированный кобордизм
  • 4.3 Комплексный кобордизм
  • 4.4 Ориентированный кобордизм
  • 4.5 Специальный унитарный кобордизм
  • 4.6 Спиновый кобордизм (и варианты)
  • 4.7 Симплектический кобордизм
  • 4.8 Кобордизм Клиффорда
  • 4.9 Кобордизм PL и топологический кобордизм
  • 4.10 Когомологии Брауна – Петерсона
  • 4.11 К-теория Моравы
  • 4.12 Теория Джонсона – Уилсона
  • 4.13 Струнный кобордизм
• 5 Теории, связанные с эллиптическими кривыми
  • 5.1 Эллиптические когомологии
  • 5.2 Топологические модульные формы
• 6 См. Также
• 7 Ссылки

• S = π = S - спектр сферы.
• S - спектр n-мерной сферы
• SY = S∧Y - n-я суспензия спектра Y.
• [X, Y] - абелева группа морфизмов из спектра X в спектр Y, заданные (примерно) как гомотопические классы отображений.
• [X, Y] n = [SX, Y]
• [X, Y] * - это градуированная абелева группа, заданная как сумма групп [X, Y] n.
• πn(X) = [S, X] = [S, X] n - n-я стабильная гомотопическая группа X.
• π*(X) является суммой групп π n (X) и называется кольцом коэффициентов X, когда X является кольцевым спектром.
• X∧Y - это произведение двух спектров.

Если X - спектр, то он определяет теории обобщенных гомологий и когомологий для категории спектров следующим образом.

• Xn(Y) = [S, X∧Y] n = [S, X∧Y] - обобщенные гомологии Y,
• X (Y) = [Y, X] −n = [SY, X] - обобщенные когомологии Y

Это теории, удовлетворяющие «аксиоме размерности» Эйленберга –Аксиомы Стенрода о том, что гомологии точки равны нулю в размерности, отличной от 0. Они определяются абелевой группой коэффициентов G и обозначаются H (X, G) (где G иногда опускается., особенно если это Z ). Обычно G - это целые числа, рациональные числа, действительные числа, комплексные числа или целые числа по модулю простого p.

Функторы когомологий обычных теорий когомологий представлены пространствами Эйленберга – Маклейна.

На симплициальных комплексах эти теории совпадают с сингулярными гомологиями и когомологиями.

Гомологии и когомологии с целыми коэффициентами.

Спектр: H (спектр Эйленберга – Маклейна целых чисел.)

Кольцо коэффициентов: πn(H) = Z, если n = 0, 0 в противном случае.

Первоначальная теория гомологии.

Гомологии и когомологии с рациональными (или действительными, или комплексными) коэффициентами.

Спектр: HQ (спектр рациональных чисел Эйленберга – Мак-Лейна)

Кольцо коэффициентов: πn(HQ) = Q, если n = 0, 0 в противном случае.

Это простейшая из всех теорий гомологии. Группы гомологии HQ n (X) часто обозначаются H n (X, Q). Группы гомологии H (X, Q ), H (X, R ), H (X, C ) с рациональным, Все коэффициенты действительный и комплексный похожи и используются в основном, когда скручивание не представляет интереса (или слишком сложно для расчета). Разложение Ходжа записывает комплексные когомологии комплексного проективного многообразия как сумму групп когомологий пучка.

Гомологии и когомологии с коэффициентами mod p.

Спектр: HZp(спектр Эйленберга – Маклейна целых чисел по модулю p.)

Кольцо коэффициентов: πn(HZ p) = Zp(целые числа по модулю p), если n = 0, 0 в противном случае.

Более простые K-теории пространства часто связаны с векторными расслоениями над пространством и различными видами K -теории соответствуют различным структурам, которые можно положить в векторное расслоение.

Реальная K-теория

Спектр: KO

Кольцо коэффициентов: Группы коэффициентов π i (KO) имеют период 8 в i, задаваемый формулой последовательность Z, Z2, Z2, 0, Z, 0, 0, 0 повторяется. Как кольцо, оно порождается классом η степени 1, классом x 4 степени 4 и обратимым классом v 1 степени 8 при соблюдении соотношений 2η = η = ηx 4 = 0, а x 4 = 4v 1.

KO (X) - кольцо стабильных классов эквивалентности вещественных векторных расслоений над X. Периодичность Ботта подразумевает, что K-группы имеют период 8.

Комплексная K-теория

Спектр: KU (четные члены BU или Z × BU, нечетные условия U).

Кольцо коэффициентов: Кольцо коэффициентов K (точка) - это кольцо многочленов Лорана в образующей степени 2.

K (X) - кольцо стабильных классы эквивалентности комплексных векторных расслоений над X. Периодичность Ботта означает, что K-группы имеют период 2.

Кватернионная K-теория

Спектр: KSp

Коэффициент кольцо: Группы коэффициентов π i (KSp) имеют период 8 в i, заданный последовательностью Z, 0, 0, 0, Z, Z2, Z2, 0, повторяющейся.

KSp (X) - кольцо стабильных классов эквивалентности кватернионных векторных расслоений над X. Периодичность Ботта означает, что K-группы имеют период 8.

K-теория с коэффициентами

Спектр: KG

G - некоторая абелева группа; например локализация Z(p) в простом месте p. Другим K-теориям также могут быть даны коэффициенты.

Самосопряженная K-теория

Спектр: KSC

Кольцо коэффициентов: для записи...

Группы коэффициентов $\pi \; i\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{i\}\}$(KSC) имеют период 4 в i, заданный повторяющейся последовательностью Z, Z2, 0, Z . Представлено Дональдом В. Андерсоном в его неопубликованной статье 1964 Калифорнийский университет, Беркли Ph.D. диссертация "Новая теория когомологий".

Соединительные K-теории

Спектр: ku для соединительной K-теории, ko для соединительной реальной K-теории.

Кольцо коэффициентов: Для ku кольцо коэффициентов - это кольцо многочленов над Z в одном классе v 1 в размерности 2. Для ko кольцо коэффициентов является частным от многочлена кольцо на трех образующих, η в размерности 1, x 4 в размерности 4 и v 1 в размерности 8, генератор периодичности, по модулю соотношений, что 2η = 0, x 4 = 4v 1, η = 0 и ηx = 0.

Грубо говоря, это K-теория с уничтоженными частями отрицательной размерности.

KR-теория

Это теория когомологий, определенная для пространств с инволюцией, из которой могут быть выведены многие другие K-теории.

Кобордизм изучает многообразия, где многообразие считается «тривиальным», если оно является границей другого компактного многообразия. Классы кобордизмов многообразий образуют кольцо, которое обычно является кольцом коэффициентов некоторой обобщенной теории когомологий. Существует множество таких теорий, примерно соответствующих различным структурам, которые можно построить на многообразии.

Функторы теорий кобордизмов часто представлены пространствами Тома определенных групп.

Стабильная гомотопия и когомотопия

Спектр: S (сферический спектр ).

Кольцо коэффициентов: Группы коэффициентов π n (S) - это стабильные гомотопические группы сфер, которые, как известно, сложно вычислить или понять при n>0. (Для n < 0 they vanish, and for n = 0 the group is Z.)

Стабильная гомотопия тесно связана с кобордизмом оснащенных многообразий (многообразий с тривиализацией нормального расслоения).

Неориентированный кобордизм

Спектр: МО (спектр Тома ортогональной группы )

Кольцо коэффициентов: π*(МО) - кольцо классов кобордизмов неориентированных многообразий, и представляет собой кольцо многочленов над полем с двумя элементами на образующих степени i для каждого i, не имеющего вида 2−1. То есть: $Z\; 2\; [x\; 2,\; x\; 4,\; x\; 5,\; x\; 6,\; x\; 8\; \cdots ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{2\}\; [x\_\; \{2\},\; x\_\; \{4\},\; x\_\; \{5\},\; x\_\; \{6\},\; x\_\; \{8\}\; \backslash \; cdots]\}$где $x\; 2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{2n\}\}$может быть представлен классами $RP\; 2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{RP\}\; ^\; \{2n\}\}$тогда как для нечетных индексов можно использовать подходящие Dold многообразия.

Неориентированный бордизм является 2-кручением, поскольку 2M является границей $M\; \times \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; \backslash \; times\; I\}$.

MO представляет собой довольно слабую теорию кобордизма, поскольку спектр MO изоморфен H (π * (MO)) («гомология с коэффициентами в π * (MO) ") - МО является продуктом спектров Эйленберга – Маклейна. Другими словами, соответствующие гомологии а теории когомологий не более мощны, чем гомологии и когомологии с коэффициентами в Z/2Z. Это была первая полностью описанная теория кобордизма.

Комплексный кобордизм

Спектр: MU (спектр Тома унитарной группы )

Кольцо коэффициентов: π*(MU) - кольцо многочленов от образующих степени 2, 4, 6, 8,... и естественно изоморфно универсальному кольцу Лазара, и является кольцом кобордизмов стабильно почти комплексных многообразий.

ориентированных кобордизмов

Спектр: MSO ( Спектр Тома специальной ортогональной группы )

Кольцо коэффициентов: Класс ориентированных кобордизмов многообразия полностью определяется его характеристическими числами: его числами Штифеля – Уитни и числами Понтрягина, но общее кольцо коэффициентов, обозначенное $\Omega \; \ast \; =\; \Omega \; (\ast )\; =\; MSO\; (\ast )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; \_\; \{*\}\; =\; \backslash \; Omega\; (*)\; =\; MSO\; (*)\}$является довольно сложным. Рационально и при 2 (соответствует классам Понтрягина и Штифеля – Уитни соответственно), MSO является продуктом спектров Эйленберга – Маклейна - $MSOQ\; =\; H\; (\pi \; \ast \; (MSOQ))\; \{\backslash \; Displaystyle\; MSO\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{Q\}\}\; =\; H\; (\backslash \; pi\; \_\; \{*\}\; (MSO\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{Q\}\}))\}$и $MSO\; [2]\; =\; H\; (\pi \; \ast \; (MSO\; [2]))\; \{\backslash \; displaystyle\; MSO\; [2]\; =\; H\; (\backslash \; pi\; \_\; \{*\}\; (MSO\; [2]))\}$- но для нечетных простых чисел это не так, и структуру сложно описать. Кольцо было полностью описано как целостность благодаря работам Джона Милнора, Бориса Авербуха, Владимира Рохлина и К. TC Wall.

Особый унитарный кобордизм

Спектр: MSU (спектр Тома специальной унитарной группы )

Кольцо коэффициентов:

Спиновый кобордизм (и варианты)

Спектр: MSpin (спектр Тома спиновой группы )

Кольцо коэффициентов: См. (DW Anderson, EH Brown FP Peterson 1967).

Симплектический кобордизм

Спектр : MSp (спектр Тома симплектической группы )

Кольцо коэффициентов:

кобордизм алгебры Клиффорда

PL кобордизм и топологический кобордизм

Спектр: MPL, MSPL, MTop, MSTop

Кольцо коэффициентов:

Определение аналогично кобордизму, за исключением того, что вместо гладких многообразий используется кусочно-линейное или топологическое, либо ориентированные или неориентированные. Кольца коэффициентов сложны.

Когомологии Брауна – Петерсона

Спектр: BP

Кольцо коэффициентов: π*(BP) - алгебра полиномов над Z (p) на образующих v n размерности 2 (p - 1) для n ≥ 1.

Brown – Pet Когомологии Эрсона BP являются слагаемым в MU p, который является комплексным кобордизмом MU, локализованным в простом числе p. Фактически MU (p) - это сумма приостановлений BP.

К-теория Моравы

Спектр: K (n) (Они также зависят от простого числа p.)

Кольцо коэффициентов: Fp[vn, v n ], где v n имеет степень 2 (p -1).

У этих теорий период 2 (p - 1). Они названы в честь Джека Морава.

теория Джонсона – Уилсона

Спектр E (n)

Кольцо коэффициентов Z(2) [v1,..., v n, 1 / v n ], где v i имеет степень 2 (2-1)

Строковый кобордизм

Спектр:

Коэффициент ring: