Структура Ходжа

В математике - структура Ходжа, названная в честь W. В.Д. Ходжа, представляет собой алгебраическую структуру на уровне линейной алгебры, аналогичную той, которую теория Ходжа дает группам когомологий гладкой и компактное кэлерово многообразие. Структуры Ходжа были обобщены для всех сложных разновидностей (даже если они единичные и неполные ) в форме смешанных структур Ходжа, определенных как Пьер Делинь (1970). Вариант структуры Ходжа - это семейство структур Ходжа, параметризованное многообразием, впервые изученное Филиппом Гриффитсом (1968). Все эти концепции были далее обобщены на смешанные модули Ходжа над комплексными многообразиями Морихико Сайто (1989).

• 1 Структуры Ходжа
  • 1.1 Определение структур Ходжа
  • 1.2 Структура A-Ходжа
• 2 Смешанные структуры Ходжа
  • 2.1 Пример кривых
  • 2.2 Определение смешанной структуры Ходжа
  • 2.3 Смешанная структура Ходжа в когомологиях (теорема Делиня)
• 3 Примеры
• 4 Приложения
• 5 Вариация структуры Ходжа
• 6 Модули Ходжа
• 7 См. Также
• 8 Примечания
• 9 Вводные ссылки
• 10 Обзорные статьи
• 11 Ссылки

Определение структур Ходжа

Чистая структура Ходжа с целым весом n состоит из абелевой группы $HZ\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{Z\}\}\}$и разложение его комплексификации H в прямую сумму комплексных подпространств $H\; p,\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{p,\; q\; \}\}$, где $p\; +\; q\; =\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; +\; q\; =\; n\}$, со свойством комплексного сопряжения $H\; p,\; q\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; H\; ^\; \{p,\; q\}\}$равно $H\; q,\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{q,\; p\}\}$:

$H:\; =\; HZ\; \otimes \; ZC\; =\; ⨁\; p\; +\; q\; знак\; равно\; N\; ЧАС\; п,\; q,\; \{\backslash \; Displaystyle\; H:\; =\; H\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{Z\}\}\; \backslash \; otimes\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{Z\}\}\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; =\; \backslash \; bigoplus\; \backslash \; nolimits\; \_\; \{p\; +\; q\; =\; n\}\; H\; ^\; \{p,\; q\},\}$

$H\; p,\; q\; ¯\; =\; H\; q,\; p.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{H\; ^\; \{p,\; q\}\}\}\; =\; H\; ^\; \{q,\; p\}.\}$

Эквивалентное определение получается заменой разложения H в прямую сумму на фильтрацию Ходжа, конечная убывающая фильтрация H комплексными подпространствами $F\; p\; H\; (p\; \in \; Z),\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; ^\; \{p\}\; H\; (p\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}),\; \}$при условии

$\forall \; p,\; q:\; p\; +\; q\; =\; n\; +\; 1,\; F\; p\; H\; \cap \; F\; q\; H\; ¯\; =\; 0\; и\; F\; p\; H\; \oplus \; F\; q\; H\; ¯\; =\; H.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; forall\; p,\; q\; \backslash :\; \backslash \; p\; +\; q\; =\; n\; +\; 1,\; \backslash \; qquad\; F\; ^\; \{p\}\; H\; \backslash \; cap\; \{\backslash \; overline\; \{F\; ^\; \{q\}\; H\}\}\; =\; 0\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{и\; \}\}\; \backslash \; quad\; F\; ^\; \{p\}\; H\; \backslash \; oplus\; \{\backslash \; overline\; \{F\; ^\; \{q\}\; H\}\}\; =\; H.\}$

Соотношение между этими двумя описаниями дается следующим образом:

$H\; p,\; q\; =\; F\; п\; ЧАС\; \cap \; F\; Q\; H\; ¯,\; \{\backslash \; Displaystyle\; H\; ^\; \{p,\; q\}\; =\; F\; ^\; \{p\}\; H\; \backslash \; cap\; \{\backslash \; overline\; \{F\; ^\; \{q\}\; H\}\},\}$

$F\; p\; H\; =\; ⨁\; i\; \ge \; p\; H\; i,\; n\; -\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; ^\; \{p\}\; H\; =\; \backslash \; bigoplus\; \backslash \; nolimits\; \_\; \{i\; \backslash \; geq\; p\}\; H\; ^\; \{i,\; ni\}.\}$

Например, если X - компактное кэлерово многообразие, $HZ\; =\; ЧАС\; N\; (X,\; Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{Z\}\}\; =\; H\; ^\; \{n\}\; (X,\; \backslash \; mathbb\; \{Z\})\}$n-й группа когомологий X с целыми коэффициентами, тогда $H\; =\; H\; n\; (X,\; C)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; H\; ^\; \{n\}\; (X,\; \backslash \; mathbb\; \{C\})\}$- это n-я группа когомологий с комплексными коэффициентами, а теория Ходжа обеспечивает разложение H в прямую сумму, как указано выше, так что эти данные определяют чистую структуру Ходжа веса n. С другой стороны, спектральная последовательность Ходжа – де Рама обеспечивает $H\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{n\}\}$с убывающей фильтрацией по $F\; p\; H\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; ^\; \{p\}\; H\}$как во втором определении.

Для приложений в алгебраической геометрии, а именно, классификации сложных проективных многообразий по их периоды, набор всех структур Ходжа веса n на $HZ\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{Z\}\}\}$слишком велик. Используя билинейные отношения Римана, в данном случае называемые билинейными отношениями Ходжа Римана, его можно существенно упростить. поляризованная структура Ходжа веса n состоит из структуры Ходжа $(HZ,\; H\; p,\; q)\; \{\backslash \; displaystyle\; (H\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{Z\}\},\; H\; ^\; \{p,\; q\})\; \}$и невырожденная целочисленная билинейная форма Q на $HZ\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{Z\}\}\}$(поляризация ), которая является продолжается на H по линейности и удовлетворяет условиям:

$Q\; (\phi ,\; \psi )\; =\; (-\; 1)\; n\; Q\; (\psi ,\; \phi );\; Q\; (\phi ,\; \psi )\; =\; 0\; для\; \phi \; \in \; H\; p,\; q,\; \psi \; \in \; H\; p\; \prime ,\; q\; \prime ,\; p\; \ne \; q\; \prime ;\; ip\; -\; q\; Q\; (\phi ,\; \phi \; ¯)>0\; для\; \phi \; \in \; H\; p,\; q,\; \phi \; \ne \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; Q\; (\backslash \; varphi,\; \backslash \; psi)\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{n\; \}\; Q\; (\backslash \; psi,\; \backslash \; varphi);\; \backslash \backslash \; Q\; (\backslash \; varphi,\; \backslash \; psi)\; =\; 0\; \{\backslash \; text\; \{for\}\}\; \backslash \; varphi\; \backslash \; in\; H\; ^\; \{p,\; q\},\; \backslash \; psi\; \backslash \; in\; H\; ^\; \{p\; \text{'},\; q\text{'}\},\; p\; \backslash \; neq\; q\; \text{'};\; \backslash \backslash \; i\; ^\; \{pq\}\; Q\; \backslash \; left\; (\backslash \; varphi,\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; varphi\}\}\; \backslash \; right)>0\; \{\backslash \; text\; \{for\}\}\; \backslash \; varphi\; \backslash \; в\; H\; ^\; \{p,\; q\},\; \backslash \; \backslash \; varphi\; \backslash \; neq\; 0.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

В терминах фильтрации Ходжа эти условия означают, что

$Q\; (F\; p,\; F\; n\; -\; p\; +\; 1)\; =\; 0,\; Q\; (C\; \phi ,\; \phi \; ¯)>0\; для\; \phi \; \ne \; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; Q\; \backslash \; left\; (F\; ^\; \{p\},\; F\; ^\; \{n-p\; +\; 1\}\; \backslash \; right)\; =\; 0,\; \backslash \backslash \; Q\; \backslash \; left\; (C\; \backslash \; varphi,\; \{\backslash \; bar\; \{\; \backslash \; varphi\}\}\; \backslash \; right)>0\; \{\backslash \; text\; \{for\}\}\; \backslash \; varphi\; \backslash \; neq\; 0,\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где C - оператор Вейля на H, заданный как $C\; =\; ip\; -\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; =\; i\; ^\; \{pq\}\}$на $H\; p,\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{p,\; q\}\}$.

Еще одно определение структуры Ходжа основано на эквивалентности между $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$-градуировка в комплексном векторном пространстве и действие группы кругов U (1). В этом определении действие мультипликативной группы комплексных чисел $C\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{*\}\}$, рассматриваемой как двумерный вещественный алгебраический тор, дается на H. Это действие должно обладать тем свойством, что действительное число a действует через a. Подпространство $H\; p,\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{p,\; q\}\}$- это подпространство, в котором $z\; \in \; C\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{*\}\}$действует как умножение на $zpz\; ¯\; q.\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; ^\; \{p\}\; \{\backslash \; overline\; \{z\}\}\; ^\; \{q\}.\}$

Структура А-Ходжа

В теории мотивов становится важным разрешить более общие коэффициенты для когомологии. Определение структуры Ходжа модифицируется путем фиксации подкольца Noetherian A поля $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$из вещественные числа, для которых $A\; \otimes \; ZR\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; otimes\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{Z\}\}\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$является полем. Затем определяется чистая структура Ходжа A веса n, как и раньше, с заменой $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$на A . Существуют естественные функторы замены базы и ограничения, связывающие A -структуры Ходжа и B -структуры для A подкольца B.

Жан-Пьер Серр в 1960-х годах заметил на основании гипотез Вейля, что даже особые (возможно приводимые) и неполные алгебраические многообразия должны допускать «виртуальные числа Бетти». '. Точнее, нужно иметь возможность сопоставить любому алгебраическому многообразию X многочлен P X (t), называемый его виртуальным многочленом Пуанкаре, со свойствами

• Если X неособое и проективное (или полное)

$PX\; (t)\; =\; \sum \; rank\; (H\; n\; (X))\; tn\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{X\}\; (t)\; =\; \backslash \; sum\; \{\backslash \; text\; \{rank\}\}\; (H\; ^\; \{n\}\; (X))\; t\; ^\; \{n\}\}$

• Если Y - замкнутое алгебраическое подмножество X и U = X \ Y

$PX\; (t)\; =\; PY\; (t)\; +\; PU\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{X\; \}\; (t)\; =\; P\_\; \{Y\}\; (t)\; +\; P\_\; \{U\}\; (t)\}$

Существование таких многочленов следует из существования аналога структуры Ходжа в когомологиях общего (сингулярного и не -полное) алгебраическое многообразие. Новизна состоит в том, что n-я когомология общего многообразия выглядит так, как если бы она содержала куски разного веса. Это привело Александра Гротендика к его гипотетической теории мотивов и мотивировало поиски расширения теории Ходжа, кульминацией которых стали работы Пьера Делиня. Он ввел понятие смешанной структуры Ходжа, разработал методы работы с ними, дал их конструкцию (на основе разрешения сингулярностей Хейсуке Хиронаки ) и связал их с весами на l-адические когомологии, доказывающие последнюю часть гипотез Вейля.

Пример кривых

Чтобы мотивировать определение, рассмотрим случай приводимого комплексного алгебраического кривая X, состоящая из двух неособых компонентов, $X\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{1\}\}$и $X\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{2\}\}$, которые трансверсально пересекаются в точках $Q\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\_\; \{1\}\}$и $Q\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\_\; \{2\}\}$. Далее, предположим, что компоненты не компактны, но их можно компактифицировать, добавив точки $P\; 1,\dots ,\; P\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; P\_\; \{n\}\}$. Первая группа когомологий кривой X (с компактным носителем) двойственна первой группе гомологий, которую легче визуализировать. В этой группе есть три типа одноциклов. Во-первых, есть элементы $\alpha \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\}$, представляющие небольшие петли вокруг точек $P\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{i\}\}$. Затем есть элементы $\beta \; j\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; \_\; \{j\}\}$, которые происходят из первой гомологии компактификации каждого из компонентов. Один цикл в $X\; k\; \subset \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{k\}\; \backslash \; subset\; X\}$($k\; =\; 1,\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; 1,2\}$), соответствующий цикл в компактификации этого компонента не является каноническим: эти элементы определяются по модулю $\alpha \; 1,\dots ,\; \alpha \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; \backslash \; alpha\; \_\; \{n\}\}$. Наконец, по модулю первых двух типов группа создается комбинаторным циклом $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$, который идет от до $Q\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\_\; \{2\}\}$вдоль пути в одном компоненте $X\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{1\}\}$и возвращается по пути в другом компоненте $X\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{2\}\}$. Это предполагает, что $H\; 1\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{1\}\; (X)\}$допускает возрастающую фильтрацию

$0\; \subset \; W\; 0\; \subset \; W\; 1\; \subset \; W\; 2\; =\; H\; 1\; (X),\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; subset\; W\_\; \{0\}\; \backslash \; subset\; W\_\; \{1\}\; \backslash \; subset\; W\_\; \{2\}\; =\; H\; ^\; \{1\}\; (X),\; \backslash ,\}$

, чьи последовательные частные W n/Wn − 1 происходят из когомологий гладких полных многообразий, следовательно, допускают (чистые) структуры Ходжа, хотя и разного веса. Дополнительные примеры можно найти в «Наивном руководстве по смешанной теории Ходжа».

Определение смешанной структуры Ходжа

A смешанной структуры Ходжа на абелевой группе $HZ\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{Z\}\}\}$состоит из конечной убывающей фильтрации F на комплексном векторном пространстве H (комплексификация $HZ\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{Z\}\}\}$), называемые фильтрацией Ходжа и конечной возрастающей фильтрацией W i в рациональном векторном пространстве $HQ\; =\; HZ\; \otimes \; ZQ\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\; =\; H\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{Z\}\}\; \backslash \; otimes\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{Z\}\}\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\}$(полученный расширением скаляров до рациональных чисел), называемый весовой фильтрацией, при условии, что n-е ассоциированное градуированное частное $HQ\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\}$по весовой фильтрации, вместе с фильтрацией, вызванной по F на его комплексификации, является чистой структурой Ходжа веса n для всех целых n. Здесь индуцированная фильтрация на

$gr\; n\; W\; \; H\; =\; W\; n\; \otimes \; C\; /\; W\; n\; -\; 1\; \otimes \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{gr\}\; \_\; \{n\}\; ^\; \{W\}\; H\; =\; W\_\; \{n\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; /\; W\_\; \{n-1\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$

определяется как

$F\; p\; gr\; n\; W\; \; H\; =\; (F\; p\; \cap \; W\; n\; \otimes \; C\; +\; W\; n\; -\; 1\; \otimes \; C)\; /\; W\; n\; -\; 1\; \otimes \; C.\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; ^\; \{p\}\; \backslash \; operatorname\; \{gr\}\; \_\; \{n\}\; ^\; \{W\}\; H\; =\; \backslash \; left\; (F\; ^\; \{p\}\; \backslash \; cap\; W\_\; \{n\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; +\; W\_\; \{n-1\; \}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; \backslash \; right)\; /\; W\_\; \{n-1\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbb\; \{C\}.\}$

Можно определить понятие морфизма смешанных структур Ходжа, которое должно быть совместимо с фильтрации F и W и докажите следующее:

Теорема. Смешанные структуры Ходжа образуют абелеву категорию. Ядра и коядра в этой категории совпадают с обычными ядрами и коядрами в категории векторных пространств с индуцированными фильтрациями.

Полные когомологии компактного кэлерова многообразия имеют смешанную структуру Ходжа, где n-е пространство веса фильтрация W n представляет собой прямую сумму групп когомологий (с рациональными коэффициентами) степени меньше или равной n. Следовательно, классическую теорию Ходжа в компактном комплексном случае можно рассматривать как обеспечение двойной градуировки комплексной группы когомологий, которая определяет возрастающую фитрацию F и убывающую фильтрацию W n, которые совместимы определенным образом.. В общем, все пространство когомологий все еще имеет эти две фильтрации, но они больше не являются результатом разложения в прямую сумму. В связи с третьим определением чистой структуры Ходжа можно сказать, что смешанная структура Ходжа не может быть описана с помощью действия группы $C\; \ast .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{*\}.\}$Важное понимание Делиня состоит в том, что в смешанном случае существует более сложная некоммутативная проалгебраическая группа, которую можно использовать с тем же эффектом, используя Таннаковский формализм.

Более того, категория (смешанных) структур Ходжа допускает хорошее понятие тензорного произведения, соответствующего произведению многообразий, а также связанных понятий внутреннего Hom и двойственного объекта, превращая его в Категория таннакиана. Согласно философии Таннаки – Крейна, эта категория эквивалентна категории конечномерных представлений определенной группы, которую Делинь, Милн и др. подробно описано, см. Deligne (1982) harvtxt error: no target: CITEREFDeligne1982 (help ) и Deligne (1994). Описание этой группы было переработано в более геометрических терминах Капрановым (2012). Соответствующий (гораздо более сложный) анализ для рациональных чисто поляризуемых структур Ходжа был выполнен Патрикисом (2016).

Смешанная структура Ходжа в когомологиях (теорема Делиня)

Делинь доказал, что n-я группа когомологий произвольного алгебраического многообразия имеет каноническую смешанную структуру Ходжа. Эта структура функториальна и совместима с произведениями многообразий (изоморфизм Кюннета ) и произведением в когомологиях. Для полного неособого многообразия X эта структура имеет чистый вес n, и фильтрация Ходжа может быть определена через гиперкогомологии усеченного комплекса де Рама.

Доказательство примерно состоит из двух частей, в которых учитываются некомпактность и особенности. Обе части существенно используют разрешение сингулярностей (из-за Хиронаки). В особом случае многообразия заменяются симплициальными схемами, что приводит к более сложной гомологической алгебре, и используется техническое понятие структуры Ходжа на комплексах (в отличие от когомологий).

Используя теорию мотивов, можно уточнить весовую фильтрацию на когомологиях с рациональными коэффициентами до единицы с целыми коэффициентами.

• Структура Тейта – Ходжа $Z\; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; (1)\}$- структура Ходжа с лежащим в основе $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{\; Z\}\}$модуль, заданный $2\; \pi \; i\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; pi\; i\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$(подгруппа $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$), где $Z\; (1)\; \otimes \; C\; =\; H\; -\; 1,\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; (1)\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; =\; H\; ^\; \{-\; 1,\; -1\}.\}$Таким образом, он по определению имеет чистый вес −2, и это единственная одномерная чистая структура Ходжа веса −2 с точностью до изоморфизмов. В более общем смысле его n-я тензорная степень обозначается $Z\; (n);\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; (n);\}$оно одномерно и имеет чистый вес −2n.
• Когомологии полного кэлерова многообразия являются структурой Ходжа, и подпространство, состоящее из n-й группы когомологий, чисто веса n.
• Когомологии комплексного многообразия (возможно, особого или неполного) являются смешанной структурой Ходжа. Это было показано для гладких многообразий Deligne (1971), Deligne (1971a) и в целом Deligne (1974).
• Для проективного многообразия $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$с сингулярностями нормального пересечения существует спектральная последовательность с вырожденной E 2 -страницей, которая вычисляет все ее смешанные структуры hodge. E 1 -страница имеет явные члены с дифференциалом, происходящим из симплициального множества.
• Любое гладкое аффинное многообразие допускает гладкую компактификацию (которую можно найти, взяв ее проективное замыкание и найдя ее разрешение особенностей) с нормальным делителем пересечения. Соответствующие логарифмические формы могут быть использованы для нахождения явной весовой фильтрации смешанной структуры Ходжа.
• Структура Ходжа для гладкой проективной гиперповерхности $X\; \subset \; P\; n\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; subset\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}$степени $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$был явно разработан Гриффитсом в его статье «Периодические интегралы алгебраических многообразий». Если $f\; \in \; C\; [x\; 0,\dots ,\; xn\; +\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; [x\_\; \{0\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\; +\; 1\}]\}$- многочлен, определяющий гиперповерхность $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, то градуированное кольцо частных якобиана

$R\; (f)\; =\; C\; [x\; 0,\dots ,\; xn\; +\; 1]\; (\partial \; е\; \partial \; Икс\; 0,\dots ,\; \partial \; е\; \partial \; xn\; +\; 1)\; \{\backslash \; Displaystyle\; R\; (f)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbb\; \{C\}\; [x\_\; \{0\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\; +\; 1\}]\}\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{0\}\}\},\; \backslash \; ldots,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{n\; +\; 1\}\}\}\; \backslash \; right)\}\}\}$

содержит всю информацию о средних когомологиях $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$. Он показывает, что

$H\; p,\; n\; -\; p\; (X)\; prim\; \cong \; R\; (f)\; (n\; +\; 1\; -\; p)\; d\; -\; n\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{p,\; np\}\; (X)\; \_\; \{\backslash \; text\; \{prim\}\}\; \backslash \; cong\; R\; (f)\; \_\; \{(n\; +\; 1-p)\; dn-2\}\}$

Например, рассмотрим поверхность K3, заданную формулой $g\; =\; x\; 0\; 4\; +\; \cdots \; +\; x\; 3\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; =\; x\_\; \{0\}\; ^\; \{4\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; x\_\; \{3\}\; ^\; \{4\}\}$, следовательно, $d\; =\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; =\; 4\}$и $n\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 2\}$. Тогда градуированное кольцо Якоби имеет вид

$C\; [x\; 0,\; x\; 1,\; x\; 2,\; x\; 3]\; (x\; 0\; 3,\; x\; 1\; 3,\; x\; 2\; 3,\; x\; 3\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbb\; \{C\}\; [x\_\; \{0\},\; x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; x\_\; \{3\}]\}\; \{(x\_\; \{0\}\; ^\; \{3\},\; x\_\; \{1\}\; ^\; \{3\},\; x\_\; \{2\}\; ^\; \{3\},\; x\_\; \{3\}\; ^\; \{3\})\}\}\}$

Изоморфизм для примитивных групп когомологий затем читается как

$H\; p,\; n\; -\; p\; (X)\; prim\; \cong \; R\; (f)\; (2\; +\; 1\; -\; p)\; 4\; -\; 2\; -\; 2\; знак\; равно\; R\; (е)\; 4\; (3\; -\; p)\; -\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{p,\; np\}\; (X)\; \_\; \{prim\}\; \backslash \; cong\; R\; (f)\; \_\; \{(2\; +\; 1\; -p)\; 4-2-2\}\; =\; R\; (f)\; \_\; \{4\; (3-p)\; -4\}\}$

, следовательно,

$H\; 0,\; 2\; (X)\; prim\; \cong \; R\; (g)\; 8\; =\; C\; \cdot \; Икс\; 0\; 2\; Икс\; 1\; 2\; Икс\; 2\; 2\; Икс\; 3\; 2\; ЧАС\; 1,\; 1\; (Икс)\; прим\; \cong \; R\; (g)\; 4\; ЧАС\; 2,\; 0\; (Икс)\; прим\; \cong \; R\; (g)\; 0\; =\; С\; \cdot \; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; H\; ^\; \{0,2\}\; (X)\; \_\; \{\backslash \; text\; \{prim\}\}\; \backslash \; cong\; R\; (g)\; \_\; \{8\}\; =\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; \backslash \; cdot\; x\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; x\_\; \{\; 1\}\; ^\; \{2\}\; x\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; x\_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \backslash \; H\; ^\; \{1,1\}\; (X)\; \_\; \{\backslash \; text\; \{prim\}\}\; \backslash \; cong\; R\; (g)\; \_\; \{4\}\; \backslash \backslash \; H\; ^\; \{2,0\}\; (X)\; \_\; \{\backslash \; text\; \{prim\}\}\; \backslash \; cong\; R\; (g)\; \_\; \{0\}\; =\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; \backslash \; cdot\; 1\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Обратите внимание, что $R\; (g)\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (g)\; \_\; \{4\}\}$- векторное пространство, охватываемое

$x\; 0\; 2\; x\; 1\; 2,\; x\; 0\; 2\; х\; 1\; х\; 2,\; х\; 0\; 2\; х\; 1\; х\; 3,\; х\; 0\; 2\; х\; 2\; 2,\; х\; 0\; 2\; х\; 2\; х\; 3,\; х\; 0\; 2\; х\; 3\; 2,\; х\; 0\; х\; 1\; 2\; х\; 2,\; х\; 0\; х\; 1\; 2\; х\; 3,\; х\; 0\; х\; 1\; х\; 2\; 2,\; х\; 0\; х\; 1\; х\; 2\; х\; 3,\; х\; 0\; х\; 1\; х\; 3\; 2,\; х\; 0\; х\; 2\; 2\; х\; 3,\; х\; 0\; х\; 2\; х\; 3\; 2,\; х\; 1\; 2\; х\; 2\; 2,\; х\; 1\; 2\; х\; 2\; х\; 3,\; х\; 1\; 2\; х\; 3\; 2,\; х\; 1\; х\; 2\; 2\; х\; 3,\; Икс\; 1\; Икс\; 2\; Икс\; 3\; 2,\; Икс\; 2\; 2\; Икс\; 3\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{rrrrrrrr\}\; x\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; x\_\; \{1\}\; ^\; \{2\},\; x\_\; \{0\}\; ^\; \{2\; \}\; x\_\; \{1\}\; x\_\; \{2\},\; x\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; x\_\; \{1\}\; x\_\; \{3\},\; x\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; x\_\; \{2\}\; ^\; \{2\},\; x\_\; \{0\}\; ^\; \{\; 2\}\; x\_\; \{2\}\; x\_\; \{3\},\; x\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; x\_\; \{3\}\; ^\; \{2\},\; x\_\; \{0\}\; x\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; x\_\; \{2\},\; x\_\; \{0\}\; x\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; x\_\; \{3\},\; \backslash \backslash \; x\_\; \{0\}\; x\_\; \{1\}\; x\_\; \{2\}\; ^\; \{2\},\; x\_\; \{0\}\; x\_\; \{1\}\; x\_\; \{2\}\; x\_\; \{3\},\; x\_\; \{\; 0\}\; x\_\; \{1\}\; x\_\; \{3\}\; ^\; \{2\},\; x\_\; \{0\}\; x\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; x\_\; \{3\},\; x\_\; \{0\}\; x\_\; \{2\}\; x\_\; \{3\}\; ^\; \{2\},\; x\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; x\_\; \{2\}\; ^\; \{2\},\; x\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; x\_\; \{2\}\; x\_\; \{3\},\; x\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; x\_\; \{3\}\; ^\; \{2\},\; \backslash \backslash \; x\_\; \{1\}\; x\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; x\_\; \{3\},\; x\_\; \{1\}\; x\_\; \{2\}\; x\_\; \{3\}\; ^\; \{2\},\; x\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; x\_\; \{3\}\; ^\; \{\; 2\}\; \backslash \; end\; \{array\}\}\}$

который является 19-мерным. В $H\; 1,\; 1\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{1,1\}\; (X)\}$есть дополнительный вектор, заданный классом Лефшеца $[L]\; \{\backslash \; displaystyle\; [L]\}$. Из теоремы Лефшеца о гиперплоскости и двойственности Ходжа остальная часть когомологий находится в $H\; k,\; k\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{k,\; k\}\; (X)\}$как есть $1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\}$-размерный. Следовательно, ромб ходжа читается как

		1
	0		0
1		20		1
	0		0
		1

• . Мы также можем использовать предыдущий изоморфизм, чтобы проверить род плоской кривой степени $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$. Поскольку $xd\; +\; yd\; +\; zd\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{d\}\; +\; y\; ^\; \{d\}\; +\; z\; ^\; \{d\}\}$- гладкая кривая, а теорема Эресмана о расслоении гарантирует, что все остальные гладкие кривая рода $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$диффеоморфна, мы имеем, что род тогда такой же. Итак, используя изоморфизм примитивных когомологий с градуированной частью якобиева кольца, мы видим, что

$H\; 1,\; 0\; \cong \; R\; (f)\; d\; -\; 3\; \cong \; C\; [x,\; y,\; z]\; d\; -\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{1,0\}\; \backslash \; cong\; R\; (f)\; \_\; \{d-3\}\; \backslash \; cong\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; [x,\; y,\; z]\; \_\; \{d-3\}\}$

Это означает, что размерность

$(2\; +\; d\; -\; 3\; 2)\; =\; (d\; -\; 1\; 2)\; =\; (d\; -\; 1)\; (d\; -\; 2)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{2\; +\; d-3\; \backslash \; select\; 2\}\; =\; \{d-1\; \backslash \; select\; 2\; \}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(d-1)\; (d-2)\}\; \{2\}\}\}$

по желанию.

• Числа Ходжа для полного пересечения также легко вычислимы: существует комбинаторная формула, найденная Фридрих Хирцебрух.

Механизм, основанный на понятиях структуры Ходжа и смешанной структуры Ходжа, является частью все еще в значительной степени гипотетической теории мотивов, предусмотренных Александром Гротендик. Арифметическая информация для невырожденного алгебраического многообразия X, закодированная собственным значением элементов Фробениуса, действующих на его l-адические когомологии, имеет что-то общее со структурой Ходжа, возникающей из X, рассматриваемого как комплексный алгебраический разнообразие. и Юрий Манин примерно в 1988 г. заметил в своих Методах гомологической алгебры, что в отличие от симметрий Галуа, действующих на другие группы когомологий, происхождение «симметрий Ходжа» очень загадочно, хотя формально они выражаются через действие довольно несложная группа $RC\; /\; RC\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{C\; /\; R\}\}\; \{\backslash \; mathbf\; \{C\}\}\; ^\; \{*\}\}$на когомологиях де Рама. С тех пор тайна стала еще глубже с открытием и математическим формулированием зеркальной симметрии.

A Вариация структуры Ходжа (Гриффитс (1968), Griffiths (1968a), Griffiths (1970)) - это семейство структур Ходжа, параметризованное комплексным многообразием X. Точнее, вариация структуры Ходжа веса n на комплексном многообразии X состоит из локально постоянного пучка S конечно порожденных абелевых групп на X вместе с убывающей фильтрацией Ходжа F на S ⊗ O X при соблюдении следующих двух условий:

• Фильтрация индуцирует структуру Ходжа группы вес n на каждом стержне снопа S
• () Естественная связь на S ⊗ O X отображает $F\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; ^\; \{n\}\}$в $F\; n\; -\; 1\; \otimes \; \Omega \; X\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; ^\; \{n-1\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; Omega\; \_\; \{X\}\; ^\; \{1\}.\}$

Здесь естественная (плоская) связь на S ⊗ O X, индуцированная плоской связью на S и плоской связности d на O X, и O X - пучок голоморфных функций на X, и $\Omega \; X\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; \_\; \{X\; \}\; ^\; \{1\}\}$- пучок 1-форм на X. Эта естественная плоская связность является связностью Гаусса – Манина ∇ и может быть описана с помощью Пикара– Уравнение Фукса.

A вариация смешанной структуры Ходжа может быть определена аналогичным образом, добавив градуировку или фильтрацию W к S. Типичные примеры можно найти из алгебраических морфизмов $f:\; C\; n\; \to \; C\; \{\backslash \; Displaystyle\; F:\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$. Например,

$\{е:\; C\; 2\; \to \; C\; f\; (x,\; y)\; =\; y\; 6\; -\; x\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; f:\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{\; C\}\; \backslash \backslash \; f\; (x,\; y)\; =\; y\; ^\; \{6\}\; -x\; ^\; \{6\}\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

имеет волокна

$X\; t\; =\; f\; -\; 1\; (\{t\})\; =\; \{\; (Икс,\; Y)\; \in \; С\; 2:\; Y\; 6\; -\; Икс\; 6\; =\; T\}\; \{\backslash \; Displaystyle\; X\_\; \{t\}\; =\; F\; ^\; \{-\; 1\}\; (\backslash \; \{t\; \backslash \})\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{(x,\; y)\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{2\}:\; y\; ^\; \{6\}\; -x\; ^\; \{6\}\; =\; t\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$

, которые представляют собой гладкие плоские кривые рода 10 для $t\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; neq\; 0\}$и вырождаются в особую кривую при $t\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; 0.\}$Тогда когомологические пучки

$R\; f\; \ast \; i\; (Q\; \_\; C\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; f\; \_\; \{*\}\; ^\; \{i\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; underline\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}$

дают варианты смешанных хедж-структур.

Модули Ходжа являются обобщением вариации структур Ходжа на комплексном многообразии. Неформально их можно рассматривать как нечто вроде пучков структур Ходжа на многообразии; точное определение Сайто (1989) довольно сложное и сложное. Есть обобщения на смешанные модули Ходжа и на многообразия с особенностями.

Каждому гладкому комплексному многообразию соответствует абелева категория смешанных модулей Ходжа. Формально они ведут себя как категории пучков над многообразиями; например, морфизмы f между многообразиями индуцируют функторы f ∗, f *, f !, f между (производными категориями из) смешанных модулей Ходжа, подобных тем для связок.

• Смешанная структура Ходжа
• Гипотеза Ходжа
• Якобиев идеал
• Структура Ходжа – Тейта, p-адический аналог структур Ходжа.
• Логарифмическая форма

1. ^С точки зрения спектральных последовательностей, см. гомологическую алгебру, фитрации Ходжа можно описать следующим образом:

   $E\; 1\; p,\; q\; =\; H\; p\; +\; q\; (gr\; n\; W\; \; H)\; \Rightarrow \; ЧАС\; п\; +\; д,\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{1\}\; ^\; \{p,\; q\}\; =\; H\; ^\; \{p\; +\; q\}\; (\backslash \; operatorname\; \{gr\}\; \_\; \{n\}\; ^\; \{W\}\; H)\; \backslash \; Rightarrow\; H\; ^\; \{p\; +\; q\},\}$

   с использованием обозначений в # Определение смешанной структуры Ходжа. Важным фактом является то, что это вырождено в члене E, что означает спектральную последовательность Ходжа – де Рама, а затем разложение Ходжа, зависит только от комплексной структуры, а не от кэлеровой метрики на M.
2. ^Точнее, пусть S будет двумерная коммутативная вещественная алгебраическая группа, определенная как ограничение Вейля для мультипликативной группы из $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$- $R;\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\};\}$другими словами, если A - алгебра над $R,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\},\}$тогда группа S (A) A-значных точек S является мультипликативной группой $A\; \otimes \; C.\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbb\; \{C\}.\}$Тогда $S\; (R)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (\backslash \; mathbb\; \{R\})\}$- это группа $C\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{*\}\}$ненулевых комплексных чисел.
3. ^Дерфи, Алан (1981). «Наивное руководство по смешанной теории Ходжа». Комплексный анализ особенностей: 48–63. hdl : 2433/102472.
4. ^Вторая статья Делиня и Милна, озаглавленная «Таннакианские категории», была посвящена этой теме.
5. ^Жилле, Анри ; Суле, Кристоф (1996). «Происхождение, мотивы и К-теория». Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. 478 : 127–176. arXiv : alg-geom / 9507013. Bibcode : 1995alg.geom..7013G. doi : 10.1515 / crll.1996.478.127. MR 1409056., раздел 3.1
6. ^Джонс, Б.Ф., "Смешанная структура Ходжа Делиня для проективных разновидностей только с нормальным пересечением Особенности » (PDF), Рабочий семинар по теории Ходжа, весна 2005 г.
7. ^Николаеску, Ливиу, « Смешанные структуры Ходжа на гладких алгебраических многообразиях » (PDF), Теория Ходжа Рабочий семинар-Весна 2005
8. ^«Алмаз Ходжа полных пересечений». Обмен стеками. 14 декабря 2013 г.

• Дебарр, Оливье, Периоды и модули
• Арапура, Дону, Комплексные алгебраические многообразия и их когомологии (PDF), стр. 120–123, в архиве из оригинала (PDF) от 04.01.2020 (Дает инструменты для вычисления чисел ходжа с использованием когомологии пучка)
• Наивное руководство по смешанной теории Ходжа
• Димка, Александру (1992). Особенности и топология гиперповерхностей. Universitext. Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 240, 261. doi : 10.1007 / 978-1-4612-4404-2. ISBN 0-387-97709-0. MR 1194180.(Дает формулу и генераторы для смешанных чисел Ходжа аффинного волокна Милнора взвешенного однородного многочлена, а также формулу для дополнений взвешенных однородных многочленов в взвешенном проективном пространстве.)

• Арапура, Дону, Смешанные структуры Ходжа, связанные с геометрическими вариациями (PDF)

• Deligne, Pierre (1971b), Travaux de Griffiths, Sem. Бурбаки Эксп. 376, Lect. примечания по математике. Vol 180, pp. 213–235
• Делинь, Пьер (1971), «Теория де Ходж. I» (PDF), Actes du Congrès International des Mathématiciens (Ницца, 1970), 1, Gauthier-Villars, pp. 425–430, MR 0441965, заархивировано с оригинального (PDF) от 02.04.2015 Это создает смешанную структуру Ходжа на когомологиях комплексного многообразия.
• Deligne, Pierre (1971a), Théorie de Hodge. II., Inst. Hautes Études Sci. Publ. Математика. No. 40, pp. 5–57, MR 0498551 Конструирует смешанную структуру Ходжа на когомологиях сложного многообразия.
• Deligne, Pierre (1974), Théorie de Hodge. III., Inst. Hautes Études Sci. Publ. Математика. No. 44, pp. 5–77, MR 0498552 Конструирует смешанную структуру Ходжа на когомологиях сложного многообразия.
• Deligne, Pierre (1994), "Structures de Hodge mixtes réelles" ", Motives (Сиэтл, Вашингтон, 1991), часть 1, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, 55, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. 509 –514, MR 1265541
• Делинь, Пьер ; Милн, Джеймс (1982), «Таннакианские категории», Циклы Ходжа, мотивы и разновидности симуры Пьера Делиня, Джеймса С. Милна, Артура Огуса, Куанг-янь Ши, Конспекты лекций по математике, 900, Springer-Verlag, стр. 1–414. Аннотированный вариант этой статьи можно найти на домашней странице Дж. Милна.
• Griffiths, Phillip (1968), «Периоды интегралов на алгебраических многообразиях I (конструкция и свойства модульных многообразий)», Американский журнал математики, 90(2): 568–626, doi : 10.2307 / 2373545, JSTOR 2373545
• Griffiths, Филипп (1968a), «Периоды интегралов на алгебраических многообразиях II (Локальное исследование отображения периодов)», American Journal of Mathematics, 90(3): 808–865, doi :10.2307/2373485, JSTOR 2373485
• Griffiths, Phillip (1970), "Periods of integrals on algebraic manifolds III. Some global differential-geometric properties of the period mapping.", Publications Mathématiques de l'IHÉS, 38: 228–296
• Kapranov, Mikhail (2012), "Real mixed Hodge structures", Journal of Noncommutative Geometry, 6(2): 321–342, arXiv :0802.0215, doi :10.4171/jncg/ 93, MR 2914868
• Ovseevich, Alexander I. (2001) [1994], Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Patrikis, Stefan (2016), "Mumford-Tate groups of polarizable Hodge structures", Proceedings of the American Mathematical Society, 144(9): 3717–3729, arXiv :1302.1803, doi :10.1090/proc/13040, MR 3513533
• (1989), Introduction to mixed Hodge modules. Actes du Colloque de Théorie de Hodge (Luminy, 1987)., Astérisque No. 179–180, pp. 145–162, MR 1042805
• Schnell, Christian, An Overview of Morihiko Saito's Theory of Mixed Hodge Modules (PDF)
• Steenbrink, Joseph H.M. (2001) [1994], Encyclopedia of Mathematics, EMS Press