Войти
В алгебраическая геометрия и теоретическая физика, зеркальная симметрия - это связь между геометрическими объектами, называемыми многообразиями Калаби – Яу. Этот термин относится к ситуации, когда два многообразия Калаби – Яу выглядят очень по-разному геометрически, но, тем не менее, эквивалентны при использовании в качестве дополнительных измерений теории струн.
. Зеркальная симметрия была первоначально открыта физиками. Математики заинтересовались этой связью примерно в 1990 году, когда Филип Канделас, Ксения де ла Осса, Пол Грин и Линда Паркс показали, что ее можно использовать в качестве инструмента в перечислительной геометрии., раздел математики, связанный с подсчетом количества решений геометрических вопросов. Канделас и его сотрудники показали, что зеркальную симметрию можно использовать для подсчета рациональных кривых на многообразии Калаби – Яу, тем самым решив давнюю проблему. Хотя первоначальный подход к зеркальной симметрии был основан на физических идеях, которые не были поняты математически точно, с тех пор некоторые из его математических предсказаний были строго доказаны.
Сегодня зеркальная симметрия является основной темой исследований в чистая математика, и математики работают над математическим пониманием этой взаимосвязи, основанным на интуиции физиков. Зеркальная симметрия также является фундаментальным инструментом для проведения вычислений в теории струн, и она использовалась для понимания аспектов квантовой теории поля, формализма, который физики используют для описания элементарных частиц. Основные подходы к зеркальной симметрии включают программу гомологической зеркальной симметрии Максима Концевича и гипотезу SYZ Эндрю Строминджера, Шинга -Тунг Яу и Эрик Заслоу.
Основными объектами теории струн являются открытые и закрытые струны.В физике теория струн - это теоретическая основа, в которой точечные частицы в физике элементарных частиц заменены одномерными объектами, называемыми строки. Эти струны выглядят как небольшие отрезки или петли обычной струны. Теория струн описывает, как струны распространяются в пространстве и взаимодействуют друг с другом. На шкалах расстояний, превышающих масштаб струны, струна будет выглядеть как обычная частица с ее массой, зарядом и другими свойствами, определяемыми колебательным состоянием струны. Расщепление и рекомбинация струн соответствуют испусканию и поглощению частиц, что приводит к взаимодействию между частицами.
Есть заметные различия между миром, описываемым теорией струн, и миром повседневности. В повседневной жизни есть три знакомых измерения пространства (вверх / вниз, влево / вправо и вперед / назад), и есть одно измерение времени (позже / раньше). Таким образом, на языке современной физики можно сказать, что пространство-время четырехмерно. Одна из особенностей теории струн состоит в том, что для ее математической непротиворечивости требуются дополнительные измерения пространства-времени. В теории суперструн, версии теории, которая включает в себя теоретическую идею под названием суперсимметрия, есть шесть дополнительных измерений пространства-времени в дополнение к четырем, знакомым из повседневного опыта.
Одна из целей текущих исследований в области теории струн - разработать модели, в которых струны представляют частицы, наблюдаемые в экспериментах по физике высоких энергий. Чтобы такая модель согласовывалась с наблюдениями, ее пространство-время должно быть четырехмерным на соответствующих шкалах расстояний, поэтому нужно искать способы ограничить дополнительные измерения меньшими масштабами. В большинстве реалистичных моделей физики, основанных на теории струн, это достигается процессом, называемым компактификацией, в котором предполагается, что дополнительные измерения «замыкаются», образуя круги. В пределе, когда эти свернутые вверх измерения становятся очень маленькими, получается теория, в которой пространство-время фактически имеет меньшее количество измерений. Стандартная аналогия для этого - рассмотреть многомерный объект, такой как садовый шланг. Если смотреть на шланг с достаточного расстояния, кажется, что он имеет только одно измерение - длину. Однако по мере приближения к шлангу обнаруживается, что он содержит второе измерение - его окружность. Таким образом, муравей, ползающий по поверхности шланга, будет двигаться в двух измерениях.
Можно использовать поперечное сечение пятиугольного многообразия Калаби – Яу Компактификация для построения моделей, в которых пространство-время эффективно четырехмерно. Однако не каждый способ уплотнения дополнительных измерений дает модель с правильными свойствами для описания природы. В жизнеспособной модели физики элементарных частиц компактные дополнительные измерения должны иметь форму многообразия Калаби – Яу. Многообразие Калаби – Яу - это особое пространство, которое обычно считается шестимерным в приложениях к теории струн. Он назван в честь математиков Эухенио Калаби и Шинг-Тунг Яу.
После того, как многообразия Калаби-Яу вошли в физику как способ компактификации дополнительных измерений, многие физики начали изучать эти многообразия. В конце 1980-х Лэнс Диксон, Вольфганг Лерче, Кумрун Вафа и Ник Уорнер заметили, что при такой компактификации теории струн невозможно однозначно реконструировать соответствующий Калаби– Многообразие Яу. Вместо этого две разные версии теории струн, называемые теорией струн типа IIA и типом IIB, могут быть компактифицированы на совершенно разных многообразиях Калаби – Яу, что дает начало одной и той же физике. В этой ситуации многообразия называются зеркальными многообразиями, а взаимосвязь между двумя физическими теориями называется зеркальной симметрией.
Отношение зеркальной симметрии является частным примером того, что физики называют дуальностью. В общем, термин двойственность относится к ситуации, когда две, казалось бы, разные физические теории оказываются эквивалентными нетривиальным образом. Если одну теорию можно преобразовать так, чтобы она выглядела точно так же, как другая теория, обе эти теории считаются двойственными при этом преобразовании. Иными словами, две теории математически представляют собой разные описания одних и тех же явлений. Такие двойственности играют важную роль в современной физике, особенно в теории струн.
Независимо от того, обеспечивают ли компактификации Калаби – Яу теории струн правильное описание природы, существование зеркальной дуальности между различными теориями струн имеет большое значение. математические последствия. Многообразия Калаби – Яу, используемые в теории струн, представляют интерес в чистой математике, а зеркальная симметрия позволяет математикам решать задачи в перечислительной алгебраической геометрии, области математики, связанной с подсчетом чисел решений геометрических вопросов. Классическая проблема перечислительной геометрии состоит в том, чтобы перечислить рациональные кривые на многообразии Калаби – Яу, таком как изображенное выше. Применяя зеркальную симметрию, математики превратили эту проблему в эквивалентную задачу для зеркала Калаби – Яу, которую оказалось легче решить.
В физике зеркальная симметрия оправдана с физических оснований. Однако математики обычно требуют строгих доказательств, не требующих обращения к физической интуиции. С математической точки зрения версия зеркальной симметрии, описанная выше, все еще является лишь предположением, но есть другая версия зеркальной симметрии в контексте топологической теории струн, упрощенной версии теории струн, представленной Эдвард Виттен, что было строго доказано математиками. В контексте топологической теории струн, зеркальная симметрия утверждает, что две теории, называемые A-моделью и B-моделью, эквивалентны в том смысле, что между ними существует двойственность. Сегодня зеркальная симметрия является активной областью математических исследований, и математики работают над более полным математическим пониманием зеркальной симметрии на основе интуиции физиков.
Идея зеркальной симметрии можно проследить до середины 1980-х годов, когда было замечено, что струна, распространяющаяся по окружности радиуса 
Изучая взаимосвязь между многообразиями Калаби – Яу и некоторыми теориями конформного поля, называемыми моделями Гепнера, Брайан Грин и Ронен Плессер нашли нетривиальные примеры зеркальных отношений. Дальнейшие доказательства этой взаимосвязи были получены в работах Филипа Канделаса, Моники Линкер и Рольфа Шиммригка, которые обследовали большое количество многообразий Калаби – Яу с помощью компьютера и обнаружили, что они имеют зеркальные пары.
Математики заинтересовались в зеркальной симметрии примерно в 1990 году, когда физики Филип Канделас, Ксения де ла Осса, Пол Грин и Линда Паркс показали, что зеркальная симметрия может использоваться для решения задач перечислительной геометрии, которые не решались десятилетиями или даже больше. Эти результаты были представлены математикам на конференции в Исследовательском институте математических наук (ИИГС) в Беркли, Калифорния в мае 1991 года. Во время этой конференции было замечено, что одно из чисел Канделас вычислил для подсчета рациональных кривых, расходящихся с числом, полученным норвежскими математиками Гейром Эллингсрудом и Стейном Арильдом Стрёмме, используя якобы более строгие методы. Многие математики на конференции предположили, что работа Канделаса содержит ошибку, поскольку она не основана на строгих математических аргументах. Однако, изучив свое решение, Эллингсруд и Стрёмме обнаружили ошибку в своем компьютерном коде и, исправив код, получили ответ, совпадающий с ответом, полученным Канделасом и его сотрудниками.
В 1990 году Эдвард Виттен представил топологическую теорию струн, упрощенную версию теории струн, а физики показали, что существует версия зеркальной симметрии для топологической теории струн. Это утверждение о топологической теории струн обычно принимается в математической литературе как определение зеркальной симметрии. В своем выступлении на Международном конгрессе математиков в 1994 году математик Максим Концевич представил новую математическую гипотезу, основанную на физической идее зеркальной симметрии в топологической теории струн. Эта гипотеза, известная как гомологическая зеркальная симметрия, формализует зеркальную симметрию как эквивалент двух математических структур: производная категория когерентных пучков на многообразии Калаби – Яу и категория Фукая его зеркала.
Также примерно в 1995 году Концевич проанализировал результаты Канделаса, которые дали общую формулу для задачи подсчета рациональных кривых на квинтике тройного многообразия, и он переформулировал эти результаты как точную математическую гипотезу. В 1996 году Александр Гивенталь опубликовал статью, в которой утверждал, что доказывает эту гипотезу Концевича. Изначально многим математикам было трудно понять эту статью, поэтому возникли сомнения в ее правильности. Впоследствии Бонг Лянь, Кефэн Лю и Шинг-Тунг Яу опубликовали независимое доказательство в серии статей. Несмотря на разногласия по поводу того, кто опубликовал первое доказательство, теперь все эти статьи рассматриваются как математическое доказательство результатов, первоначально полученных физиками с использованием зеркальной симметрии. В 2000 году Кентаро Хори и Кумрун Вафа представили еще одно физическое доказательство зеркальной симметрии, основанное на Т-дуальности.
Работа над зеркальной симметрией продолжается и сегодня с крупными разработками в контексте струн на поверхностях с границы. Кроме того, зеркальная симметрия была связана со многими активными областями математических исследований, такими как соответствие Маккея, топологическая квантовая теория поля и теория условий устойчивости. В то же время продолжают вызывать беспокойство основные вопросы. Например, математикам до сих пор не хватает понимания того, как построить примеры зеркальных пар Калаби – Яу, хотя в понимании этого вопроса был достигнут прогресс.
Круги Аполлония : восемь цветных кругов касаются трех черных кругов. Многие важные математические приложения зеркальной симметрии относятся к области математики, называемой перечислительной геометрией. В перечислительной геометрии каждый заинтересован в подсчете количества решений геометрических вопросов, обычно с использованием методов алгебраической геометрии. Одна из самых ранних задач перечислительной геометрии была поставлена примерно в 200 г. до н. Э. древнегреческим математиком Аполлонием, который спросил, сколько кругов на плоскости касается трех данных окружностей. В общем, решение проблемы Аполлония состоит в том, что таких кругов восемь.
Кубика Клебша Перечислительные задачи в математике часто связаны с классом геометрических объектов, называемым алгебраические многообразия, которые определяются обращением в нуль многочленов. Например, кубика Клебша (см. Иллюстрацию) определяется с помощью определенного полинома степени три от четырех переменных. Знаменитый результат математиков девятнадцатого века Артура Кэли и Джорджа Сэлмона утверждает, что существует ровно 27 прямых линий, полностью лежащих на такой поверхности.
Обобщение этой проблемы., можно спросить, сколько линий можно провести на многообразии Калаби – Яу пятой степени, таком как показанное выше, которое определяется полиномом пятой степени. Эту проблему решил немецкий математик девятнадцатого века Герман Шуберт, который обнаружил, что таких линий ровно 2875. В 1986 году геометр Шелдон Кац доказал, что количество кривых, таких как окружности, которые определяются полиномами второй степени и целиком лежат в квинтике, составляет 609 250.
К 1991 году большинство классических задач перечислительной геометрии была решена, и интерес к перечислительной геометрии начал уменьшаться. По словам математика Марка Гросса, «когда старые проблемы были решены, люди вернулись, чтобы проверить числа Шуберта с помощью современных методов, но они уже устарели». Эта область была активизирована в мае 1991 года, когда физики Филип Канделас, Ксения де ла Осса, Пол Грин и Линда Паркс показали, что зеркальную симметрию можно использовать для подсчета числа кривых третьей степени на пятой степени Калаби-Яу. Канделас и его сотрудники обнаружили, что эти шестимерные многообразия Калаби – Яу могут содержать ровно 317 206 375 кривых третьей степени.
В дополнение к подсчету кривых третьей степени на трехмерном квинтике, Канделас и его сотрудники получили ряд более общих результатов для подсчета рациональных кривых, которые выходят далеко за рамки результатов, полученных математиками. Хотя методы, использованные в этой работе, были основаны на физической интуиции, математики продолжили строго доказать некоторые из предсказаний зеркальной симметрии. В частности, числовые предсказания зеркальной симметрии теперь строго доказаны.
В дополнение к своим приложениям в перечислительной геометрии зеркальная симметрия является фундаментальным инструментом для проведения расчетов в теории струн.. В A-модели топологической теории струн физически интересные величины выражаются в терминах бесконечного числа чисел, называемых инвариантами Громова – Виттена, которые чрезвычайно сложно вычислить. В B-модели вычисления могут быть сведены к классическим интегралам и намного проще. Применяя зеркальную симметрию, теоретики могут переводить сложные вычисления в A-модели в эквивалентные, но технически более простые вычисления в B-модели. Затем эти вычисления используются для определения вероятностей различных физических процессов в теории струн. Зеркальную симметрию можно комбинировать с другими двойственностями, чтобы преобразовать вычисления в одной теории в эквивалентные вычисления в другой теории. Таким образом, передавая вычисления по разным теориям, теоретики могут вычислять величины, которые невозможно вычислить без использования двойственности.
Помимо теории струн, зеркальная симметрия используется для понимания аспектов квантовой теории поля., формализм, который используют физики для описания элементарных частиц. Например, калибровочные теории - это класс высокосимметричных физических теорий, появляющихся в стандартной модели физики элементарных частиц и других разделах теоретической физики. Некоторые калибровочные теории, которые не являются частью стандартной модели, но которые, тем не менее, важны по теоретическим причинам, возникают из-за распространения струн на почти сингулярном фоне. Для таких теорий зеркальная симметрия является полезным вычислительным инструментом. Действительно, зеркальная симметрия может использоваться для выполнения вычислений в важной калибровочной теории в четырех измерениях пространства-времени, которая была изучена Натаном Зайбергом и Эдвардом Виттеном, а также знакома в математике в контексте инвариантов Дональдсона. Существует также обобщение зеркальной симметрии, называемое трехмерной зеркальной симметрией, которое связывает пары квантовых теорий поля в трех измерениях пространства-времени.
Открыть струны, прикрепленные к паре D-бран В теории струн и связанных теориях в физике брана - это физический объект, который обобщает понятие точечной частицы на более высокие измерения. Например, точечная частица может рассматриваться как брана нулевого измерения, а струна может рассматриваться как брана размерности один. Также можно рассматривать браны более высокой размерности. Слово «брана» происходит от слова «мембрана», которое относится к двумерной бране.
В теории струн струна может быть открытой (образуя сегмент с двумя концами) или замкнутой (образуя замкнутую петлю). D-браны - важный класс бран, возникающих при рассмотрении открытых струн. Поскольку открытая струна распространяется в пространстве-времени, ее конечные точки должны лежать на D-бране. Буква «D» в D-бране относится к условию, которому она удовлетворяет, граничному условию Дирихле.
Математически браны могут быть описаны с использованием понятия категории. Это математическая структура, состоящая из объектов, и для любой пары объектов набор морфизмов между ними. В большинстве примеров объекты представляют собой математические структуры (например, наборы, векторные пространства или топологические пространства ), а морфизмы - это функции между этими структурами. Можно также рассмотреть категории, в которых объекты представляют собой D-браны, и морфизмы между двумя бранами 
В B-модели В топологической теории струн D-браны являются комплексными подмногообразиями Калаби-Яу вместе с дополнительными данными, которые физически возникают из-за наличия зарядов на концах струн. Интуитивно можно представить себе подмногообразие как поверхность, вложенную внутрь Калаби – Яу, хотя подмногообразия также могут существовать в размерностях, отличных от двух. На математическом языке категория, имеющая эти браны в качестве объектов, известна как производная категория когерентных пучков на Калаби – Яу. В A-модели D-браны снова можно рассматривать как подмногообразия многообразия Калаби – Яу. Грубо говоря, это то, что математики называют специальными лагранжевыми подмногообразиями. Это означает, среди прочего, что они имеют половину размера пространства, в котором они сидят, и минимизируют длину, площадь или объем. Категория, имеющая в качестве объектов эти браны, называется категорией Фукая.
Производная категория когерентных пучков строится с использованием инструментов из сложной геометрии, раздела математики, описывающего геометрические кривые в алгебраической форме. термины и решает геометрические задачи с использованием алгебраических уравнений. С другой стороны, категория Фукая построена с использованием симплектической геометрии, раздела математики, возникшего из исследований классической физики. Симплектическая геометрия изучает пространства, снабженные симплектической формой, математическим инструментом, который можно использовать для вычисления площади в двумерных примерах.
Гипотеза гомологической зеркальной симметрии Максим Концевич утверждает, что производная категория когерентных пучков на одном многообразии Калаби – Яу в определенном смысле эквивалентна категории Фукая его зеркала. Эта эквивалентность обеспечивает точную математическую формулировку зеркальной симметрии в топологической теории струн. Кроме того, он обеспечивает неожиданный мост между двумя ветвями геометрии, а именно сложной и симплектической геометрией.
A тор может рассматриваться как объединение бесконечного множества кругов, таких как красный на картинке. На каждую точку розового круга приходится по одному кругу. Другой подход к пониманию зеркальной симметрии был предложен Эндрю Строминджером, Шинг-Тунг Яу и Эриком Заслоу в 1996 году. Согласно их предположению, Теперь известная как гипотеза SYZ, зеркальную симметрию можно понять, разделив многообразие Калаби – Яу на более простые части и затем преобразовав их, чтобы получить зеркальное отражение Калаби – Яу.
Простейшим примером многообразия Калаби – Яу является двумерный тор или бублик. Представьте себе круг на этой поверхности, который проходит через отверстие пончика. Примером может служить красный кружок на рисунке. Подобных кругов на торе бесконечно много; фактически вся поверхность представляет собой объединение таких кругов.
Можно выбрать вспомогательный круг 
Идея разбиения тора на части, параметризованные вспомогательным пространством, может быть обобщена. Увеличивая размерность с двух до четырех реальных измерений, Калаби – Яу становится поверхностью K3. Так же, как тор был разложен на окружности, четырехмерная поверхность K3 может быть разложена на двумерные торы. В данном случае пространство
Многообразия Калаби – Яу представляют наибольший интерес в теории струн, имеют шесть измерений. Такое многообразие можно разделить на 3-торы (трехмерные объекты, обобщающие понятие тора), параметризованные 3-сферой
После того, как многообразие Калаби – Яу было разложено на более простые части, зеркальную симметрию можно понять интуитивно геометрическим способом. В качестве примера рассмотрим описанный выше тор. Представьте себе, что этот тор представляет собой «пространство-время» физической теории. Фундаментальными объектами этой теории будут струны, распространяющиеся в пространстве-времени в соответствии с правилами квантовой механики. Одной из основных двойственностей теории струн является Т-дуальность, которая гласит, что струна, распространяющаяся по окружности радиуса 
T-дуальность может быть расширена с окружностей на двумерные торы, появляющиеся при разложении поверхности K3, или на трехмерные торы, появляющиеся в разложение шестимерного многообразия Калаби – Яу. В общем, гипотеза SYZ утверждает, что зеркальная симметрия эквивалентна одновременному применению T-двойственности к этим торам. В каждом случае пространство
