WVD Hodge

Сэр Уильям Валланс Дуглас Ходж FRS FRSE (; 17 июня 1903 - 7 июля 1975) был британским математиком, в частности, геометром..

Его открытие далеко идущих топологических отношений между алгебраической геометрией и дифференциальной геометрией - областью, которая теперь называется теорией Ходжа и в более общем плане относится к Кэлеровы многообразия - оказали большое влияние на последующие работы по геометрии.

• 1 Жизнь и карьера
• 2 Работа
• 3 Гипотеза Ходжа
• 4 Изложение
• 5 Семья
• 6 Публикации
• 7 См. Также
• 8 Ссылки

Он родился в Эдинбурге в 1903 году, в семье Арчибальда Джеймса Ходжа, исследователя публичных документов, и его жены Джейн Валланс. Они жили по адресу 1 Church Hill Place в районе Морнингсайд.

Он посещал колледж Джорджа Ватсона и учился в Эдинбургском университете, получив степень магистра медицины. в 1923 г. С помощью Э. Т. Уиттакер, чей сын Дж. М. Уиттакер был другом по колледжу, затем он сдал Cambridge Mathematical Tripos. В Кембридже он попал под влияние геометра Х. Ф. Бейкер. Он получил вторую степень магистра в 1925 году.

В 1926 году он занял должность преподавателя в Бристольском университете и начал работу над интерфейсом между итальянской школой алгебраической геометрии., особенно проблемы, поставленные Франческо Севери, и топологические методы Соломона Лефшеца. Это сделало его репутацию, но вызвало у Лефшеца некоторый скептицизм. Согласно мемуарам Атьи, Лефшец и Ходж в 1931 году встречались в комнатах Макса Ньюмана в Кембридже, чтобы попытаться решить проблемы. В конце концов Лефшец был убежден. В 1928 году он был избран членом Эдинбургского королевского общества. Его предложившими были сэр Эдмунд Тейлор Уиттакер, Ральф Аллан Сэмпсон, Чарльз Гловер Баркла и сэр Чарльз Гальтон Дарвин. Он был удостоен премии Общества Gunning Victoria Jubilee за период с 1964 по 1968 год.

В 1930 году Ходж получил научную стипендию в St. Колледж Джона, Кембридж. Он провел год 1931-2 в Принстонском университете, где был Лефшец, посещая также Оскара Зариски в Университете Джона Хопкинса. В это время он также ассимилировал теорему де Рама и определял операцию звезды Ходжа. Это позволило бы ему определить гармонические формы и таким образом уточнить теорию де Рама.

По возвращении в Кембридж в 1933 году ему предложили должность лектора в университете. Он стал лаундинским профессором астрономии и геометрии в Кембридже, и эту должность он занимал. с 1936 по 1970 год. Он был первым главой DPMMS.

. Он был магистром Пембрук-колледжа, Кембридж с 1958 по 1970 год, и вице-президентом Королевского общества с 1959 по 1965 год. Он был посвящен в рыцари в 1959 году. Среди других наград он получил премию Адамса в 1937 году и медаль Копли Королевского общества в 1974 году.

Он умер в Кембридже 7 июля 1975 года.

Результатом теоремы об индексе Ходжа стала по теории числа пересечений для кривых на алгебраической поверхности : она определяет сигнатуру соответствующей квадратичной формы. Этого результата добивалась итальянская школа алгебраической геометрии, но он был доказан топологическими методами Лефшеца.

Теория и приложения гармонических интегралов подытожили развитие Ходжа в 1930-х годах его общей теория. Это начинается с существования для любой кэлеровой метрики теории лапласианов - это применимо к алгебраическому многообразию V (предполагаемому комплексному, проективному и неособому) потому что проективное пространство само несет такую ​​метрику. В терминах когомологий де Рама класс когомологий степени k представлен k-формой α на V (C ). Уникального представителя нет; но вводя идею гармонической формы (Ходж все еще называл их «интегралами»), которые являются решениями уравнения Лапласа, можно получить единственное α. Это имеет важное и непосредственное следствие разделения

H (V (C ), C)

на подпространства

H

в соответствии с числом p голоморфных дифференциалов dz, заклиниваемых чтобы составить α (кокасательное пространство натянуто на dz и их комплексные сопряженные элементы). Размерности подпространств - это числа Ходжа.

Это разложение Ходжа стало фундаментальным инструментом. Не только размеры h уточняют числа Бетти, разбивая их на части с идентифицируемым геометрическим значением; но само разложение, как изменяющийся «флаг» в сложном векторном пространстве, имеет значение в связи с задачами модулей. В общих чертах теория Ходжа способствует как дискретной, так и непрерывной классификации алгебраических многообразий.

Дальнейшие разработки других авторов привели, в частности, к идее смешанной структуры Ходжа на особых многообразиях., и к глубоким аналогиям с этальными когомологиями.

Гипотеза Ходжа re о «средних» пространствах H, в общем, до сих пор не решена. Это одна из семи задач Премии тысячелетия, созданных Институтом математики Клэя.

Ходж также писал с Дэниелом Педоу, Трехтомный труд «Методы алгебраической геометрии» по классической алгебраической геометрии с большим количеством конкретного содержания, иллюстрирующий то, что Эли Картан назвал «развратом индексов» в его составной нотации. Согласно Атии, это было предназначено для обновления и замены H. Принципы геометрии Ф. Бейкера.

В 1929 году он женился на Кэтлин Энн Кэмерон.

• Hodge, WVD (1941), Теория и приложения гармонических интегралов, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-35881-1, MR 0003947
• Hodge, WVD; Pedoe, D. (1994) [1947], Methods of Algebraic Geometry, Volume I (Book II), Cambridge University Press, ISBN 978 -0-521-46900-5
• Hodge, WVD; Педо, Дэниел (1994) [1952], Методы алгебраической геометрии: Том 2 Книга III: Общая теория алгебраических многообразий в проективном пространстве. Книга IV: Квадрики и разновидности Грассмана., Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46901-2, MR 0048065
• Ходж, Западный Вирджиния; Педо, Дэниел (1994) [1954], Методы алгебраической геометрии: Том 3, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46775-9

• Список вещей, названных в честь WVD Hodge