Гипотеза Ходжа

редактировать

В математике гипотеза Ходжа является основной нерешенной проблемой в алгебраическая геометрия, связывающая алгебраическую топологию несингулярного комплекса алгебраического многообразия с его подмногообразиями. Более конкретно, гипотеза утверждает, что некоторые классы когомологий де Рама являются алгебраическими; то есть они являются суммами двойников Пуанкаре к гомологическим классам подмногообразий. Он был сформулирован шотландским математиком Уильямом Валлансом Дугласом Ходжем в результате работы между 1930 и 1940 годами по обогащению описания когомологий де Рама за счет включения дополнительной структуры, которая присутствует в случае сложных алгебраических многообразий.. Ей не уделяли особого внимания, прежде чем Ходж представил ее в своем выступлении на Международном конгрессе математиков 1950, проходившем в Кембридже, Массачусетс. Гипотеза Ходжа - одна из задач Millennium Prize Института математики Клэя, с призом в 1 000 000 долларов тому, кто сможет доказать или опровергнуть гипотезу Ходжа.

Содержание

1 Мотивация
2 Формулировка гипотезы Ходжа
- 2.1 Переформулировка в терминах алгебраических циклов
3 Известные случаи гипотезы Ходжа
- 3.1 Малая размерность и коразмерность
- 3.2 Гиперповерхности
- 3.3 Абелевы многообразия
4 Обобщения
- 4.1 Интегральная гипотеза Ходжа
- 4.2 Гипотеза Ходжа для кэлеровых многообразий
- 4.3 Обобщенная гипотеза Ходжа
5 Алгебраичность локусов Ходжа
6 См. Также
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

Мотивация

Пусть X будет компактным комплексным многообразием комплексной размерности n. Тогда X - ориентируемое гладкое многообразие реальной размерности $2 n {\ displaystyle 2n}$ $2n$ , поэтому его группы когомологий лежат в градусах от нуля до $2 n {\ displaystyle 2n}$ $2n$ . Предположим, что X - кэлерово многообразие, так что на его когомологиях существует разложение с комплексными коэффициентами

H k (X, C) = ⨁ p + q = k H p, q ( X), {\ displaystyle H ^ {k} (X, \ mathbb {C}) = \ bigoplus _ {p + q = k} H ^ {p, q} (X),}

{\ displaystyl е H ^ {k} (X, \ mathbb {C}) = \ bigoplus _ {p + q = k} H ^ {p, q} (X),}

где $H p, q (X) {\ displaystyle H ^ {p, q} (X)}$ $H^{{p,q}}(X)$ - подгруппа классов когомологий, которые представлены гармоническими формами типа $(п, д) {\ Displaystyle (р, д)}$ $(p, q)$ . То есть это классы когомологий, представленные дифференциальными формами, которые при некотором выборе локальных координат $z 1,…, zn {\ displaystyle z_ {1}, \ ldots, z_ {n} }$ $z_1, \ ldots, z_n$ , может быть записана как гармоническая функция, умноженная на

dzi 1 ∧ ⋯ ∧ dzip ∧ dz ¯ j 1 ∧ ⋯ ∧ dz ¯ jq. {\ displaystyle dz_ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge dz_ {i_ {p}} \ wedge d {\ bar {z}} _ {j_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge d {\ bar {z}} _ {j_ {q}}.}

dz _ {{i_ {1}}} \ wedge \ cdots \ wedge dz _ {{i_ {p}}} \ wedge d {\ bar z} _ {{j_ {1}}} \ wedge \ cdots \ wedge d {\ bar z} _ {{j_ {q}}}.

(Подробнее см. теорию Ходжа.) Получение произведений клина этих гармонических представителей соответствует чашечному продукту в когомологий, поэтому чашечное произведение совместимо с разложением Ходжа:

∪: H p, q (X) × H p ′, q ′ (X) → H p + p ′, q + q ′ (X). {\ Displaystyle \ чашка \ двоеточие H ^ {p, q} (X) \ times H ^ {p ', q'} (X) \ rightarrow H ^ {p + p ', q + q'} (X). }

\cup \colon H^{p,q}(X)\times H^{p',q'}(X)\rightarrow H^{p+p',q+q'}(X).

Поскольку X - компактное ориентированное многообразие, X имеет фундаментальный класс.

. Пусть Z - комплексное подмногообразие X размерности k, и пусть $i: Z → X {\ displaystyle i \ двоеточие Z \ to X}$ ${\ displaystyle i \ двоеточие Z \ to X}$ быть картой включения. Выберите дифференциальную форму $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ альфа$ типа $(p, q) {\ displaystyle (p, q)}$ $(p, q)$ . Мы можем интегрировать $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ альфа$ по Z:

∫ Z i ∗ α. {\ displaystyle \ int _ {Z} i ^ {*} \ alpha.}

{\ displaystyle \ int _ {Z} i ^ {*} \ alpha.}

Чтобы вычислить этот интеграл, выберите точку Z и назовите ее 0. Около 0 мы можем выбрать локальные координаты $z 1, …, Zk {\ displaystyle z_ {1}, \ ldots, z_ {k}}$ ${\ displaystyle z_ {1}, \ ldots, z_ {k}}$ на X, такое что Z просто $zk + 1 = ⋯ = zn = 0 {\ displaystyle z_ {k +1} = \ cdots = z_ {n} = 0}$ ${\ displaystyle z_ {k + 1} = \ cdots = z_ {n} = 0}$ . Если $p>k {\ displaystyle p>k}$ $p>k$ , тогда $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ альфа$ должен содержать $dzi {\ displaystyle dz_ {i}}$ ${\ displaystyle dz_ {i}}$ , где $zi {\ displaystyle z_ {i}}$ $z_ {i}$ возвращается к нулю на Z. То же самое верно, если $q>k {\ displaystyle q>k}$ $q>k$ . Следовательно, этот интеграл равен нулю, если $(p, q) ≠ (k, k) {\ displaystyle (p, q) \ neq (k, k)}$ ${\ displaystyle (p, q) \ neq (k, k)}$ .

Более абстрактно, интеграл можно записать как конечное произведение класса гомологии Z и класса когомологий, представленного как $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ альфа$ . В силу двойственности Пуанкаре класс гомологий Z двойственен классу когомологий, который мы назовем [Z], и конечное произведение можно вычислить, взяв чашечное произведение [Z] и α и перекрыв фундаментальным классом X. Поскольку [Z] - класс когомологий, он имеет разложение Ходжа. По вычислению, которое мы выполнили выше, если мы объединим этот класс с любым классом типа $(p, q) ≠ (k, k) {\ displaystyle (p, q) \ neq (k, k)}$ ${\ displaystyle (p, q) \ neq (k, k)}$ , то получаем ноль. Поскольку $H 2 n (X, C) = H n, n (X) {\ displaystyle H ^ {2n} (X, \ mathbb {C}) = H ^ {n, n} (X)}$ ${\ displaystyle H ^ {2n} (X, \ mathbb {C}) = H ^ {n, n} (X)}$ , мы заключаем, что [Z] должен лежать в $H n - k, n - k (X) {\ displaystyle H ^ {nk, nk} (X)}$ ${\ displaystyle H ^ {nk, nk} ( X)}$ . Грубо говоря, гипотеза Ходжа спрашивает:

Какие классы когомологий в

H k, k (X) {\ displaystyle H ^ {k, k} (X)}

{\ displaystyle H ^ {k, k} (X)}

происходят из сложных подмногообразий Z ?

Формулировка гипотезы Ходжа

Пусть:

Hdg k ⁡ (X) = H 2 k (X, Q) ∩ H k, k (X). {\ displaystyle \ operatorname {Hdg} ^ {k} (X) = H ^ {2k} (X, \ mathbb {Q}) \ cap H ^ {k, k} (X).}

{\ displaystyle \ operatorname {Hdg} ^ {k} (X) = H ^ {2k} (X, \ mathbb {Q}) \ cap H ^ {k, k} (X).}

Мы называем это группа классов Ходжа степени 2k на X.

Современная формулировка гипотезы Ходжа:

Гипотеза Ходжа. Пусть X - неособое комплексное проективное многообразие. Тогда каждый класс Ходжа на X является линейной комбинацией с рациональными коэффициентами классов когомологий комплексных подмногообразий X.

Проективное комплексное многообразие - это комплексное многообразие, которое может быть вложено в комплексное проективное пространство. Поскольку проективное пространство несет в себе кэлерову метрику, метрику Фубини – Штуди, такое многообразие всегда является кэлеровым многообразием. По теореме Чоу проективное комплексное многообразие также является гладким проективным алгебраическим многообразием, т. Е. Является нулевым множеством набора однородных многочленов.

Переформулировка в терминах алгебраических циклов

Другой способ сформулировать гипотезу Ходжа включает идею алгебраического цикла. Алгебраический цикл на X - это формальная комбинация подмногообразий в X; то есть, это что-то вроде:

∑ i c i Z i. {\ displaystyle \ sum _ {i} c_ {i} Z_ {i}.}

{\ displaystyle \ sum _ {i} c_ {i} Z_ {i}. }

Коэффициент обычно считается целым или рациональным. Мы определяем класс когомологий алгебраического цикла как сумму классов когомологий его компонент. Это пример отображения классов циклов когомологий де Рама, см. когомологии Вейля. Например, класс когомологий вышеупомянутого цикла будет:

∑ i c i [Z i]. {\ displaystyle \ sum _ {i} c_ {i} [Z_ {i}].}

{\ displaystyle \ sum _ {i} c_ {i} [Z_ {i}].}

Такой класс когомологий называется алгебраическим. В этих обозначениях гипотеза Ходжа сводится к следующему:

Пусть X - проективное комплексное многообразие. Тогда каждый класс Ходжа на X является алгебраическим.

Предположение гипотезы Ходжа о том, что X является алгебраическим (проективное комплексное многообразие), нельзя ослабить. В 1977 году Стивен Цукер показал, что можно построить контрпример к гипотезе Ходжа в виде комплексных торов с аналитическими рациональными когомологиями типа $(p, p) {\ displaystyle (p, p)}$ $(p, p)$ , который не является проективно-алгебраическим. (см. приложение B к Zucker (1977))

Известные случаи гипотезы Ходжа

Низкая размерность и коразмерность

Первый результат по гипотезе Ходжа связан с Lefschetz (1924). Фактически, это предшествует гипотезе и дает некоторые из мотивов Ходжа.

Теорема (Теорема Лефшеца о (1,1) -классах ) Любой элемент

H 2 (X, Z) ∩ H 1, 1 (X) {\ displaystyle H ^ {2} (X, \ mathbb {Z}) \ cap H ^ {1,1} (X)}

{\ displaystyle H ^ {2} (X, \ mathbb {Z}) \ cap H ^ {1,1} (X)}

- это класс когомологий дивизора на

X {\ displaystyle X}

X

. В частности, гипотеза Ходжа верна для

H 2 {\ displaystyle H ^ {2}}

H ^ {2}

Очень быстрое доказательство можно дать, используя когомологию пучка и экспоненциальную точную последовательность (класс когомологий делителя оказывается равным его первый класс Черна.) Первоначальное доказательство Лефшеца было проведено с использованием, которое было введено Анри Пуанкаре. Однако эти подходы не могут доказать гипотезу Ходжа для более высоких c одномерные подмногообразия.

По теореме Лефшеца можно доказать:

Теорема. Если гипотеза Ходжа верна для классов Ходжа степени

p {\ displaystyle p}

p

, для всех

p < n {\displaystyle p

{\ displaystyle p <n}

гипотеза Ходжа верна для классов Ходжа степени

2 n - p {\ displaystyle 2n-p}

{\ displaystyle 2n-p}

Объединение двух приведенных выше теорем означает, что гипотеза Ходжа верна. для классов Ходжа степени $2 n - p {\ displaystyle 2n-p}$ ${\ displaystyle 2n-p}$ . Это доказывает гипотезу Ходжа, когда $X {\ displaystyle X}$ $X$ имеет размерность не более трех.

Теорема Лефшеца о (1,1) -классах также означает, что если все классы Ходжа порождаются классами Ходжа дивизоров, то гипотеза Ходжа верна:

Следствие. Если алгебра

Hdg ∗ ⁡ (X) = ⨁ K Hdg k ⁡ (X) {\ displaystyle \ operatorname {Hdg} ^ {*} (X) = \ bigoplus \ nolimits _ {k} \ operatorname {Hdg} ^ { k} (X)}

{\ displaystyle \ operatorname {Hdg} ^ {*} (X) = \ bigoplus \ nolimits _ { k} \ operatorname {Hdg} ^ {k} (X)}

генерируется

Hdg 1 ⁡ (X) {\ displaystyle \ operatorname {Hdg} ^ {1} (X)}

{\ displaystyle \ operatorname {Hdg} ^ {1} (X)}

, затем Hodge гипотеза верна для

X {\ displaystyle X}

X

гиперповерхностей

По сильной и слабой теореме Лефшеца, единственной нетривиальной части гипотезы Ходжа для гиперповерхности - часть степени m (т. е. средние когомологии) 2m-мерной гиперповерхности $X ⊂ P 2 m + 1 {\ displaystyle X \ subset \ mathbf {P} ^ {2m + 1}}$ $X \ subset {\ mathbf P} ^ {{2m + 1}}$ . Если степень d равна 2, т. Е. X является квадрикой, гипотеза Ходжа верна для всех m. Для $m = 2 {\ displaystyle m = 2}$ $m = 2$ , т.е. гипотеза Ходжа известна для $d ≤ 5 {\ displaystyle d \ leq 5}$ $d \ leq 5$ .

абелевых многообразий

Для большинства абелевых многообразий алгебра Hdg * (X) порождена в первой степени, поэтому гипотеза Ходжа верна. В частности, гипотеза Ходжа верна для достаточно общих абелевых многообразий, для произведений эллиптических кривых и для простых абелевых многообразий простой размерности. Однако Мамфорд (1969) построил пример абелевого многообразия, в котором Hdg (X) не порождается произведениями классов дивизоров. Вейль (1977) обобщил этот пример, показав, что всякий раз, когда разнообразие имеет комплексное умножение на мнимое квадратичное поле, тогда Hdg (X) не генерируется продуктами классов дивизоров. Moonen Zarhin (1999) доказали, что в размерности меньше 5 либо Hdg * (X) генерируется в первой степени, либо многообразие имеет комплексное умножение на мнимое квадратичное поле. В последнем случае гипотеза Ходжа известна только в частных случаях.

Обобщения

Интегральная гипотеза Ходжа

Первоначальная гипотеза Ходжа заключалась в следующем:

Интегральная гипотеза Ходжа. Пусть X - проективное комплексное многообразие. Тогда каждый класс когомологий в

H 2 k (X, Z) ∩ H k, k (X) {\ displaystyle H ^ {2k} (X, \ mathbb {Z}) \ cap H ^ {k, k} (X)}

{\ displaystyle H ^ {2k} (X \ mathbb {Z}) \ крышка H ^ {k, k} (X)}

- класс когомологий алгебраического цикла с целыми коэффициентами на X.

Теперь известно, что это неверно. Первый контрпример был построен Атьей и Хирцебрухом (1961). Используя K-теорию, они построили пример класса когомологий кручения, то есть такого класса когомологий α, что nα = 0 для некоторого положительного целого числа n, который не является классом алгебраического цикла. Такой класс обязательно является классом Ходжа. Totaro (1997) переосмыслил свой результат в рамках кобордизма и нашел множество примеров таких классов.

Простейшее уточнение интегральной гипотезы Ходжа:

Интегральная гипотеза Ходжа по модулю кручения. Пусть X - проективное комплексное многообразие. Тогда каждый класс когомологий в

H 2 k (X, Z) ∩ H k, k (X) {\ displaystyle H ^ {2k} (X, \ mathbb {Z}) \ cap H ^ {k, k} (X)}

{\ displaystyle H ^ {2k} (X \ mathbb {Z}) \ крышка H ^ {k, k} (X)}

- это сумма класса кручения и класса когомологий алгебраического цикла с целыми коэффициентами на X.

Эквивалентно, после деления $H 2 k (X, Z) ∩ ЧАС К, К (Икс) {\ Displaystyle H ^ {2k} (X, \ mathbb {Z}) \ cap H ^ {k, k} (X)}$ ${\ displaystyle H ^ {2k} (X \ mathbb {Z}) \ крышка H ^ {k, k} (X)}$ по классам кручения, каждый класс образ класса когомологий целого алгебраического цикла. Это тоже неверно. Коллар (1992) нашел пример класса Ходжа α, который не является алгебраическим, но имеет целое кратное, являющееся алгебраическим.

Rosenschon Srinivas (2016) показали, что для получения правильной интегральной гипотезы Ходжа необходимо заменить группы Чжоу, которые также могут быть выражены как группы мотивационных когомологий, на вариант, известный как этальная (или Лихтенбаумская) мотивационная когомология. Они показывают, что рациональная гипотеза Ходжа эквивалентна интегральной гипотезе Ходжа для этой модифицированной мотивационной когомологии.

Гипотеза Ходжа для кэлеровых многообразий

Естественное обобщение гипотезы Ходжа спросит:

Гипотеза Ходжа для кэлеровых многообразий, наивная версия. Пусть X - комплексное кэлерово многообразие. Тогда каждый класс Ходжа на X является линейной комбинацией с рациональными коэффициентами классов когомологий комплексных подмногообразий X.

Это слишком оптимистично, потому что не хватает подмногообразий, чтобы это работало. Возможная замена - задать вместо этого один из двух следующих вопросов:

Гипотеза Ходжа для кэлеровых многообразий, версия векторного расслоения. Пусть X - комплексное кэлерово многообразие. Тогда каждый класс Ходжа на X является линейной комбинацией с рациональными коэффициентами классов Черна векторных расслоений на X.

Гипотеза Ходжа для кэлеровых многообразий, версия когерентного пучка. Пусть X - комплексное кэлерово многообразие. Тогда каждый класс Ходжа на X является линейной комбинацией с рациональными коэффициентами классов Черна когерентных пучков на X.

Вуазен (2002) доказал, что классы Черна когерентных пучков дают строго больше классов Ходжа, чем классы Черна векторных расслоений и что классов Черна когерентных пучков недостаточно для генерации всех классов Ходжа. Следовательно, единственные известные формулировки гипотезы Ходжа для кэлеровых многообразий неверны.

Обобщенная гипотеза Ходжа

Ходж высказал дополнительную, более сильную гипотезу, чем интегральная гипотеза Ходжа. Скажем, что класс когомологий на X имеет ко-уровень c (coniveau c), если он является прямой версией класса когомологий на c-коразмерном подмногообразии X. Классы когомологий на ко-уровне не менее c фильтруют когомологии X, и легко видеть, что c-й шаг фильтрации NH (X, Z ) удовлетворяет

N c H k (X, Z) ⊆ H k (X, Z) ∩ (H k - c, c (X) ⊕ ⋯ ⊕ H c, k - c (X)). {\ displaystyle N ^ {c} H ^ {k} (X, \ mathbf {Z}) \ substeq H ^ {k} (X, \ mathbf {Z}) \ cap (H ^ {kc, c} (X) \ oplus \ cdots \ oplus H ^ {c, kc} (X)).}

N ^ {c} H ^ {k} (X, {\ mathbf {Z}}) \ substeq H ^ {k} (X, {\ mathbf {Z}}) \ cap (H ^ {{kc, c}} (X) \ oplus \ cdots \ oplus H ^ { {c, kc}} (X)).

Исходное утверждение Ходжа было:

Обобщенная гипотеза Ходжа, версия Ходжа.

N c H k (X, Z) = H k (X, Z) ∩ (H k - c, c (X) ⊕ ⋯ ⊕ H c, k - c (X)). {\ Displaystyle N ^ {c} H ^ {k} (X, \ mathbf {Z}) = H ^ {k} (X, \ mathbf {Z}) \ cap (H ^ {kc, c} (X) \ oplus \ cdots \ oplus H ^ {c, kc} (X)).}

N ^ {c} H ^ {k} (X, {\ mathbf {Z }}) = H ^ {k} (X, {\ mathbf {Z}}) \ cap (H ^ {{kc, c}} (X) \ oplus \ cdots \ oplus H ^ {{c, kc}} (X)).

Гротендик (1969) заметил, что этого не может быть даже с рациональными коэффициентами, потому что правая часть не всегда структура Ходжа. Его исправленная форма гипотезы Ходжа:

Обобщенная гипотеза Ходжа. NH (X, Q ) - самая большая суб-структура Ходжа в H (X, Z ), содержащиеся в

H k - c, c (X) ⊕ ⋯ ⊕ H c, k - c (X). {\ displaystyle H ^ {k-c, c} (X) \ oplus \ cdots \ oplus H ^ {c, k-c} (X).}

H ^ {{kc, c}} (X) \ oplus \ cdots \ oplus H ^ {{c, kc}} (X).

Эта версия открыта.

Алгебраичность локусов Ходжа

Сильнейшим доказательством в пользу гипотезы Ходжа является результат алгебраичности Cattani, Deligne Kaplan (1995). Предположим, что мы меняем комплексную структуру X над односвязной базой. Тогда топологические когомологии X не меняются, но разложение Ходжа меняется. Известно, что если гипотеза Ходжа верна, то множество всех точек на базе, где когомологии слоя являются классом Ходжа, на самом деле является алгебраическим подмножеством, то есть высекается полиномиальными уравнениями. Cattani, Deligne Kaplan (1995) доказали, что это всегда верно, без предположения гипотезы Ходжа.

См. Также

Ссылки

Атья, М. Ф. ; Хирцебрух, Ф. (1961), «Аналитические циклы на комплексных многообразиях», Топология, 1 : 25–45, doi : 10.1016 / 0040 -9383 (62) 90094-0 Имеется в коллекции Хирцебруха (pdf).
; Делинь, Пьер ; (1995), «На месте классов Ходжа», Журнал Американского математического общества, 8(2): 483–506, arXiv : alg-geom / 9402009, doi : 10.2307 / 2152824, JSTOR 2152824, MR 1273413.
Гротендик, A. (1969), «Общая гипотеза Ходжа неверна по тривиальным причинам», Топология, 8(3): 299–303, doi : 10.1016 / 0040-9383 (69) 90016-0.
Hodge, WVD (1950), "Топологические инварианты алгебраических многообразий", Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Cambridge, MA, 1 : 181–192.
Коллар, Янош (1992), «Примеры Тренто», в Ballico, E.; Catanese, F.; Ciliberto, C. (ред.), Классификация неправильных разновидностей, Lecture Notes in Math., 1515, Springer, p. 134, ISBN 978-3-540-55295-6.
Лефшец, Соломон (1924), L'Analysis situs et la géométrie algébrique, Collection de Monographies publiée sous la Direction де М. Эмиль Борель (на французском языке), Париж: Готье-Виллар Перепечатано в Лефшец, Соломон (1971), Избранные статьи, Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0234-7, MR 0299447.
; (1999), «Классы Ходжа на абелевых многообразиях низкой размерности», Mathematische Annalen, 315 (4): 711–733, arXiv : math / 9901113, doi : 10.1007 / s002080050333, MR 1731466.
Мамфорд, Дэвид (1969), «Примечание из статьи Шимуры» Прерывистые группы и абелевы разновидности "", Mathematische Annalen, 181 (4): 345–351, doi : 10.1007 / BF01350672.
Розеншон, Андреас; Шринивас, В. (2016), «Этальные мотивационные когомологии и алгебраические циклы» (PDF), Журнал Института математики Жассиу, 15 (3): 511–537, doi : 10.1017 / S1474748014000401, MR 3505657, Zbl 1346.19004
Totaro, Burt (1997), "Торсионные алгебраические циклы и сложный кобордизм », Журнал Американского математического общества, 10(2): 467–493, arXiv : alg-geom / 9609016, doi : 10.1090 / S0894-0347-97-00232-4, JSTOR 2152859.
Вуазен, Клэр (2002), "А контрпример к гипотезе Ходжа, распространенный на кэлеровые многообразия », International Mathematics Research Notices, 2002 (20): 1057–1075, doi : 10.1155 / S1073792802111135, MR 1902630.
Вейль, Андре (1977), «Абелевы многообразия и кольцо Ходжа», Сборник статей, III, стр. 421–429
Цукер, Стивен (1977), «Гипотеза Ходжа для четырехмерных кубов», Compositio Mathematica, 34(2): 199–2 09, MR 0453741

Внешние ссылки

Делинь, Пьер. «Гипотеза Ходжа» (PDF) (официальное описание проблемы Института математики Клэя)
Популярная лекция по гипотезе Ходжа Дэна Фрида (Техасский университет) ( Настоящее видео) (Слайды)
Бисвас, Индранил ; Paranjape, Kapil Hari (2002), «Гипотеза Ходжа для общих многообразий Прима», Journal of Algebraic Geometry, 11 (1): 33–39, arXiv : math / 0007192, doi : 10.1090 / S1056-3911-01-00303-4, MR 1865912
Берт Тотаро, Почему верить гипотезе Ходжа?
Клэр Вуазен, Hodge loci