Войти
Призовые задачи тысячелетия - это семь задач в математике, которые были сформулированы Институт математики Клэя 24 мая 2000 г. Проблемами являются гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера, гипотеза Ходжа, существование и гладкость Навье – Стокса., Проблема P и NP, Гипотеза Пуанкаре, Гипотеза Римана и Существование Янга – Миллса и разрыв между массами. Правильное решение любой из проблем приводит к присуждению институтом премии в 1 миллион долларов США первооткрывателю (ам).
На сегодняшний день единственной решенной проблемой Премии тысячелетия является гипотеза Пуанкаре, которая была решена в 2003 году российским математиком Григорием Перельманом. Он отказался от призовых денег.
В размерности 2 сфера характеризуется тем, что это единственная замкнутая и односвязная поверхность. Гипотеза Пуанкаре утверждает, что это верно и для размерности 3. Она является центральной для более общей проблемы классификации всех 3-многообразий. Точная формулировка гипотезы гласит:
Каждое односвязное, замкнутое 3-многообразие гомеоморфно 3-сфера.
Доказательство этой гипотезы было дано Григорием Перельманом в 2003 году на основе работы Ричарда Гамильтона ; его рассмотрение было завершено в августе 2006 г., и Перельман был выбран для получения медали Филдса за свое решение, но он отклонил эту награду. Перельман был официально награжден Премией тысячелетия 18 марта 2010 года, но он также отклонил эту награду и связанные с ней денежные призы от Института математики Клэя. Агентство Интерфакс процитировало Перельмана, сказавшего, что он считает приз несправедливым. Перельман сказал Интерфаксу, что считает свой вклад в решение гипотезы Пуанкаре не больше, чем вклад Гамильтона.
Вопрос в том, действительно ли Для всех проблем, для которых алгоритм может быстро проверить данное решение (то есть за полиномиальное время ), алгоритм также может быстро найти это решение. Поскольку первый описывает класс проблем, называемых NP, а второй описывает P, вопрос эквивалентен вопросу, все ли проблемы в NP также находятся в P. Это обычно считается одним из самых важных открытых вопросов в математике и теоретическая информатика, поскольку она имеет далеко идущие последствия для других проблем в математике, а также в биологии, философии и криптография (см. P в сравнении с последствиями доказательства проблемы NP ). Типичным примером проблемы NP, не имеющей отношения к P, является проблема логической выполнимости.
Большинство математиков и компьютерных ученых ожидают, что P ≠ NP; однако она остается недоказанной.
Официальная постановка проблемы была дана Стивеном Куком.
Гипотеза Ходжа состоит в том, что для проективного алгебраические многообразия, циклы Ходжа - это рациональные линейные комбинации алгебраических циклов.
Официальная постановка задачи была дана Пьером Делинем.
Гипотеза Римана состоит в том, что все нетривиальные нули аналитического продолжения дзета-функции Римана имеют действительную часть / 2. Доказательство или опровержение этого будет иметь далеко идущие последствия в теории чисел, особенно для распределения простых чисел. Это была восьмая проблема Гильберта, и спустя столетие она до сих пор считается важной открытой проблемой.
Официальную постановку проблемы дал Энрико Бомбьери.
В физике классическая теория Янга – Миллса является обобщением теории Максвелла электромагнетизма, где само хромо-электромагнитное поле несет заряд. Как классическая теория поля, у нее есть решения, которые движутся со скоростью света, так что ее квантовая версия должна описывать безмассовые частицы (глюоны ). Однако постулируемое явление ограничения цвета допускает только связанные состояния глюонов, образующих массивные частицы. Это разрыв между массами. Другой аспект ограничения - это асимптотическая свобода, что делает возможным существование квантовой теории Янга-Миллса без ограничения низкоэнергетическими масштабами. Проблема состоит в том, чтобы строго установить существование квантовой теории Янга – Миллса и массовой щели.
Официальная постановка проблемы была дана Артуром Джаффе и Эдвардом Виттеном.
Навье– Уравнения Стокса описывают движение жидкости и являются одним из столпов механики жидкости. Однако теоретическое понимание их решений неполное. В частности, решения уравнений Навье – Стокса часто включают турбулентность, общее решение которой остается одной из самых нерешенных проблем в физике, несмотря на его огромное значение в науке и технике.
Даже основные свойства решений Навье – Стокса никогда не были доказаны. Для трехмерной системы уравнений и при некоторых начальных условиях математики еще не доказали, что гладкие решения всегда существуют всегда. Это называется проблемой существования и гладкости Навье – Стокса.
Проблема состоит в том, чтобы продвинуться к математической теории, которая даст представление об этих уравнениях, доказав, что либо существуют гладкие, глобально определенные решения, которые удовлетворяют определенным условиям, либо что они не всегда существуют, и уравнения нарушаются вниз.
Официальная постановка проблемы была дана Чарльзом Фефферманом.
Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера касается некоторых типов уравнений: определение эллиптических кривых над рациональными числами. Гипотеза состоит в том, что существует простой способ определить, есть ли у таких уравнений конечное или бесконечное число рациональных решений. Десятая проблема Гильберта имела дело с уравнениями более общего типа, и в этом случае было доказано, что нет никакого способа решить, имеет ли данное уравнение какие-либо решения.
Официальную постановку задачи дал Эндрю Уайлс.
Математический портал 