Метрика Фубини – Этюд

В математике, то метрика Фубини-исследование является Кэлерова метрика на проективной гильбертовом пространстве, то есть на комплексном проективном пространстве СР ^п наделенного эрмитовой формы. Эта метрика была впервые описана в 1904 и 1905 годах Гвидо Фубини и Эдуардом Штуде.

Эрмитова форма в (векторном пространстве) C ^{п +1} определяет унитарную подгруппу U ( п + 1) в GL ( п + 1, С). Метрика Фубини – Штуди определяется с точностью до гомотетии (общего масштабирования) инвариантностью относительно такого действия U ( n +1); таким образом, он однороден. Имея метрику Фубини – Штуди, CP ⁿ является симметричным пространством. Конкретная нормализация метрики зависит от приложения. В римановой геометрии используется нормализация, так что метрика Фубини – Штуди просто связана со стандартной метрикой на (2 n +1) -сфере. В алгебраической геометрии, один использует нормировки решений CP ^н а многообразие Ходжа.

СОДЕРЖАНИЕ

• 1 Строительство
  • 1.1 Как метрическое частное
  • 1.2 В локальных аффинных координатах
  • 1.3 Использование однородных координат
  • 1.4 В обозначениях скобок координат
• 2 п = 1 случай
• 3 п = 2 случая
• 4 Свойства кривизны
• 5 Метрика продукта
• 6 Присоединение и кривизна
• 7 Произношение
• 8 См. Также
• 9 ссылки

Строительство

Метрика Фубини-исследование естественно возникает в фактор - пространстве построения комплексного проективного пространства.

В частности, можно определить CP ⁿ как пространство, состоящее из всех комплексных прямых в C ^{n +1}, т. Е. Частное C ^{n +1} \ {0} по отношению эквивалентности, связывающее вместе все комплексные кратные каждой точки. Это согласуется с фактором по диагональному групповому действию мультипликативной группы C ^*  =  C  \ {0}:

${\ displaystyle \ mathbf {CP} ^ {n} = \ left \ {\ mathbf {Z} = [Z_ {0}, Z_ {1}, \ ldots, Z_ {n}] \ in {\ mathbf {C} } ^ {n + 1} \ setminus \ {0 \} \, \ right \} / \ {\ mathbf {Z} \ sim c \ mathbf {Z}, c \ in \ mathbf {C} ^ {*} \ }.}$

Этот фактор реализует C ^{n +1} \ {0} как комплексное линейное расслоение над базовым пространством CP ⁿ. (Фактически это так называемое тавтологическое расслоение над CP ⁿ.) Таким образом, точка CP ⁿ отождествляется с классом эквивалентности ( n +1) -наборов [ Z 0,..., Z n ] по модулю ненулевого комплекса масштабирование; Z я называюсь однородными координатами точки.

Более того, это частное можно реализовать в два этапа: поскольку умножение на ненулевой комплексный скаляр z  =  R  e ^iθ можно однозначно рассматривать как композицию растяжения по модулю R с последующим вращением против часовой стрелки вокруг начала координат на угол, фактор C ^{n +1}  →  CP ⁿ распадается на две части. ${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle \ mathbf {C} ^ {n + 1} \ setminus \ {0 \} {\ stackrel {(a)} {\ longrightarrow}} S ^ {2n + 1} {\ stackrel {(b)} { \ longrightarrow}} \ mathbf {CP} ^ {n}}$

где стадия (а) представляет собой фактор по дилатации Z  \  R Z для R  ∈  R ⁺, мультипликативной группы положительных действительных чисел, а стадия (б) представляет собой фактор по вращениям Z  \  е ^iθZ.

Результатом частного в (a) является реальная гиперсфера S ^{2 n +1,} определяемая уравнением | Z | ² = | Z 0 | ²  +... + | Z n | ²  = 1. Фактор в (b) реализует CP ⁿ  =  S ^{2 n +1} / S ¹, где S ¹ представляет группу поворотов. Этот фактор реализуются явно известным расслоением Хопфа S ¹  →  S ^{2 п +1}  →  CP ^п, волокно которых является один из больших кругов из. ${\ Displaystyle S ^ {2n + 1}}$

Как метрическое частное

Когда факторное пространство берется из риманова многообразия (или метрического пространства в целом), необходимо позаботиться о том, чтобы фактор-пространство наделено правильно определенной метрикой. Например, если группа G действует на римановом многообразии ( X, g), то для того, чтобы пространство орбит X / G обладало индуцированной метрикой, оно должно быть постоянным вдоль G- орбит в том смысле, что для любого элемента h  ∈  G и пару векторных полей мы должны иметь g ( Xh, Yh) =  g ( X, Y). ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle X, Y}$

Стандартная эрмитова метрика на C ^{n +1} задается в стандартном базисе формулой

${\ displaystyle ds ^ {2} = d \ mathbf {Z} \ otimes d {\ overline {\ mathbf {Z}}} = dZ_ {0} \ otimes d {\ overline {Z_ {0}}} + \ cdots + dZ_ {n} \ otimes d {\ overline {Z_ {n}}}}$

реализацией которой является стандартная евклидова метрика на R ^{2 n +2}. Эта метрика не инвариантна относительно диагонального действия C ^*, поэтому мы не можем напрямую подтолкнуть ее к CP ⁿ в частном. Тем не менее, эта метрика является инвариантной относительно диагонального действия S ¹  = U (1), группа вращений. Следовательно, шаг (b) в приведенной выше конструкции возможен после выполнения шага (a).

Метрика Фубини-исследование является метрикой, индуцированной на фактор CP ^п  =  S ^{2 п + 1} / S ¹, где несет так называемый «круглая метрикой» наделен на него ограничение по стандартным евклидовым метрикам на единице гиперсферу. ${\ Displaystyle S ^ {2n + 1}}$

В локальных аффинных координатах

Точке в CP ⁿ с однородными координатами [ Z 0:...: Z n ] соответствует единственный набор из n координат ( z 1,..., z n) такой, что

${\ displaystyle [Z_ {0}: \ dots: Z_ {n}] {\ sim} [1, z_ {1}, \ dots, z_ {n}],}$

при условии Z 0  ≠ 0; в частности, z j  =  Z j / Z 0. ( Z 1,..., z n) образуют аффинную систему координат для CP ⁿ в координатном фрагменте U 0 = { Z 0  0}. Можно разработать аффинную систему координат в любом из участков координат U i  = { Z i  ≠ 0}, разделив вместо этого на Z i очевидным образом. П +1 координаты заплатки U я покрываю CP ^п, и можно дать метрическую явно в терминах аффинных координат ( г 1,..., г п) на U I. Координатные производные определяют каркас голоморфного касательного расслоения к CP ⁿ, в терминах которого метрика Фубини – Штуди имеет эрмитовы компоненты ${\ Displaystyle \ {\ partial _ {1}, \ ldots, \ partial _ {n} \}}$

${\ displaystyle g_ {я {\ bar {j}}} = h (\ partial _ {i}, {\ bar {\ partial}} _ {j}) = {\ frac {(1+ | \ mathbf {z } | ^ {2}) \ delta _ {i {\ bar {j}}} - {\ bar {z}} _ {i} z_ {j}} {(1+ | \ mathbf {z} | ^ { 2}) ^ {2}}}.}$

где | z | ²  = | z 1 | ² +... + | z n | ². То есть эрмитова матрица метрики Фубини – Штуди в этой системе отсчета имеет вид

${\ displaystyle {\ bigl [} g_ {я {\ bar {j}}} {\ bigr]} = {\ frac {1} {(1+ | \ mathbf {z} | ^ {2}) ^ {2 }}} \ left [{\ begin {array} {cccc} 1+ | \ mathbf {z} | ^ {2} - | z_ {1} | ^ {2} amp; - {\ bar {z}} _ { 1} z_ {2} amp; \ cdots amp; - {\ bar {z}} _ {1} z_ {n} \\ - {\ bar {z}} _ {2} z_ {1} amp; 1 + | \ mathbf {z } | ^ {2} - | z_ {2} | ^ {2} amp; \ cdots amp; - {\ bar {z}} _ {2} z_ {n} \\\ vdots amp; \ vdots amp; \ ddots amp; \ vdots \\ - {\ bar {z}} _ {n} z_ {1} amp; - {\ bar {z}} _ {n} z_ {2} amp; \ cdots amp; 1 + | \ mathbf {z} | ^ {2} - | z_ {n} | ^ {2} \ end {array}} \ right]}$

Обратите внимание, что каждый элемент матрицы унитарно-инвариантен: диагональное действие оставит эту матрицу неизменной. ${\ Displaystyle \ mathbf {z} \ mapsto е ^ {я \ theta} \ mathbf {z}}$

Соответственно, линейный элемент имеет вид

${\ displaystyle {\ begin {align} ds ^ {2} amp; = g_ {i {\ bar {j}}} \, dz ^ {i} \, d {\ bar {z}} ^ {j} \\ [4pt] amp; = {\ frac {(1+ | \ mathbf {z} | ^ {2}) | d \ mathbf {z} | ^ {2} - ({\ bar {\ mathbf {z}}} \ cdot d \ mathbf {z}) (\ mathbf {z} \ cdot d {\ bar {\ mathbf {z}}})} {(1+ | \ mathbf {z} | ^ {2}) ^ {2} }} \\ [4pt] amp; = {\ frac {(1 + z_ {i} {\ bar {z}} ^ {i}) \, dz_ {j} \, d {\ bar {z}} ^ { j} - {\ bar {z}} ^ {j} z_ {i} \, dz_ {j} \, d {\ bar {z}} ^ {i}} {(1 + z_ {i} {\ bar {z}} ^ {i}) ^ {2}}}. \ end {выравнивается}}}$

В этом последнем выражении для суммирования латинских индексов i, j в диапазоне от 1 до  n используется соглашение о суммировании.

Метрика может быть получена из следующего кэлеровского потенциала :

${\ Displaystyle К = \ ln (1 + z_ {i} {\ bar {z}} ^ {i}) = \ ln (1+ \ delta _ {i {\ bar {j}}} z ^ {i} {\ bar {z}} ^ {j})}$

в качестве

${\ displaystyle g_ {i {\ bar {j}}} = K_ {i {\ bar {j}}} = {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z ^ {i} \ partial {\ бар {z}} ^ {j}}} K}$

Использование однородных координат

Выражение также возможно в обозначениях однородных координат, обычно используется для описания проективных многообразий из алгебраической геометрии : Z  = [ Z 0:...: Z п ]. Формально, при условии соответствующей интерпретации задействованных выражений, можно

${\ displaystyle {\ begin {align} ds ^ {2} amp; = {\ frac {| \ mathbf {Z} | ^ {2} | d \ mathbf {Z} | ^ {2} - ({\ bar {\ mathbf {Z}}} \ cdot d \ mathbf {Z}) (\ mathbf {Z} \ cdot d {\ bar {\ mathbf {Z}}})} {| \ mathbf {Z} | ^ {4}} } \\ amp; = {\ frac {Z _ {\ alpha} {\ bar {Z}} ^ {\ alpha} dZ _ {\ beta} d {\ bar {Z}} ^ {\ beta} - {\ bar {Z }} ^ {\ alpha} Z _ {\ beta} dZ _ {\ alpha} d {\ bar {Z}} ^ {\ beta}} {(Z _ {\ alpha} {\ bar {Z}} ^ {\ alpha}) ^ {2}}} \\ amp; = {\ frac {2Z _ {[\ alpha} \, dZ _ {\ beta]} {\ overline {Z}} ^ {[\ alpha} \, {\ overline {dZ} } ^ {\ beta]}} {\ left (Z _ {\ alpha} {\ overline {Z}} ^ {\ alpha} \ right) ^ {2}}}. \ end {align}}}$

Здесь соглашение о суммировании используется для суммирования по греческим индексам α β в диапазоне от 0 до n, а в последнем равенстве используются стандартные обозначения для скошенной части тензора:

${\ displaystyle Z _ {[\ alpha} W _ {\ beta]} = {\ frac {1} {2}} \ left (Z _ {\ alpha} W _ {\ beta} -Z _ {\ beta} W _ {\ alpha} \Правильно).}$

Теперь это выражение для d s ^{2, по-} видимому, определяет тензор на тотальном пространстве тавтологического расслоения C ^{n +1} \ {0}. Его следует правильно понимать как тензор на CP ⁿ, протягивая его назад вдоль голоморфного сечения σ тавтологического расслоения CP ⁿ. Затем остается убедиться, что значение отката не зависит от выбора сечения: это можно сделать прямым расчетом.

Кэлерова форма этой метрики

${\ displaystyle \ omega = {\ frac {i} {2}} \ partial {\ overline {\ partial}} \ log | \ mathbf {Z} | ^ {2}}$

где - операторы Дольбо. Возврат этого явно не зависит от выбора голоморфного сечения. Журнал количества | Z | ² - кэлеров потенциал (иногда называемый кэлеровым скаляром) CP ⁿ. ${\ displaystyle \ partial, {\ bar {\ partial}}}$

В обозначениях скобочных координат

В квантовой механике метрика Фубини – Штуди также известна как метрика Буреса. Однако метрика Буреса обычно определяется в обозначении смешанных состояний, тогда как описание ниже написано в терминах чистого состояния. Действительная часть метрики (в четыре раза больше) метрики информации Фишера.

Метрика Фубини – Штуди может быть записана с использованием обозначений скобок, обычно используемых в квантовой механике. Чтобы явно приравнять эти обозначения к однородным координатам, данным выше, пусть

${\ displaystyle \ vert \ psi \ rangle = \ sum _ {k = 0} ^ {n} Z_ {k} \ vert e_ {k} \ rangle = [Z_ {0}: Z_ {1}: \ ldots: Z_ {n}]}$

где - набор ортонормированных базисных векторов для гильбертова пространства, - комплексные числа, и - стандартное обозначение точки в проективном пространстве в однородных координатах. Тогда, учитывая две точки и в пространстве, расстояние (длина геодезической) между ними равно ${\ displaystyle \ {\ vert e_ {k} \ rangle \}}$ ${\ displaystyle Z_ {k}}$${\ displaystyle Z _ {\ alpha} = [Z_ {0}: Z_ {1}: \ ldots: Z_ {n}]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} P ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ vert \ psi \ rangle = Z _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ vert \ phi \ rangle = W _ {\ alpha}}$

${\ Displaystyle \ гамма (\ psi, \ phi) = \ arccos {\ sqrt {\ frac {\ langle \ psi \ vert \ phi \ rangle \; \ langle \ phi \ vert \ psi \ rangle} {\ langle \ psi \ vert \ psi \ rangle \; \ langle \ phi \ vert \ phi \ rangle}}}}$

или, что то же самое, в обозначениях проективного многообразия,

${\ displaystyle \ gamma (\ psi, \ phi) = \ gamma (Z, W) = \ arccos {\ sqrt {\ frac {Z _ {\ alpha} {\ overline {W}} ^ {\ alpha} \; W_ {\ beta} {\ overline {Z}} ^ {\ beta}} {Z _ {\ alpha} {\ overline {Z}} ^ {\ alpha} \; W _ {\ beta} {\ overline {W}} ^ {\ beta}}}}.}$

Здесь, является комплексно сопряженным из. Появление в знаменателе знака означает напоминание о том, что и аналогично не были нормированы на единицу длины; таким образом, нормализация здесь сделана явной. В гильбертовом пространстве метрику можно довольно тривиально интерпретировать как угол между двумя векторами; поэтому его иногда называют квантовым углом. Угол является действительным и изменяется от 0 до. ${\ displaystyle {\ overline {Z}} ^ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle Z _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle \ langle \ psi \ vert \ psi \ rangle}$${\ displaystyle \ vert \ psi \ rangle}$${\ displaystyle \ vert \ phi \ rangle}$${\ displaystyle \ pi / 2}$

Бесконечно малую форму этой метрики можно быстро получить, взяв, или, что то же самое, чтобы получить ${\ displaystyle \ phi = \ psi + \ delta \ psi}$${\ Displaystyle W _ {\ alpha} = Z _ {\ alpha} + dZ _ {\ alpha}}$

${\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {\ langle \ delta \ psi \ vert \ delta \ psi \ rangle} {\ langle \ psi \ vert \ psi \ rangle}} - {\ frac {\ langle \ delta \ psi \ vert \ psi \ rangle \; \ langle \ psi \ vert \ delta \ psi \ rangle} {{\ langle \ psi \ vert \ psi \ rangle} ^ {2}}}.}.$

В контексте квантовой механики, CP ¹ называется сферой Блоха ; метрика Фубини – Штуди является естественной метрикой для геометризации квантовой механики. Многие особенности поведения квантовой механики, включая квантовую запутанность и фазовый эффект Берри, можно отнести к особенностям метрики Фубини – Штуди.

П = 1 случай

Когда n = 1, существует диффеоморфизм, заданный стереографической проекцией. Это приводит к "специальному" Хопфу расслоения S ¹  →  S ³  →  S ². Когда метрика Фубини – Штуди записана в координатах на CP ¹, ее ограничение на вещественное касательное расслоение дает выражение обычной «круглой метрики» радиуса 1/2 (и гауссовой кривизны 4) на S ². ${\ Displaystyle S ^ {2} \ cong \ mathbb {CP} ^ {1}}$

А именно, если z  =  x  + i y - стандартная карта аффинных координат на сфере Римана CP ¹ и x  =  r  cos θ, y  =  r  sin θ - полярные координаты на C, то обычное вычисление показывает

${\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {\ operatorname {Re} (dz \ otimes d {\ overline {z}})} {\ left (1+ | z | ^ {2} \ right) ^ { 2}}} = {\ frac {dx ^ {2} + dy ^ {2}} {\ left (1 + r ^ {2} \ right) ^ {2}}} = {\ frac {1} {4 }} (d \ phi ^ {2} + \ sin ^ {2} \ phi \, d \ theta ^ {2}) = {\ frac {1} {4}} \, ds_ {us} ^ {2} }$

где - круглая метрика на единичной двумерной сфере. Здесь φ, θ - « сферические координаты математика » на S ^2, исходящие из стереографической проекции r  tan (φ / 2) = 1, tan θ =  y / x. (Многие ссылки на физику меняют ролями φ и θ.) ${\ displaystyle ds_ {нас} ^ {2}}$

Кэлерова форма является

${\ displaystyle K = {\ frac {i} {2}} {\ frac {dz \ wedge d {\ bar {z}}} {(1 + z {\ bar {z}}) ^ {2}}} = {\ frac {dx \ wedge dy} {(1 + x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2}}}}$

Выбирая vierbeins и, форма Kähler упрощается до ${\ displaystyle e ^ {1} = dx / (1 + r ^ {2})}$${\ displaystyle e ^ {2} = dy / (1 + r ^ {2})}$

${\ Displaystyle К = е ^ {1} \ клин е ^ {2}}$

Применяя звезду Ходжа к форме Кэлера, получаем

${\ displaystyle * K = 1}$

подразумевая, что K является гармоническим.

П = 2 случая

Метрика Фубини – Штуди на комплексной проективной плоскости CP ² была предложена как гравитационный инстантон, гравитационный аналог инстантона. Метрика, форма соединения и кривизна легко вычисляются после того, как установлены подходящие реальные четырехмерные координаты. Записывая вещественные декартовы координаты, затем определяют одно-формы полярных координат на 4-сфере ( кватернионная проективная линия ) как ${\ Displaystyle (х, у, г, т)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} r \, dr amp; = + x \, dx + y \, dy + z \, dz + t \, dt \\ r ^ {2} \ sigma _ {1} amp; = - t \, dx-z \, dy + y \, dz + x \, dt \\ r ^ {2} \ sigma _ {2} amp; = + z \, dx-t \, dy-x \, dz + y \, dt \\ r ^ {2} \ sigma _ {3} amp; = - y \, dx + x \, dy-t \, dz + z \, dt \ end {выровнено}}}$

Это стандартный левоинвариантный одноформный координатный фрейм на группе Ли ; то есть, они повинуются для циклического. ${\ Displaystyle \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3}}$${\ Displaystyle СУ (2) = S ^ {3}}$${\ Displaystyle д \ сигма _ {я} = 2 \ сигма _ {j} \ клин \ сигма _ {к}}$${\ displaystyle i, j, k = 1,2,3}$

Соответствующие локальные аффинные координаты равны, а затем обеспечивают ${\ displaystyle z_ {1} = x + iy}$${\ displaystyle z_ {2} = z + it}$

${\ displaystyle {\ begin {align} z_ {1} {\ bar {z}} _ {1} + z_ {2} {\ bar {z}} _ {2} amp; = r ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + t ^ {2} \\ dz_ {1} \, d {\ bar {z}} _ {1} + dz_ {2} \, d { \ bar {z}} _ {2} amp; = dr ^ {2} + r ^ {2} (\ sigma _ {1} ^ {2} + \ sigma _ {2} ^ {2} + \ sigma _ { 3} ^ {2}) \\\ left ({\ bar {z}} _ {1} \, dz_ {1} + {\ bar {z}} _ {2} \, dz_ {2} \ right) ^ {2} amp; = r ^ {2} \ left (dr ^ {2} + r ^ {2} \ sigma _ {3} ^ {2} \ right) \ end {выровнено}}}$

с обычными сокращениями, которые и. ${\ displaystyle dr ^ {2} = dr \ otimes dr}$${\ displaystyle \ sigma _ {k} ^ {2} = \ sigma _ {k} \ otimes \ sigma _ {k}}$

Элемент строки, начинающийся с ранее заданного выражения, задается следующим образом:

${\ displaystyle {\ begin {align} ds ^ {2} amp; = {\ frac {dz_ {j} \, d {\ bar {z}} ^ {j}} {1 + z_ {i} {\ bar { z}} ^ {i}}} - {\ frac {{\ bar {z}} ^ {j} z_ {i} \, dz_ {j} \, d {\ bar {z}} ^ {i}} {(1 + z_ {i} {\ bar {z}} ^ {i}) ^ {2}}} \\ [5pt] amp; = {\ frac {dr ^ {2} + r ^ {2} (\ сигма _ {1} ^ {2} + \ sigma _ {2} ^ {2} + \ sigma _ {3} ^ {2})} {1 + r ^ {2}}} - {\ frac {r ^ {2} \ left (dr ^ {2} + r ^ {2} \ sigma _ {3} ^ {2} \ right)} {(1 + r ^ {2}) ^ {2}}} \\ [ 4pt] amp; = {\ frac {dr ^ {2} + r ^ {2} \ sigma _ {3} ^ {2}} {(1 + r ^ {2}) ^ {2}}} + {\ frac {г ^ {2} \ left (\ sigma _ {1} ^ {2} + \ sigma _ {2} ^ {2} \ right)} {1 + r ^ {2}}} \ end {выровнено}} }$

В vierbeins можно сразу считывать из последнего выражения:

${\ displaystyle {\ begin {align} e ^ {0} = {\ frac {dr} {1 + r ^ {2}}} amp;amp;amp; e ^ {3} = {\ frac {r \ sigma _ {3}} { 1 + r ^ {2}}} \\ [5pt] e ^ {1} = {\ frac {r \ sigma _ {1}} {\ sqrt {1 + r ^ {2}}}} amp;amp;amp; e ^ {2 } = {\ frac {r \ sigma _ {2}} {\ sqrt {1 + r ^ {2}}}} \ end {align}}}$

То есть в системе координат Вирбейна с использованием нижних индексов латинскими буквами метрический тензор является евклидовым:

${\ displaystyle ds ^ {2} = \ delta _ {ab} e ^ {a} \ otimes e ^ {b} = e ^ {0} \ otimes e ^ {0} + e ^ {1} \ otimes e ^ {1} + e ^ {2} \ otimes e ^ {2} + e ^ {3} \ otimes e ^ {3}.}$

Учитывая vierbein, можно вычислить спин-связь ; спиновая связность Леви-Чивиты - это единственная связность, не имеющая кручения и ковариантно постоянная, а именно, это одна форма, удовлетворяющая условию без кручения ${\ displaystyle \ omega _ {\; \; b} ^ {a}}$

${\ displaystyle de ^ {a} + \ omega _ {\; \; b} ^ {a} \ wedge e ^ {b} = 0}$

и ковариантно постоянна, что для спиновых связей означает, что она антисимметрична по индексам Вирбейна:

${\ displaystyle \ omega _ {ab} = - \ omega _ {ba}}$

Вышеупомянутое легко решается; можно получить

${\ displaystyle {\ begin {align} \ omega _ {\; \; 1} ^ {0} amp; = - \ omega _ {\; \; 3} ^ {2} = - {\ frac {e ^ {1 }} {r}} \\\ omega _ {\; \; 2} ^ {0} amp; = - \ omega _ {\; \; 1} ^ {3} = - {\ frac {e ^ {2} } {r}} \\\ omega _ {\; \; 3} ^ {0} amp; = {\ frac {r ^ {2} -1} {r}} e ^ {3} \ quad \ quad \ omega _ {\; \; 2} ^ {1} = {\ frac {1 + 2r ^ {2}} {r}} e ^ {3} \\\ конец {выровнено}}}$

2-форма кривизны определяется как

${\ Displaystyle R _ {\; \, b} ^ {a} = d \ omega _ {\; \, b} ^ {a} + \ omega _ {\; c} ^ {a} \ клин \ omega _ { \; \, b} ^ {c}}$

и постоянно:

${\ displaystyle {\ begin {align} R_ {01} amp; = - R_ {23} = e ^ {0} \ wedge e ^ {1} -e ^ {2} \ wedge e ^ {3} \\ R_ { 02} amp; = - R_ {31} = e ^ {0} \ wedge e ^ {2} -e ^ {3} \ wedge e ^ {1} \\ R_ {03} amp; = 4e ^ {0} \ wedge e ^ {3} + 2e ^ {1} \ wedge e ^ {2} \\ R_ {12} amp; = 2e ^ {0} \ wedge e ^ {3} + 4e ^ {1} \ wedge e ^ {2 } \ конец {выровнено}}}$

Тензор Риччи в veirbein индексов задается

${\ displaystyle \ operatorname {Ric} _ {\; \; c} ^ {a} = R _ {\; \, bcd} ^ {a} \ delta ^ {bd}}$

где 2-форма кривизны была разложена как четырехкомпонентный тензор:

${\ Displaystyle R _ {\; \, b} ^ {a} = {\ frac {1} {2}} R _ {\; \, bcd} ^ {a} e ^ {c} \ wedge e ^ {d} }$

Результирующий тензор Риччи постоянен

${\ displaystyle \ operatorname {Ric} _ {ab} = 6 \ delta _ {ab}}$

так что полученное уравнение Эйнштейна

${\ displaystyle \ operatorname {Ric} _ {ab} - {\ frac {1} {2}} \ delta _ {ab} R + \ Lambda \ delta _ {ab} = 0}$

можно решить с помощью космологической постоянной. ${\ displaystyle \ Lambda = 6}$

Тензор Вейля для метрик Фубини-исследование в целом дается

${\ displaystyle W_ {abcd} = R_ {abcd} -2 \ left (\ delta _ {ac} \ delta _ {bd} - \ delta _ {ad} \ delta _ {bc} \ right)}$

Для  случая n = 2 две формы

${\ displaystyle W_ {ab} = {\ frac {1} {2}} W_ {abcd} e ^ {c} \ wedge e ^ {d}}$

самодвойственны:

${\ displaystyle {\ begin {align} W_ {01} amp; = W_ {23} = - e ^ {0} \ wedge e ^ {1} -e ^ {2} \ wedge e ^ {3} \\ W_ { 02} amp; = W_ {31} = - e ^ {0} \ wedge e ^ {2} -e ^ {3} \ wedge e ^ {1} \\ W_ {03} amp; = W_ {12} = 2e ^ {0} \ клин е ^ {3} + 2е ^ {1} \ клин е ^ {2} \ конец {выровнено}}}$

Свойства кривизны

В частном случае n = 1 метрика Фубини – Штуди имеет постоянную секционную кривизну, тождественно равную 4, согласно эквивалентности круглой метрике 2-сферы (которая при заданном радиусе R имеет секционную кривизну). Однако при n gt; 1 метрика Фубини – Штуди не имеет постоянной кривизны. Его поперечная кривизна вместо этого определяется уравнением ${\ displaystyle 1 / R ^ {2}}$

${\ Displaystyle К (\ сигма) = 1 + 3 \ langle JX, Y \ rangle ^ {2}}$

где - ортонормированный базис 2-плоскости σ, J  :  T CP ⁿ  →  T CP ⁿ - комплексная структура на CP ⁿ, и - метрика Фубини – Штуди. ${\ displaystyle \ {X, Y \} \ in T_ {p} \ mathbf {CP} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$

Следствием этой формулы является то, что кривизна сечения удовлетворяет всем 2-плоскостям. Максимальная секционная кривизна (4) достигается на голоморфной 2-плоскости - такой, для которой J (σ) ⊂ σ - в то время как минимальная секционная кривизна (1) достигается на 2-плоскости, для которой J (σ) ортогонален σ. По этой причине часто говорят, что метрика Фубини – Штуди имеет «постоянную голоморфную секционную кривизну», равную 4. ${\ Displaystyle 1 \ Leq К (\ сигма) \ Leq 4}$${\ displaystyle \ sigma}$

Это делает CP ⁿ (нестрогим) четверть защемленным многообразием ; Знаменитая теорема показывает, что односвязное n -многообразие со строго четвертьпинжатным расположением должно быть гомеоморфно сфере.

Метрика Фубини – Штуди также является метрикой Эйнштейна в том смысле, что она пропорциональна своему собственному тензору Риччи : существует постоянная ; такой, что для всех i, j мы имеем ${\ displaystyle \ Lambda}$

${\ displaystyle \ operatorname {Ric} _ {ij} = \ Lambda g_ {ij}.}$

Это означает, среди прочего, что метрика Фубини – Штуди остается неизменной с точностью до скалярного кратного при потоке Риччи. Это также делает CP ⁿ незаменимым в общей теории относительности, где он служит нетривиальным решением вакуумных уравнений поля Эйнштейна.

Космологическая константа для СР ^п дается в терминах размерности пространства: ${\ displaystyle \ Lambda}$

${\ displaystyle \ operatorname {Ric} _ {ij} = 2 (n + 1) g_ {ij}.}$

Метрика продукта

Общие понятия отделимости применимы к метрике Фубини – Штуди. Точнее, метрика отделима на естественном произведении проективных пространств - вложении Сегре. То есть, если это разделяемое состояние, так что его можно записать как, тогда метрика - это сумма метрики на подпространствах: ${\ displaystyle \ vert \ psi \ rangle}$ ${\ displaystyle \ vert \ psi \ rangle = \ vert \ psi _ {A} \ rangle \ otimes \ vert \ psi _ {B} \ rangle}$

${\ displaystyle ds ^ {2} = {ds_ {A}} ^ {2} + {ds_ {B}} ^ {2}}$

где и - метрики на подпространствах A и B соответственно. ${\ displaystyle {ds_ {A}} ^ {2}}$${\ displaystyle {ds_ {B}} ^ {2}}$

Соединение и кривизна

Тот факт, что метрика может быть получена из потенциала Кэлера, означает, что символы Кристоффеля и тензоры кривизны содержат множество симметрий и могут иметь особенно простую форму: символы Кристоффеля в локальных аффинных координатах задаются формулой

${\ displaystyle \ Gamma _ {\; jk} ^ {i} = g ^ {i {\ bar {m}}} {\ frac {\ partial g_ {k {\ bar {m}}}} {\ partial z ^ {j}}} \ qquad \ Gamma _ {\; {\ bar {j}} {\ bar {k}}} ^ {\ bar {i}} = g ^ {{\ bar {i}} m} {\ frac {\ partial g _ {{\ bar {k}} m}} {\ partial {\ bar {z}} ^ {\ bar {j}}}}}$

Тензор Римана также особенно прост:

${\ displaystyle R_ {i {\ bar {j}} k {\ bar {l}}} = g ^ {i {\ bar {m}}} {\ frac {\ partial \ Gamma _ {\; \; { \ bar {j}} {\ bar {l}}} ^ {\ bar {m}}} {\ partial z ^ {k}}}}$

Тензор Риччи является

${\ displaystyle R _ {{\ bar {i}} j} = R _ {\; {\ bar {i}} {\ bar {k}} j} ^ {\ bar {k}} = - {\ frac {\ partial \ Gamma _ {\; {\ bar {i}} {\ bar {k}}} ^ {\ bar {k}}} {\ partial z ^ {j}}} \ qquad R_ {i {\ bar { j}}} = R _ {\; ik {\ bar {j}}} ^ {k} = - {\ frac {\ partial \ Gamma _ {\; ik} ^ {k}} {\ partial {\ bar { z}} ^ {\ bar {j}}}}}$

Произношение

Распространенная ошибка произношения, которую делают носители английского языка, - это предположение, что Study произносится так же, как глагол to study. Поскольку на самом деле это немецкое имя, правильный способ произносить u в Study - то же самое, что и u в Fubini. С точки зрения фонетики: ʃtuːdi.

Смотрите также

• Нелинейная сигма-модель
• Теория Калуцы – Клейна
• Высота Аракелова

использованная литература

• Бессе, Артур Л. (1987), многообразия Эйнштейна, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты в математике и смежных областях (3)], т. 10, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. Xii + 510, ISBN   978-3-540-15279-8
• Броды, округ Колумбия; Хьюстон, Л.П. (2001), «Геометрическая квантовая механика», журнал геометрии и физики, 38: 19–53, arXiv : Quant-ph / 9906086, Bibcode : 2001JGP.... 38... 19B, doi : 10.1016 / S0393-0440 (00) 00052-8
• Гриффитс, П. ; Харрис, Дж. (1994), Принципы алгебраической геометрии, библиотека Wiley Classics, Wiley Interscience, стр. 30–31, ISBN   0-471-05059-8
• Онищик, А.Л. (2001) [1994], "Метрика Фубини – Штуди", Энциклопедия математики, EMS Press.