Войти
В математике, особенно в алгебраической геометрии, комплексном анализе и теории алгебраических чисел, абелево многообразие- это проективное алгебраическое многообразие, которое также является алгебраической группой, т. е. имеет групповой закон, который может быть определен регулярными функциями. Абелевы многообразия в то же время являются одними из наиболее изучаемых объектов алгебраической геометрии и незаменимыми инструментами для многих исследований по другим темам алгебраической геометрии и теории чисел.
Абелево многообразие может быть определено уравнениями, имеющими коэффициенты в любом поле ; тогда говорят, что многообразие определено над этим полем. Исторически первыми изучаемыми абелевыми разновидностями были те, которые были определены в области комплексных чисел. Такие абелевы многообразия оказываются в точности теми комплексными торами, которые можно вложить в сложное проективное пространство. Абелевы многообразия, определенные над полями алгебраических чисел, представляют собой особый случай, который важен также с точки зрения теории чисел. Методы локализации естественным образом ведут от абелевых разновидностей, определенных над числовыми полями, к разновидностям, определенным над конечными полями и различными локальными полями. Поскольку числовое поле является полем дроби домена Дедекинда, для любого ненулевого простого числа вашего домена Дедекинда существует карта из домена Дедекинда в частное из домена Дедекинда по простое число, которое является конечным полем для всех конечных простых чисел. Это индуцирует отображение поля дробей в любое такое конечное поле. Для данной кривой с уравнением, заданным над числовым полем, мы можем применить это отображение к коэффициентам, чтобы получить кривую, определенную над некоторым конечным полем, где выбор конечного поля соответствует конечным простым числам числового поля.
Абелевы многообразия естественно возникают как якобиевые многообразия (компоненты связности нуля в многообразиях Пикара ) и албанезские многообразия других алгебраических многообразий. Групповой закон абелевого многообразия обязательно коммутативен, а многообразие неособо. Эллиптическая кривая является абелевым многообразием размерности 1. Абелевы многообразия имеют размерность Кодаиры 0.
В начале девятнадцатого века теория эллиптических функций преуспела в создании основы для теории эллиптических интегралов, и это оставило очевидный путь для исследований. Стандартные формы для эллиптических интегралов включали квадратные корни из кубических и полиномов четвертой степени. Что произойдет, если их заменить на многочлены более высокой степени, скажем, квинтики ?
В работах Нильса Абеля и Карла Якоби был сформулирован ответ: это будет включать функции двух комплексных переменных, имеющих четыре независимые периоды (т.е. векторы периодов). Это дало первое представление об абелевом многообразии размерности 2 (абелевой поверхности): то, что теперь назвали бы якобианом гиперэллиптической кривой рода 2.
После Абеля и Якоби одними из наиболее важных участников теории абелевых функций были Риман, Вейерштрасс, Фробениус, Пуанкаре и Пикар. Предмет был очень популярен в то время, уже имел большой объем литературы.
К концу XIX века математики начали использовать геометрические методы для изучения абелевых функций. В конце концов, в 1920-х годах Лефшец заложил основу для изучения абелевых функций в терминах комплексных торов. Он также, кажется, был первым, кто использовал название «абелева разновидность». Андре Вейль в 1940-х годах дал предмету его современные основы на языке алгебраической геометрии.
Сегодня абелевы многообразия являются важным инструментом в теории чисел, в динамических системах (в частности, при изучении гамильтоновых систем ) и в алгебраической геометрии (особенно разновидности Пикара и разновидности Альбанезе ).
Комплексный тор размерности g - это тор действительной размерности 2g, несущий структуру комплекса коллектор. Его всегда можно получить как частное g-мерного комплексного векторного пространства по решетке ранга 2g. Комплексное абелево многообразие размерности g - это комплексный тор размерности g, который также является проективным алгебраическим многообразием над полем комплексных чисел. Поскольку они являются комплексными торами, абелевы многообразия несут структуру группы. морфизм абелевых многообразий - это морфизм лежащих в основе алгебраических многообразий, который сохраняет единичный элемент для структуры группы. изогения - это морфизм конечного к одному.
Когда комплексный тор несет структуру алгебраического многообразия, эта структура обязательно уникальна. В случае g = 1 понятие абелевого многообразия такое же, как у эллиптической кривой, и каждый комплексный тор порождает такую кривую; для g>1 со времен Римана известно, что условие алгебраического многообразия накладывает дополнительные ограничения на комплексный тор.
Следующий критерий Римана определяет, является ли данный комплексный тор абелевым многообразием, то есть может ли он быть вложен в проективное пространство. Пусть X - g-мерный тор, заданный как X = V / L, где V - комплексное векторное пространство размерности g, а L - решетка в V. Тогда X - абелево многообразие тогда и только тогда, когда существует положительное определенная эрмитова форма на V, мнимая часть которой принимает целые значения на L × L. Такая форма на X обычно называется (невырожденной) формой Римана. Выбирая базис для V и L, можно сделать это условие более явным. Есть несколько эквивалентных формулировок этого; все они известны как условия Римана.
Каждой алгебраической кривой C рода g ≥ 1 сопоставлено абелево многообразие J размерности g с помощью аналитического отображения C в J. Как тор, J несет структуру коммутативной группы , а образ C порождает J как группу. Точнее, J покрывается C: любая точка в J происходит из набора g точек в C. Изучение дифференциальных форм на C, которые порождают абелевы интегралы, с которых началась теория , может быть получено из более простой трансляционно-инвариантной теории дифференциалов на J. Абелево многообразие J называется якобиевым многообразиеммногообразия C для любой неособой кривой C над комплексными числами. С точки зрения бирациональной геометрии, ее функциональное поле является фиксированным полем симметрической группы на g букв, действующей на функциональное поле C.
абелева функция- это мероморфная функция на абелевом многообразии, которую можно рассматривать как периодическую функцию от n комплексных переменных. , имеющий 2n независимых периодов; эквивалентно, это функция из функционального поля абелевого многообразия. Например, в девятнадцатом веке был большой интерес к гиперэллиптическим интегралам, которые можно было выразить через эллиптические интегралы. Это сводится к вопросу о том, что J является продуктом эллиптических кривых, от до - изогении.
Одной из важных структурных теорем абелевых многообразий является теорема Мацусаки. Он утверждает, что над алгебраически замкнутым полем каждое абелево многообразие 
Обычно используются два эквивалентных определения абелевого многообразия над общим полем k:
Когда базой является области комплексных чисел эти понятия совпадают с предыдущим определением. По всем основаниям эллиптические кривые являются абелевыми разновидностями размерности 1.
В начале 1940-х годов Вейль использовал первое определение (над произвольным базовым полем), но сначала не смог доказать, что оно подразумевается второй. Только в 1948 году он доказал, что полные алгебраические группы вкладываются в проективное пространство. Между тем, чтобы сделать доказательство гипотезы Римана для кривых над конечными полями, о котором он объявил в работе 1940 года, ему пришлось ввести понятие абстрактное разнообразие и переписать основы алгебраической геометрии для работы с многообразиями без проективных вложений (см. также раздел истории в статье Алгебраическая геометрия ).
По определениям абелево многообразие - это групповое многообразие. Его группа точек может быть доказана как коммутативная.
для C, и, следовательно, с помощью принципа Лефшеца для любого алгебраически замкнутого поля из нулевой характеристики, торсионная группа абелевого многообразия размерности g изоморфна (Q/Z). Следовательно, его n-торсионная часть изоморфна (Z/nZ), то есть произведению 2g копий циклической группы порядка n.
Когда базовое поле является алгебраически замкнутым полем характеристики p, n-кручение все еще изоморфно (Z/nZ), когда n и p являются взаимно простыми. Когда n и p не взаимно просты, тот же результат может быть восстановлен при условии, что его интерпретируют как утверждение, что n-кручение определяет конечную плоскую групповую схему ранга 2g. Если вместо того, чтобы смотреть на полную структуру схемы на n-кручении, рассматривать только геометрические точки, мы получаем новый инвариант для многообразий в характеристике p (так называемый p-ранг при n = p).
Группа k-рациональных точек для глобального поля k конечно порождена по теореме Морделла-Вейля. Следовательно, по структурной теореме для конечно порожденных абелевых групп, она изоморфна произведению свободной абелевой группы Zи конечной коммутативной группы для некоторого неотрицательного целого числа r, называемого рангабелевой разновидности. Аналогичные результаты верны и для некоторых других классов полей k.
Произведение абелевого многообразия A размерности m и абелевого многообразия B размерности n над одним и тем же полем является абелевым многообразием размерности m + n. Абелева разновидность является простой, если она не изогенна продукту абелевых разновидностей более низкой размерности. Любая абелева разновидность изогенна продукту простых абелевых разновидностей.
Абелеву многообразию A над полем k сопоставляется двойственное абелево многообразиеA ( над тем же полем), что является решением следующей задачи модулей. Семейство линейных расслоений степени 0, параметризованных k-многообразием T, определяется как линейное расслоение L на A × T такое, что
Тогда существует многообразие A и семейство линейных расслоений P степени 0, расслоение Пуанкаре, параметризованное A, такое, что с семейством L на T связан единственный морфизм f: T → A, так что L изоморфен обратному образу P вдоль морфизма 1 А × е: А × Т → А × А. Применяя это к случаю, когда T является точкой, мы видим, что точки A соответствуют линейным расслоениям степени 0 на A, поэтому существует естественная групповая операция над A, заданная тензорным произведением линейных расслоений, которое превращает его в линейное расслоение. абелева разновидность.
Эта ассоциация является двойственностью в том смысле, что существует естественный изоморфизм между двойными двойственными A и A (определенный через расслоение Пуанкаре) и что он контравариантный функториальный, т.е. сопоставляет всем морфизмам f: A → B двойственные морфизмы f: B → A согласованным образом. N-кручение абелевого многообразия и n-кручение его двойственного двойственного друг другу, когда n взаимно просто с характеристикой базы. В общем - для всех n - n-торсионные групповые схемы двойственных абелевых многообразий являются двойственными по Картье друг другу. Это обобщает спаривание Вейля для эллиптических кривых.
A поляризацияабелевого многообразия - это изогения от абелевого многообразия к его двойственному, которое является симметричным относительно двойной двойственности для абелевых многообразий и для которого обратный ход расслоения Пуанкаре по морфизму ассоциированного графа обилен (так что он аналогичен положительно определенной квадратичной форме). Поляризованные абелевы многообразия имеют конечные группы автоморфизмов. Основная поляризация- это поляризация, которая является изоморфизмом. Якобианы кривых естественно снабжаются главной поляризацией, как только выбирается произвольная рациональная базовая точка на кривой, и кривая может быть восстановлена по ее поляризованному якобиану, когда род>1. Не все принципиально поляризованные абелевы многообразия являются якобианами кривых; см. задачу Шоттки. Поляризация индуцирует инволюцию Розати на кольце эндоморфизмов 
По комплексным числам поляризованное абелево разнообразиетакже может быть определено как абелева разновидность A вместе с выбором формы Римана H. Две формы Римана H 1 и H 2 называются эквивалентными, если существуют натуральные числа n и m такие, что nH 1 = mH 2. Выбор класса эквивалентности римановых форм на A называется поляризациейалгебры A. Морфизм поляризованных абелевых многообразий - это морфизм A → B абелевых многообразий такой, что обратный образ форма Римана на B в A эквивалентна данной форме на A.
Можно также определить абелевы многообразия схема -теоретически и относительная к базе. Это позволяет единообразно рассматривать такие явления, как модуль редукции p абелевых многообразий (см. Арифметика абелевых многообразий ) и параметрические семейства абелевых многообразий. абелева схеманад базовой схемой S относительной размерности g - это правильная, гладкая групповая схема над S, геометрическая волокна соединены между собой и имеют размер g. Слои абелевой схемы являются абелевыми многообразиями, поэтому можно думать об абелевой схеме над S как о семействе абелевых многообразий, параметризованных S.
Для абелевой схемы A / S группа n- точки кручения образуют конечную плоскую групповую схему. Объединение точек p-кручения для всех n образует p-делимую группу. Деформации абелевых схем, согласно теореме Серра – Тейта, определяются деформационными свойствами ассоциированных p-делимых групп.
Один из типичных примеров абелевой схемы взят из схем вида
где 
Более 
A полуабелево многообразие- это коммутативное групповое многообразие, которое является расширением абелевого многообразия с помощью тора.
![{\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ text {Spec}} \ left ({\ frac {\ mathbb {Z} [{\ frac {1} {\ Delta}}] [x, y]} {y ^ {2} -f (x)} } \ right) \\\ downarrow \\ {\ text {Spec}} (\ mathbb {Z} [{\ frac {1} {\ Delta}}]) \ end {matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e08dcc70d7d3b1b449aeaf8e0926f98a2a324eb)