Теория Ходжа

редактировать

Математическая теория многообразий

В математике, теории Ходжа, имени В. В. Д. Ходж, представляет собой метод исследования групп когомологий гладкого многообразия M с использованием уравнений в частных производных. Ключевое наблюдение состоит в том, что для римановой метрики на M каждый класс когомологий имеет канонического представителя, дифференциальную форму, которая исчезает под действием лапласиана оператора метрика. Такие формы называются гармоническими .

Теория была разработана Ходжем в 1930-х годах для изучения алгебраической геометрии и основана на работах Жоржа де Рама на Когомологии де Рама. Он имеет основные приложения в двух областях: римановы многообразия и кэлеровы многообразия. Первичная мотивация Ходжа, изучение сложных проективных многообразий, охватывается последним случаем. Теория Ходжа стала важным инструментом в алгебраической геометрии, особенно благодаря ее связи с изучением алгебраических циклов.

Хотя теория Ходжа по своей сути зависит от действительных и комплексных чисел, ее можно применять к вопросам в теория чисел. В арифметических ситуациях инструменты p-адической теории Ходжа дали альтернативные доказательства или аналогичные результаты классической теории Ходжа.

Содержание

1 История
2 Теория Ходжа для вещественных многообразий
- 2.1 Когомологии Де Рама
- 2.2 Операторы в теории Ходжа
- 2.3 Теория Ходжа эллиптических комплексов
3 Теория Ходжа для комплекса проективные многообразия
4 Алгебраические циклы и гипотеза Ходжа
5 Обобщения
6 См. также
7 Примечания
8 Ссылки

История

Область алгебраической топология еще только зарождалась в 1920-х годах. В нем еще не было развито понятие когомологии, а взаимодействие между дифференциальными формами и топологией было плохо изучено. В 1928 году Эли Картан опубликовал заметку под названием Sur les nombres de Betti des espaces de groupes clos, в которой он предположил, но не доказал, что дифференциальные формы и топология должны быть связаны. Прочитав ее, Жорж де Рам, тогда еще студент, сразу же почувствовал вдохновение. В своей диссертации 1931 года он доказал впечатляющий результат, который теперь называется теоремой де Рама. По теореме Стокса интегрирование дифференциальных форм по сингулярным цепям индуцирует для любого компактного гладкого многообразия M билинейное спаривание

H k (M; R) × H dR k (M; R) → Р. {\ displaystyle H_ {k} (M; \ mathbf {R}) \ times H _ {\ text {dR}} ^ {k} (M; \ mathbf {R}) \ to \ mathbf {R}.}

{\ displaystyle H_ {k} (M; \ mathbf {R}) \ times H _ {\ text {dR}} ^ {k} (M; \ mathbf {R}) \ to \ mathbf {R}.}

Как было заявлено изначально, теорема де Рама утверждает, что это идеальное спаривание, и, следовательно, каждый из членов в левой части является двойным векторным пространством друг друга. На современном языке теорема де Рама чаще формулируется как утверждение, что особые когомологии с действительными коэффициентами изоморфны когомологиям де Рама:

H sing k (M; R) ≅ H dR k (M; R). {\ displaystyle H _ {\ text {sing}} ^ {k} (M; \ mathbf {R}) \ cong H _ {\ text {dR}} ^ {k} (M; \ mathbf {R}).}

{\ displaystyle H _ {\ text {sing}} ^ {k} (M; \ mathbf {R}) \ cong H _ {\ text { dR}} ^ {k} (M; \ mathbf {R}).}

Таким образом, первоначальное утверждение де Рама является следствием двойственности Пуанкаре.

Отдельно, в статье Соломона Лефшеца 1927 года использовались топологические методы для опровержения теорем Римана. Говоря современным языком, если ω 1 и ω 2 являются голоморфными дифференциалами на алгебраической кривой C, то их произведение клина обязательно равно нулю, потому что C имеет только одну комплексную размерность; следовательно, чашечное произведение их классов когомологий равно нулю, и, когда оно было сделано явным, это дало Лефшецу новое доказательство отношений Римана. Кроме того, если ω - ненулевой голоморфный дифференциал, то $- 1 ω ∧ ω ¯ {\ displaystyle {\ sqrt {-1}} \, \ omega \ wedge {\ bar {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {-1}} \, \ omega \ wedge {\ bar {\ omega}}}$ - это форма положительного объема, из которой Лефшец смог заново вывести неравенства Римана. В 1929 г. У. В. Д. Ходж узнал о работе Лефшеца. Он сразу заметил, что аналогичные принципы применимы к алгебраическим поверхностям. Точнее, если ω - ненулевая голоморфная форма на алгебраической поверхности, то $- 1 ω ∧ ω ¯ {\ displaystyle {\ sqrt {-1}} \, \ omega \ wedge {\ bar {\ omega }}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {-1}} \, \ omega \ wedge {\ bar {\ omega}}}$ положительно, поэтому произведение чашки $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ и $ω ¯ {\ displaystyle {\ bar {\ omega}} }$ $\ bar \ omega$ должен быть ненулевым. Отсюда следует, что ω сам должен представлять ненулевой класс когомологий, поэтому его периоды не могут быть нулевыми. Это разрешило вопрос Севери.

Ходж считал, что эти методы должны быть применимы и к многомерным многообразиям. Его коллега Питер Фрейзер рекомендовал ему диссертацию де Рама. Читая тезис де Рама, Ходж понял, что действительная и мнимая части голоморфной 1-формы на римановой поверхности в некотором смысле двойственны друг другу. Он подозревал, что подобная двойственность должна существовать и в более высоких измерениях; эта двойственность теперь известна как звездный оператор Ходжа. Далее он предположил, что у каждого класса когомологий должен быть выделенный представитель, обладающий тем свойством, что и он, и двойственный ему обращаются в нуль под действием оператора внешней производной; теперь они называются гармоническими формами. Ходж посвятил этой проблеме большую часть 1930-х годов. Его первая опубликованная попытка доказательства появилась в 1933 году, но он считал ее «в высшей степени грубой». Герман Вейль, один из самых блестящих математиков того времени, обнаружил, что не может определить, верно ли доказательство Ходжа или нет. В 1936 году Ходж опубликовал новое доказательство. Хотя Ходж считал новое доказательство намного более совершенным, Боненбласт обнаружил серьезную ошибку. Независимо, Герман Вейль и Кунихико Кодаира изменили доказательство Ходжа, чтобы исправить ошибку. Это установило искомый Ходжем изоморфизм между гармоническими формами и классами когомологий.

Оглядываясь назад, становится ясно, что технические трудности теоремы существования на самом деле не требовали каких-либо значительных новых идей, а просто тщательного расширения классических методов. Настоящая новинка, которая была главным вкладом Ходжа, заключалась в концепции гармонических интегралов и их связи с алгебраической геометрией. Этот триумф концепции над техникой напоминает аналогичный эпизод в творчестве великого предшественника Ходжа Бернхарда Римана.

—М. Ф. Атья, Уильям Валланс Дуглас Ходж, 17 июня 1903 - 7 июля 1975, Биографические воспоминания членов Королевского общества, т. 22, 1976, стр. 169–192.

Теория Ходжа для вещественных многообразий

Когомологии Де Рама

Теория Ходжа ссылается на комплекс де Рама. Пусть M - гладкое многообразие. Для натурального числа k пусть Ω (M) - вещественное векторное пространство гладких дифференциальных форм степени k на M. Комплекс де Рама - это последовательность дифференциальных операторов

0 → Ω 0 (M) → d 0 Ω 1 (M) → d 1 ⋯ → dn - 1 Ω n (M) → dn 0, {\ displaystyle 0 \ to \ Omega ^ {0} (M) \ xrightarrow {d_ {0}} \ Omega ^ {1} (M) \ xrightarrow {d_ {1}} \ cdots \ xrightarrow {d_ {n-1}} \ Omega ^ {n} (M) \ xrightarrow {d_ {n}} 0,}

{\ displaystyle 0 \ to \ Omega ^ {0} (M) \ xrightarrow {d_ {0}} \ Omega ^ {1} (M) \ xrightarrow {d_ {1}} \ cdots \ xrightarrow {d_ {n-1}} \ Omega ^ {n} (M) \ xrightarrow {d_ {n}} 0,}

где d k обозначает внешнюю производную на Ω (M). Это коцепной комплекс в том смысле, что d k + 1 ∘ d k = 0 (также записывается d = 0). Теорема де Рама гласит, что особые когомологии матрицы M с действительными коэффициентами вычисляются комплексом де Рама:

H k (M, R) ⁡ ker k d k im ⁡ d k - 1. {\ displaystyle H ^ {k} (M, \ mathbf {R}) \ cong {\ frac {\ ker d_ {k}} {\ operatorname {im} d_ {k-1}}}.}

{\ displaystyle H ^ {k} (M, \ mathbf {R}) \ cong {\ frac {\ ker d_ {k}} {\ operatorname {im} d_ {k-1}}}.}

Операторы в теории Ходжа

Выберем риманову метрику g на M и напомним, что:

Ω k (M) = Γ (⋀ k T ∗ (M)). {\ displaystyle \ Omega ^ {k} (M) = \ Gamma \ left (\ bigwedge \ nolimits ^ {k} T ^ {*} (M) \ right).}

{\ displaystyle \ Omega ^ {k} (M) = \ Гамма \ влево (\ bigwedge \ nolimits ^ {k} T ^ {*} (M) \ right).}

Эта метрика дает внутренний продукт для каждого волокно $⋀ К (T p ∗ (M)) {\ displaystyle \ bigwedge \ nolimits ^ {k} (T_ {p} ^ {*} (M))}$ ${\ displaystyle \ bigwedge \ nolimits ^ {k} (T_ {p} ^ {*} (M))}$ путем расширения (см. матрица Грамиана ) скалярное произведение, индуцированное g из каждого котангенсного слоя $T p ∗ (M) {\ displaystyle T_ {p} ^ {*} (M)}$ ${\ displaystyle T_ {p} ^ {*} (M)}$ на $kth {\ displaystyle k ^ {th}}$ $k ^ {{th }}$ внешний продукт : $⋀ k (T p ∗ (M)) {\ displaystyle \ bigwedge \ nolimits ^ {k} (T_ {p } ^ {*} (M))}$ ${\ displaystyle \ bigwedge \ nolimits ^ {k} (T_ {p} ^ {*} (M))}$ . $Ω k (M) {\ displaystyle \ Omega ^ {k} (M)}$ $\ Omega ^ {k} (M)$ внутренний продукт затем определяется как интеграл точечного внутреннего произведения данной пары k-форм над M относительно формы объема $σ {\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ , связанной с g. В явном виде, для некоторых $ω, τ ∈ Ω k (M) {\ displaystyle \ omega, \ tau \ in \ Omega ^ {k} (M)}$ ${\ displaystyle \ omega, \ tau \ in \ Omega ^ {k} (M)}$ мы имеем

⟨ω, τ⟩ ↦ ∫ M ⟨ω (p), τ (p)⟩ p σ. {\ displaystyle \ langle \ omega, \ tau \ rangle \ mapsto \ int _ {M} \ langle \ omega (p), \ tau (p) \ rangle _ {p} \ sigma.}

{\ displaystyle \ langle \ omega, \ tau \ rangle \ mapsto \ int _ {M} \ langle \ omega (p), \ tau (p) \ rangle _ {p} \ sigma.}

Естественно, указанное выше внутреннее произведение индуцирует норму, когда эта норма конечна на некоторой фиксированной k-форме:

⟨ω, ω⟩ = ‖ Ω ‖ 2 < ∞, {\displaystyle \langle \omega,\omega \rangle =\|\Omega \|^{2}<\infty,}

{\ displaystyle \ langle \ omega, \ omega \ rangle = \ | \ Omega \ | ^ {2} <\ infty,}

, тогда подынтегральное выражение является вещественной, квадратично интегрируемой функцией на M, вычисляемой для данной точки через ее точечные нормы,

‖ ω (p) ‖ p: M → R ∈ L 2 (M). {\ displaystyle \ | \ omega (p) \ | _ {p}: M \ to \ mathbf {R} \ in L ^ {2} (M).}

{\ displaystyle \ | \ omega ( p) \ | _ {p}: M \ to \ mathbf {R} \ in L ^ {2} (M).}

Рассмотрим сопряженный оператор элемента d относительно этих скалярных произведений:

δ: Ω k + 1 (M) → Ω k (M). {\ displaystyle \ delta: \ Omega ^ {k + 1} (M) \ to \ Omega ^ {k} (M).}

{\ displaystyle \ дельта: \ Omega ^ {k + 1} (M) \ to \ Omega ^ {k} (M).}

Тогда лапласиан в формах определяется

Δ = d δ + δ d. {\ displaystyle \ Delta = d \ delta + \ delta d.}

{\ displaystyle \ Delta = d \ delta + \ delta d.}

Это линейный дифференциальный оператор второго порядка, обобщающий лапласиан для функций на R . По определению форма на M является гармонической, если ее лапласиан равен нулю:

H Δ k (M) = {α ∈ Ω k (M) ∣ Δ α = 0}. {\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ Delta} ^ {k} (M) = \ {\ alpha \ in \ Omega ^ {k} (M) \ mid \ Delta \ alpha = 0 \}.}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ Delta} ^ {k} (M) = \ {\ alpha \ in \ Omega ^ {k} (M) \ mid \ Delta \ alpha = 0 \}.}

Лапласиан впервые появился в математической физике. В частности, уравнения Максвелла говорят, что электромагнитный потенциал в вакууме представляет собой 1-форму A, которая имеет внешнюю производную dA = F, 2-форму, представляющую электромагнитное поле, такое что ΔA = 0 в пространстве-времени, если смотреть as пространство Минковского размерности 4.

Каждая гармоническая форма α на замкнутом римановом многообразии замкнутом, что означает, что dα = 0. Поскольку в результате существует каноническое отображение $φ: H Δ K (M) → H k (M, R) {\ displaystyle \ varphi: {\ mathcal {H}} _ {\ Delta} ^ {k} ( M) \ к H ^ {k} (M, \ mathbf {R})}$ ${\ displaystyle \ varphi: {\ mathcal {H}} _ {\ Delta} ^ {k} (M) \ to H ^ {k} (M, \ mathbf {R})}$ . Теорема Ходжа утверждает, что $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ является изоморфизмом векторных пространств. Другими словами, каждый класс вещественных когомологий на M имеет уникального гармонического представителя. Конкретно, гармонический представитель - это единственная замкнутая форма минимальной L-нормы, которая представляет данный класс когомологий. Теорема Ходжа была доказана с использованием теории эллиптических дифференциальных уравнений с частными производными, причем первоначальные аргументы Ходжа были дополнены Кодаирой и другими в 1940-х годах.

Например, из теоремы Ходжа следует, что группы когомологий с действительными коэффициентами замкнутого многообразия конечномерны. (Конечно, есть и другие способы доказать это.) Действительно, операторы Δ эллиптические, и ядро эллиптического оператора на замкнутом многообразии всегда является конечномерным векторным пространством. Другое следствие теоремы Ходжа состоит в том, что риманова метрика на замкнутом многообразии M определяет вещественное скалярное произведение на целочисленных когомологиях M по модулю кручения. Отсюда, например, следует, что образ группы изометрий элемента M в общей линейной группе GL (H (M, Z )) конечен ( поскольку группа изометрий решетки конечна).

Вариантом теоремы Ходжа является разложение Ходжа . Это говорит о том, что существует единственное разложение любой дифференциальной формы ω на замкнутом римановом многообразии в виде суммы трех частей в виде

ω = d α + δ β + γ, {\ displaystyle \ omega = d \ alpha + \ delta \ beta + \ gamma,}

{\ displaystyle \ omega = d \ alpha + \ delta \ beta + \ gamma,}

, в которой γ является гармоническим: Δγ = 0. В терминах L-метрики дифференциальных форм это дает ортогональное разложение прямой суммы :

Ω k (M) im ⁡ dk - 1 ⊕ im ⁡ δ k + 1 ⊕ H Δ k (M). {\ displaystyle \ Omega ^ {k} (M) \ cong \ operatorname {im} d_ {k-1} \ oplus \ operatorname {im} \ delta _ {k + 1} \ oplus {\ mathcal {H}} _ {\ Delta} ^ {k} (M).}

{\ displaystyle \ Omega ^ {k} (M) \ cong \ operatorname {im} d_ {k-1} \ oplus \ operatorname {im} \ delta _ {k + 1} \ oplus {\ mathcal {H}} _ {\ Delta} ^ {k} (M).}

Теория Ходжа эллиптических комплексов

Атия и Ботт определила эллиптические комплексы как обобщение комплекс де Рама. Теорема Ходжа распространяется на этот случай следующим образом. Пусть $E 0, E 1,…, EN {\ displaystyle E_ {0}, E_ {1}, \ ldots, E_ {N}}$ ${\ displaystyle E_ {0}, E_ {1}, \ ldots, E_ {N}}$ будет векторными расслоениями, снабженный метрикой, на замкнутом гладком многообразии M с формой объема dV. Предположим, что

L i: Γ (E i) → Γ (E i + 1) {\ displaystyle L_ {i}: \ Gamma (E_ {i}) \ to \ Gamma (E_ {i + 1})}

{\ displaystyle L_ {i}: \ Gamma (E_ {i}) \ to \ Gamma (E_ {я + 1})}

- линейные дифференциальные операторы, действующие на C сечениях этих векторных расслоений, и что индуцированная последовательность

0 → Γ (E 0) → Γ (E 1) → ⋯ → Γ (EN) → 0 {\ displaystyle 0 \ к \ Gamma (E_ {0}) \ to \ Gamma (E_ {1}) \ to \ cdots \ to \ Gamma (E_ {N}) \ to 0}

{\ displaystyle 0 \ to \ Gamma (E_ {0}) \ to \ Gamma (E_ {1}) \ to \ cdots \ to \ Gamma (E_ { N}) \ к 0}

- эллиптический комплекс. Введите прямые суммы:

E ∙ = ⨁ i Γ (E i) L = ⨁ i L i: E ∙ → E ∙ {\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {E}} ^ {\ bullet } = \ bigoplus \ nolimits _ {i} \ Gamma (E_ {i}) \\ L = \ bigoplus \ nolimits _ {i} L_ {i}: {\ mathcal {E}} ^ {\ bullet} \ to {\ mathcal {E}} ^ {\ bullet} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {E}} ^ {\ bullet} = \ bigoplus \ nolimits _ {i} \ Gamma (E_ {i}) \\ L = \ bigoplus \ nolimits _ {i} L_ {i}: {\ mathcal {E}} ^ {\ bullet} \ to {\ mathcal {E}} ^ {\ bullet} \ end {align}}}

и пусть L будет сопряженным к L. Определим эллиптический оператор Δ = LL + LL. Как и в случае де Рама, это дает векторное пространство гармонических сечений

H = {e ∈ E ∙ ∣ Δ e = 0}. {\ displaystyle {\ mathcal {H}} = \ {e \ in {\ mathcal {E}} ^ {\ bullet} \ mid \ Delta e = 0 \}.}

\ mathcal H = \ {e \ in \ mathcal E ^ \ bullet \ mid \ Delta e = 0 \}.

Пусть $H: E ∙ → H {\ displaystyle H: {\ mathcal {E}} ^ {\ bullet} \ to {\ mathcal {H}}}$ ${\ displaystyle H: {\ mathcal {E}} ^ {\ bullet} \ to {\ mathcal {H}}}$ - ортогональная проекция, и пусть G - оператор Грина для Δ. Теорема Ходжа затем утверждает следующее:

H и G четко определены.
Id = H + ΔG = H + GΔ
LG = GL, LG = GL
Когомологии комплекса канонически изоморфны пространству гармонических сечений, $H (E j) ≅ H (E j) {\ displaystyle H (E_ {j}) \ cong {\ mathcal {H}} (E_ {j})}$ $H (E_j) \ cong \ mathcal H (E_j)$ в том смысле, что каждый класс когомологий имеет уникального гармонического представителя.

В этой ситуации также существует разложение Ходжа, обобщающее утверждение выше для комплекса де Рама.

Теория Ходжа для комплексных проективных многообразий

Пусть X - гладкое комплексное проективное многообразие, что означает, что X - замкнутое комплексное подмногообразие некоторого комплексное проективное пространство CP. Согласно теореме Чоу комплексные проективные многообразия автоматически становятся алгебраическими: они определяются обращением в нуль однородных полиномиальных уравнений на CP . стандартная риманова метрика на CP индуцирует риманову метрику на X, которая имеет сильную совместимость с комплексной структурой, что делает X кэлеровым многообразием.

Для комплексного многообразия X и натуральное число r, каждая C r-форма на X (с комплексными коэффициентами) может быть однозначно записана как сумма форм типа (p, q) с p + q = r, что означает формы, которые локально могут быть записаны как конечная сумма членов, причем каждый член принимает форму

fdz 1 ∧ ⋯ ∧ dzp ∧ dw 1 ¯ ∧ ⋯ ∧ dwq ¯ {\ displaystyle f \, dz_ {1 } \ wedge \ cdots \ wedge dz_ {p} \ wedge d {\ overline {w_ {1}}} \ wedge \ cdots \ wedge d {\ overline {w_ {q}}}}

{\ displaystyle f \, dz_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge dz_ {p} \ wedge d {\ overline {w_ {1}}} \ wedge \ cdots \ wedge d {\ overline {w_ {q}}}}

с функцией fa C и голоморфные функции z s и w s. На кэлеровом многообразии (p, q) компоненты гармонической формы снова гармоничны. Следовательно, для любого компактного кэлерова многообразия X теорема Ходжа дает разложение когомологий многообразия X с комплексными коэффициентами в виде прямой суммы комплексных векторных пространств:

H r ( X, C) = ⨁ p + q = r H p, q (X). {\ displaystyle H ^ {r} (X, \ mathbf {C}) = \ bigoplus _ {p + q = r} H ^ {p, q} (X).}

{ \ Displaystyle H ^ {r} (X, \ mathbf {C}) = \ bigoplus _ {p + q = r} H ^ {p, q} (X).}

Это разложение фактически не зависит от выбор кэлеровой метрики (но для общего компактного комплексного многообразия аналогичного разложения нет). С другой стороны, разложение Ходжа действительно зависит от структуры X как комплексного многообразия, тогда как группа H (X, C ) зависит только от лежащего в основе топологического пространства X.

Кусок H (X) разложения Ходжа может быть отождествлен с группой когерентных пучков когомологий, которая зависит только от X как комплексного многообразия (а не от выбора кэлеровой метрики):

ЧАС п, Q (Икс) ≅ ЧАС Q (Икс, Ом п), {\ Displaystyle Н ^ {p, q} (X) \ cong H ^ {q} (X, \ Omega ^ {p }),}

{\ displaystyle H ^ {p, q} (X) \ cong H ^ {q} (X, \ Omega ^ {p}),}

где Ω обозначает пучок голоморфных p-форм на X. Например, H (X) - пространство голоморфных p-форм на X. (Если X проективно, Теорема Серра GAGA означает, что голоморфная p-форма на всем X на самом деле является алгебраической.)

Число Ходжа h (X) означает размерность комплексного векторного пространства H (X). Это важные инварианты гладкого комплексного проективного многообразия; они не меняются при непрерывном изменении комплексной структуры X, и все же в общем случае они не являются топологическими инвариантами. К свойствам чисел Ходжа относятся симметрия Ходжа h = h (поскольку H (X) является комплексно-сопряженным числа H (X)) и h = h (по Серру двойственность ).

Числа Ходжа гладкого комплексного проективного многообразия (или компактного кэлерова многообразия) могут быть перечислены в ромбе Ходжа (показан в случае комплексной размерности 2):

		h
	h		h
h		h		h
	h		h
		h

Числа Бетти из X - это сумма чисел Ходжа в данной строке. Например, каждая гладкая проективная кривая из рода g имеет ромб Ходжа

	1
g		g
	1

. Другой пример: каждая поверхность K3 имеет ромб Ходжа

		1
	0		0
1		20		1
	0		0
		1

Базовое приложение теории Ходжа состоит в том, что нечетные числа Бетти b 2a + 1 гладкого комплексного проективного многообразия (или компактного кэлерова многообразия) четны по симметрии Ходжа. Это неверно для компактных комплексных многообразий в целом, как показано на примере поверхности Хопфа, которая диффеоморфна S × S и, следовательно, имеет b 1 = 1.

«Кэлеровский пакет» - это мощный набор ограничений на когомологии гладких комплексных проективных многообразий (или компактных кэлеровых многообразий), основанный на теории Ходжа. Результаты включают теорему Лефшеца о гиперплоскости, жесткую теорему Лефшеца и билинейные отношения Ходжа-Римана. Теория Ходжа и расширения, такие как неабелева теория Ходжа, также дают сильные ограничения на возможные фундаментальные группы компактных кэлеровых многообразий.

Алгебраические циклы и гипотеза Ходжа

Пусть X - гладкое комплексное проективное многообразие. Комплексное подмногообразие Y в X коразмерности p определяет элемент группы когомологий $H 2 p (X, Z) {\ displaystyle H ^ {2p} (X, \ mathbb {Z}) }$ ${\ displaystyle H ^ {2p} (X, \ mathbb {Z})}$ . Более того, получившийся класс обладает специальным свойством: его изображение в комплексных когомологиях $H 2 p (X, C) {\ displaystyle H ^ {2p} (X, \ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle H ^ {2p} (X, \ mathbb {C})}$ лежит в средней части разложения Ходжа, $H p, p (X) {\ displaystyle H ^ {p, p} (X)}$ ${\ displaystyle H ^ {p, p} (X)}$ . Гипотеза Ходжа предсказывает обратное: каждый элемент $H 2 p (X, Z) {\ displaystyle H ^ {2p} (X, \ mathbb {Z})}$ ${\ displaystyle H ^ {2p} (X, \ mathbb {Z})}$ , образ которого в сложных когомологиях лежит в подпространстве $H p, p (X) {\ displaystyle H ^ {p, p} (X)}$ ${\ displaystyle H ^ {p, p} (X)}$ , должен иметь положительное целое кратное, которое является $Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ -линейная комбинация классов сложных подмногообразий X. (Такая линейная комбинация называется алгебраическим циклом на X.)

Решающим моментом является то, что разложение Ходжа - это разложение когомологий с комплексными коэффициентами, которое обычно не получается из разложения когомологий с целыми (или рациональными) коэффициентами. В результате пересечение

(H 2 p (X, Z) / кручение) ∩ H p, p (X) ⊂ H 2 p (X, C) {\ displaystyle (H ^ {2p} (X, \ mathbb {Z}) / {\ text {torsion}}) \ cap H ^ {p, p} (X) \ subset H ^ {2p} (X, \ mathbb {C})}

{\ displaystyle (H ^ {2p} (X, \ mathbb {Z}) / {\ text {torsion}}) \ cap H ^ {p, p} (X) \ подмножество H ^ {2p} (X, \ mathbb {C})}

может быть много меньше всей группы $H 2 p (X, Z) / {\ displaystyle H ^ {2p} (X, \ mathbb {Z}) /}$ ${\ displaystyle H ^ {2p} (X, \ mathbb {Z}) / }$ кручение, даже если число Ходжа $hp, p {\ displaystyle h ^ {p, p}}$ ${\ displaystyle h ^ {p, p}}$ большой. Короче говоря, гипотеза Ходжа предсказывает, что возможные «формы» комплексных подмногообразий X (описываемые когомологиями) определяются структурой Ходжа X (комбинацией интегральных когомологий с разложением Ходжа комплексных когомологии).

(1,1) -теорема Лефшеца утверждает, что гипотеза Ходжа верна для p = 1 (даже в целом, то есть без необходимости использования положительного целого кратного в утверждении).

Структура Ходжа многообразия X описывает интегралы алгебраических дифференциальных форм на X над гомологическими классами в X. В этом смысле теория Ходжа связана с основным вопросом в исчисление : обычно не существует "формулы" для интеграла от алгебраической функции. В частности, определенные интегралы алгебраических функций, известные как периоды, могут быть трансцендентными числами. Сложность гипотезы Ходжа отражает непонимание таких интегралов в целом.

Пример: для гладкой комплексной проективной K3-поверхности X группа H (X, Z ) изоморфна Z, а H (X) изоморфна С . Их пересечение может иметь ранг от 1 до 20; этот ранг называется числом Пикара X. пространство модулей всех проективных поверхностей K3 имеет счетно бесконечное множество компонентов, каждая из которых имеет комплексную размерность 19. Подпространство K3 поверхностей с числом Пикара a имеет размерность 20 − a. (Таким образом, для большинства проективных поверхностей K3 пересечение H (X, Z ) с H (X) изоморфно Z, но для «специальных» поверхностей K3 пересечение может быть больше.)

Этот пример предлагает несколько различных ролей, которые теория Ходжа играет в сложной алгебраической геометрии. Во-первых, теория Ходжа дает ограничения на то, какие топологические пространства могут иметь структуру гладкого комплексного проективного многообразия. Во-вторых, теория Ходжа дает информацию о пространстве модулей гладких комплексных проективных многообразий с заданным топологическим типом. Наилучший случай - это когда выполняется теорема Торелли, означающая, что многообразие определяется с точностью до изоморфизма своей структурой Ходжа. Наконец, теория Ходжа дает информацию о группе Чоу алгебраических циклов на данном многообразии. Гипотеза Ходжа касается образа отображения цикла из групп Чоу в обычные когомологии, но теория Ходжа также дает информацию о ядре отображения цикла, например, с использованием промежуточных якобианов которые построены из конструкции Ходжа.

Обобщения

Смешанная теория Ходжа, развитая Пьером Делинем, расширяет теорию Ходжа на все комплексные алгебраические многообразия, не обязательно гладкие или компактные. А именно, когомологии любого комплексного алгебраического многообразия имеют более общий тип разложения, смешанную структуру Ходжа.

Другое обобщение теории Ходжа на особые многообразия обеспечивается гомологиями пересечений. А именно, Морихико Сайто показал, что гомологии пересечений любого комплексного проективного многообразия (не обязательно гладкого) имеют чистую структуру Ходжа, как и в гладком случае. Фактически, весь пакет Кэлера продолжается до гомологий пересечений.

Фундаментальный аспект комплексной геометрии состоит в том, что существуют непрерывные семейства неизоморфных комплексных многообразий (которые все диффеоморфны как вещественные многообразия). Представление Филиппа Гриффитса о вариации структуры Ходжа описывает, как структура Ходжа гладкого комплексного проективного многообразия X изменяется при изменении X. С геометрической точки зрения, это равносильно изучению отображения периода, связанного с семейством разновидностей. Теория Сайто о модулях Ходжа является обобщением. Грубо говоря, смешанный модуль Ходжа на многообразии X - это пучок смешанных структур Ходжа над X, который возник бы из семейства многообразий, которое не обязательно должно быть гладким или компактным.

См. Также

Теория потенциала

Примечания

Ссылки

Арапура, Дону, Вычисление некоторых чисел Ходжа (PDF)
Гриффитс, Филлип ; Харрис, Джозеф (1994) [1978]. Основы алгебраической геометрии. Библиотека Wiley Classics. Wiley Interscience. ISBN 0-471-05059-8. MR 0507725.
Hodge, WVD (1941), Theory and Applications of Harmonic Integrals, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-35881-1, MR 0003947
Хайбрехтс, Даниэль (2005), Сложная геометрия: Введение, Springer, ISBN 3-540-21290-6, MR 2093043
Вуазен, Клэр (2007) [2002], Теория Ходжа и комплексная алгебраическая геометрия (2 тома), Cambridge University Press, doi : 10.1017 / CBO9780511615344, ISBN 978-0-521-71801-1, MR 1967689
Уорнер, Франк (1983) [1971], Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли, Springer, ISBN 0-387-90894-3, MR 0722297
Уэллс-младший, Раймонд О. (2008) [1973], Дифференциальный анализ сложных многообразий, Тексты для выпускников по математике, 65 (3-е изд.), Springer, doi : 10.1007 / 978-0-387-73892-5, hdl : 10338.dmlcz / 141778, ISBN 978-0-387-7389 1-8, MR 2359489