Когомология Де Рама

Векторное поле, соответствующее дифференциальной форме на проколотой плоскости, которая замкнута, но не точна, показывая, что когомологии де Рама этого пространства нетривиальны.

В математике когомологии де Рама (после Жоржа де Рама ) являются инструментом, принадлежащим обоим в алгебраическую топологию и в дифференциальную топологию, способную выражать основную топологическую информацию о гладких многообразиях в форме, особенно адаптированной для вычислений и конкретного представления классы когомологий. Это теория когомологий, основанная на существовании дифференциальных форм с заданными свойствами.

Концепция интегрирования по формам имеет фундаментальное значение в дифференциальной топологии, геометрии и физике, а также дает один из наиболее важных примеров когомологий, а именно когомологию де Рама, которая (грубо говоря) точно измеряет степень, в которой фундаментальная теорема исчисления неверна в высших измерениях и на общих многообразиях. - Теренс Тао, Дифференциальные формы и интегрирование

• 1 Определение
• 2 Вычисленные когомологии Де Рама
  • 2.1 n-сфера
  • 2.2 n-тор
  • 2.3 Проколотое евклидово пространство
  • 2.4 Лента Мёбиуса
• 3 Теорема Де Рама
• 4 Теоретико-пучковый изоморфизм де Рама
  • 4.1 Доказательство
• 5 Связанные идеи
  • 5.1 Гармонические формы
  • 5.2 Разложение Ходжа
• 6 См. Также
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

Комплекс де Рама - это комплекс коцепей дифференциальных форм на некотором гладком многообразии M, с внешней производной в качестве дифференциала:

$0\; \to \; \Omega \; 0\; (M)\; \to \; d\; \Omega \; 1\; (M)\; \to \; d\; \Omega \; 2\; (M)\; \to \; d\; \Omega \; 3\; (M)\; \to \; \cdots ,\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; to\; \backslash \; Omega\; ^\; \{0\}\; (M)\; \backslash \; \{\backslash \; stackrel\; \{d\}\; \{\backslash \; to\}\}\; \backslash \; \backslash \; Omega\; ^\; \{1\}\; (M)\; \backslash \; \{\backslash \; stackrel\; \{d\}\; \{\backslash \; to\}\}\; \backslash \; \backslash \; Omega\; ^\; \{2\}\; (M)\; \backslash \; \{\backslash \; stackrel\; \{d\}\; \{\backslash \; to\}\}\; \backslash \; \backslash \; Omega\; ^\; \{3\}\; (M)\; \backslash \; to\; \backslash \; cdots,\}$

где Ω (M) - пространство гладких функций на M, Ω (M) - пространство 1-форм и т. д. Формы, которые являются образом других форм при внешней производной, плюс постоянная функция 0 в Ω (M), называются точным, а формы, внешняя производная которых равна 0, называются закрытый (см. Замкнутые и точные дифференциальные формы ); соотношение d = 0 означает, что точные формы закрыты.

Напротив, закрытые формы не обязательно являются точными. Показательный случай представляет собой окружность в качестве коллектора, а 1-форма, соответствующая производной угла от опорной точки в его центре, как правило, записывается в виде dθ (описанного в Закрытый и точных дифференциальных форм ). Не существует функции θ, определенной на всей окружности, такой, что dθ была бы ее производной; увеличение на 2π при однократном обходе круга в положительном направлении подразумевает многозначную функцию θ. Удаление одной точки окружности позволяет избежать этого, одновременно изменяя топологию многообразия.

Идея когомологий де Рама состоит в том, чтобы определить классы эквивалентности замкнутых форм на многообразии. Две замкнутые формы α, β ∈ Ω (M) классифицируются как когомологичные, если они отличаются точной формой, т.е. если α - β точное. Эта классификация индуцирует отношение эквивалентности на пространстве замкнутых форм в Ω (M). Затем определяется k-я группа когомологий де Рама $H\; d\; R\; k\; (M)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{dR\}\}\; ^\; \{k\}\; (M)\}$быть множеством классов эквивалентности, т. Е. Множеством замкнутых форм в Ω (M) по модулю точных форм.

Обратите внимание, что для любого коллектора M, состоящего из m отсоединенных компонентов, каждый из которых связан, мы имеем, что

$H\; d\; R\; 0\; (M)\; \cong \; R\; m.\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{dR\}\}\; ^\; \{0\}\; (M)\; \backslash \; cong\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{m\}.\}$

Это следует из того факта, что любая гладкая функция на M с нулевой производной всюду по отдельности постоянна на каждой из компонент связности M.

Часто можно найти общие когомологии де Рама многообразия, используя вышеупомянутый факт о нулевых когомологиях и Последовательность Майера – Виеториса. Другой полезный факт состоит в том, что когомологии де Рама являются гомотопическим инвариантом. Хотя вычисления не приводятся, ниже представлены вычисленные когомологии де Рама для некоторых общих топологических объектов:

n-сфера

Для n- сфера, $S\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{n\}\}$, а также вместе с произведением открытых интервалов получаем следующее. Пусть n>0, m ≥ 0 и I - открытый вещественный интервал. Тогда

$H\; d\; R\; k\; (S\; n\; \times \; I\; m)\; \simeq \; \{R\; k\; =\; 0\; или\; k\; =\; n,\; 0\; k\; 0\; и\; k\; \ne \; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{dR\}\}\; ^\; \{k\}\; (S\; ^\; \{n\}\; \backslash \; times\; I\; ^\; \{m\})\; \backslash \; simeq\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; k\; =\; 0\; \{\backslash \; text\; \{или\; \}\}\; k\; =\; n,\; \backslash \backslash \; 0\; k\; \backslash \; neq\; 0\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; k\; \backslash \; neq\; n.\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

n-тор

$n\; \{\; \backslash \; displaystyle\; n\}$-tor - декартово произведение: $T\; n\; =\; S\; 1\; \times \; \cdots \; \times \; S\; 1\; ⏟\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; underbrace\; \{S\; ^\; \{1\}\; \backslash \; раз\; \backslash \; cdots\; \backslash \; times\; S\; ^\; \{1\}\}\; \_\; \{n\}\}$. Аналогично, допуская здесь $n\; \ge \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; geq\; 1\}$, мы получаем

$H\; d\; R\; k\; (T\; n)\; \simeq \; R\; (n\; k).\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{dR\}\}\; ^\; \{k\}\; (T\; ^\; \{n\})\; \backslash \; simeq\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\; \backslash \; choose\; k\}.\}$

Мы также можем найти явные генераторы для де Когомологии Рама тора непосредственно с помощью дифференциальных форм. Дано фактор-многообразие $\pi :\; X\; \to \; X\; /\; G\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi:\; X\; \backslash \; to\; X\; /\; G\}$и дифференциальная форма $\omega \; \in \; \Omega \; k\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \backslash \; in\; \backslash \; Omega\; ^\; \{k\}\; (X)\}$мы можем сказать, что $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$равно $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$-инвариантный, если задан диффеоморфизм, индуцированный $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$, $\cdot \; g:\; X\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cdot\; g:\; X\; \backslash \; to\; X\}$у нас есть $(\cdot \; g)\; \ast \; (\omega )\; =\; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; cdot\; g)\; ^\; \{*\}\; (\backslash \; omega)\; =\; \backslash \; omega\}$. В частности, откат любой формы на $X\; /\; G\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; /\; G\}$является $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$-инвариантным. Кроме того, откат - это инъективный морфизм. В нашем случае $R\; n\; /\; Z\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\; /\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; ^\; \{n\}\}$дифференциальные формы $dxi\; \{\backslash \; displaystyle\; dx\_\; \{i\}\}$являются $Z\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; ^\; \{n\}\}$-инвариантными, поскольку $d\; (xi\; +\; k)\; =\; dxi\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (x\_\; \{i\}\; +\; k)\; =\; dx\_\; \{i\}\}$. Но обратите внимание, что $xi\; +\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{i\}\; +\; \backslash \; alpha\}$для $\alpha \; \in \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$не является инвариантом $0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$-форма. Это с инъекцией означает, что

$[dxi]\; \in \; H\; d\; R\; 1\; (T\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; [dx\_\; \{i\}]\; \backslash \; in\; H\_\; \{dR\}\; ^\; \{1\}\; (T\; ^\; \{n\})\}$

Поскольку кольцо когомологий тора порождается $H\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{1\}\}$, взятие внешних произведений этих форм дает все явные представители когомологий де Рама формы тор.

Проколотое евклидово пространство

Проколотое евклидово пространство - это просто $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$без начала отсчета.

$H\; dR\; k\; (R\; n\; \setminus \; \{0\})\; \cong \; \{R\; 2\; n\; =\; 1,\; k\; =\; 0\; R\; n>1,\; k\; =\; 0,\; n\; -\; 1\; 0\; в\; противном\; случае.\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \_\; \{\backslash \; text\; \{dR\}\}\; ^\; \{k\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; setminus\; \backslash \; \{0\; \backslash \})\; \backslash \; cong\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{2\}\; n\; =\; 1,\; k\; =\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; mathbb\; \{R\}\; n>1,\; k\; =\; 0,\; n-1\; \backslash \backslash \; 0\; \{\backslash \; text\; \{else\}\}\; \backslash \; end\; \{cases\}\}.\}$

Лента Мёбиуса

Из того факта, что лента Мёбиуса, M, может быть деформация втягивается в 1-сферу (т.е. реальный единичный круг), что:

$H\; d\; R\; k\; (M)\; \simeq \; H\; d\; R\; k\; (S\; 1).\; \{\backslash \; Displaystyle\; H\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{dR\}\}\; ^\; \{k\}\; (M)\; \backslash \; simeq\; H\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{dR\}\}\; ^\; \{k\}\; (S\; ^\; \{1\}).\}$

Теорема Стокса является выражение двойственности между когомологиями де Рама и гомологией цепочек . Оно говорит, что спаривание дифференциальных форм и цепочек посредством интегрирования дает гомоморфизм из когомологий де Рама $H\; d\; R\; k\; (M)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \_\; \{\backslash \; m\; athrm\; \{dR\}\}\; ^\; \{k\}\; (M)\}$- особые группы когомологий $H\; k\; (M;\; Р).\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{k\}\; (M;\; \backslash \; mathbb\; \{R\}).\}$Теорема де Рама, доказанная Жоржем де Рамом в 1931 году, утверждает, что для гладкого многообразия M, это отображение на самом деле является изоморфизмом .

Точнее, рассмотрим отображение

$I:\; H\; d\; R\; p\; (M)\; \to \; H\; p\; (M;\; R),\; \{\backslash \; displaystyle\; I:\; H\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{dR\}\}\; ^\; \{p\}\; (M)\; \backslash \; to\; H\; ^\; \{p\}\; (M;\; \backslash \; mathbb\; \{R\}),\}$

определяется следующим образом: для любого $[\omega ]\; \in \; H\; d\; R\; p\; (\; M)\; \{\backslash \; displaystyle\; [\backslash \; omega]\; \backslash \; in\; H\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{dR\}\}\; ^\; \{p\}\; (M)\}$, пусть I (ω) будет элементом $Hom\; (H\; p\; (M),\; R)\; \simeq \; ЧАС\; п\; (M;\; R)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Hom\}\}\; (H\_\; \{p\}\; (M),\; \backslash \; mathbb\; \{R\})\; \backslash \; simeq\; H\; ^\; \{p\}\; (M;\; \backslash \; mathbb\; \{R\})\}$, который действует следующим образом:

$H\; p\; (M)\; \ni \; [c]\; ⟼\; \int \; c\; \omega .\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{p\}\; (M)\; \backslash \; ni\; [c]\; \backslash \; longmapsto\; \backslash \; int\; \_\; \{c\}\; \backslash \; omega.\}$

Теорема де Рама утверждает, что это изоморфизм между когомологиями де Рама и сингулярными когомологиями.

внешний продукт наделяет прямую сумму этих групп структурой кольцо. Дальнейший результат теоремы состоит в том, что два кольца когомологий изоморфны (как градуированные кольца ), где аналогичным произведением на сингулярных когомологиях является чашечное произведение.

Когомологии де Рама изоморфны когомологиям Чеха $H\; \ast \; (U,\; R\; \_)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{\; *\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{U\}\},\; \{\backslash \; underline\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\})\}$, где $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$- это связка из абелевых групп, определяемая с помощью $F\; (U)\; =\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (U)\; =\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$для всех связанных открытых наборы $U\; \subset \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \backslash \; subset\; M\}$, а для открытых наборов $U,\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; U,\; V\}$такие, что $U\; \subset \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \backslash \; subset\; V\}$, групповой морфизм $res\; V,\; U:\; R\; \_\; (V)\; \to \; R\; \_\; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{res\}\}\; \_\; \{V,\; U\}:\; \{\backslash \; underline\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\}\; (V)\; \backslash \; to\; \{\backslash \; underline\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\}\; (U)\}$задается картой идентичности на $R,\; \{\backslash \; displaysty\; le\; \backslash \; mathbb\; \{R\},\}$и где $U\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{U\}\}\}$- хорошая открытая обложка из $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$(т.е. все открытые множества в открытой крышке $U\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{U\}\}\}$стягиваются в точку, и все конечные пересечения множеств в $U\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{U\}\}\}$либо пустые, либо стягиваются до точки). Другими словами, $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$- это константный пучок, полученный связкой константного предпучка, присваивая $F\; (U)\; =\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (U)\; =\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$.

Другими словами, если $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$является компактным C многообразием размерности $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$, тогда для каждого $k\; \le \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \backslash \; leq\; m\}$существует изоморфизм

$H\; d\; R\; k\; (M)\; \cong \; ЧАС\; ˇ\; К\; (M,\; R\; \_)\; \{\backslash \; Displaystyle\; H\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{dR\}\}\; ^\; \{k\}\; (M)\; \backslash \; cong\; \{\backslash \; check\; \{H\}\}\; ^\; \{k\}\; (M,\; \{\backslash \; underline\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\})\}$

где левая часть - это $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$-я группа когомологий де Рама, а правая часть - когомологии Чеха для постоянная связка с волокном $R.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}.\}$

Доказательство

Пусть $\Omega \; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; ^\; \{k\}\}$обозначает пучок микробов из $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$-форм на $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$(с $\Omega \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; ^\; \{0\}\}$связка $C\; m\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{m\; +\; 1\}\}$функций на $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$). По лемме Пуанкаре следующая последовательность пучков точна (в категории пучков):

$0\; \to \; R\; \_\; \to \; \Omega \; 0\; \to \; d\; \Omega \; 1\; \to \; d\; \Omega \; 2\; \to \; d\; \cdots \; \to \; d\; \Omega \; м\; \to \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; to\; \{\backslash \; underline\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\}\; \backslash \; to\; \backslash \; Omega\; ^\; \{0\}\; \backslash ,\; \backslash \; xrightarrow\; \{d\}\; \backslash ,\; \backslash \; Omega\; ^\; \{1\}\; \backslash ,\; \backslash \; xrightarrow\; \{d\}\; \backslash ,\; \backslash \; Omega\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; \backslash \; xrightarrow\; \{d\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; xrightarrow\; \{d\}\; \backslash ,\; \backslash \; Omega\; ^\; \{m\}\; \backslash \; to\; 0.\}$

Теперь эта последовательность прерывается на короткие точные последовательности

$0\; \to \; d\; \Omega \; k\; -\; 1\; \to \; \subset \; \Omega \; k\; \to \; dd\; \Omega \; k\; \to \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; to\; d\; \backslash \; Omega\; ^\; \{k-1\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; xrightarrow\; \{\backslash \; subset\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; Omega\; ^\; \{k\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; xrightarrow\; \{d\}\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; Omega\; ^\; \{k\}\; \backslash \; to\; 0.\}$

Каждый из них индуцирует длинную точную последовательность в когомологиях. Поскольку пучок $C\; m\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{m\; +\; 1\}\}$функций на многообразии допускает разбиения единицы, когомологии пучка $ЧАС\; я\; (\Omega \; К)\; \{\backslash \; Displaystyle\; H\; ^\; \{i\}\; (\backslash \; Omega\; ^\; \{k\})\}$исчезает для $i>0\; \{\backslash \; displaystyle\; i>0\}$. Итак, длинные точные последовательности когомологий в конечном итоге разделяются на цепочку изоморфизмов. На одном конце цепи находятся когомологии Чеха, а на другом - когомологии де Рама.

Когомологии де Рама вдохновили многих математиков идей, включая когомологию Дольбо, теорию Ходжа и теорему об индексе Атьи – Сингера. Однако даже в более классических контекстах теорема вдохновила ряд Во-первых, теория Ходжа доказывает, что существует изоморфизм между когомологиями co Существование гармонических форм и когомологий де Рама, состоящих из замкнутых форм по модулю точных форм. Это опирается на соответствующее определение гармонических форм и теорему Ходжа. Подробнее см. Теория Ходжа.

Гармонические формы

Если M является компактным римановым многообразием, то каждый класс эквивалентности в $H\; d\; R\; k\; (M)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{dR\}\}\; ^\; \{k\}\; (M)\}$содержит ровно одну гармоническую форму. То есть каждый член $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$данного класса эквивалентности закрытых форм может быть записан как

$\omega \; =\; \alpha \; +\; \gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; =\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; gamma\}$

, где $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$- точное значение, а $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$- гармоническое: $\Delta \; \gamma \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; gamma\; =\; 0\}$.

Любая гармоническая функция на компактном связном римановом многообразии является константой. Таким образом, этот конкретный репрезентативный элемент можно понимать как экстремум (минимум) всех когомологически эквивалентных форм на многообразии. Например, на торе 2- можно представить себе постоянную 1-форму как форму, в которой все «волосы» аккуратно зачесаны в одном направлении (и все «волосы» имеют одинаковые длина). В этом случае имеется два когомологически различных гребенки; все остальные - линейные комбинации. В частности, это означает, что первое число Бетти 2-тора равно двум. В более общем плане, на $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$-мерном торе $T\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; ^\; \{n\}\}$можно рассмотреть различные расчесывания $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$-форм на торе. Существует $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$выберите $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$таких комбинаций, которые можно использовать для формирования базисных векторов для $H\; dR\; к\; (T\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \_\; \{\backslash \; text\; \{dR\}\}\; ^\; \{k\}\; (T\; ^\; \{n\})\}$; $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$-е число Бетти для группы когомологий де Рама для тора $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$, таким образом, равно $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$выберите $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$.

Точнее, для дифференциального коллектора M, его можно оборудовать каким-нибудь вспомогательным Риманова метрика. Тогда лапласиан $\Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\}$определяется как

$\Delta \; =\; d\; \delta \; +\; \delta \; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; =\; d\; \backslash \; delta\; +\; \backslash \; delta\; d\}$

с $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$внешней производной и $\delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\}$кодифференциальный. Лапласиан - это однородный (в градации ) линейный дифференциальный оператор, действующий на внешнюю алгебру из дифференциальных форм : мы можем посмотреть его действие на каждый компонент степени $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$отдельно.

Если $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$является компактным и ориентированным, размер элемента ядро ​​ лапласиана, действующего на пространство k-форм, тогда равно (по теории Ходжа ) ядру группы когомологий де Рама в степени $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$: лапласиан выделяет уникальную гармоникуформу в каждом классе когомологий закрытых форм. В частности, пространство всех гармонических $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$-форм на $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$изоморфно $H\; k\; (\; МИСТЕР).\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{k\}\; (M;\; \backslash \; mathbb\; \{R\}).\}$Размер каждого такого пространства конечен и задается как $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$-ое число Бетти.

разложение Ходжа

Пусть $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$будет compact ориентированное риманово многообразие. Разложение Ходжа утверждает, что любая $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$-форма на $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$однозначно разбивается на сумму трех L компоненты:

$\omega \; =\; \alpha \; +\; \beta \; +\; \gamma ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; =\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; beta\; +\; \backslash \; gamma,\}$

где $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$является точным, $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$совпадает с точностью, а $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$является гармоническим.

Говорят, что форма $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$совместно закрывается, если $\delta \; \beta \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \backslash \; beta\; =\; 0\}$и совпадает с точным, если $\beta \; =\; \delta \; \eta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; =\; \backslash \; delta\; \backslash \; eta\}$для некоторой формы $\eta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\}$и что $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$является гармоническим, если лапласиан равен нулю, $\Delta \; \gamma \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; gamma\; =\; 0\}$. Это следует из того, что точные и совпадающие формы ортогональны; ортогональное дополнение тогда состоит из замкнутых и совместно замкнутых форм, то есть из гармонических форм. Здесь ортогональность определяется по отношению к внутреннему произведению L на $\Omega \; k\; (M)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; ^\; \{k\}\; (M)\}$:

$(\alpha ,\; \beta )\; =\; \int \; M\; \alpha \; \wedge \; \star \; \beta .\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; alpha,\; \backslash \; beta)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{M\}\; \backslash \; alpha\; \backslash \; wedge\; \{\backslash \; star\; \backslash \; beta\}.\}$

С использованием пространств Соболева или распределений, разложение может быть расширено, например, до полного (ориентированного или нет) риманова многообразия.

• Теория Ходжа
• Интегрирование по слоям (для когомологий де Рама дано интегрированием )

• Ботт, Рауль ; Ту, Лоринг В. (1982), Дифференциальные формы в алгебраической топологии, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90613-3
• Гриффитс, Филлип ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии, Библиотека классики Wiley, Нью-Йорк: John Wiley Sons, ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523
• Warner, Frank (1983), Foundations of Дифференцируемые многообразия и группы Ли, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90894-6

Specific

1. ^Terence, Tao. «Дифференциальные формы и интегрирование» (PDF Цитировать журнал требует | journal =()
2. ^Жан-Пьер Демайли, Комплексная аналитическая и дифференциальная геометрия Глава VIII, § 3.

• Идея когомологии Де Рама в Mathifold Project
• , Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]