Замкнутые и точные дифференциальные формы

В математике, особенно в векторном исчислении и дифференциальной топологии, закрытая форма - это дифференциальная форма α, внешняя производная которой равна нулю (dα = 0), а точная форма - дифференциальная форма α, которая является внешней производной другой дифференциальной формы β. Таким образом, точная форма находится в изображении d, а замкнутая форма находится в ядре d.

Для точной формы α, α = dβ для некоторой дифференциальной формы β степени, меньшей на единицу, чем у α. Форма β называется «потенциальной формой» или «примитивной» для α. Поскольку внешняя производная замкнутой формы равна нулю, β не единственно, но может быть изменено добавлением любой замкнутой формы степени на один меньше, чем у α.

Поскольку d = 0, каждая точная форма обязательно закрыта. Вопрос о том, является ли каждая замкнутая форма точной, зависит от топологии интересующей области. В стягиваемой области каждая замкнутая форма точна по лемме Пуанкаре. Более общие вопросы такого рода о произвольном дифференцируемом многообразии являются предметом когомологии де Рама, которая позволяет получать чисто топологическую информацию с помощью дифференциальных методов.

• 1 Примеры
• 2 Примеры в малых размерностях
  • 2.1 Аналогии с векторными полями
• 3 Лемма Пуанкаре
• 4 Формулировка в виде когомологии
• 5 Применение в электродинамике
• 6 Примечания
• 7 Сноски
• 8 Ссылки

Простым примером формы, которая является закрытой, но не точной, является 1-форма $d\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; theta\}$, заданное производной от аргумента на проколотой плоскости $R\; 2\; \setminus \; \{0\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; setminus\; \backslash \; \{0\; \backslash \}\}$. Поскольку $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$на самом деле не является функцией (см. Следующий абзац), $d\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; theta\}$не является точным форма. Тем не менее, $d\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; theta\}$имеет исчезающую производную и поэтому закрыт.

Обратите внимание, что аргумент $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$определяется только до целого числа, кратного $2\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; pi\}$поскольку одной точке $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$могут быть назначены разные аргументы $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$, $r\; +\; 2\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; r\; +\; 2\; \backslash \; pi\}$и т. д. Мы можем назначать аргументы локально согласованным образом вокруг $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$, но не глобально согласованным образом. Это связано с тем, что если мы проследим цикл от $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$против часовой стрелки вокруг начала координат и обратно до $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$, аргумент увеличивается по $2\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; pi\}$. Обычно аргумент $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$изменяется на

$\oint \; S\; 1\; d\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; oint\; \_\; \{S\; ^\; \{1\}\}\; d\; \backslash \; theta\}$

по циклу, ориентированному против часовой стрелки $S\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{1\}\}$.

Хотя аргумент $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$технически не является функцией, различные локальные определения $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$в точке $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$отличаются друг от друга константами. Поскольку производная в $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$использует только локальные данные, и поскольку функции, которые отличаются на константу, имеют одну и ту же производную, аргумент имеет глобально четко определенную производную "$d\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; theta\}$".

В результате $d\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; theta\}$является одинарной формой на $R\; 2\; \setminus \; \{0\}\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; setminus\; \backslash \; \{0\; \backslash \}\}$, который на самом деле не является производной какой-либо четко определенной функции $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$. Мы говорим, что $d\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; theta\}$неточно. Явно $d\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; theta\}$- это задано как:

$d\; \theta \; =\; -\; ydx\; +\; xdyx\; 2\; +\; y\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; theta\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-y\; \backslash ,\; dx\; +\; x\; \backslash ,\; dy\}\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\; \}\}\}\}$,

который при проверке имеет производную ноль. Поскольку $d\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; theta\}$имеет нулевую производную, мы говорим, что он закрыт.

Эта форма порождает группу когомологий де Рама $H\; d\; R\; 1\; (R\; 2\; \setminus \; \{0\})\; \cong \; R,\; \{\backslash \; displayst\; yle\; H\_\; \{dR\}\; ^\; \{1\}\; (\backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; setminus\; \backslash \; \{0\; \backslash \})\; \backslash \; cong\; \backslash \; mathbf\; \{R\},\}$означает, что любая закрытая форма $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$- это сумма точной формы $df\; \{\backslash \; displaystyle\; df\}$и кратной $d\; \theta :\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; theta:\}$$\omega \; =\; df\; +\; kd\; \theta ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; =\; df\; +\; k\; \backslash \; d\; \backslash \; theta,\}$где $k\; =\; 1\; 2\; \pi \; \oint \; S\; 1\; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{k\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; oint\; \_\; \{S\; ^\; \{1\}\}\; \backslash \; omega\}\}$учитывает нетривиальный контурный интеграл вокруг начала координат, который является единственным препятствием для замкнутой формы на плоскости с проколами (локально производной потенциальной функции ), являющейся производной глобально определенной функции.

Дифференциальные формы в R и R были хорошо известны в математической физике девятнадцатого века. век. На плоскости 0-формы - это просто функции, а 2-формы - это функции, умноженные на базовый элемент площади dx ∧ dy, так что это 1-формы

$\alpha \; =\; f\; (x,\; y)\; dx\; +\; g\; (x,\; y)\; dy\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; f\; (x,\; y)\; \backslash ,\; dx\; +\; g\; (x,\; y)\; \backslash ,\; dy\}$

, которые представляют реальный интерес. Формула для внешней производной d здесь:

$d\; \alpha \; =\; (gx\; -\; fy)\; dx\; \wedge \; dy\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; alpha\; =\; (g\_\; \{x\}\; -f\_\; \{y\})\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; wedge\; dy\}$

, где нижние индексы обозначают частные производные. Следовательно, условием закрытия $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$является

$f\; y\; =\; g\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{y\}\; =\; g\_\; \{x\}.\}$

В этом случае, если h (x, y) - функция, то

$d\; h\; =\; h\; x\; d\; x\; +\; h\; y\; d\; y.\; \{\backslash \; displaystyle\; dh\; =\; h\_\; \{x\}\; \backslash ,\; dx\; +\; h\_\; \{y\}\; \backslash ,\; dy.\}$

Таким образом, переход от «точного» к «закрытому» является следствием симметрии вторых производных по x и y.

Теорема градиента утверждает, что 1-форма точна тогда и только тогда, когда линейный интеграл формы зависит только от конечных точек кривой, или, что эквивалентно, если интеграл вокруг любого гладкая замкнутая кривая равна нулю.

Аналогии с векторными полями

На римановом многообразии или, в более общем смысле, на псевдоримановом многообразии k-формы соответствуют k-векторным полям (по двойственности через метрику ), поэтому существует понятие векторного поля, соответствующего замкнутой или точной форме.

В трехмерном пространстве точное векторное поле (рассматриваемое как 1-форма) называется консервативным векторным полем, что означает, что оно является производным (градиент ) 0-формы (гладкого скалярного поля), называемого скалярным потенциалом. Замкнутое векторное поле (рассматриваемое как 1-форма) - это поле, производная которого (curl ) исчезает, и называется безвихревым векторным полем.

Думая о векторном поле как о 2- Вместо этого замкнутое векторное поле - это поле, производная которого (дивергенция ) равна нулю, и называется несжимаемым потоком (иногда соленоидальным векторным полем ). Термин несжимаемый используется потому, что ненулевое расхождение соответствует наличию источников и стоков по аналогии с жидкостью.

Концепции консервативных и несжимаемых векторных полей обобщаются до n измерений, потому что градиент и дивергенция обобщаются до n измерений; curl определяется только в трех измерениях, поэтому концепция безвихревого векторного поля не обобщается таким образом.

Лемма Пуанкаре утверждает, что если B - открытый шар в R, любая гладкая замкнутая p-форма ω, определенная на B является точным для любого целого числа p с 1 ≤ p ≤ n.

При необходимости переводя, можно предположить, что шар B имеет центр 0. Пусть α s - поток на R определяется как α sx= e x . При s ≥ 0 он переводит B в себя и индуцирует действие на функциях и дифференциальных формах. Производная потока - это векторное поле X, определенное на функциях f формулой Xf = d (α s f) / ds: это радиальное векторное поле −r ∂ / ∂r = −∑ x я ∂ / ∂x я. Производная потока по формам определяет производную Ли по X, заданную как L X ω = d (α s ω) / ds. В частности,

$dds\; \alpha \; s\; \omega \; =\; \alpha \; s\; LX\; \omega ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \{\{d\; \backslash \; over\; ds\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{s\}\; \backslash \; omega\; =\; \backslash \; alpha\; \_\; \{s\}\; L\_\; \{X\}\; \backslash \; omega,\}\; \}$

Теперь определим

$h\; \omega \; =\; -\; \int \; 0\; \infty \; \alpha \; t\; \omega \; dt.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \{h\; \backslash ,\; \backslash \; omega\; =\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{t\}\; \backslash \; omega\; \backslash ,\; dt.\}\}$

По фундаментальной теореме исчисления имеем, что

$LX\; h\; \omega \; =\; -\; \int \; 0\; \infty \; \alpha \; t\; LX\; \omega \; dt\; =\; -\; 0\; \infty \; ddt\; (\alpha \; t\; \omega )\; dt\; =\; -\; [\alpha \; t\; \omega ]\; 0\; \infty \; =\; \omega .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \{L\_\; \{X\}\; h\; \backslash ,\; \backslash \; omega\; =\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{t\}\; L\_\; \{X\}\; \backslash \; omega\; \backslash ,\; dt\; =\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{0\; \}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{d\; \backslash \; over\; dt\}\; (\backslash \; alpha\; \_\; \{t\}\; \backslash \; omega)\; \backslash ,\; dt\; =\; -\; [\backslash \; alpha\; \_\; \{t\}\; \backslash \; omega]\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; =\; \backslash \; omega.\; \}\}$

Если $\iota \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; iota\; \_\; \{X\}\}\}$является внутренним умножением или сжатием векторным полем X, Формула Картана утверждает, что

$LX\; =\; d\; \iota \; X\; +\; \iota \; X\; d.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \{L\_\; \{X\}\; =\; d\; \backslash \; iota\; \_\; \{X\}\; +\; \backslash \; iota\; \_\; \{X\}\; d.\}\}$

Используя тот факт, что d коммутирует с L X, $\alpha \; s\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{s\}\}$и h, получаем:

$\omega \; =\; LX\; h\; \omega \; =\; (d\; \iota \; X\; +\; \iota \; X\; d)\; h\; \omega \; =\; d\; (\iota \; X\; h\; \omega )\; +\; \iota \; X\; hd\; \omega .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; omega\; =\; L\_\; \{X\}\; h\; \backslash ,\; \backslash \; omega\; =\; (d\; \backslash \; iota\; \_\; \{X\}\; +\; \backslash \; iota\; \_\; \{X\}\; d)\; h\; \backslash \; omega\; =\; d\; (\backslash \; iota\; \_\; \{X\}\; h\; \backslash \; omega)\; +\; \backslash \; iota\; \_\; \{X\}\; hd\; \backslash \; omega.\}\}$

Настройка

$g\; (\omega )\; =\; \iota \; X\; h\; (\omega ),\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (\backslash \; omega)\; =\; \backslash \; iota\; \_\; \{X\}\; h\; (\backslash \; omega),\}$

приводит к тождеству

$(dg\; +\; gd)\; \omega \; =\; \omega .\; \{\backslash \; displaystyle\; (dg\; +\; gd)\; \backslash ,\; \backslash \; omega\; =\; \backslash \; omega.\}$

Отсюда следует, что если ω замкнуто, i. е. dω = 0, то d (g ω) = ω, так что ω точна и лемма Пуанкаре доказана.

(На языке гомологической алгебры g - это «сокращающая гомотопия».)

Тот же метод применяется к любому открытому множеству в R то есть звездообразный около 0, т.е. любое открытое множество, содержащее 0 и инвариантное относительно α t для .

Другое стандартное доказательство леммы Пуанкаре использует формулу гомотопической инвариантности и может можно найти в Singer Thorpe (1976, pp. 128-132), Lee (2012), Tu (2011) и Bott Tu (1982). Локальная форма оператора гомотопии описана в Edelen (2005), а связь леммы с формой Маурера-Картана объясняется в Sharpe (1997).

Эту формулировку можно сформулировать в терминах гомотопий между открытыми областями U в R и V в R. Если F (t, x) является гомотопией от [0,1] x U до V, установите F t (x) = F (t, x). Для $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$p-формы на V, определите

$g\; (\omega )\; =\; \int \; 0\; 1\; \iota \; \partial \; t\; (F\; t\; \ast \; (\omega ))\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (\backslash \; omega)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; iota\; \_\; \{\backslash \; partial\; \_\; \{t\}\}\; (F\_\; \{t\}\; ^\; \{*\}\; (\backslash \; omega))\; \backslash ,\; dt\}$

Тогда

$(dg\; +\; gd)\; \omega \; =\; \int \; 0\; 1\; (d\; \iota \; \partial \; t\; +\; \iota \; \partial \; td)\; F\; t\; \ast \; (\omega )\; dt\; =\; \int \; 0\; 1\; L\; \partial \; t\; F\; t\; \ast \; (\omega )\; dt\; =\; \int \; 0\; 1\; \partial \; t\; F\; t\; \ast \; (\omega )\; dt\; =\; F\; 1\; \ast \; (\omega )\; -\; F\; 0\; \ast \; (\omega ).\; \{\backslash \; displaystyle\; (dg\; +\; gd)\; \backslash ,\; \backslash \; omega\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; (d\; \backslash \; iota\; \_\; \{\backslash \; partial\; \_\; \{t\}\}\; +\; \backslash \; iota\; \_\; \{\backslash \; partial\; \_\; \{t\}\}\; d)\; F\_\; \{t\}\; ^\; \{*\}\; (\backslash \; omega)\; \backslash ,\; dt\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; L\; \_\; \{\backslash \; partial\; \_\; \{t\}\}\; F\_\; \{t\}\; ^\; \{*\}\; (\backslash \; omega)\; \backslash ,\; dt\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; F\_\; \{t\}\; ^\; \{*\}\; (\backslash \; omega)\; \backslash ,\; dt\; =\; F\_\; \{1\}\; ^\; \{*\}\; (\backslash \; omega)\; -F\_\; \{0\}\; ^\; \{*\}\; (\backslash \; omega).\}$

Пример : В двух измерениях лемма Пуанкаре может быть доказана непосредственно для замкнутых 1-форм и 2-форм следующим образом.

Если ω = p dx + q dy является замкнутой 1-формой на (a, b) × (c, d), тогда p y = q x. Если ω = df, то p = f x и q = f y. Установить

$g\; (x,\; y)\; =\; \int \; axp\; (t,\; y)\; dt,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \{g\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{x\}\; p\; (t,\; y)\; \backslash ,\; dt,\}\}$

так, чтобы g x = p. Тогда h = f - g должно удовлетворять h x = 0 и h y = q - g y. Правая часть здесь не зависит от x, поскольку ее частная производная по x равна 0. Итак

$h\; (x,\; y)\; =\; \int \; cyq\; (a,\; s)\; ds\; -\; g\; (a,\; y)\; =\; \int \; cyq\; (\; a,\; s)\; ds,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \{h\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{c\}\; ^\; \{y\}\; q\; (a,\; s)\; \backslash ,\; ds-g\; (a,\; y)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\; c\}\; ^\; \{y\}\; q\; (a,\; s)\; \backslash ,\; ds,\}\}$

и, следовательно,

$f\; (x,\; y)\; =\; \int \; axp\; (t,\; y)\; dt\; +\; \int \; cyq\; (a,\; s)\; ds.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Displaystyle\; \{е\; (х,\; y)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{x\}\; p\; (t,\; y)\; \backslash ,\; dt\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{c\}\; ^\; \{y\}\; q\; (a,\; s)\; \backslash ,\; ds.\}\}$

Аналогично, если Ω = r dx ∧ dy, то Ω = d (a dx + b dy) с b x - a y = r. Таким образом, решение задается формулами a = 0 и

$b\; (x,\; y)\; =\; \int \; a\; x\; r\; (t,\; y)\; d\; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \{b\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{x\}\; r\; (t,\; y)\; \backslash ,\; dt.\}\}$

Когда разница двух закрытых форм является точной формой, они называются когомологичными друг другу. То есть, если ζ и η - замкнутые формы и можно найти такое β, что

$\zeta \; -\; \eta \; =\; d\; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; zeta\; -\; \backslash \; eta\; =\; d\; \backslash \; beta\}$

, тогда говорят, что ζ и η когомологичны друг другу. Иногда говорят, что точные формы когомологичны нулю . Множество всех форм, когомологичных данной форме (и, следовательно, друг другу), называется классом когомологий де Рама ; общее изучение таких классов известно как когомологии. Нет никакого смысла спрашивать, точна ли 0-форма (гладкая функция), поскольку d увеличивает степень на 1; но подсказки из топологии подсказывают, что «точной» следует называть только нулевую функцию. Классы когомологий отождествляются с локально постоянными функциями.

Используя сжимающие гомотопии, подобные тем, которые использовались в доказательстве леммы Пуанкаре, можно показать, что когомологии де Рама гомотопически инвариантны.

В электродинамике важен случай магнитного поля $B\; \to \; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{B\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\}$, создаваемого постоянным электрическим током. Там мы имеем дело с векторным потенциалом $A\; \to \; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{A\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\}$этого поля. Этот случай соответствует k = 2, и определяющей областью является полный $R\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}\; \backslash ,.\}$Вектор плотности тока равен $j\; \to .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{j\}\}\; \backslash ,.\}$Он соответствует текущей двумерной форме

$I:\; =\; j\; 1\; (x\; 1,\; x\; 2,\; x\; 3)\; dx\; 2\; \wedge \; dx\; 3\; +\; j\; 2\; (x\; 1,\; x\; 2,\; x\; 3)\; dx\; 3\; \wedge \; dx\; 1\; +\; j\; 3\; (x\; 1,\; x\; 2,\; x\; 3)\; dx\; 1\; \wedge \; dx\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{I\}:\; =\; j\_\; \{1\}\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; x\_\; \{3\})\; \backslash ,\; \{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; x\_\; \{2\}\; \backslash \; wedge\; \{\backslash \; rm\; \{d\; \}\}\; x\_\; \{3\}\; +\; j\_\; \{2\}\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; x\_\; \{3\})\; \backslash ,\; \{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; x\_\; \{3\}\; \backslash \; wedge\; \{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; x\_\; \{1\}\; +\; j\_\; \{3\}\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; x\_\; \{3\})\; \backslash ,\; \{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; x\_\; \{1\}\; \backslash \; wedge\; \{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; x\_\; \{2\}.\}$

Для магнитного поля $B\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{B\}\}\}$результат аналогичный: он соответствует индукционной двумерной форме $\Phi \; B:\; Знак\; равно\; B\; 1\; dx\; 2\; \wedge \; dx\; 3\; +\; \cdots ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; \_\; \{B\}:\; =\; B\_\; \{1\}\; \{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; x\_\; \{2\}\; \backslash \; wedge\; \{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; x\_\; \{3\}\; +\; \backslash \; cdots,\}$и может быть получено из векторного потенциала $A\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{A\}\}\}$или соответствующей одной формы $A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\}$,

$B\; \to \; =\; curl\; A\; \to \; =\; \{\partial \; A\; 3\; \partial \; x\; 2\; -\; \partial \; A\; 2\; \partial \; x\; 3,\; \partial \; A\; 1\; \partial \; x\; 3\; -\; \partial \; A\; 3\; \partial \; x\; 1,\; \partial \; A\; 2\; \partial \; x\; 1\; -\; \partial \; A\; 1\; \partial \; x\; 2\}\; или\; \Phi \; B\; =\; d\; A.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{B\}\}\; =\; \{\backslash \; rm\; \{curl\; \backslash ,\; \backslash ,\}\}\; \{\backslash \; vec\; \{A\}\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; A\_\; \{3\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{\; 2\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; A\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{3\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; A\_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{3\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; A\_\; \{3\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{1\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; A\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{1\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; A\_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \},\; \{\backslash \; text\; \{или\}\}\; \backslash \; Phi\; \_\; \{B\}\; =\; \{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\}.\}$

Таким образом, векторный потенциал $A\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{A\}\}\}$соответствует потенциальной одной форме

$A:\; =\; A\; 1\; dx\; 1\; +\; A\; 2\; dx\; 2\; +\; A\; 3\; dx\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{A\}:\; =\; A\_\; \{1\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; x\_\; \{1\}\; +\; A\_\; \{2\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; x\_\; \{2\}\; +\; A\_\; \{3\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; rm\; \{d\}\}\; x\_\; \{3\}.\}$

Замкнутость двойной формы магнитной индукции соответствует тому свойству магнитного поля, что оно не имеет источника: $div\; B\; \to \; \equiv \; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; rm\; \{div\; \backslash ,\; \backslash ,\}\}\; \{\backslash \; vec\; \{B\}\}\; \backslash \; Equiv\; 0,\}$т.е. что нет магнитных монополей.

В специальном датчике $div\; \; A\; \to \; =!\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{div\}\; \{\backslash \; vec\; \{A\}\}\; \{~\; \{\backslash \; stackrel\; \{!\}\; \{=\}\}\; ~\}\; 0\}$, это означает, что для i = 1, 2, 3

$A\; i\; (r\; \to )\; =\; \int \; \mu \; 0\; ji\; (r\; \to \; \prime )\; dx\; 1\; \prime \; dx\; 2\; \prime \; dx\; 3\; \prime \; 4\; \pi \; |\; г\; \to \; -\; г\; \to \; \prime \; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{i\}\; (\{\backslash \; vec\; \{r\}\})\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{0\}\; j\_\; \{i\}\; (\{\backslash \; vec\; \{r\}\}\; ^\; \{\backslash ,\; \text{'}\})\; \backslash ,\; \backslash ,\; dx\_\; \{1\}\; \text{'}dx\_\; \{2\}\text{'}\; dx\_\; \{3\}\; \text{'}\}\; \{4\; \backslash \; pi\; |\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\; -\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\; ^\; \{\backslash ,\text{'}\}\; |\}\}\; \backslash ,.\; \}$

(Здесь $\mu \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{0\}\}$- постоянная магнитная проницаемость вакуума.)

Это уравнение замечательно, потому что оно полностью соответствует известной формуле для электрического поля $E\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{E\}\}\}$, а именно электростатическому кулоновскому потенциалу $\varphi \; (x\; 1,\; x\; 2,\; x\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ,\; \backslash \; phi\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; x\_\; \{3\})\}$с плотностью заряда $\rho \; (x\; 1,\; x\; 2,\; х\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; x\_\; \{3\})\}$. Здесь уже можно догадаться, что

• $E\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{E\}\}\}$и $B\; \to ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{B\}\},\}$
• $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$и $j\; \to ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{j\}\},\}$
• $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ,\; \backslash \; phi\}$и $A\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{A\}\}\}$

могут быть объединены в количества с шестью rsp. четыре нетривиальных компонента, которые являются основой релятивистской инвариантности уравнений Максвелла.

Если оставить условие стационарности, на l.h.s. вышеупомянутого уравнения необходимо добавить в уравнениях для $A\; i,\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{i\}\; \backslash ,,\}$к трем пространственным координатам, в качестве четвертой переменной также время t, тогда как на правой стороне в $ji\; \prime ,\; \{\backslash \; displaystyle\; j\_\; \{i\}\; \text{'}\backslash ,,\}$так называемое «замедленное время», $t\; \prime :\; =\; t\; -\; |\; г\; \to \; -\; г\; \to \; \prime \; |\; c,\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \text{'}:\; =\; t\; -\; \{\backslash \; frac\; \{|\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\; -\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\; ^\; \{\backslash ,\text{'}\}\; |\}\; \{c\}\}\; \backslash ,,\}$должен использоваться, т.е. он добавляется к аргументу плотности тока. Наконец, как и раньше, интегрируют по трем штриховым координатам в пространстве. (Как обычно с - скорость света в вакууме.)

• Flanders, Harley (1989) [1963]. Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-66169-8..
• Уорнер, Франк В. (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли, Тексты для выпускников по математике, 94, Спрингер, ISBN 0-387-90894-3
• Напье, Терренс; Рамачандран, Мохан (2011), Введение в римановы поверхности, Биркхойзер, ISBN 978-0-8176-4693-6
• Зингер, И.М. ; Торп, Дж. А. (1976), Лекции по элементарной топологии и геометрии, Университет Бангалора, ISBN 0721114784