Симметрия вторых производных

«Теорема Клеро (исчисление)» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о других результатах Клеро, см . Формулу Клеро (значения).

В математике, то симметрия вторых производных (также называемых равенством смешанных партиалов) относится к возможности при определенных условиях (см ниже) поменяв порядок принятия частных производных из функции

${\ displaystyle f \ left (x_ {1}, \, x_ {2}, \, \ ldots, \, x_ {n} \ right)}$

от n переменных. Симметрия - это утверждение, что частные производные второго порядка удовлетворяют тождеству

${\ Displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}} \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {j}}} \ right) \ = \ {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}} \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} \ right)}$

так что они образуют симметричную матрицу размера n  ×  n, известную как матрица Гессе функции. Это иногда называют теоремой Шварца, теоремы Клеро, или теоремы Юнга.

В контексте уравнений в частных производных это называется условием интегрируемости Шварца .

• 1 Формальные выражения симметрии
• 2 История
• 3 Теорема Шварца
• 4 Доказательство теоремы Клеро с использованием повторных интегралов
• 5 Достаточность двукратной дифференцируемости
• 6 Формулировка теории распределения
• 7 Требование непрерывности
• 8 Теория лжи
• 9 Применение к дифференциальным формам
• 10 заметок
• 11 Источники
• 12 Дальнейшее чтение

В символах симметрия может быть выражена как:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial y}} \ right) \ = \ {\ frac {\ partial} {\ partial y }} \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial x}} \ right) \ qquad {\ text {или}} \ qquad {\ frac {\ partial ^ {2} \! f} {\ partial x \, \ partial y}} \ = \ {\ frac {\ partial ^ {2} \! f} {\ partial y \, \ partial x}}.}$

Другое обозначение:

${\ displaystyle \ partial _ {x} \ partial _ {y} f = \ partial _ {y} \ partial _ {x} f \ qquad {\ text {или}} \ qquad f_ {yx} = f_ {xy}.}$

С точки зрения композиции из дифференциального оператора D я, который принимает частичную производную по х я:

${\ displaystyle D_ {i} \ circ D_ {j} = D_ {j} \ circ D_ {i}}$.

Из этого соотношения следует, что кольцо дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, порожденное D i, коммутативно ; но это верно только как операторы в области достаточно дифференцируемых функций. Легко проверить симметрию применительно к одночленам, так что можно взять многочлены от x i в качестве области. Фактически гладкие функции - еще одна допустимая область.

Результат о равенстве смешанных частных производных при определенных условиях имеет давнюю историю. Список неудачных предложенных доказательств начался с доказательства Эйлера, опубликованного в 1740 году, хотя уже в 1721 году Бернулли неявно предположил результат без формального обоснования. Клеро также опубликовал предложенное доказательство в 1740 году, без каких-либо других попыток до конца 18 века. Начиная с этого периода в течение 70 лет был предложен ряд неполных доказательств. Доказательство Лагранжа (1797 г.) было улучшено Коши (1823 г.), но предполагалось существование и непрерывность частных производных и. Другие попытки были предприняты П. Бланше (1841 г.), Дюамелем (1856 г.), Штурмом (1857 г.), Шлемильхом (1862 г.) и Бертраном (1864 г.). Наконец, в 1867 году Линделёф систематически проанализировал все предыдущие ошибочные доказательства и смог привести конкретный контрпример, в котором смешанные производные не могут быть равны. ${\ Displaystyle {\ tfrac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}}}$${\ Displaystyle {\ tfrac {\ partial ^ {2} f} {\ partial y ^ {2}}}}$

Через шесть лет после этого Шварцу удалось дать первое строгое доказательство. Позже Дини внес свой вклад, найдя более общие условия, чем у Шварца. В конце концов, Джордан в 1883 году нашел чистую и более общую версию, которая до сих пор является доказательством, которое можно найти в большинстве учебников. Незначительные варианты более ранних доказательств были опубликованы Лораном (1885), Пеано (1889 и 1893), Дж. Эдвардсом (1892), П. Хаагом (1893), Дж. К. Виттемором (1898), Виванти (1899) и Пьерпонтом (1905). Дальнейший прогресс был достигнут в 1907–1909 годах, когда Э. В. Хобсон и У. Янг нашли доказательства с более слабыми условиями, чем у Шварца и Дини. В 1918 году Каратеодори дал другое доказательство, основанное на интеграле Лебега.

В математическом анализе, теорема Шварца (или теорема Клеро о равенстве смешанных частичными) имени Алексис Клеро и Герман Шварц, утверждает, что для функции, определенной на множестве, если точка, что некоторая окрестность из содержится в и имеет непрерывную вторую частные производные в точке, то${\ displaystyle f \ двоеточие \ Omega \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbf {p} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$${\ displaystyle \ forall i, j \ in \ {1, \, 2, \, \ ldots, \, n \},}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x_ {i} \, \ partial x_ {j}}} f (\ mathbf {p}) = {\ frac {\ partial ^ {2} } {\ partial x_ {j} \, \ partial x_ {i}}} f (\ mathbf {p}).}$

Частные производные этой функции коммутируют в этой точке.

Один простой способ установить эту теорему (в случае, когда, и, которые легко влечет за собой результат в целом), применяя теорему Грина к градиенту от${\ displaystyle n = 2}$${\ displaystyle i = 1}$${\ displaystyle j = 2}$ ${\ displaystyle f.}$

Элементарное доказательство для функций на открытых подмножествах плоскости состоит в следующем (простой редукцией общий случай теоремы Шварца явно сводится к плоскому случаю). Позвольте быть дифференцируемой функцией на открытом прямоугольнике, содержащем и предположим, что он непрерывен с и оба непрерывны. Определять ${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle (а, б)}$${\ displaystyle df}$${\ displaystyle \ partial _ {x} \ partial _ {y} f}$${\ displaystyle \ partial _ {y} \ partial _ {x} f}$

${\ Displaystyle {\ begin {align} u \ left (h, \, k \ right) amp; = f \ left (a + h, \, b + k \ right) -f \ left (a + h, \, b \ right), \\ v \ left (h, \, k \ right) amp; = f \ left (a + h, \, b + k \ right) -f \ left (a, \, b + k \ справа), \\ w \ left (h, \, k \ right) amp; = f \ left (a + h, \, b + k \ right) -f \ left (a + h, \, b \ right) -f \ left (a, \, b + k \ right) + f \ left (a, \, b \ right). \ end {align}}}$

Эти функции определены для, где и. ${\ Displaystyle \ влево | час \ вправо |, \, \ влево | к \ вправо | lt;\ varepsilon}$${\ displaystyle \ varepsilongt; 0}$${\ displaystyle \ left [a- \ varepsilon, \, a + \ varepsilon \ right] \ times \ left [b- \ varepsilon, \, b + \ varepsilon \ right] \ subset \ Omega}$

По теореме о среднем значении, промежуточные значения могут быть найдены в с ${\ displaystyle \ theta, \, \ theta ^ {\ prime}, \, \, \ phi, \, \, \ phi ^ {\ prime}}$${\ displaystyle (0,1)}$

${\ Displaystyle {\ begin {align} w \ left (h, \, k \ right) amp; = u \ left (h, \, k \ right) -u \ left (0, \, k \ right) = h \, \ partial _ {x} u \ left (\ theta h, \, k \ right) \\ amp; = h \, \ left [\ partial _ {x} f \ left (a + \ theta h, \, b + k \ right) - \ partial _ {x} f \ left (a + \ theta h, \, b \ right) \ right] \\ amp; = hk \, \ partial _ {y} \ partial _ {x} f \ left (a + \ theta h, \, b + \ theta ^ {\ prime} k \ right) \\ w \ left (h, \, k \ right) amp; = v \ left (h, \, k \ right) -v \ left (h, \, 0 \ right) = k \, \ partial _ {y} v \ left (h, \, \ phi k \ right) \\ amp; = k \ left [\ partial _ {y } f \ left (a + h, \, b + \ phi k \ right) - \ partial _ {y} f \ left (a, \, b + \ phi k \ right) \ right] \\ amp; = hk \, \ partial _ {x} \ partial _ {y} f \ left (a + \ phi ^ {\ prime} h, \, b + \ phi k \ right). \ end {align}}}$

Поскольку первое равенство ниже можно разделить на: ${\ Displaystyle ч, \, к \ neq 0}$${\ displaystyle hk}$

${\ Displaystyle {\ begin {align} hk \, \ partial _ {y} \ partial _ {x} f \ left (a + \ theta h, \, b + \ theta ^ {\ prime} k \ right) amp; = hk \, \ partial _ {x} \ partial _ {y} f \ left (a + \ phi ^ {\ prime} h, \, b + \ phi k \ right), \\\ partial _ {y} \ partial _ { x} f \ left (a + \ theta h, \, b + \ theta ^ {\ prime} k \ right) amp; = \ partial _ {x} \ partial _ {y} f \ left (a + \ phi ^ {\ prime } h, \, b + \ phi k \ right). \ end {align}}}$

Устремляя к нулю в последнем равенстве, из предположений непрерывности и теперь следует, что ${\ displaystyle h, \, k}$${\ displaystyle \ partial _ {y} \ partial _ {x} f}$${\ displaystyle \ partial _ {x} \ partial _ {y} f}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x \ partial y}} е \ влево (a, \, b \ right) = {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial y \ partial x}} f \ left (a, \, b \ right).}$

Это простой классический метод, который можно найти во многих учебниках, например, в Burkill, Apostol и Rudin.

Хотя приведенный выше вывод является элементарным, подход также можно рассматривать с более концептуальной точки зрения, чтобы результат стал более очевидным. Действительно, разностные операторы коммутируют и, как правило, как стремится к 0, с аналогичным заявлением для операторов второго порядка. Здесь для вектора на плоскости и вектора направления оператор разности определяется как ${\ Displaystyle \ Delta _ {x} ^ {t}, \, \, \ Delta _ {y} ^ {t}}$${\ displaystyle \ Delta _ {x} ^ {t} f, \, \, \ Delta _ {y} ^ {t} f}$${\ displaystyle \ partial _ {x} f, \, \, \ partial _ {y} f}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle u}$

${\ displaystyle \ Delta _ {u} ^ {t} f (z) = {f (z + tu) -f (z) \ over t}.}$

По основной теореме исчисления для функций на открытом интервале с${\ displaystyle C ^ {1}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle I}$${\ Displaystyle (ab) \ подмножество I}$

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f ^ {\ prime} (x) \, dx = f (b) -f (a).}$

Следовательно

${\ Displaystyle | е (б) -f (а) | \ Leq (ба) \, \ sup _ {с \ в (а, б)} | е ^ {\ простое} (с) |}$.

Это обобщенная версия теоремы о среднем значении. Напомним, что из элементарного обсуждения максимумов или минимумов для вещественнозначных функций следует, что если непрерывно на и дифференцируемо на, то существует точка в такой, что ${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle [а, б]}$${\ Displaystyle (а, б)}$${\ displaystyle c}$${\ Displaystyle (а, б)}$

${\ Displaystyle {f (b) -f (a) \ over ba} = f ^ {\ prime} (c).}$

Для векторных функций с конечномерным нормированным пространством аналога приведенного выше равенства не существует, оно и не выполняется. Но поскольку указанное выше неравенство является полезной заменой. Более того, использование спаривания двойственного к с его двойственной нормой дает следующее равенство: ${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle \ Inf е ^ {\ прайм} \ Leq е ^ {\ прайм} (с) \ Leq \ sup е ^ {\ прайм}}$${\ displaystyle V}$

${\ Displaystyle \ | е (b) -f (а) \ | \ Leq (ba) \, \ sup _ {с \ in (a, b)} \ | f ^ {\ prime} (c) \ |}$.

Эти версии теоремы о среднем значении обсуждаются у Рудина, Хёрмандера и в других местах.

Для более функции на открытом множестве в плоскости, определить и. Кроме того, для набора ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle C ^ {2}}$${\ displaystyle D_ {1} = \ partial _ {x}}$${\ displaystyle D_ {2} = \ partial _ {y}}$${\ Displaystyle т \ neq 0}$

${\ Displaystyle \ Delta _ {1} ^ {t} е (х, у) = [е (х + т, у) -f (х, у)] / т, \, \, \, \, \, \, \ Delta _ {2} ^ {t} f (x, y) = [f (x, y + t) -f (x, y)] / t}$.

Тогда для открытого множества можно дважды применить обобщенную теорему о среднем значении: ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$

${\ displaystyle \ left | \ Delta _ {1} ^ {t} \ Delta _ {2} ^ {t} f (x_ {0}, y_ {0}) - D_ {1} D_ {2} f (x_ {0}, y_ {0}) \ right | \ leq \ sup _ {0 \ leq s \ leq 1} \ left | \ Delta _ {1} ^ {t} D_ {2} f (x_ {0}, y_ {0} + ts) -D_ {1} D_ {2} f (x_ {0}, y_ {0}) \ right | \ leq \ sup _ {0 \ leq r, s \ leq 1} \ left | D_ {1} D_ {2} f (x_ {0} + tr, y_ {0} + ts) -D_ {1} D_ {2} f (x_ {0}, y_ {0}) \ right |.}$

Таким образом, как правило, как стремится к 0. Те же рассуждения показывают, что имеет тенденцию. Следовательно, поскольку разностные операторы коммутируют, то же самое происходит и с операторами в частных производных и, как утверждается. ${\ displaystyle \ Delta _ {1} ^ {t} \ Delta _ {2} ^ {t} f (x_ {0}, y_ {0})}$${\ displaystyle D_ {1} D_ {2} f (x_ {0}, y_ {0})}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ Delta _ {2} ^ {t} \ Delta _ {1} ^ {t} f (x_ {0}, y_ {0})}$${\ displaystyle D_ {2} D_ {1} f (x_ {0}, y_ {0})}$${\ displaystyle D_ {1}}$${\ displaystyle D_ {2}}$

Замечание. С помощью двух приложений классической теоремы о среднем значении

${\ displaystyle \ Delta _ {1} ^ {t} \ Delta _ {2} ^ {t} f (x_ {0}, y_ {0}) = D_ {1} D_ {2} f (x_ {0} + t \ theta, y_ {0} + t \ theta ^ {\ prime})}$

для некоторых и в. Таким образом, первое элементарное доказательство может быть переинтерпретировано с помощью разностных операторов. И наоборот, вместо использования обобщенной теоремы о среднем значении во втором доказательстве можно было бы использовать классическую теорему о среднем значении. ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ theta ^ {\ prime}}$${\ displaystyle (0,1)}$

Свойства повторных интегралов Римана непрерывной функции F на компактном прямоугольнике [ a, b ] × [ c, d ] легко устанавливаются. Равномерная непрерывность из Р сразу следует, что функции и непрерывны. Следует, что ${\ Displaystyle г (х) = \ int _ {с} ^ {d} F (х, у) \, dy}$${\ Displaystyle час (y) = \ int _ {a} ^ {b} F (x, y) \, dx}$

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \ int _ {c} ^ {d} F (x, y) \, dy \, dx = \ int _ {c} ^ {d} \ int _ { a} ^ {b} F (x, y) \, dx \, dy}$;

более того, повторный интеграл сразу становится положительным, если F положительно. Приведенное выше равенство - простой случай теоремы Фубини, не связанный с теорией меры. Титчмарш (1939) прямо доказывает это, используя Риман аппроксимирующие суммы, соответствующие делению прямоугольника на меньшие прямоугольники.

Чтобы доказать теорему Клеро, предположим, что f - дифференцируемая функция на открытом множестве U, для которого существуют и непрерывны смешанные вторые частные производные f yx и f xy. Дважды используя основную теорему исчисления,

${\ displaystyle \ int _ {c} ^ {d} \ int _ {a} ^ {b} f_ {yx} (x, y) \, dx \, dy = \ int _ {c} ^ {d} f_ {y} (b, y) -f_ {y} (a, y) \, dy = f (b, d) -f (a, d) -f (b, c) + f (a, c). }$

сходным образом

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \ int _ {c} ^ {d} f_ {xy} (x, y) \, dy \, dx = \ int _ {a} ^ {b} f_ {x} (x, d) -f_ {x} (x, c) \, dx = f (b, d) -f (a, d) -f (b, c) + f (a, c). }$

Таким образом, два повторных интеграла равны. С другой стороны, поскольку f xy ( x, y) непрерывна, второй повторный интеграл может быть выполнен путем сначала интегрирования по x, а затем по y. Но тогда повторный интеграл от f yx - f xy на [ a, b ] × [ c, d ] должен обратиться в нуль. Однако, если повторный интеграл непрерывной функции-функции F равен нулю для всех прямоугольников, то F должен быть тождественно равен нулю; в противном случае F или - F были бы строго положительными в некоторой точке и, следовательно, по непрерывности на прямоугольнике, что невозможно. Следовательно, f yx - f xy должно тождественно обращаться в нуль, так что f yx = f xy всюду.

Более слабым условием, чем непрерывность вторых частных производных (что подразумевается последними), которого достаточно для обеспечения симметрии, является то, что все частные производные сами дифференцируемы. Еще одно усиление теоремы, в котором утверждается существование переставляемой смешанной частичной, было предоставлено Пеано в короткой заметке 1890 года о Матезисе :

Если определено на открытом множестве ; и существуют повсюду ; непрерывна в точке, а если существует в окрестности, то существует в точке и.${\ displaystyle f: E \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle E \ подмножество \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ partial _ {1} е (х, \, у)}$${\ Displaystyle \ partial _ {2,1} е (х, \, у)}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ partial _ {2,1} f}$${\ displaystyle \ left (x_ {0}, \, y_ {0} \ right) \ in E}$${\ Displaystyle \ partial _ {2} е (х, \, y_ {0})}$${\ displaystyle x = x_ {0}}$${\ displaystyle \ partial _ {1,2} f}$${\ displaystyle \ left (x_ {0}, \, y_ {0} \ right)}$${\ displaystyle \ partial _ {1,2} f \ left (x_ {0}, \, y_ {0} \ right) = \ partial _ {2,1} f \ left (x_ {0}, \, y_ {0} \ right)}$

Теория распределений (обобщенных функций) устраняет аналитические проблемы с симметрией. Производная интегрируемой функции всегда может быть определена как распределение, а симметрия смешанных частных производных всегда выполняется как равенство распределений. Использование формального интегрирования по частям для определения дифференцирования распределений возвращает вопрос симметрии к тестовым функциям, которые являются гладкими и, безусловно, удовлетворяют этой симметрии. Более подробно (где f - распределение, записанное как оператор над тестовыми функциями, а φ - тестовая функция),

${\ displaystyle \ left (D_ {1} D_ {2} f \ right) [\ phi] = - \ left (D_ {2} f \ right) \ left [D_ {1} \ phi \ right] = f \ влево [D_ {2} D_ {1} \ phi \ right] = f \ left [D_ {1} D_ {2} \ phi \ right] = - \ left (D_ {1} f \ right) \ left [D_ {2} \ phi \ right] = \ left (D_ {2} D_ {1} f \ right) [\ phi].}$

Другой подход, который определяет преобразование Фурье функции, состоит в том, чтобы отметить, что при таких преобразованиях частные производные становятся операторами умножения, которые коммутируют гораздо более очевидно.

Симметрия может быть нарушена, если функция не имеет дифференцируемых частных производных, что возможно, если не выполняется теорема Клеро (вторые частные производные не являются непрерывными ).

Функция f ( x,  y), как показано в уравнении ( 1), не имеет симметричных вторых производных в начале координат.

Примером несимметрии является функция (из-за Пеано )

${\ displaystyle f (x, \, y) = {\ begin {case} {\ frac {xy \ left (x ^ {2} -y ^ {2} \ right)} {x ^ {2} + y ^ {2}}} amp; {\ t_dv {for}} (x, \, y) \ neq (0, \, 0), \\ 0 amp; {\ t_dv {for}} (x, \, y) = (0, \, 0). \ End {case}}}$

( 1)

Это можно визуализировать с помощью полярной формы ; он всюду непрерывен, но его производные в (0, 0) не могут быть вычислены алгебраически. Скорее, предел разностных частных показывает, что, таким образом, график имеет горизонтальную касательную плоскость в (0, 0), а частные производные существуют и всюду непрерывны. Однако вторые частные производные не являются непрерывными в (0, 0), и симметрия нарушается. Фактически, по оси x производная y равна, и поэтому: ${\ Displaystyle е (г \ соз (\ тета), г \ грех (\ тета)) = {\ гидроразрыва {г ^ {2} \ грех (4 \ тета)} {4}}}$${\ displaystyle f_ {x} (0,0) = f_ {y} (0,0) = 0}$${\ Displaystyle г = е (х, у)}$${\ displaystyle f_ {x}, f_ {y}}$${\ displaystyle f_ {y} (х, 0) = х}$

${\ displaystyle f_ {yx} (0,0) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {\ frac {f_ {y} (\ varepsilon, 0) -f_ {y} (0,0)} {\ varepsilon}} = 1.}$

В противоположность этому, вдоль у оси х х -производной, и так. То есть в точке (0, 0), хотя смешанные частные производные существуют, и в каждой другой точке симметрия сохраняется. ${\ displaystyle f_ {x} (0, y) = - y}$${\ displaystyle f_ {xy} (0,0) = - 1}$${\ displaystyle f_ {yx} \ neq f_ {xy}}$

Вышеупомянутая функция, записанная в цилиндрической системе координат, может быть выражена как

${\ Displaystyle е (г, \, \ тета) = {\ гидроразрыва {г ^ {2} \ грех {4 \ тета}} {4}},}$

показывая, что функция осциллирует четыре раза, когда проходит один раз вокруг произвольно малого цикла, содержащего начало координат. Интуитивно поэтому, локальное поведение функции в (0, 0) не может быть описано как квадратичная форма, и, таким образом, матрица Гессе не может быть симметричной.

В общем, обмен ограничивающими операциями не требует коммутации. Учитывая две переменные вблизи (0, 0) и два предельных процесса на

${\ Displaystyle е (час, \, к) -f (час, \, 0) -f (0, \, к) + f (0, \, 0)}$

соответствующий сначала сделать h → 0, и сначала сделать k → 0. Это может иметь значение, если посмотреть на условия первого порядка, которые применяются в первую очередь. Это приводит к построению патологических примеров, в которых вторые производные несимметричны. Такого рода пример относится к теории реального анализа, где имеет значение точечное значение функций. Если рассматривать как распределение, значения второй частной производной могут быть изменены в произвольном наборе точек, если это имеет меру Лебега 0. Поскольку в примере гессиан симметричен всюду, кроме (0, 0), нет противоречия с тот факт, что гессиан, рассматриваемый как распределение Шварца, является симметричным.

Рассмотрим дифференциальные операторы первого порядка D i как инфинитезимальные операторы в евклидовом пространстве. То есть, D я в некотором смысле порождает группу, один параметр из сдвигов, параллельная й я Оу. Эти группы коммутируют друг с другом, а значит, и бесконечно малые образующие ; скобка Ли

[ D i, D j ] = 0

является отражением этого свойства. Другими словами, производная Ли одной координаты по другой равна нулю.

Клеро-Schwarz теорема является ключевым фактом, нужно доказать, что для каждого (или, по крайней мере дважды дифференцируемой) дифференциальной формы, второго внешней производной обращается в нуль:. Это означает, что каждая дифференцируемая точная форма (т. Е. Такая форма, что для некоторой формы) замкнута (т. Е.), Поскольку. ${\ displaystyle C ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega ^ {k} (M)}$${\ displaystyle d ^ {2} \ omega: = d (d \ omega) = 0}$ ${\ displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ альфа = д \ омега}$${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle d \ alpha = 0}$${\ Displaystyle д \ альфа = д (д \ омега) = 0}$

В середине XVIII века теория дифференциальных форм впервые была изучена в простейшем случае 1-форм на плоскости, т. Е. Где и - функции на плоскости. Изучение 1-форм и дифференциалов функций началось с работ Клеро 1739 и 1740 годов. На этом этапе его исследования интерпретировались как способы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Формально Клеро показал, что 1-форма на открытом прямоугольнике замкнута, т. Е. Если и только имеет форму для некоторой функции в круге. Решение для можно записать с помощью интегральной формулы Коши ${\ Displaystyle A \, dx + B \, dy}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$ ${\ Displaystyle \ omega = A \, dx + B \, dy}$${\ displaystyle d \ omega = 0}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle df}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle f (x, y) = \ int _ {x_ {0}} ^ {x} A (x, y) \, dx + \ int _ {y_ {0}} ^ {y} B (x, y) \, dy;}$

в то время как если, закрытое свойство является идентификатором. (На современном языке это одна из версий леммы Пуанкаре. ) ${\ displaystyle \ omega = df}$${\ displaystyle d \ omega = 0}$${\ displaystyle \ partial _ {x} \ partial _ {y} f = \ partial _ {y} \ partial _ {x} f}$

• Аксой, А.; Мартелли, M. (2002), "смешанных производных и теоремы Фубини", колледж математики Журнал MAA, 33 (2): 126-130, DOI : 10,1080 / 07468342.2002.11921930, S2CID   124561972
• Аллен, RGD (1964). Математический анализ для экономистов. Нью-Йорк: Издательство Св. Мартина. ISBN   9781443725224.
• Апостол, Том М. (1965), Математический анализ: современный подход к продвинутому исчислению, Лондон: Addison-Wesley, OCLC   901554874
• Апостол, Том М. (1974), Математический анализ, Addison-Wesley, ISBN   9780201002881
• Акслер, Шелдон (2020), Измерение, интеграция и реальный анализ, Тексты для выпускников по математике, 282, Springer, ISBN   9783030331436
• Бурбаки, Николя (1952), «Глава III: Mesures sur les espaces localement compacts», Eléments de mathématique, Livre VI: Intégration (на французском языке), Hermann et Cie
• Burkill, JC (1962), Первый курс математического анализа, Cambridge University Press, ISBN   9780521294683 (перепечатано в 1978 г.)
• Картан, Анри (1971), Calcul Differentiel (на французском языке), Герман, ISBN   9780395120330
• Clairaut, AC (1739), "Recherches générales sur le Calcul intégral", Mémoires de l'Académie Royale des Sciences: 425–436
• Clairaut, AC (1740), «Sur l'integration ou la построение дифференциальных уравнений первого порядка », Mémoires de l'Académie Royale des Sciences, 2: 293–323
• Дьедонне, Дж. (1937), «Sur les fonctions продолжает numérique définies dans une produit de deux espaces compacts», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 205: 593–595
• Дьедонне, Дж. (1960), Основы современного анализа, чистой и прикладной математики, 10, Academic Press, ISBN   9780122155505
• Дьедонне, Дж. (1976), Трактат по анализу. Vol. II., Чистая и прикладная математика, 10-II, перевод И. Г. Макдональда, Academic Press, ISBN   9780122155024
• Эйлер, Леонард (1740). «De infinitis curvis eiusdem generis seu methodus inveniendi aequationes pro infinitis curvis eiusdem generis» [О бесконечных (или многих) кривых одного типа, то есть метод нахождения уравнений для бесконечных (или многих) кривых одного типа]. Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae (на латыни). 7: 174–189, 180–183 - из архива Эйлера, поддерживаемого Тихоокеанским университетом.
• Гилки, Питер; Пак, Чонхён; Васкес-Лоренцо, Рамон (2015), Аспекты дифференциальной геометрии I, Синтез лекций по математике и статистике, 15, Морган и Клейпул, ISBN   9781627056632
• Годеман, Роджер (1998a), Analyze mathématique I, Springer
• Годеман, Роджер (1998b), Analyze mathématique II, Springer
• Хиггинс, Томас Джеймс (1940). «Заметка об истории смешанных частных производных». Scripta Mathematica. 7: 59–62. Архивировано из оригинала на 2017-04-19. Проверено 19 апреля 2017.
• Хобсон, EW (1921), Теория функций действительного переменного и теория рядов Фурье. Vol. I., Cambridge University Press
• Хёрмандер, Ларс (2015), Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными I: теория распределений и анализ Фурье, Classics in Mathematics (2nd ed.), Springer, ISBN   9783642614972
• Хаббард, Джон; Хаббард, Барбара (2015). Векторное исчисление, линейная алгебра и дифференциальные формы (5-е изд.). Matrix Editions. ISBN   9780971576681.
• Джеймс, Р. К. (1966). Расширенный расчет. Бельмонт, Калифорния: Уодсворт.
• Иордания, Камилла (1893), Политехнический курс по анализу экологии. Том I. Calcul différentiel (Les Grands Classiques Gauthier-Villars), Издательство Жака Габа]
• Кац, Виктор Дж (1981), "История дифференциальных форм от Клеро к Пуанкаре", Хистория Mathematica, 8 (2): 161-188, DOI : 10,1016 / 0315-0860 (81) 90027-6
• Лэнг, Серж (1969), настоящий анализ, Addison-Wesley, ISBN   0201041790
• Lindelöf, EL (1867), "Remarques sur les différentes manières d'établir la formule d ² z / dx dy = d ² z / dy dx", Acta Societatis Scientiarum Fennicae, 8: 205–213
• Лумис, Линн Х. (1953), Введение в абстрактный гармонический анализ, Д. Ван Ностранд, hdl : 2027 / uc1.b4250788
• МакГрат, Питер Дж. (2014), «Другое доказательство теоремы Клеро», Amer. Математика. Ежемесячно, 121 (2): 165–166, doi : 10.4169 / amer.math.monthly.121.02.165, S2CID   12698408
• Мингуцци, Э. (2015). «Равенство смешанных частных производных при условиях слабой дифференцируемости». Обмен реального анализа. 40: 81–98. arXiv : 1309,5841. DOI : 10,14321 / realanalexch.40.1.0081. S2CID   119315951.
• Нахбин, Леопольдо (1965), Элементы теории приближения, Notas de Matemática, 33, Рио-де-Жанейро: Fascículo publicado pelo Instituto de Matemática Pura e Aplicada do Conselho Nacional de Pesquisas
• Рудин, Уолтер (1976), Принципы математического анализа, Международная серия по чистой и прикладной математике, McGraw-Hill, ISBN   0-07-054235-X
• Сандифер, К. Эдвард (2007), «Смешанные частные производные равны», Ранняя математика Леонарда Эйлера, Vol. 1, Американская математическая ассоциация, ISBN   9780883855591
• Schwarz, HA (1873), «Коммуникация», Archives des Sciences Physiques et Naturelles, 48: 38–44.
• Спивак, Майкл (1965), Исчисление на многообразиях. Современный подход к классическим теоремам продвинутого исчисления, В. А. Бенджамин
• Тао, Теренс (2006), Анализ II (PDF), Тексты и материалы по математике, 38, Книжное агентство Hindustan, DOI : 10.1007 / 978-981-10-1804-6, ISBN   8185931631
• Титчмарш, EC (1939), Теория функций (2-е изд.), Oxford University Press
• Ту, Лоринг В. (2010), Введение в многообразия (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer, ISBN   978-1-4419-7399-3

• "Частная производная", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]