Мера Лебега

редактировать

В теории меры, разделе математики, мера Лебега, названный в честь французского математика Анри Лебега, является стандартным способом присвоения меры подмножествам n-мерного Евклидово пространство. Для n = 1, 2 или 3 он совпадает со стандартной мерой длина, площадь или объем. В общем, его также называют n-мерным объемом, n-объемом или просто объемом . Он используется во всем реальном анализе, в частности, для определения интеграции Лебега. Множества, которым может быть назначена мера Лебега, называются измеримыми по Лебегу ; здесь мера измеримого по Лебегу множества A обозначается через λ (A).

Анри Лебег описал эту меру в 1901 году, а в следующем году он описал интеграл Лебега. Оба были опубликованы как часть его диссертации в 1902 году.

Мера Лебега часто обозначается dx, но ее не следует путать с отдельным понятием формы тома.

Содержание

  • 1 Определение
    • 1.1 Интуиция
  • 2 Примеры
  • 3 Свойства
  • 4 Нулевые наборы
  • 5 Построение меры Лебега
  • 6 Связь с другими мерами
  • 7 См. Также
  • 8 Ссылки

Определение

Для подмножества E ⊆ R {\ displaystyle E \ substeq \ mathbb {R}}E \ substeq {\ mathbb {R}} с длиной interval I = [a, b] (или I = (a, b)) {\ displaystyle I = [a, b] {\ text {(или}} I = (a, b))}{\ displaystyle I = [a, b] {\ text {(или}} I = (a, b))} задается как ℓ (I) = b - a {\ displaystyle \ ell (I) = ba}{\ displaystyle \ ell (I) = ba} , внешняя мера Лебега λ ∗ ( E) {\ displaystyle \ lambda ^ {*} (E)}\ lambda ^ * (E) определяется как

λ ∗ (E) = inf ⁡ {∑ k = 1 ∞ ℓ (I k): (I k) k ∈ N - это последовательность открытых интервалов с E ⊆ ⋃ k = 1 ∞ I k} {\ displaystyle \ lambda ^ {*} (E) = \ operatorname {inf} \ left \ {\ sum _ {k = 1 } ^ {\ infty} \ ell ( I_ {k}): {(I_ {k}) _ {k \ in \ mathbb {N}}} {\ text {- последовательность открытых интервалов с}} E \ substeq \ bigcup _ {k = 1} ^ {\ infty} I_ {k} \ right \}}{\ displaystyle \ lambda ^ {*} (E) = \ operatorname {inf} \ left \ {\ sum _ {k = 1} ^ {\ infty } \ ell (I_ {k}): {(I_ {k}) _ {k \ in \ mathbb {N}}} {\ text {- последовательность открытого inte rvals с}} E \ substeq \ bigcup _ {k = 1} ^ {\ infty} I_ {k} \ right \}} .

Мера Лебега определена на σ-алгебре Лебега, которая представляет собой набор всех множеств E {\ displaystyle E}E , которые удовлетворяют «критерию Каратеодори », который требует, чтобы для каждого A ⊆ R {\ displaystyle A \ substeq \ mathbb {R}}{\ displaystyle A \ substeq \ mathbb {R}} ,

λ ∗ (A) знак равно λ ∗ (A ∩ E) + λ ∗ (A ∩ E c) {\ displaystyle \ lambda ^ {*} (A) = \ lambda ^ {*} (A \ cap E) + \ lambda ^ {*} ( A \ cap E ^ {c})}\ lambda ^ * (A) = \ lambda ^ * (A \ cap E) + \ lambda ^ * (A \ cap E ^ c)

Для любого множества в σ-алгебре Лебега его мера Лебега задается его внешней мерой Лебега λ (E) = λ ∗ (E) {\ displaystyle \ lambda (E) = \ lambda ^ {*} (E)}\ lambda (E) = \ lambda ^ * (E) .

Множества, не входящие в σ-алгебру Лебега, не измеримы по Лебегу. Такие наборы действительно существуют (например, наборы Витали ), т. Е. Содержание σ-алгебры Лебега в наборе мощности из R {\ displaystyle \ mathbb {R}}{\ displaystyle \ mathbb {R}} строгий.

Интуиция

Первая часть определения гласит, что подмножество E {\ displaystyle E}E действительных чисел сокращено до внешней меры за счет покрытия наборами открытых интервалов. Каждый из этих наборов интервалов I {\ displaystyle I}I охватывает E {\ displaystyle E}E в том смысле, что, когда интервалы объединяются вместе путем объединения, они содержат E {\ displaystyle E}E . Общая длина любого набора интервалов покрытия может легко переоценить меру E {\ displaystyle E}E , потому что E {\ displaystyle E}E является подмножеством объединение интервалов, и поэтому интервалы могут включать точки, которые не находятся в E {\ displaystyle E}E . Внешняя мера Лебега возникает как точная нижняя граница (infimum) длин из всех возможных таких множеств. Интуитивно понятно, что это общая длина тех наборов интервалов, которые наиболее точно соответствуют E {\ displaystyle E}E и не перекрываются.

Это характеризует внешнюю меру Лебега. Переводит ли эта внешняя мера в собственно меру Лебега, зависит от дополнительного условия. Это условие проверяется путем взятия подмножеств A {\ displaystyle A}A действительных чисел с использованием E {\ displaystyle E}E в качестве инструмента для разделения A {\ displaystyle A}A на два раздела: часть A {\ displaystyle A}A , которая пересекается с E {\ displaystyle E}E и оставшаяся часть A {\ displaystyle A}A , которая не находится в E {\ displaystyle E}E : установленная разница A {\ displaystyle A}A и E {\ displaystyle E}E . Эти разделы A {\ displaystyle A}A подлежат внешней мере. Если для всех возможных таких подмножеств A {\ displaystyle A}A вещественных чисел, разделы A {\ displaystyle A}A разделены на E {\ displaystyle E}E имеют внешние меры, сумма которых является внешней мерой A {\ displaystyle A}A , а затем внешней мерой Лебега E {\ displaystyle E}E дает меру Лебега. Интуитивно это условие означает, что набор E {\ displaystyle E}E не должен обладать любопытными свойствами, которые вызывают несоответствие в измерениях другого набора, когда E {\ displaystyle E}E используется как «маска» для «отсечения» этого множества, намекая на существование множеств, для которых внешняя мера Лебега не дает меры Лебега. (Такие множества, на самом деле, не измеримы по Лебегу.)

Примеры

Свойства

Трансляционная инвариантность: мера Лебега A {\ displaystyle A}A и A + t {\ displaystyle A + t}A + t одинаковы.

Мера Лебега на R имеет следующие свойства:

  1. Если A - декартово произведение из интервалов I1× I 2 ×... × I n, тогда A измеримо по Лебегу и λ (A) = | I 1 | ⋅ | I 2 | ⋯ | I n |. {\ displaystyle \ lambda (A) = | I_ {1} | \ cdot | I_ {2} | \ cdots | I_ {n} |.}\ lambda (A) = | I_1 | \ cdot | I_2 | \ cdots | I_n |. Здесь | I | обозначает длину интервала I.
  2. Если A является непересекающимся объединением счетного числа непересекающихся множеств, измеримых по Лебегу, то A само измеримо по Лебегу и λ (A) равно сумме (или бесконечному ряду ) мер участвующих измеримых множеств.
  3. Если A измеримо по Лебегу, то его дополнение.
  4. λ (A) ≥ 0 для любого измеримого по Лебегу множества A.
  5. Если A и B измеримы по Лебегу и A является подмножеством B, то λ (A) ≤ λ (B). (Следствие 2, 3 и 4.)
  6. Счетные объединения и пересечения множеств, измеримых по Лебегу, измеримы по Лебегу. (Не является следствием 2 и 3, поскольку семейство множеств, замкнутое относительно дополнений и непересекающихся счетных объединений, не обязательно должно быть замкнутым относительно счетных объединений: {∅, {1, 2, 3, 4}, { 1, 2}, {3, 4}, {1, 3}, {2, 4}} {\ displaystyle \ {\ emptyset, \ {1,2,3,4 \}, \ {1,2 \}, \ {3,4 \}, \ {1,3 \}, \ {2,4 \} \}}\ {\ emptyset, \ {1,2,3,4 \}, \ {1,2 \}, \ { 3,4 \}, \ {1,3 \}, \ {2,4 \} \} .)
  7. Если A является открытым или закрытым подмножеством R (или даже борелевское множество, см. метрическое пространство ), то A измеримо по Лебегу.
  8. Если A - лебеговское измеримое множество, то оно «приблизительно открыто» и «приблизительно замкнуто» в смысле меры Лебега (см. теорему регулярности для меры Лебега ).
  9. Измеримое по Лебегу множество можно «втиснуть» между содержащим открытым множеством и содержащееся замкнутое множество. Это свойство использовалось в качестве альтернативного определения измеримости по Лебегу. Точнее, E ⊂ R {\ displaystyle E \ subset \ mathbb {R}}{\ displaystyle E \ subset \ mathbb {R}} измеримо по Лебегу тогда и только тогда, когда для каждого ε>0 {\ displaysty le \ varepsilon>0}\varepsilon>0 существует открытый набор G {\ displaystyle G}G и закрытый набор F {\ displaystyle F}F такие, что F ⊂ E ⊂ G {\ displaystyle F \ subset E \ subset G}{ \ displaystyle F \ subset E \ subset G} и λ (G ∖ F) < ε {\displaystyle \lambda (G\setminus F)<\varepsilon }{\ displaystyle \ lambda (G \ setminus F) <\ varepsilon} .
  10. Измеримое по Лебегу множество можно «втиснуть» между содержащим Gδмножеством и содержит . Т.е. если A измеримо по Лебегу, то существуют Gδмножество G и F такие, что G ⊇ A ⊇ F и λ (G \ A) = λ (A \ F) = 0.
  11. мера Лебега и локально конечна, и внутренняя регулярная, поэтому она мера Радона.
  12. мера Лебега строго положительна на непустых открытых множествах, и поэтому его опорой является все R.
  13. Если A - измеримое по Лебегу множество с λ (A) = 0 (нулевое множество ), то каждое подмножество A также является нулевым множеством. Тем более, каждое подмножество A измеримо.
  14. Если A измеримо по Лебегу и x является элементом R, то преобразование A на x, определяется как A + x = {a + x: a ∈ A}, также измеримо по Лебегу и имеет ту же меру, что и A.
  15. Если A измеримо по Лебегу и δ>0 {\ displaystyle \ delta>0}\delta>0 , затем расширение A {\ displaystyle A}A на δ {\ displaystyle \ delta}\ delta , определяемое δ A = { δ x: x ∈ A} {\ displaystyle \ delta A = \ {\ delta x: x \ in A \}}\ delta A = \ {\ delta x: x \ in A \} также измеримо по Лебегу и имеет меру δ n λ (A). {\ displaystyle \ delta ^ {n} \ lambda \, (A).}\ delta ^ { n} \ lambda \, (A).
  16. В более общем смысле, если T - линейное преобразование, а A - измеримое подмножество R, то T (A) также измеримо по Лебегу и имеет меру | det (T) | λ (A) {\ displaystyle \ left | \ det (T) \ right | \ la mbda (A)}{\ displaystyle \ left | \ det (T) \ right | \ lambda (A)} .

Все вышесказанное можно кратко резюмировать следующим образом:

Измеримые по Лебегу множества образуют σ-алгебру, содержащую все произведения интервалов, а λ - единственное полная трансляционно-инвариантная мера на этой σ-алгебре с λ ([0, 1] × [0, 1] × ⋯ × [0, 1 ]) = 1. {\ displaystyle \ lambda ([0,1] \ times [0,1] \ times \ cdots \ times [0,1]) = 1.}\ lambda ([0,1] \ times [0, 1] \ times \ cdots \ times [0, 1]) = 1.

Мера Лебега также обладает свойством σ-конечное.

Нулевые множества

Подмножество R является нулевым множеством, если для каждого ε>0 оно может быть покрыто счетным числом произведений n интервалы, общий объем которых не превосходит ε. Все счетные наборы являются пустыми.

Если подмножество R имеет размерность Хаусдорфа меньше n, то это нулевое множество по отношению к n-мерной мере Лебега. Здесь размерность Хаусдорфа относится к евклидовой метрике на R (или любой эквивалентной ей метрике Липшица ). С другой стороны, набор может иметь топологическую размерность меньше n и иметь положительную n-мерную меру Лебега. Примером этого является множество Смита – Вольтерры – Кантора, которое имеет топологическую размерность 0, но имеет положительную одномерную меру Лебега.

Чтобы показать, что данное множество A измеримо по Лебегу, обычно пытаются найти «более хорошее» множество B, которое отличается от A только нулевым набором (в том смысле, что симметричный разница (A - B) ∪ {\ displaystyle \ cup}\ cup (B - A) - нулевое множество), а затем показать, что B может быть сгенерирован с использованием счетных объединений и пересечений из открытых или закрытые наборы.

Построение меры Лебега

Современное построение меры Лебега - это приложение теоремы Каратеодори о продолжении. Происходит это следующим образом.

Зафиксируем n ∈ N . A коробка в R представляет собой набор формы

B = ∏ i = 1 n [ai, bi], {\ displaystyle B = \ prod _ {i = 1 } ^ {n} [a_ {i}, b_ {i}] \,,}B = \ prod_ {i = 1} ^ n [a_i, b_i] \,,

где b i ≥ a i, а символ произведения здесь представляет декартову товар. Объем этого ящика определяется как

vol ⁡ (B) = ∏ i = 1 n (b i - a i). {\ displaystyle \ operatorname {vol} (B) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} (b_ {i} -a_ {i}) \,.}\ operatorname {vol} (B) = \ prod_ {i = 1 } ^ n (b_i-a_i) \,.

Для любого подмножества A из R, мы можем определить его внешнюю меру λ * (A) следующим образом:

λ ∗ (A) = inf {∑ B ∈ C vol ⁡ (B): C - счетный набор ящиков, объединение которых покрывает A}. {\ displaystyle \ lambda ^ {*} (A) = \ inf \ left \ {\ sum _ {B \ in {\ mathcal {C}}} \ operatorname {vol} (B): {\ mathcal {C}} {\ text {- счетный набор ящиков, объединение которых покрывает}} A \ right \}.}{\ displaystyle \ lambda ^ {*} (A) = \ inf \ left \ {\ sum _ {B \ in {\ mathcal { C}}} \ operatorname {vol} (B): {\ mathcal {C}} {\ text {- это счетный набор блоков, объединение которых покрывает}} A \ right \}.}

Затем мы определяем множество A как измеримое по Лебегу, если для каждого подмножества S из R,

λ ∗ (S) = λ ∗ (S ∩ A) + λ ∗ (S ∖ A). {\ displaystyle \ lambda ^ {*} (S) = \ lambda ^ {*} (S \ cap A) + \ lambda ^ {*} (S \ setminus A) \,.}\ lambda ^ * (S) = \ lambda ^ * (S \ cap A) + \ lambda ^ * (S \ setminus A) \,.

Эти множества, измеримые по Лебегу образуют σ-алгебру, а мера Лебега определяется как λ (A) = λ * (A) для любого измеримого по Лебегу множества A.

Существование множеств, которые не являются Измеримость по Лебегу является следствием определенной теоретико-множественной аксиомы, аксиомы выбора, которая не зависит от многих традиционных систем аксиом для теории множеств. Теорема Витали, которая следует из аксиомы, утверждает, что существуют подмножества R, которые не измеримы по Лебегу. Принимая аксиому выбора, неизмеримые множества со многими удивительными свойствами были продемонстрированы, например, из парадокса Банаха – Тарского.

. В 1970 году Роберт М. Соловей показал, что существование множеств, не измеримых по Лебегу, не может быть доказано в рамках теории множеств Цермело – Френкеля в отсутствие аксиомы выбора (см. модель Соловея ).

Связь с другими мерами

Мера Бореля согласуется с мерой Лебега на тех множествах, для которых она определена; однако существует намного больше измеримых по Лебегу множеств, чем измеримых по Борелю множеств. Мера Бореля трансляционно-инвариантна, но не полной.

Мера Хаара может быть определена на любой локально компактной группе и является обобщением меры Лебега (R со сложением - локально компактная группа).

Мера Хаусдорфа является обобщением меры Лебега, которая является полезной ul для измерения подмножеств R более низких размерностей, чем n, таких как подмногообразия, например, поверхности или кривые в R и фрактале наборы. Меру Хаусдорфа не следует путать с понятием размерности Хаусдорфа.

. Можно показать, что не существует бесконечномерного аналога меры Лебега.

См. Также

Литература

Последняя правка сделана 2021-05-26 04:33:27
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте