Идентичность (математика)

редактировать

Визуальное подтверждение пифагорейской идентичности : для любого угол

θ {\ displaystyle \ theta}

\ theta

, точка

(x, y) = (cos ⁡ θ, sin ⁡ θ) {\ displaystyle (x, y) = (\ cos \ theta, \ sin \ theta)}

{\ displaystyle (x, y) = (\ cos \ theta, \ sin \ theta)}

лежит на единичной окружности, что удовлетворяет уравнению

x 2 + y 2 = 1 {\ displaystyle x ^ {2} + у ^ {2} = 1}

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}

. Таким образом,

cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 {\ displaystyle \ cos ^ {2} \ theta + \ sin ^ {2} \ theta = 1}

{\ displaystyle \ cos ^ {2} \ theta + \ sin ^ {2} \ theta = 1}

В математике, тождество - это равенство, связывающее одно математическое выражение A с другим математическим выражением B, так что A и B (которые могут содержать некоторые переменные ) производят одинаковые значение для всех значений переменных в пределах определенного диапазона допустимости. Другими словами, A = B - это тождество, если A и B определяют одни и те же функции, а тождество - это равенство между функциями, которые определены по-разному. Например, $(a + b) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 {\ displaystyle (a + b) ^ {2} = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}}$ ${\ displaystyle (a + b) ^ {2} = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}}$ и $cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 {\ displaystyle \ cos ^ {2} \ theta + \ sin ^ {2} \ theta = 1}$ ${\ displaystyle \ cos ^ {2} \ theta + \ sin ^ {2} \ theta = 1}$ - тождества. Идентичности иногда обозначаются тройной чертой символом ≡ вместо =, знаком равенства.

Содержание

1 Общие идентичности
- 1.1 Алгебраические идентичности
- 1.2 Тригонометрические идентичности
- 1.3 Экспоненциальные тождества
- 1.4 Логарифмические тождества
  - 1.4.1 Произведение, частное, степень и корень
  - 1.4.2 Изменение основания
- 1.5 Тождества гиперболических функций
2 Логическая и универсальная алгебра
3 См. Также
4 Ссылки
5 Внешние ссылки

Общие идентификаторы

Алгебраические идентификаторы

Некоторые идентификаторы, такие как $a + 0 = a {\ displaystyle a + 0 = a}$ ${\ displaystyle a + 0 = a}$ и $a + (- a) = 0 {\ displaystyle a + (- a) = 0}$ ${\ displaystyle a + (- a) = 0}$ , составляют основу алгебры, в то время как другие тождества, например $(a + b) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 {\ displaystyle (a + b) ^ {2} = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}}$ ${\ displaystyle (a + b) ^ {2} = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}}$ и $a 2 - b 2 = (a + b) (a - b) {\ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (ab)}$ $a ^ 2 - b ^ 2 = (a + b) (ab)$ , может быть полезно для упрощения алгебраических выражений и их расширения.

Тригонометрические тождества

Геометрически тригонометрические тождества - это тождества, включающие определенные функции одного или нескольких углов. Они отличаются от тождеств треугольника , которые представляют собой тождества, включающие как углы, так и длины сторон треугольника . В этой статье рассматриваются только первые.

Эти тождества полезны, когда необходимо упростить выражения, включающие тригонометрические функции. Другим важным приложением является интегрирование нетригонометрических функций: распространенный метод, который включает сначала использование правила подстановки с тригонометрической функцией, а затем упрощение итогового интеграла с помощью тригонометрического тождества.

Один из наиболее ярких примеров тригонометрических тождеств включает уравнение $sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1, {\ displaystyle \ sin ^ {2} \ theta + \ cos ^ {2 } \ theta = 1,}$ ${\ displaystyle \ sin ^ {2} \ theta + \ соз ^ {2} \ theta = 1,}$ , что верно для всех комплексных значений $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ (поскольку комплексные числа $C {\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {C}$ образуют область синуса и косинуса). С другой стороны, уравнение

cos ⁡ θ = 1 {\ displaystyle \ cos \ theta = 1}

{\ displaystyle \ cos \ theta = 1}

верно только для определенных значений $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ , не все (ни для всех значений в окрестности ). Например, это уравнение верно, когда $θ = 0, {\ displaystyle \ theta = 0,}$ ${\ displaystyle \ theta = 0,}$ , но неверно, когда $θ = 2 {\ displaystyle \ theta = 2}$ $\ theta = 2$ .

Другая группа тригонометрических тождеств касается так называемых формул сложения / вычитания (например, тождество с двойным углом $sin ⁡ (2 θ) = 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ {\ displaystyle \ sin (2 \ theta) = 2 \ sin \ theta \ cos \ theta}$ ${\ displaystyle \ sin ( 2 \ theta) = 2 \ sin \ theta \ cos \ theta}$ , формула сложения для $tan ⁡ (x + y) {\ displaystyle \ tan (x + y)}$ ${\ displaystyle \ tan (x + y)}$ ), которая может использоваться, чтобы разбить выражения больших углов на те, которые содержат меньшие составляющие.

Экспоненциальные тождества

Следующие тождества верны для всех целочисленных показателей, при условии, что основание ненулевое:

bm + n = bm ⋅ bn (bm) n = bm ⋅ n (б ⋅ с) n знак равно bn ⋅ cn {\ displaystyle {\ begin {выровнено} b ^ {m + n} = b ^ {m} \ cdot b ^ {n} \\ (b ^ {m}) ^ {n} = b ^ {m \ cdot n} \\ (b \ cdot c) ^ {n} = b ^ {n} \ cdot c ^ {n} \ end {align}}}

{\ begin {align} b ^ { m + n} = b ^ {m} \ cdot b ^ {n} \\ (b ^ {m}) ^ {n} = b ^ {m \ cdot n} \\ (b \ cdot c) ^ {n} = b ^ {n} \ cdot c ^ {n} \ end {align}}

В отличие от сложение и умножение, возведение в степень не коммутативное. Например, 2 + 3 = 3 + 2 = 5 и 2 · 3 = 3 · 2 = 6, но 2 = 8, тогда как 3 = 9.

И в отличие от сложения и умножения, возведение в степень не ассоциативный тоже. Например, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 и (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24, но 2 к 4 равно 8 (или 4096)., а 2 к 3 - 2 (или 2 417 851 639 229 258 349 412 352). Без круглых скобок для изменения порядка вычислений, по соглашению порядок идет сверху вниз, а не снизу вверх:

b p q = b (p q) ≠ (b p) q = b (p ⋅ q) = b p ⋅ q. {\ displaystyle b ^ {p ^ {q}} = b ^ {(p ^ {q})} \ neq (b ^ {p}) ^ {q} = b ^ {(p \ cdot q)} = b ^ {p \ cdot q}.}

b ^ {p ^ {q}} = b ^ {(p ^ {q})} \ neq (b ^ {p}) ^ {q} = b ^ {(p \ cdot q)} = b ^ {p \ cdot q}.

Логарифмические тождества

Несколько важных формул, иногда называемых логарифмическими тождествами или логарифмическими законами, связывают логарифмы друг с другом.

Произведение, частное, степень и корень

Логарифм произведения - это сумма логарифмов умножаемых чисел; логарифм отношения двух чисел - это разность логарифмов. Логарифм p-й степени числа равен p, умноженному на логарифм самого числа; Логарифм корня p-й степени - это логарифм числа, деленного на p. В следующей таблице перечислены эти удостоверения с примерами. Каждая из идентичностей может быть получена после подстановки определений логарифма x = b и / или y = b в левых частях.

	Формула	Пример
продукт	$log b ⁡ (xy) = log b ⁡ (x) + log b ⁡ (y) {\ displaystyle \ log _ {b} (xy) = \ log _ {b} (x) + \ log _ {b} (y)}$ ${\ displaystyle \ log _ {b} (xy) = \ журнал _ {b} (х) + \ журнал _ {b} (y)}$	$журнал 3 ⁡ (243) = журнал 3 ⁡ (9 ⋅ 27) = журнал 3 ⁡ (9) + журнал 3 ⁡ (27) = 2 + 3 = 5 {\ Displaystyle \ log _ {3} (243) = \ log _ {3} (9 \ cdot 27) = \ log _ {3} (9) + \ log _ {3 } (27) = 2 + 3 = 5}$ ${\ displaystyle \ log _ {3} (243) = \ log _ {3} (9 \ cdot 27) = \ log _ {3} (9) + \ log _ {3} (27) = 2 + 3 = 5}$
частное	$log b (xy) = log b ⁡ (x) - log b ⁡ (y) {\ displaystyle \ log _ {b} \! \ Left ({\ frac {x} {y}} \ right) = \ log _ {b} (x) - \ log _ {b} (y)}$ ${\ displaystyle \ log _ {b} \! \ left ({\ frac {x} {y}} \ right) = \ log _ {b} (x) - \ log _ {b} (y)}$	$log 2 ⁡ (16) = log 2 (64 4) = журнал 2 ⁡ (64) - журнал 2 ⁡ (4) = 6 - 2 = 4 {\ displaystyle \ log _ {2} (16) = \ log _ {2} \! \ left ({\ frac {64 } {4}} \ right) = \ log _ {2} (64) - \ log _ {2} (4) = 6-2 = 4}$ $\ log _ {2} (16) = \ log _ {2} \! \ Left ({\ frac {64} {4 }} \ right) = \ log _ {2} (64) - \ log _ {2} (4) = 6-2 = 4$
степень	$log b ⁡ (xp) = p журнал б ⁡ (Икс) {\ Displaystyle \ журнал _ {b} (х ^ {p}) = p \ журнал _ {b} (x)}$ ${\ displaystyle \ log _ {b} (x ^ {p}) = p \ log _ {b} (x)}$	$журнал 2 ⁡ (64) = журнал 2 ⁡ (2 6) = 6 журнал 2 ⁡ (2) = 6 {\ Displaystyle \ журнал _ {2} (64) = \ журнал _ {2} (2 ^ {6}) = 6 \ журнал _ {2} (2) = 6 }$ ${\ displaystyle \ log _ {2} (64) = \ log _ {2} (2 ^ {6}) = 6 \ log _ {2} (2) = 6}$
корень	$журнал b ⁡ xp = журнал b ⁡ (x) p {\ displaystyle \ log _ {b} {\ sqrt [{p}] {x}} = {\ frac {\ log _ { b} (x)} {p}}}$ ${\ displaystyle \ log _ {b} {\ sqrt [{p}] {x}} = {\ frac { \ log _ {b} (x)} {p}}}$	$журнал 10 ⁡ 1000 = 1 2 журнал 10 ⁡ 1000 = 3 2 = 1,5 {\ displaystyle \ log _ {10} {\ sqrt {1000}} = {\ frac {1} {2}} \ log _ {10} 1000 = {\ frac {3} {2}} = 1.5}$ $\ log _ {10} {\ sqrt {1000}} = {\ frac {1} {2}} \ log _ {10} 1000 = {\ frac {3} {2}} = 1,5$

Изменение основания

Логарифм log b (x) может быть вычислен из логарифмов x и b относительно произвольного основание k по следующей формуле:

log b ⁡ (x) = log k ⁡ (x) log k ⁡ (b). {\ displaystyle \ log _ {b} (x) = {\ frac {\ log _ {k} (x)} {\ log _ {k} (b)}}.}

{\ displaystyle \ log _ {b} (x) = {\ frac {\ log _ {k} (x)} {\ log _ {k } (b)}}.}

Типичные научные калькуляторы вычислить логарифмы с основанием 10 и e. Логарифмы по основанию b могут быть определены с использованием любого из этих двух логарифмов по предыдущей формуле:

log b ⁡ (x) = log 10 ⁡ (x) log 10 ⁡ (b) = log e ⁡ (x) войти e ⁡ (б). {\ displaystyle \ log _ {b} (x) = {\ frac {\ log _ {10} (x)} {\ log _ {10} (b)}} = {\ frac {\ log _ {e} (x)} {\ log _ {e} (b)}}.}

{\ displaystyle \ log _ {b} (x) = {\ frac {\ log _ {10} (x)} {\ log _ {10} (b)}} = {\ frac {\ log _ {e} (x)} {\ log _ {e} (b)}}.}

Для числа x и его логарифма log b (x) с неизвестным основанием b, основание задается следующим образом: :

b = x 1 журнал b ⁡ (x). {\ displaystyle b = x ^ {\ frac {1} {\ log _ {b} (x)}}.}

b = x ^ { \ frac {1} {\ log _ {b} (x)}}.

Тождества гиперболических функций

Гиперболические функции удовлетворяют многим тождествам, все они похожи по форме к тригонометрическим тождествам. Фактически, правило Осборна гласит, что можно преобразовать любое тригонометрическое тождество в гиперболическое, полностью расширив его с точки зрения интегральных степеней синусов и косинусов, изменив синус на sinh и косинус на cosh и поменяв знак каждого члена, который содержит произведение 2, 6, 10, 14,... sinhs.

Функция Гудермана дает прямую связь между круговыми функциями и гиперболическими функциями, не включать комплексные числа.

Логика и универсальная алгебра

В математической логике и в универсальной алгебре идентичность определяется как формула форма "∀ x1,..., x n. s = t", где s и t являются термами без других свободных переменных, кроме x 1,..., x n. Префикс квантора («∀x 1,..., x n.») Часто остается неявным, особенно в универсальной алгебре. Например, аксиомы моноида часто задаются как тождество set

{∀x, y, z. х * (у * г) = (х * у) * г, ∀x. х * 1 = х, ∀x. 1 * x = x},

или, сокращенно, как

{x * (y * z) = (x * y) * z, x * 1 = x, 1 * x = x}.

Некоторые авторы используют название «уравнение», а не «идентичность».

См. Также

Ссылки

Внешние ссылки

Викискладе есть средства массовой информации, связанные с Идентичностью (математика).

Энциклопедия уравнений Онлайн-энциклопедия математических идентичностей (в архиве)
Коллекция алгебраических идентичностей