Однопараметрическая группа

В математике, a однопараметрическая группа или однопараметрическая подгруппа обычно означает непрерывный групповой гомоморфизм

$\phi :\; R\; \to \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi:\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; rightarrow\; G\}$

из вещественной линии $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$(как аддитивная группа ) в некоторую другую топологическую группу $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$. Если $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$является инъективным, тогда $\phi \; (R)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; mathbb\; \{R\})\}$, изображение будет подгруппой $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$, которая изоморфна $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$как аддитивная группа.

Однопараметрические группы были введены Софусом Ли в 1893 году для определения бесконечно малых преобразований. Согласно Ли, бесконечно малое преобразование - это бесконечно малое преобразование однопараметрической группы, которое оно порождает. Именно эти бесконечно малые преобразования порождают алгебру Ли, которая используется для описания группы Ли любого измерения.

Действие однопараметрической группы в наборе известно как поток. Гладкое векторное поле на многообразии в точке индуцирует локальный поток - однопараметрическую группу локальных диффеоморфизмов, отправляющую точки вдоль интегральных кривых векторного поля. Локальный поток векторного поля используется для определения производной Ли тензорных полей вдоль векторного поля.

• 1 Примеры
• 2 Физика
• 3 В GL (n, ℂ)
• 4 Топология
• 5 См. Также
• 6 Ссылки

Такие однопараметрические группы имеют фундаментальное значение в теории групп Ли, для которых каждый элемент ассоциированной алгебры Ли определяет такой гомоморфизм, экспоненциальное отображение. В случае групп матриц это задается экспонентой матрицы.

Другой важный случай рассматривается в функциональном анализе с $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$группа унитарных операторов в гильбертовом пространстве. См. теорему Стоуна об однопараметрических унитарных группах.

в его монографии 1957 года «Группы Ли», P. М. Кон приводит следующую теорему на странице 58:

Любая связная одномерная группа Ли аналитически изоморфна либо аддитивной группе действительных чисел $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{R\}\}\}$или $T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{T\}\}\}$, аддитивная группа действительных чисел $mod\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mod\; 1\}$. В частности, каждая одномерная группа Ли локально изоморфна $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$.

В физике однопараметрические группы описывают динамические системы. Кроме того, всякий раз, когда система физических законов допускает однопараметрическую группу дифференцируемых симметрий, тогда существует сохраняющаяся величина по теореме Нётер.

В исследовании пространства-времени использование единичной гиперболы для калибровки пространственно-временных измерений стало обычным явлением с тех пор, как Герман Минковский обсудил это в 1908 году. 111>принцип относительности сводился к произволу, по которому диаметр единичной гиперболы использовался для определения мировой линии. Используя параметризацию гиперболы с помощью гиперболического угла, теория специальной теории относительности предоставила исчисление относительного движения с однопараметрической группой, индексированной скоростью. Скорость заменяет скорость в кинематике и динамике теории относительности. Поскольку скорость не ограничена, однопараметрическая группа, на которой она стоит, некомпактна. Концепция скорости была введена Э. Уиттакер в 1910 году и назван Альфредом Роббом в следующем году. Параметр быстроты равен длине гиперболического варианта, концепции девятнадцатого века. Физики-математики Джеймс Кокл, Уильям Кингдон Клиффорд и Александр Макфарлейн использовали в своих трудах эквивалентное отображение декартовой плоскости оператором $(cosh\; \; a\; +\; r\; sinh\; \; a)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; cosh\; \{a\}\; +\; r\; \backslash \; sinh\; \{a\})\}$, где $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$- гиперболический угол и $r\; 2\; =\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; ^\; \{2\}\; =\; +\; 1\}$.

Возникает важный пример в теории групп Ли когда $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$принимается равным $GL\; (n;\; C)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{GL\}\; (n;\; \backslash \; mathbb\; \{C\})\}$, группа обратимых матриц $n\; \times \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; times\; n\}$со сложными элементами. В этом случае основной результат будет следующим:

Теорема : предположим, что $\phi :\; R\; \to \; GL\; (n;\; C)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi:\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathrm\; \{GL\; \}\; (n;\; \backslash \; mathbb\; \{C\})\}$- группа с одним параметром. Тогда существует уникальная $n\; \times \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; times\; n\}$матрица $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$такая, что

$\phi \; (t)\; =\; et\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (t)\; =\; e\; ^\; \{tX\}\}$

для всех $t\; \in \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$.

Из этого результата следует, что $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$дифференцируем, хотя это не было предположением теоремы. Матрица $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$затем может быть восстановлена ​​из $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$как

$d\; \phi \; (t)\; d\; t\; |\; t\; =\; 0\; =\; d\; d\; t\; |\; t\; =\; 0\; e\; t\; X\; =\; (X\; e\; t\; X)\; |\; T\; знак\; равно\; 0\; знак\; равно\; Икс\; е\; 0\; знак\; равно\; Икс\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; влево.\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{d\; \backslash \; varphi\; (t)\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{t\; =\; 0\}\; =\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{\; dt\}\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{t\; =\; 0\}\; e\; ^\; \{tX\}\; =\; \backslash \; left.\; (Xe\; ^\; \{tX\})\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{t\; =\; 0\}\; =\; Xe\; ^\; \{0\}\; =\; X\}$.

Это результат может быть использован, например, чтобы показать, что любой непрерывный гомоморфизм между матричными группами Ли является гладким.

Техническая сложность заключается в том, что $\phi \; (R)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; mathbb\; \{R\})\}$как подпространство из $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$может иметь топологию, которая грубее, чем на $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$; это может произойти в случаях, когда $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$является инъективным. Подумайте, например, о случае, когда $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$является torus $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$и $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$строится путем наматывания прямой линии вокруг $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$с иррациональным наклоном.

В этом случае наведенная топология может не быть стандартной для реальной линии.

• Интегральная кривая
• Однопараметрическая полугруппа
• Теорема Нётер

• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: Элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666.