Скорость

редактировать

В теории относительности, скорость обычно используется как мера релятивистской скорости. Математически скорость может быть определена как гиперболический угол, который различает две системы отсчета в относительном движении, причем каждый кадр связан с координатами расстояния и времени.

Для одномерного движения скорости являются аддитивными, тогда как скорости должны быть объединены по формуле Эйнштейна сложения скоростей. Для низких скоростей скорость и скорость пропорциональны, но для более высоких скоростей скорость принимает большее значение, так как скорость света бесконечна.

Используя обратную гиперболическую функцию artanh, скорость w, соответствующая скорости v, равна w= artanh (v/ c) где c - скорость света. Для низких скоростей wприблизительно равно v/ c. Поскольку в теории относительности любая скорость vограничена интервалом - c< v< c, отношение v/ cудовлетворяет -1 < v/ c< 1. The inverse hyperbolic tangent has the unit interval (−1, 1) for its области и всей вещественной прямой для ее range, поэтому интервал - c< v< cотображается на −∞ < w< ∞.

Содержание

1 История
- 1.1 Площадь гиперболического сектора
2 В одном пространственном измерении
- 2.1 Экспоненциальный и логарифмические отношения
3 Более чем в одном пространственном измерении
4 В экспериментальной физике элементарных частиц
5 См. также
6 Примечания
7 Примечания и ссылки

История

В 1908 г. Герман Минковский объяснил, как преобразование Лоренца можно рассматривать просто как гиперболическое вращение пространственно-временных координат , т. Е. Поворот на мнимый угол.. Следовательно, этот угол представляет (в одном пространственном измерении) простую аддитивную меру скорости между кадрами. Параметр быстроты, заменяющий скорость, был введен в 1910 году Владимиром Варичаком и Э. Т. Уиттакер. Параметр был назван быстротой Альфредом Роббом (1911), и этот термин был принят многими последующими авторами, такими как Зильберштейн (1914), Морли (1936). и Риндлер (2001).

Площадь гиперболического сектора

квадрат гиперболы xy = 1 на Грегуар де Сен-Винсент установил натуральный логарифм как площадь гиперболического сектора или эквивалентной площади против асимптоты. В теории пространства-времени связь событий посредством света делит Вселенную на Прошлое, Будущее или Где-то еще на основе Здесь и Сейчас. На любой линии в пространстве луч света может быть направлен влево или вправо. Возьмите ось x как события, прошедшие правый луч, а ось y - как события левого луча. Тогда кадр покоя имеет время по диагонали x = y. Прямоугольную гиперболу xy = 1 можно использовать для измерения скоростей (в первом квадранте). Нулевая скорость соответствует (1,1). Любая точка гиперболы имеет координаты $(ew, e - w) {\ displaystyle (e ^ {w}, \ e ^ {- w})}$ ${\ displaystyle (е ^ {w}, \ e ^ {- w})}$ , где w - скорость, а равна площади гиперболического сектора от (1,1) до этих координат. Многие авторы вместо этого ссылаются на гиперболу единиц $x 2 - y 2, {\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2},}$ ${\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2},}$ , используя скорость для параметра, как в стандартной диаграмме пространства-времени. Здесь оси измеряются часами и измерителем, более привычными ориентирами и основой теории пространства-времени. Таким образом, определение скорости как гиперболического параметра пространства луча является ссылкой на происхождение наших драгоценных трансцендентальных функций семнадцатого века и дополнением к построению диаграмм пространства-времени.

В одном пространственном измерении

Скорость wвозникает в линейном представлении буста Лоренца в виде векторно-матричного произведения

( ct ′ x ′) знак равно (сш ⁡ вес - sinh ⁡ вес - sinh ⁡ w cosh ⁡ w) (ctx) = Λ (w) (ctx) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} ct '\\ x' \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ cosh w - \ sinh w \\ - \ sinh w \ ch w \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} ct \\ x \ end {pmatrix}} = \ mathbf {\ Lambda} (w) {\ begin {pmatrix} ct \\ x \ end {pmatrix}}}

{\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh w-\sinh w\\-\sinh w\cosh w\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}=\mathbf {\Lambda } (w){\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}

Матрица Λ (w) имеет тип $(pqqp) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} p q \\ q p \ end {pmatrix}}}$ ${\ begin {pmatrix} p q \\ q p \ end {pmatrix}}$ с pи q, удовлетворяющим p– q= 1, так что (p, q) лежит на гиперболе единицы. Такие матрицы образуют неопределенную ортогональную группу O (1,1) с одномерной алгеброй Ли, натянутой на антидиагональную единичную матрицу, показывая, что скорость является координатой на этой алгебре Ли. Это действие может быть изображено на диаграмме пространства-времени. В матричной экспоненциальной записи Λ (w) может быть выражено как $Λ (w) = e Z w {\ displaystyle \ mathbf {\ Lambda} (w) = e ^ {\ mathbf {Z} w}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ Lambda} (w) = e ^ {\ mathbf {Z} w}}$ , где Z - отрицательное значение антидиагональной единичной матрицы

Z = (0 - 1 - 1 0). {\ displaystyle \ mathbf {Z} = {\ begin {pmatrix} 0 -1 \\ - 1 0 \ end {pmatrix}}.}

{\ displaystyle \ mathbf {Z} = {\ begin {pmatrix} 0 -1 \\ - 1 0 \ end {pmatrix }}.}

Нетрудно доказать, что

Λ (w 1 + w 2) Знак равно Λ (вес 1) Λ (вес 2) {\ Displaystyle \ mathbf {\ Lambda} (w_ {1} + w_ {2}) = \ mathbf {\ Lambda} (w_ {1}) \ mathbf {\ Lambda } (w_ {2})}

{\ displaystyle \ mathbf {\ Lambda} (w_ {1} + w_ {2}) = \ mathbf {\ Lambda} (w_ {1}) \ mathbf {\ Lambda} (w_ {2})}

Это устанавливает полезное аддитивное свойство скорости: если A, B и C являются системой отсчета, тогда

w AC = w AB + w BC { \ displaystyle w _ {\ text {AC}} = w _ {\ text {AB}} + w _ {\ text {BC}}}

{\ displaystyle w _ {\ text {AC}} = w_ {\ текст {AB}} + ш _ {\ текст {BC}}}

, где w PQ обозначает скорость системы отсчета Q относительно системы отсчета P. Простота этой формулы контрастирует со сложностью соответствующей формулы сложения скорости.

. Как видно из приведенного выше преобразования Лоренца, фактор Лоренца определяет с cosh w

γ = 1 1 - v 2 / c 2 ≡ cosh ⁡ w {\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}} }} \ Equiv \ cosh w}

{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}} \ Equiv \ cosh w}

, поэтому скорость w неявно используется как гиперболический угол в выражениях преобразования Лоренца с использованием γи β. Мы соотносим скорости с формулой сложения скорости

u = (u 1 + u 2) / (1 + u 1 u 2 / c 2) {\ displaystyle u = (u_ {1} + u_ {2 }) / (1 + u_ {1} u_ {2} / c ^ {2})}

u = (u_ {1} + u_ {2}) / (1 + u_ {1 } u_ {2} / c ^ {2})

путем распознавания

β i = uic = tanh ⁡ wi {\ displaystyle \ beta _ {i} = {\ гидроразрыв {u_ {i}} {c}} = \ tanh {w_ {i}}}

{\ displaystyle \ beta _ {i} = {\ frac {u_ {i}} {c}} = \ tanh {w_ {i}}}

и поэтому

tanh ⁡ w = tanh ⁡ w 1 + tanh ⁡ w 2 1 + tanh ⁡ w 1 tanh ⁡ вес 2 знак равно tanh ⁡ (w 1 + w 2) {\ displaystyle {\ begin {выровнено} \ tanh w = {\ frac {\ tanh w_ {1} + \ tanh w_ {2}} {1+ \ tanh w_ { 1} \ tanh w_ {2}}} \\ = \ tanh (w_ {1} + w_ {2}) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ tanh w = {\ frac {\ tanh w_ {1} + \ tanh w_ {2}} {1+ \ tanh w_ {1} \ tanh w_ {2}}} \\ = \ tanh (w_ {1} + w_ {2}) \ end {align}}}

Правильное ускорение (ускорение, "ощущаемое" ускоряемый объект) - это скорость изменения скорости по отношению к собственному времени (времени, измеренному самим объектом, претерпевающим ускорение). Следовательно, скорость объекта в данном кадре можно рассматривать просто как скорость этого объекта, которая была бы рассчитана нерелятивистски с помощью инерциальной системы наведения на борту самого объекта, если бы он ускорялся из состояния покоя в этом кадре до заданной скорости..

Произведение β и γ встречается часто, и это из приведенных выше аргументов

β γ = sinh ⁡ w. {\ displaystyle \ beta \ gamma = \ sinh w \,.}

{\ displaystyle \ beta \ gamma = \ sinh w \,.}

Экспоненциальные и логарифмические отношения

Из приведенных выше выражений имеем

ew = γ (1 + β) = γ (1 + vc) = 1 + vc 1 - vc, {\ displaystyle e ^ {w} = \ gamma (1+ \ beta) = \ gamma \ left (1 + {\ frac {v} {c}} \ right) = { \ sqrt {\ frac {1 + {\ tfrac {v} {c}}} {1 - {\ tfrac {v} {c}}}}},}

{\ displaystyle e ^ {w} = \ gamma (1+ \ beta) = \ gamma \ left (1 + {\ frac {v} {c}} \ right) = {\ sqrt {\ frac {1 + {\ tfrac {v} {c}}} {1 - {\ tfrac {v} {c}}}}},}

и, следовательно,

e - w = γ (1 - β) = γ (1 - vc) = 1 - vc 1 + vc. {\ displaystyle e ^ {- w} = \ gamma (1- \ beta) = \ gamma \ left (1 - {\ frac {v} {c}} \ right) = {\ sqrt {\ frac {1- { \ tfrac {v} {c}}} {1 + {\ tfrac {v} {c}}}}}.}

{\ displaystyle e ^ {- w} = \ gamma (1- \ ставка а) = \ gamma \ left (1 - {\ frac {v} {c}} \ right) = {\ sqrt {\ frac {1 - {\ tfrac {v} {c}}} {1 + {\ tfrac {v} {c}}}}}.}

или явно

w = ln ⁡ [γ (1 + β)] = - ln ⁡ [γ (1 - β)]. {\ displaystyle w = \ ln \ left [\ gamma (1+ \ beta) \ right] = - \ ln \ left [\ gamma (1- \ beta) \ right] \,.}

{\ displaystyle w = \ ln \ left [\ gamma (1+ \ beta) \ справа] = - \ пер \ влево [\ гамма (1- \ бета) \ справа] \,.}

Коэффициент доплеровского сдвига, связанный с быстротой w, равен $k = ew {\ displaystyle k = e ^ {w}}$ ${\ displaystyle k = e ^ {w}}$ .

более чем в одном пространственном измерении

Релятивистская скорость $β {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}}}$ ${\ boldsymbol {\ beta}}$ связан с быстротой $w {\ displaystyle \ mathbf {w}}$ $\ mathbf {w}$ объекта через

так что (3, 1) ⊃ span {K 1, K 2, K 3} ≈ R 3 ∋ w = β ^ tanh - 1 ⁡ β, β ∈ B 3, {\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3, 1) \ supset \ mathrm {span} \ {K_ {1}, K_ {2}, K_ {3} \} \ приблизительно \ mathbb {R} ^ {3} \ ni \ mathbf {w} = {\ boldsymbol { \ hat {\ beta}}} \ tanh ^ {- 1} \ beta, \ quad {\ boldsymbol {\ beta}} \ in \ mathbb {B} ^ {3},}

{\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3,1) \ supset \ mathrm {span} \ {K_ {1}, K_ {2}, K_ {3 } \} \ приблизительно \ mathbb {R} ^ {3} \ ni \ mathbf {w} = {\ boldsymbol {\ hat {\ beta}}} \ tanh ^ {- 1} \ beta, \ quad {\ boldsymbol { \ beta}} \ in \ mathbb {B} ^ {3},}

где вектор $w {\ displaystyle \ mathbf {w}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {w}}$ рассматривается как декартовы координаты в трехмерном подпространстве алгебры Ли $o (3, 1) ≈ так (3, 1) {\ displaystyle {\ mathfrak {o}} (3,1) \ приблизительно {\ mathfrak {so}} (3,1)}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {o}} (3, 1) \ приблизительно {\ mathfrak {so}} (3,1)}$ группы Лоренца, охватываемой генераторами повышения $K 1, K 2, K 3 {\ displaystyle K_ {1}, K_ {2}, K_ {3 }}$ ${\ displaystyle K_ {1}, K_ {2}, K_ {3}}$ - в полной аналогии с одномерным случаем $o (1, 1) {\ displaystyle {\ mathfrak {o}} (1,1)}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {o}} (1,1)}$ обсуждался выше - и пространство скоростей представлено открытым шаром $B 3 {\ displaystyle \ mathbb {B} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {B} ^ {3}}$ с радиусом $1 {\ displaystyle 1}$ $1$ с $| β | < 1 {\displaystyle |\beta |<1}$ ${\ displaystyle | \ beta | <1}$ . Последнее следует из того, что $c {\ displaystyle c}$ $c$ является предельной скоростью в теории относительности (с единицами измерения, в которых $c = 1 {\ displaystyle c = 1}$ $c = 1$ ).

Общая формула композиции скоростей:

w = β ^ tanh - 1 ⁡ β, β = β 1 ⊕ β 2, {\ displaystyle \ mathbf {w} = {\ boldsymbol {\ hat {\ beta}}} \ tanh ^ {- 1} \ beta, \ quad {\ boldsymbol {\ beta}} = {\ boldsymbol {\ beta}} _ {1} \ oplus {\ boldsymbol {\ beta}} _ {2},}

{\ displaystyle \ mathbf {w} = { \ boldsymbol {\ hat {\ beta}}} \ tanh ^ {- 1} \ beta, \ quad {\ boldsymbol {\ beta}} = {\ boldsymbol {\ beta}} _ {1} \ oplus {\ boldsymbol { \ beta}} _ {2},}

где $β 1 ⊕ β 2 {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}} _ {1} \ oplus {\ boldsymbol {\ beta}} _ {2}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}} _ {1} \ oplus {\ boldsymbol {\ beta}} _ {2}}$ относится к сложению релятивистских скоростей, а $β ^ {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ hat {\ beta}}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ hat {\ beta}}} }$ - единичный вектор в направлении $β {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}}}$ ${\ boldsymbol {\ beta}}$ . Эта операция не коммутативна и не ассоциативна. Скорости $w 1, w 2 {\ displaystyle \ mathbf {w} _ {1}, \ mathbf {w} _ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {w} _ {1}, \ mathbf {w} _ {2}}$ с направлениями, наклоненными под углом $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ имеют результирующую норму $w ≡ | w | {\ displaystyle w \ Equiv | \ mathbf {w} |}$ ${\ displaystyle w \ Equiv | \ mathbf {w} |}$ (обычная евклидова длина), заданная гиперболическим законом косинусов,

cosh ⁡ w = cosh ⁡ w 1 cosh ⁡ w 2 + sh ⁡ w 1 sh ⁡ w 2 cos ⁡ θ. {\ displaystyle \ cosh w = \ cosh w_ {1} \ cosh w_ {2} + \ sinh w_ {1} \ sinh w_ {2} \ cos \ theta.}

{\ displaystyle \ cosh w = \ cosh w_ {1} \ cosh w_ {2 } + \ sinh w_ {1} \ sinh w_ {2} \ cos \ theta.}

Геометрия в пространстве быстроты унаследована от гиперболическая геометрия в пространстве скоростей через указанную карту. Эта геометрия, в свою очередь, может быть выведена из закона сложения релятивистских скоростей. Таким образом, скорость в двух измерениях может быть удобно визуализирована с помощью диска Пуанкаре. Геодезические соответствуют установившимся ускорениям. Пространство быстроты в трех измерениях может быть таким же образом помещено в изометрию с моделью гиперболоида (изометрично 3-мерному диску Пуанкаре (или шару)). Это подробно описано в геометрии пространства Минковского.

Сложение двух скоростей приводит не только к новой скорости; Результирующее полное преобразование представляет собой композицию преобразования, соответствующего скорости, указанной выше, и вращения, параметризованного вектором $θ {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ theta}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ theta}}}$ ,

Λ = e - i θ ⋅ J е - iw ⋅ K, {\ displaystyle \ Lambda = e ^ {- i {\ boldsymbol {\ theta}} \ cdot \ mathbf {J}} e ^ {- i \ mathbf {w} \ cdot \ mathbf {K} },}

{\ displaystyle \ Lambda = e ^ {- i {\ boldsymbol {\ theta}} \ cdot \ mathbf {J}} e ^ {- i \ mathbf {w} \ cdot \ mathbf {K}},}

где используется соглашение физиков для экспоненциального отображения. Это следствие правила коммутации

[K i, K j] = - i ϵ ijk J k, {\ displaystyle [K_ {i}, K_ {j}] = - i \ epsilon _ {ijk} J_ {k},}

{\ displaystyle [K_ {i}, K_ {j}] = - i \ epsilon _ {ijk} J_ {k},}

где $J k, k = 1, 2, 3, {\ displaystyle J_ {k}, k = 1,2,3,}$ ${\ displaystyle J_ {k}, k = 1,2,3,}$ - генераторы вращения. Это связано с явлением прецессии Томаса. Для вычисления параметра $θ {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ theta}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ theta}}}$ используется ссылка на статью.

В экспериментальной физике элементарных частиц

Энергия Eи скалярный импульс | p | частицы с ненулевой массой (покоя) mзадаются следующим образом:

E = γ m c 2 {\ displaystyle E = \ gamma mc ^ {2}}

E = \ gamma mc ^ {2}

| p | = γ m v. {\ displaystyle | \ mathbf {p} | = \ gamma mv.}

{\ displaystyle | \ mathbf {p} | = \ gamma mv.}

С определением w

w = artanh ⁡ vc, {\ displaystyle w = \ operatorname {artanh} {\ frac {v} {c }},}

{\ displaystyle w = \ operatorname { artanh} {\ frac {v} {c}},}

и, следовательно, с

cosh ⁡ w = cosh ⁡ (artanh ⁡ vc) = 1 1 - v 2 c 2 = γ {\ displaystyle \ cosh w = \ cosh \ left (\ operatorname {artanh } {\ frac {v} {c}} \ right) = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} = \ гамма}

{\ displaystyle \ cosh w = \ cosh \ left (\ operatorname {artanh} {\ frac {v} {c}} \ right) = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} = \ gamma}

зп ⁡ вес = зп ⁡ (артан ⁡ vc) = vc 1 - v 2 c 2 = β γ, {\ displaystyle \ sinh w = \ sinh \ left (\ operatorname {artanh} {\ frac {v } {c}} \ right) = {\ frac {\ frac {v} {c}} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} = \ beta \ gamma,}

{\ displaystyle \ sinh w = \ sinh \ left (\ имя оператора {artanh} {\ frac {v} {c}} \ right) = {\ frac {\ frac {v} {c}} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} = \ бета \ гамма,}

энергия и скалярный импульс могут быть записаны как:

E = mc 2 cosh ⁡ w {\ displaystyle E = mc ^ {2} \ cosh w}

{\ displaystyle E = mc ^ {2} \ cosh w}

| p | = m c sh w. {\ displaystyle | \ mathbf {p} | = mc \, \ sinh w.}

{\ displaystyle | \ mathbf {p} | = mc \, \ sinh w.}

Итак, скорость может быть вычислена на основе измеренных энергии и импульса с помощью

w = artanh ⁡ | p | с E = 1 2 ln ⁡ E + | p | c E - | p | c = ln ⁡ E + | p | с м с 2. {\ displaystyle w = \ operatorname {artanh} {\ frac {| \ mathbf {p} | c} {E}} = {\ frac {1} {2}} \ ln {\ frac {E + | \ mathbf {p } | c} {E- | \ mathbf {p} | c}} = \ ln {\ frac {E + | \ mathbf {p} | c} {mc ^ {2}}} ~.}

{\ displaystyle w = \ operatorname {artanh} {\ frac {| \ mathbf {p} | c} {E}} = {\ frac {1} {2}} \ ln {\ frac { E + | \ mathbf {p} | c} {E- | \ mathbf {p} | c}} = \ ln {\ frac {E + | \ mathbf {p} | c} {mc ^ {2}}} ~. }

Однако Физики-экспериментаторы частиц часто используют модифицированное определение скорости относительно оси пучка

y = 1 2 ln ⁡ E + pzc E - pzc, {\ displaystyle y = {\ frac {1} {2}} \ ln {\ frac {E + p_ {z} c} {E-p_ {z} c}},}

{\ displaystyle y = {\ frac {1} {2}} \ ln {\ frac {E + p_ {z} c} {E-p_ {z} c}},}

где pz- составляющая количества движения вдоль оси балки. Это скорость ускорения вдоль оси луча, которая переводит наблюдателя из лабораторного кадра в кадр, в котором частица движется только перпендикулярно лучу. С этим связана концепция псевдобыстротности..

Скорость относительно оси луча также может быть выражена как

y = ln ⁡ E + p z c m 2 c 4 + p T 2 c 2. {\ displaystyle y = \ ln {\ frac {E + p_ {z} c} {\ sqrt {m ^ {2} c ^ {4} + p_ {T} ^ {2} c ^ {2}}}} ~.}

{\ displaystyle y = \ ln {\ frac {E + p_ {z} c} {\ sqrt {m ^ {2} c ^ {4} + p_ {T} ^ {2} c ^ {2}}}} ~.}

См. Также

Примечания

Примечания и ссылки

Варичак V (1910), (1912), (1924) См. Владимир Варичак # Publications
Whittaker, ET (1910). «История теорий эфира и электричества »: 441. Для цитирования журнала требуется | journal =()
Робб, Альфред ( 1911). Оптическая геометрия движения, новый взгляд на теорию относительности. Cambridge: Heffner Sons.
Borel E (1913) La théorie de la relativité et la cinématique, Comptes Rendus Acad Sci Paris 156215-218; 157703-705
Зильберштейн, Людвик (1914). Теория относительности. Лондон: Macmillan Co.
Владимир Карапетов (1936) «Ограниченная теория относительности в терминах гиперболических функций скорости», American Mathematical Monthly 43:70.
Фрэнк Морли (1936) «Когда и где», The Criterion, под редакцией Автор Т.С. Элиот, 15: 200-2009.
Вольфганг Риндлер (2001) Относительность: специальная, общая и космологическая, стр. 53, Oxford University Press.
Shaw, Рональд (1982) Линейная алгебра и представления групп, т. 1, стр. 229, Academic Press ISBN 0-12-639201-3.
Уолтер, С. Котт (1999). «Неевклидов стиль теории относительности Минковского» (PDF). В J. Gray (ed.). Символическая Вселенная: геометрия и физика. Издательство Оксфордского университета. стр. 91–127. (см. стр. 17 электронной ссылки)
Rhodes, J. A.; Семон, М. Д. (2004). «Релятивистское пространство скоростей, вигнеровское вращение и прецессия Томаса». Am. J. Phys. 72 : 93–90. arXiv : gr-qc / 0501070. Bibcode : 2004AmJPh..72..943R. doi : 10.1119 / 1.1652040. CS1 maint: ref = harv (link )
Jackson, JD (1999) [1962]. »Глава 11 ". Классическая электродинамика (3-е изд.). John Wiley Sons. ISBN 0-471-30932-X. CS1 maint: ref = harv (ссылка )