Прецессия Томаса

Ллевеллин Томас (1903 - 1992)

В физике, Томас прецессия, названная в честь Ллевеллина Томаса, является релятивистской поправкой, которая применяется к спину элементарной частицы или вращению макроскопического гироскоп и связывает угловую скорость вращения частицы, следующей по криволинейной орбите, с угловой скоростью орбитального движения.

Для данного инерциального кадра, если второй кадр усилен по Лоренцу относительно него, а третий - относительно второго, но не коллинеарен с первым усилением, то Преобразование Лоренца между первым и третьим кадрами включает в себя комбинированное усиление и вращение, известное как «вращение Вигнера » или «вращение Томаса». Для ускоренного движения ускоренный кадр имеет инерционный кадр в каждый момент. Два повышения с небольшим интервалом времени (измеренным в лабораторном кадре) друг от друга приводят к вращению Вигнера после второго повышения. В пределе временной интервал стремится к нулю, ускоренная рамка будет вращаться в каждый момент, поэтому ускоренная рамка вращается с угловой скоростью.

Прецессию можно понять геометрически как следствие того факта, что пространство скоростей в теории относительности является гиперболическим, и поэтому параллельный перенос вектора (угловая скорость гироскопа) вокруг окружности (его линейная скорость) оставляет его направленным в другом направлении или понимается алгебраически как результат некоммутативности преобразований Лоренца. Прецессия Томаса дает поправку к спин-орбитальному взаимодействию в квантовой механике, которая учитывает релятивистское замедление времени между электроном и ядро ​​ атома .

прецессия Томаса представляет собой кинематический эффект в плоском пространстве-времени из специальной теории относительности. В искривленном пространстве-времени общей теории относительности прецессия Томаса сочетается с геометрическим эффектом, чтобы произвести прецессию де Ситтера. Хотя прецессия Томаса (результирующее вращение после траектории, которая возвращается к своей начальной скорости) является чисто кинематическим эффектом, она возникает только при криволинейном движении и поэтому не может наблюдаться независимо от некоторой внешней силы, вызывающей криволинейное движение, например, вызванное движением электромагнитное поле, гравитационное поле или механическая сила, поэтому прецессия Томаса обычно сопровождается динамическими эффектами.

Если система не испытывает внешнего крутящего момента, например, во внешних скалярных полях, его спиновая динамика определяется только прецессией Томаса. Одиночное дискретное вращение Томаса (в отличие от серии бесконечно малых вращений, которые суммируются с прецессией Томаса) присутствует в ситуациях в любое время, когда есть три или более инерциальных кадра в неколлинеарном движении, как можно увидеть с помощью преобразований Лоренца..

• 1 История
• 2 Введение
  • 2.1 Определение
  • 2.2 Утверждение
• 3 Математическое объяснение
  • 3.1 Преобразования Лоренца
  • 3.2 Извлечение формулы
• 4 Приложения
  • 4.1 В электронных орбиталях
  • 4.2 В маятнике Фуко
• 5 См. Также
• 6 Примечания
• 7 Примечания
• 8 Ссылки
• 9 Учебники
• 10 Внешние ссылки

Прецессия Томаса в теории относительности была известна Людвику Зильберштейну в 1914 году. Но единственное, что Томас знал о релятивистской прецессии, исходил из статьи де Ситтера о релятивистской прецессии Луны, впервые опубликованной в книге Эддингтона.

В 1925 году Томас релятивистски пересчитал частоту прецессии o е разделение дублетов в тонкой структуре атома. Таким образом, он нашел недостающий фактор 1/2, который стал известен как половина Томаса.

Это открытие релятивистской прецессии электронного спина привело к пониманию значения релятивистского эффекта. Эффект получил название «прецессия Томаса».

Определение

Рассмотрим физическую систему, движущуюся в пространстве-времени Минковского. Предположим, что в любой момент существует такая инерциальная система, в которой система покоится. Это предположение иногда называют третьим постулатом относительности. Это означает, что в любой момент координаты и состояние системы могут быть преобразованы Лоренцем в лабораторную систему посредством некоторого преобразования Лоренца.

Пусть система подвергается воздействию внешних сил, которые не создают крутящего момента относительно ее центра масс в ее (мгновенной) системе покоя. Условие «отсутствия крутящего момента» необходимо, чтобы изолировать явление прецессии Томаса. В качестве упрощающего предположения предполагается, что внешние силы возвращают систему к ее начальной скорости через некоторое конечное время. Зафиксируем систему Лоренца O так, чтобы начальная и конечная скорости были равны нулю.

Вектор спина Паули – Любанского Sμопределяется как (0, S i) в системе отсчета покоя, где S i Трехвекторный угловой момент относительно центра масс. При движении от начального к конечному положению S μ претерпевает вращение, как записано в O, от своего начального до конечного значения. Это непрерывное изменение - прецессия Томаса.

Утверждение

Значение γ / (γ + 1) при увеличении β = v / c, где v - мгновенная величина скорости частицы. Вращением Томаса можно пренебречь для β < 0.5, increases steadily for 0.5 < β < 0.8, then rapidly shoots to infinity as β tends to 1. The "Thomas half" is evident in the low-speed limit, and the rotation is only very clear for speeds approaching that of light.

. Рассмотрим движение частицы. Представьте лабораторную рамку Σ, в которой наблюдатель может измерить относительное движение частицы. В каждый момент времени частица имеет инерциальную систему отсчета, в которой она покоится. По отношению к этому лабораторному кадру мгновенная скорость частицы составляет v (t) с величиной | v | = v ограничено скоростью света c, так что 0 ≤ v < c. Here the time t is the координатное время, измеренное в лабораторном кадре, а не собственное время частицы.

Помимо верхнего предела величины, скорость частицы является произвольной и не обязательно постоянной, соответствующий ей вектор ускорения равен a = d v (t) / dt. В результате вращения Вигнера в каждый момент времени рамка частицы прецессирует с угловой скоростью , задаваемой

прецессией Томаса

$\omega \; T\; =\; 1\; c\; 2\; (\gamma \; 2\; \gamma \; +\; 1)\; a\; \times \; v\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; omega\}\}\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; gamma\; +1\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}$

где × - перекрестное произведение и

$\gamma \; =\; 1\; 1\; -\; |\; v\; (t)\; |\; 2\; c\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; =\; \{\backslash \; dfrac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; -\; \{\backslash \; dfrac\; \{|\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; (t)\; |\; ^\; \{2\}\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\}\}\; \}\}$

- мгновенный фактор Лоренца, функция мгновенной скорости частицы. Как и любая угловая скорость, ωTявляется псевдовектором ; его величина - это угловая скорость, с которой рамка частицы прецессирует (в радианах в секунду), а направление указывает вдоль оси вращения. Как обычно, используется соглашение о правой части перекрестного произведения (см. правило правой руки ).

Прецессия зависит от ускоренного движения и не- коллинеарности мгновенной скорости и ускорения частицы. Прецессии не происходит, если частица движется с постоянной скоростью (постоянная v, поэтому a= 0) или ускоряется по прямой (в этом случае v и a параллельны или антипараллельны, поэтому их перекрестное произведение равно нулю). Частица должна двигаться по кривой, скажем, по дуге, спирали, спирали, или круговой орбите или эллиптической орбите, для его рама прецессии. Угловая скорость прецессии максимальна, если векторы скорости и ускорения перпендикулярны на протяжении всего движения (круговая орбита), и велика, если их величины велики (величина v почти равна c).

В нерелятивистском пределе v→ 0так что γ → 1, а угловая скорость приблизительно

$\omega \; T\; \approx \; 1\; 2\; c\; 2\; a\; \times \; v\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; omega\}\; \}\; \_\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2c\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}$

Коэффициент 1/2 оказывается равным быть решающим фактором для согласия с экспериментальными результатами. Он неофициально известен как «половина Томаса».

Преобразования Лоренца

Описание относительного движения включает преобразования Лоренца, и их удобно использовать в матрице форма; символьные матричные выражения суммируют преобразования и просты в управлении, а при необходимости полные матрицы могут быть записаны явно. Кроме того, чтобы избежать загромождения уравнений дополнительными факторами c, удобно использовать определение β (t) = v (t) / c с величиной | β | = β такой, что 0 ≤ β < 1.

Пространственно-временные координаты лабораторного кадра собираются в вектор-столбец 4 × 1 , а повышение представлено как симметричный 4 × 4 матрица соответственно

$X = [ctxyz], B (β) = [γ - γ β x - γ β y - γ β z - γ β x 1 + (γ - 1) β x 2 β 2 (γ - 1) β x β y β 2 (γ - 1) β x β z β 2 - γ β y (γ - 1) β y β x β 2 1 + (γ - 1) β y 2 β 2 ( γ - 1) β y β z β 2 - γ β z (γ - 1) β z β x β 2 (γ - 1) β z β y β 2 1 + (γ - 1) β z 2 β 2] { \ displaystyle X = {\ begin {bmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} \,, \ quad B ({\ boldsymbol {\ beta}}) = {\ begin {bmatrix} \ гамма - \ gamma \ beta _ {x} - \ gamma \ beta _ {y} - \ gamma \ beta _ {z} \\ - \ gamma \ beta _ {x} 1 + (\ gamma -1) { \ dfrac {\ beta _ {x} ^ {2}} {\ beta ^ {2}}} (\ gamma -1) {\ dfrac {\ beta _ {x} \ beta _ {y}} {\ beta ^ {2}}} (\ gamma -1) {\ dfrac {\ beta _ {x} \ beta _ {z}} {\ beta ^ {2}}} \\ - \ gamma \ beta _ {y} (\ gamma -1) {\ dfrac {\ beta _ {y} \ beta _ {x}} {\ beta ^ {2}}} 1 + (\ gamma -1) {\ dfrac {\ beta _ {y} ^ {2}} {\ beta ^ {2}}} (\ gamma -1) {\ dfrac {\ beta _ {y} \ beta _ {z}} {\ beta ^ {2}}} \\ - \ gamma \ beta _ {z} (\ gamma -1) {\ dfrac {\ beta _ {z} \ beta _ {x}} {\ beta ^ {2}}} (\ gamma -1) {\ dfrac {\ beta _ {z} \ beta _ {y}} {\ beta ^ {2}}} 1 + (\ гамма -1) {\ dfrac {\ beta _ {z} ^ {2}} {\ beta ^ {2}}} \\\ end {bmatrix}}}$

и поверните

$\gamma \; =\; 1\; 1\; -\; |\; \beta \; |\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-\; |\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; |\; ^\; \{2\}\}\}\}\}$

- фактор Лоренца из β . В других кадрах соответствующие координаты также расположены в векторах-столбцах. Обратная матрица повышения соответствует усилению в противоположном направлении и задается формулой B (β ) = B (- β ).

В момент лабораторного времени t, измеренного в лабораторном кадре, преобразование пространственно-временных координат из лабораторного кадра Σ в кадр Σ ′ частицы составляет

$X\; \prime \; =\; B\; (\beta )\; X\; \{\; \backslash \; displaystyle\; X\; \text{'}=\; B\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\})\; X\}$

(1)

и в более позднее лабораторное время t + Δt мы можем определить новый кадр Σ ′ ′ для частицы, который движется со скоростью β + Δ β относительно Σ, и соответствующее ускорение равно

$X\; ″\; =\; B\; (\beta \; +\; \Delta \; \beta )\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \text{'}\text{'}\; =\; B\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; +\; \backslash \; Delta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\})\; X\}$

(2)

Векторы β и Δ β - это два отдельных вектора. Последний представляет собой небольшое приращение, и его можно удобно разделить на компоненты, параллельные (‖) и перпендикулярные () к β

$\Delta \; \beta \; =\; \Delta \; \beta \; \parallel \; +\; \Delta \; \beta \; \perp \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; =\; \backslash \; Delta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; \_\; \{\backslash \; parallel\}\; +\; \backslash \; Delta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; \_\; \{\backslash \; perp\}\}$

Объединение (1) и (2) дает Преобразование Лоренца между Σ ′ и Σ ′ ′,

$X\; ″\; =\; B\; (\beta \; +\; \Delta \; \beta )\; B\; (-\; \beta )\; X\; \prime ,\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \text{'}\text{'}\; =\; B\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; +\; \backslash \; Delta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\})\; B\; (-\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\})\; X\; \text{'}\backslash ,,\}$

(3)

и эта композиция содержит всю необходимую информацию о движении между этими два лабораторных раза. Обратите внимание: B (β + Δ β ) B (- β ) и B (β + Δ β ) являются бесконечно малыми преобразованиями, поскольку они включают небольшое приращение относительной скорости, в то время как B (- β ) нет.

Сочетание двух ускорений соответствует одному ускорению в сочетании с вращением Вигнера вокруг оси, перпендикулярной относительным скоростям;

$\Lambda \; знак\; равно\; B\; (\beta \; +\; \Delta \; \beta )\; B\; (-\; \beta )\; знак\; равно\; R\; (\Delta \; \theta )\; B\; (\Delta \; b)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\; =\; B\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; +\; \backslash \; Delta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\})\; B\; (-\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\})\; =\; R\; (\backslash \; Delta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; theta\}\})\; B\; (\backslash \; Delta\; \backslash \; mathbf\; \{b\})\}$

(4)

Вращение задается матрицей вращения 4 × 4 R в представлении ось-угол , а системы координат принимаются правосторонними. Эта матрица вращает трехмерные векторы против часовой стрелки вокруг оси (активное преобразование ) или, что эквивалентно, вращает системы координат по часовой стрелке вокруг той же оси (пассивное преобразование). Вектор ось-угол Δ θ параметризует поворот, его величина Δθ представляет собой угол поворота Σ ′ ′, а направление параллельно оси вращения, в этом случае ось параллельна кросс-произведение (−β) × (β + Δ β ) = - β×Δβ. Если углы отрицательные, направление вращения меняется на противоположное. Обратная матрица определяется выражением R (Δ θ ) = R (-Δ θ ).

Повышению соответствует (небольшое изменение) вектор усиления Δ b с величиной и направлением относительной скорости повышения (деленной на c). Повышение B (Δ b ) и поворот R (Δ θ ) здесь являются бесконечно малыми преобразованиями, поскольку Δ b и поворот Δ θ являются маленький.

Вращение вызывает прецессию Томаса, но здесь есть тонкость. Чтобы интерпретировать систему отсчета частицы как сопутствующую инерциальную систему отсчета относительно лабораторной системы отсчета и согласиться с нерелятивистским пределом, мы ожидаем, что преобразование между мгновенными системами отсчета частицы в моменты времени t и t + Δt будет связано повышением без вращение. Объединение (3) и (4) и перестановка дает

$B\; (\Delta \; b)\; X\; \prime \; =\; R\; (-\; \Delta \; \theta )\; X\; ″\; =\; X\; ‴,\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; (\backslash \; Delta\; \backslash \; mathbf\; \{b\}))\; X\; \text{'}=\; R\; (-\; \backslash \; Delta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; theta\}\})\; X\text{'}\; \text{'}=\; X\text{'}\; \text{'}\text{'}\; \backslash ,,\}$

(5)

где другой мгновенный фрейм Σ ′ ′ ′ вводится с координаты X ′ ′ ′, чтобы предотвратить слияние с Σ ′ ′. Подводя итог системам отсчета: в лабораторной системе отсчета Σ наблюдатель измеряет движение частицы, а три мгновенных инерциальных системы отсчета, в которых частица находится в состоянии покоя, - Σ ′ (в момент времени t), Σ ′ ′ (в момент времени t + Δt) и Σ ′ ′ ′ (в момент времени t + Δt). Кадры Σ ′ ′ и Σ ′ ′ ′ находятся в одном месте и в одно время, они отличаются только поворотом. Напротив, Σ ′ и Σ ′ ′ ′ отличаются ускорением и лабораторным интервалом времени Δt.

Связывание координат X ′ ′ ′ с лабораторными координатами X через (5) и (2);

$Икс\; ‴\; знак\; равно\; R\; (-\; \Delta \; \theta )\; X\; ″\; =\; R\; (-\; \Delta \; \theta )\; B\; (\beta \; +\; \Delta \; \beta )\; X,\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \text{'}\text{'}\; \text{'}=\; R\; (-\; \backslash \; Delta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; theta\})\; \})\; X\; \text{'}\text{'}\; =\; R\; (-\; \backslash \; Delta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; theta\}\})\; B\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; +\; \backslash \; Delta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\})\; X\; \backslash ,,\}$

(6)

рамка Σ ′ ′ ′ повернута в отрицательном смысле.

Ротация происходит между двумя моментами лабораторного времени. Когда Δt → 0, рамка частицы вращается в каждый момент, и непрерывное движение частицы составляет непрерывное вращение с угловой скоростью в каждый момент. Разделив −Δ θ на Δt и взяв предел Δt → 0, угловая скорость по определению равна

$\omega \; T\; =\; -\; lim\; \Delta \; t\; \to \; 0\; \Delta \; \theta \; \Delta \; t\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; omega\}\}\; \_\; \{T\}\; =\; -\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; Delta\; t\; \backslash \; rightarrow\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; theta\}\}\}\; \{\backslash \; Delta\; t\}\}\}$

(7)

Осталось выяснить, что же такое Δ θ .

Извлечение формулы

Состав может быть получен путем явного вычисления матричного произведения. Матрица усиления β + Δ β потребует величины и фактора Лоренца этого вектора. Поскольку Δ β мало, члены «второго порядка» | Δ β |, (Δβ x), (Δβ y), Δβ xΔβyи выше пренебрежимо малы. Воспользовавшись этим фактом, квадрат величины вектора равен

$|\; \beta \; +\; \Delta \; \beta \; |\; 2\; =\; |\; \beta \; |\; 2\; +\; 2\; \beta \; \cdot \; \Delta \; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; +\; \backslash \; Delta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; |\; ^\; \{2\}\; =\; |\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; |\; ^\; \{2\}\; +2\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; Delta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\}$

и расширение фактора Лоренца β + Δ β как степенной ряд дает первый порядок по Δ β,

$1\; 1\; -\; |\; \beta \; +\; \Delta \; \beta \; |\; 2\; =\; 1\; +\; 1\; 2\; |\; \beta \; +\; \Delta \; \beta \; |\; 2\; +\; 3\; 8\; |\; \beta \; +\; \Delta \; \beta \; |\; 4\; +\; \cdots \; =\; (1\; +\; |\; \beta \; |\; 2\; 2\; +\; 3\; 8\; |\; \beta \; |\; 4\; +\; \cdots )\; +\; (1\; +\; 3\; 2\; |\; \beta \; |\; 2\; +\; \cdots )\; \beta \; \cdot \; \Delta \; \beta \; \approx \; \gamma \; +\; \gamma \; 3\; \beta \; \cdot \; \Delta \; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-\; |\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; +\; \backslash \; Delta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; |\; ^\; \{2\}\}\}\}\; =\; 1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; |\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; +\; \backslash \; Delta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; |\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{8\}\}\; |\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; +\; \backslash \; Delta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; |\; ^\; \{4\}\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{|\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; |\; ^\; \{\; 2\}\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{8\}\}\; |\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; |\; ^\; \{4\}\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\; |\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; |\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; Delta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; \backslash \backslash \; \backslash \; приблизительно\; \backslash \; gamma\; +\; \backslash \; gamma\; ^\; \{3\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; Delta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

с использованием коэффициента Лоренца γ β как указано выше.

Состав повышений в плоскости xy

Чтобы упростить расчет без потери общности, возьмите направление β полностью в направлении x, а Δ β в плоскости xy, поэтому параллельная составляющая находится вдоль направления x, а перпендикулярная составляющая - вдоль направления y. Ось вращения Вигнера проходит по направлению z. В декартовом базисе ex, ey, ez, наборе взаимно перпендикулярных единичных векторов в указанных направлениях, мы имеем

$\beta \; =\; \beta \; ex,\; \Delta \; \beta \; \parallel \; =\; \Delta \; \beta \; xex,\; \Delta \; \beta \; \perp \; Знак\; равно\; \Delta \; \beta \; да,\; \beta \; \times \; \Delta \; \beta \; знак\; равно\; \beta \; \Delta \; \beta \; yez\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; =\; \backslash \; beta\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{x\}\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; \backslash \; Delta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\; \}\}\; \_\; \{\backslash \; parallel\}\; =\; \backslash \; Delta\; \backslash \; beta\; \_\; \{x\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{x\}\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; \backslash \; Delta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; \_\; \{\backslash \; perp\}\; =\; \backslash \; Delta\; \backslash \; beta\; \_\; \{y\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{y\}\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; \backslash \; times\; \backslash \; Delta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; =\; \backslash \; beta\; \backslash \; Delta\; \backslash \; beta\; \_\; \{y\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{z\}\}$

Эта упрощенная настройка позволяет явно задавать матрицы повышения с минимальным количеством элементов матрицы. В общем, конечно, β и Δ β могут быть в любой плоскости, окончательный результат, приведенный позже, не будет отличаться.

Явно, в момент времени t усиление происходит в отрицательном направлении x

$B\; (-\; \beta )\; =\; [\gamma \; \gamma \; \beta \; 0\; 0\; \gamma \; \beta \; \gamma \; 0\; 0\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; (-\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\})\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; gamma\; \backslash \; gamma\; \backslash \; beta\; 0\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; gamma\; \backslash \; beta\; \backslash \; gamma\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 1\; \backslash \backslash \backslash \; конец\; \{bmatrix\; \}\}\}$

и повышение в момент времени t + Δt равно

$B\; (\beta \; +\; \Delta \; \beta )\; =\; [\gamma \; +\; \gamma \; 3\; \beta \; \Delta \; \beta \; x\; -\; (\gamma \; \beta \; +\; \gamma \; 3\; \Delta \; \beta \; x)\; -\; \gamma \; \Delta \; \beta \; y\; 0\; -\; (\gamma \; \beta \; +\; \gamma \; 3\; \Delta \; \beta \; x)\; \gamma \; +\; \gamma \; 3\; \beta \; \Delta \; \beta \; x\; (\gamma \; -\; 1\; \beta )\; \Delta \; \beta \; y\; 0\; -\; \gamma \; \Delta \; \beta \; y\; (\gamma \; -\; 1\; \beta )\; \Delta \; \beta \; y\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; +\; \backslash \; Delta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\})\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; gamma\; +\; \backslash \; gamma\; ^\; \{3\}\; \backslash \; beta\; \backslash \; Delta\; \backslash \; beta\; \_\; \{x\}\; -\; (\backslash \; gamma\; \backslash \; beta\; +\; \backslash \; gamma\; ^\; \{3\}\; \backslash \; Delta\; \backslash \; beta\; \_\; \{x\})\; -\; \backslash \; gamma\; \backslash \; Delta\; \backslash \; beta\; \_\; \{y\}\; 0\; \backslash \backslash \; -\; (\backslash \; gamma\; \backslash \; beta\; +\; \backslash \; гамма\; ^\; \{3\}\; \backslash \; Delta\; \backslash \; beta\; \_\; \{x\})\; \backslash \; gamma\; +\; \backslash \; gamma\; ^\; \{3\}\; \backslash \; beta\; \backslash \; Delta\; \backslash \; beta\; \_\; \{x\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; dfrac\; \{\backslash \; gamma\; -1\}\; \{\backslash \; beta\; \}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; Delta\; \backslash \; beta\; \_\; \{y\}\; 0\; \backslash \backslash \; -\; \backslash \; gamma\; \backslash \; Delta\; \backslash \; beta\; \_\; \{y\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; dfrac\; \{\backslash \; gamma\; -1\}\; \{\backslash \; beta\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; Delta\; \backslash \; beta\; \_\; \{y\}\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

где γ - коэффициент Лоренца β, а не β + Δ β . Составное преобразование тогда представляет собой матричное произведение

$\Lambda \; =\; B\; (\beta \; +\; \Delta \; \beta )\; B\; (-\; \beta )\; =\; [1\; -\; \gamma \; 2\; \Delta \; \beta \; x\; -\; \gamma \; \Delta \; \beta \; y\; 0\; -\; \gamma \; 2\; \Delta \; \beta \; x\; 1\; (\gamma \; -\; 1\; \beta )\; \Delta \; \beta \; Y\; 0\; -\; \gamma \; \Delta \; \beta \; Y\; -\; (\gamma \; -\; 1\; \beta )\; \Delta \; \beta \; Y\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\; =\; B\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; +\; \backslash \; Delta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\})\; B\; (-\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\})\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; -\; \backslash \; gamma\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Delta\; \backslash \; beta\; \_\; \{x\}\; -\; \backslash \; gamma\; \backslash \; Delta\; \backslash \; beta\; \_\; \{y\}\; 0\; \backslash \backslash \; -\; \backslash \; gamma\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Delta\; \backslash \; beta\; \_\; \{x\}\; 1\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; dfrac\; \{\backslash \; gamma\; -1\}\; \{\backslash \; beta\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; Delta\; \backslash \; beta\; \_\; \{y\; \}\; 0\; \backslash \backslash \; -\; \backslash \; gamma\; \backslash \; Delta\; \backslash \; beta\; \_\; \{y\}\; -\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; dfrac\; \{\backslash \; gamma\; -1\}\; \{\backslash \; beta\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; Delta\; \backslash \; beta\; \_\; \{y\}\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

Представляем генераторы повышения

$K\; x\; =\; [0\; 1\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0],\; K\; y\; =\; [0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0],\; К\; z\; знак\; равно\; [0\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0]\; \{\backslash \; Displaystyle\; K\_\; \{x\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; 1\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; 0\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; K\_\; \{y\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; 0\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; K\_\; \{z\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; 0\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{bma\; trix\}\}\}$

и генераторы вращения

$J\; x\; =\; [0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; -\; 1\; 0\; 0\; 1\; 0],\; J\; y\; =\; [0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; -\; 1\; 0\; 0],\; J\; z\; =\; [0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; -\; 1\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0]\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{x\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; 0\; 0\; -1\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; J\_\; \{y\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; -1\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; J\_\; \{z\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; -1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

вместе с точечным произведением · облегчает выражение, независимое от координат

$\Lambda \; =\; I\; -\; (\gamma \; -\; 1\; \beta \; 2)\; (\beta \; \times \; \Delta \; \beta )\; \cdot \; J\; -\; \gamma \; (\gamma \; \Delta \; \beta \; \parallel \; +\; \Delta \; \beta \; \perp )\; \cdot \; K\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\; =\; I-\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; -1\}\; \{\backslash \; beta\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; \backslash \; times\; \backslash \; Delta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\})\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{J\; \}\; -\; \backslash \; gamma\; (\backslash \; gamma\; \backslash \; Delta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; \_\; \{\backslash \; parallel\}\; +\; \backslash \; Delta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; \_\; \{\backslash \; perp\})\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\}$

что выполняется, если β и Δ β лежат в любой плоскости. Это бесконечно малое преобразование Лоренца в форме комбинированного повышения и поворота

$\Lambda \; =\; I\; -\; \Delta \; \theta \; \cdot \; J\; -\; \Delta \; b\; \cdot \; K\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\; =\; I-\; \backslash \; Delta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; theta\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{J\}\; -\; \backslash \; Delta\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\}$

где

$\Delta \; \theta \; =\; (\gamma \; -\; 1\; \beta \; 2)\; \beta \; \times \; \Delta \; \beta \; =\; 1\; c\; 2\; (\gamma \; 2\; \gamma \; +\; 1)\; v\; \times \; \Delta \; v\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; theta\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; -1\}\; \{\backslash \; beta\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\; \backslash \; beta\}\}\; \backslash \; times\; \backslash \; Delta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; gamma\; +1\; \}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; times\; \backslash \; Delta\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}$

$\Delta \; b\; =\; \gamma \; (\gamma \; \Delta \; \beta \; \parallel \; +\; \Delta \; \beta \; \perp )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; =\; \backslash \; gamma\; (\backslash \; gamma\; \backslash \; Delta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; \_\; \{\backslash \; parallel\}\; +\; \backslash \; Delta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; \_\; \{\backslash \; perp\})\}$

После деления Δ θ на Δt и принимая предел, как в (7), получаем мгновенную угловую скорость

$\omega \; T\; =\; 1\; c\; 2\; (\gamma \; 2\; \gamma \; +\; 1)\; a\; \times \; v\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; omega\}\}\; \_\; \{T\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; gamma\; +1\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}$

где a - это ускорение частицы, наблюдаемое в лабораторном кадре. Никакие силы не были указаны и не использовались при выводе, поэтому прецессия - это кинематический эффект - он возникает из геометрических аспектов движения. Однако силы вызывают ускорения, поэтому прецессия Томаса наблюдается, если на частицу действуют силы.

Прецессия Томаса также может быть получена с использованием уравнения переноса Ферми-Уокера. Предполагается равномерное круговое движение в плоском пространстве-времени Минковского. 4-вектор спина ортогонален 4-вектору скорости. Транспорт Ферми-Уокера сохраняет эту связь. Обнаружено, что скалярное произведение 4-вектора ускорения с 4-вектором спина изменяется во времени синусоидально с угловой частотой Ύ ω, где ω - угловая частота кругового движения, а Ύ = 1 / √⟨1-v ^ 2 / c ^ 2). Это легко показать, взяв вторую производную по времени от этого скалярного произведения. Поскольку эта угловая частота превышает ω, спин прецессирует в ретроградном направлении. Разница (γ-1) ω представляет собой уже заданную угловую частоту прецессии Томаса, что просто показывает, понимая, что величина 3-ускорения равна ω v.

В электроне орбитали

В квантовой механике прецессия Томаса - это поправка к спин-орбитальному взаимодействию, которая учитывает релятивистское время расширение между электроном и ядром в водородных атомах.

По сути, это утверждает, что вращающиеся объекты прецессируют, когда они ускоряются в специальная теория относительности, потому что бусты Лоренца не коммутируют друг с другом.

Чтобы вычислить спин частицы в магнитном поле, нужно также учитывать ларморовскую прецессию.

в маятнике Фуко

Вращение плоскости качания маятника Фуко можно рассматривать как результат параллельного перемещения маятника в двумерной сфере евклидова пространства. гиперболическое пространство скоростей в пространстве-времени Минковского представляет 3-мерную (псевдо-) сферу с мнимым радиусом и мнимой времениподобной координатой. Параллельный перенос вращающейся частицы в релятивистском пространстве скоростей приводит к прецессии Томаса, которая подобна вращению плоскости качания маятника Фуко. Угол поворота в обоих случаях определяется интегралом площадей кривизны в соответствии с теоремой Гаусса – Бонне.

Прецессия Томаса дает поправку к прецессии маятника Фуко. Для маятника Фуко, расположенного в городе Неймеген в Нидерландах, поправка составляет:

$\omega \; \approx \; 9,5\; \cdot \; 10–7\; a\; r\; c\; s\; e\; c\; o\; n\; d\; s\; /\; d\; a\; y.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \backslash \; приблизительно\; 9,5\; \backslash \; cdot\; 10\; ^\; \{-\; 7\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{arcseconds\}\; /\; \backslash \; mathrm\; \{day\}.\}$

Обратите внимание, что это более чем на два порядка меньше, чем прецессия из-за общерелятивистская поправка, возникающая из перетаскивания кадра, прецессия Ленс-Тирринга.

• Формула сложения скоростей
• Релятивистский угловой момент

• Томас Л.Х. Кинематика электрона с осью, Фил. Mag. 7 1927 1-23
• Бен-Менахем, А. (1985). «Повторение вращения Вигнера». Am. J. Phys. 53 (1): 62–66. Bibcode : 1985AmJPh..53... 62B. doi : 10.1119 / 1.13953. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Бен-Менахем, С. (1986). «Прецессия Томаса и кривизна скоростного пространства ". J. Math. Phys. 27 (5): 1284–1286. Bibcode : 1986JMP.... 27.1284B. doi : 10.1063 / 1.527132. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Cushing, JT (1967). "Векторные преобразования Лоренца". Am. J. Phys. 35 (9): 858–862. Bibcode : 1967AmJPh..35..858C. doi : 10.1119 / 1.1974267. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Эйнштейн, А. (1922), «Взгляд на теорию относительности», Nature, Лондон: Метуэн, 112 (2809): 319, Bibcode : 1923Natur.112..319., doi : 10.1038 / 112319a0 ; (Project Gutenberg Ebook)
• Eddington, AS (1924). The Mathematical Theory of Relativity. Cambridge University Press ; (Введение)
• Кремер, Х. (январь 2004 г.) «Фактор прецессии Томаса в спине -орбитальное взаимодействие » (PDF). Am. J. Phys. 72 (1).
• Криворученко М.И. (2009). «Вращение плоскости качания маятника Фуко и прецессия вращения Томаса: две грани одной монеты». Phys. Усп. 52 (8): 821–829. arXiv : 0805.1136. Bibcode : 2009PhyU... 52..821K. doi : 10.3367 / UFNe.0179.200908e.0873. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Малыкин, Великобритания (2006). "Прецессия Томаса : правильные и неправильные решения ». УФН 49 (8): 83 стр. Bibcode : 2006PhyU... 49..837M. doi : 10.1070 / PU2006v049n08ABEH005870. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Mocanu, CI (1992). «О парадоксе релятивистской композиции скоростей и теории Томаса вращение ". Найдено. Phys. Lett. 5 (5): 443–456. Bibcode : 1992FoPhL... 5..443M. doi : 10.1007 / BF00690425. ISSN 0894-9875. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Rebilas, K. (2013). «Комментарий к элементарному анализу специальной релятивистской комбинации скоростей, вращения Вигнера и прецессии Томаса». Eur. J. Phys. 34 (3): L55 – L61. Bibcode : 2013EJPh... 34L..55R. doi : 10.1088 / 0143-0807 / 34/3 / L55. CS1 maint: ref = harv (ссылка ) (свободный доступ)
• Rhodes, J.A.; Семон, М. Д. (2005). «Релятивистское пространство скоростей, вигнеровское вращение и прецессия Томаса». Am. J. Phys. 72 (7): 943–960. arXiv : gr-qc / 0501070. Bibcode : 2005APS..NES..R001S. doi : 10.1119 / 1.1652040. CS1 maint: ref = harv (link )
• Зильберштейн, Л. (1914). Теория относительности. Лондон: Macmillan Publishers. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Thomas, LH (1926). «Движение вращающегося электрона». Природа. 117 (2945): 514. Bibcode : 1926Natur.117..514T. doi : 10.1038 / 117514a0. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Унгар, AA (1988). «Вращение Томаса и параметризация группы Лоренца». Foundations of Physics Letters. 1 (1): 57–81. Bibcode : 1988FoPhL... 1... 57U. doi : 10.1007 / BF00661317. ISSN 0894-9875. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Weinberg, S. (2002), Квантовая теория полей, 1, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55001-7
• Wigner, EP (1939), " Об унитарных представлениях неоднородной группы Лоренца », Annals of Math. ematics, 40(1): 149–204, Bibcode : 1939AnMat..40..149W, doi : 10.2307 / 1968551, JSTOR 1968551, MR 1503456.

• Гольдштейн, Х. (1980) [1950]. «Глава 7». Классическая механика (2-е изд.). Ридинг М.А.: Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-02918-5. CS1 maint: ref = harv (link )
• Jackson, JD (1999) [ 1962]. "Глава 11". Классическая электродинамика (3-е изд.). John Wiley Sons. ISBN 978-0-471-30932 -1. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Джексон, JD (1975) [1962]. «Глава 11». Классическая электродинамика (2-е изд.). John Wiley Sons. Pp. 542–545. ISBN 978-0-471- 43132-9. CS1 maint: ref = harv (link )
• Ландау, LD ; Лифшиц, EM (2002) [1939]. Классическая теория Филдс. Курс теоретической физики. 2 (4-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн. стр. 38. ISBN 0-7506-2768 -9. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Риндлер, В. (2006) [2001]. «Глава 9». Специальная, общая и космологическая теория относительности (2-я изд.). Даллас: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-856732-5. CS1 maint: ref = harv (ли nk )
• Ryder, L.H. (1996) [1985]. Quantum Field Theory (2nd ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0521478144.CS1 maint: ref=harv (link )
• Sard, R. D. (1970). Relativistic Mechanics - Special Relativity and Classical Particle Dynamics. New York: W. A. Benjamin. ISBN 978-0805384918.CS1 maint: ref=harv (link )
• R. U. Sexl, H. K. Urbantke (2001) [1992]. Relativity, Groups Particles. Special Relativity and Relativistic Symmetry in Field and Particle Physics. Springer. pp. 38–43. ISBN 978-3211834435.CS1 maint: ref=harv (link )

• Mathpages article on Thomas Precession
• Alternate, detailed derivation of Thomas Precession (by Robert Littlejohn)
• Short derivation of the Thomas precession