Собственное время

Прошедшее время между двумя событиями, измеренное часами, которые проходят через оба события

В теории относительности, собственное время вдоль подобной времени мировой линии определяется как время, измеренное с помощью часов после этой линии. Таким образом, он не зависит от координат и является скаляром Лоренца. собственный временной интервал между двумя событиями на мировой линии - это изменение в собственном времени. Этот интервал представляет интерес, поскольку собственное время фиксируется только с точностью до произвольной аддитивной константы, а именно установки часов на какое-то событие вдоль мировой линии. Собственный временной интервал между двумя событиями зависит не только от самих событий, но и от мировой линии, соединяющей их, и, следовательно, от движения часов между событиями. Выражается в виде интеграла по мировой линии. Ускоренные часы будут измерять меньшее время, прошедшее между двумя событиями, чем время, измеренное неускоренными (инерциальными ) часами между теми же двумя событиями. парадокс близнецов является примером этого эффекта.

Темно-синяя вертикальная линия представляет инерциального наблюдателя, измеряющего координатный временной интервал t между событиями E 1 и E 2. Красная кривая представляет часы, измеряющие свой собственный интервал времени τ между двумя одинаковыми событиями.

С точки зрения четырехмерного пространства-времени, собственное время аналогично длине дуги в трех измерениях. -мерное (евклидово ) пространство. По соглашению, собственное время обычно обозначается греческой буквой τ (tau ), чтобы отличить его от координатного времени, представленного буквой t.

В отличие от этого, координатное время - это время между двумя событиями, измеренное наблюдателем, использующим собственный метод этого наблюдателя для присвоения времени событию. В частном случае инерционного наблюдателя в специальной теории относительности время измеряется с использованием часов наблюдателя и определения наблюдателя одновременности.

Концепция собственного времени была введена Германом Минковским в 1908 году и является особенностью диаграмм Минковского.

Содержание

• 1 Математический формализм
  • 1.1 In специальная теория относительности
  • 1.2 В общей теории относительности
• 2 Примеры в специальной теории относительности
  • 2.1 Пример 1: Двойной "парадокс"
  • 2.2 Пример 2: Вращающийся диск
• 3 Примеры в общей теории относительности
  • 3.1 Пример 3: Вращающийся диск (снова)
  • 3.2 Пример 4: Решение Шварцшильда - время на Земле
• 4 См. Также
• 5 Сноски
• 6 Ссылки

Математический формализм

Формальное определение собственного времени включает описание пути через пространство-время, которое представляет часы, наблюдателя или тестовую частицу, и метрическую структуру этого пространства-времени. Собственное время - это псевдориманова длина дуги мировых линий в четырехмерном пространстве-времени. С математической точки зрения предполагается, что координатное время предопределено, и нам требуется выражение для собственного времени как функции координатного времени. С экспериментальной точки зрения собственное время - это то, что измеряется экспериментально, а затем координатное время вычисляется из собственного времени некоторых инерциальных часов.

Собственное время может быть определено только для подобных времени путей в пространстве-времени, которые позволяют построить сопутствующий набор физических линейок и часов. Тот же формализм для пространственно-подобных траекторий приводит к измерению собственного расстояния, а не собственного времени. Для светоподобных путей не существует понятия собственного времени, и оно не определено, поскольку интервал пространства-времени тождественно равен нулю. Вместо этого должен быть введен произвольный и физически нерелевантный аффинный параметр, не связанный со временем.

В специальной теории относительности

Пусть метрика Минковского определяется как

$\eta \; \mu \; \nu \; знак\; равно\; (1\; 0\; 0\; 0\; 0\; -\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; -\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; -\; 1),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 1\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; -1\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; -1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; -1\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right),\}$

и определите

$(x\; 0,\; x\; 1,\; x\; 2,\; x\; 3)\; =\; (\; ct,\; x,\; y,\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; ^\; \{0\},\; x\; ^\; \{1\},\; x\; ^\; \{2\},\; x\; ^\; \{3\})\; =\; (ct,\; x,\; y,\; z)\}$

для произвольных фреймов Лоренца.

Рассмотрим бесконечно малый интервал между двумя событиями:

$ds\; 2\; =\; c\; 2\; dt\; 2\; -\; dx\; 2\; -\; dy\; 2\; -\; dz\; 2\; =\; \eta \; \mu \; \nu \; dx\; \mu \; dx\; \nu ,\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\; ^\; \{2\}\; =\; c\; ^\; \{2\}\; dt\; ^\; \{2\}\; -dx\; ^\; \{2\}\; -dy\; ^\; \{2\}\; -dz\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; eta\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; dx\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; dx\; ^\; \{\backslash \; nu\; \},\}$(1)

выражается в любой системе координат Лоренца и здесь предполагается подобным времени, разделяя точки на траектории частицы (мысленные часы). Тот же интервал может быть выражен в таких координатах, что в каждый момент частица находится в состоянии покоя. Такая рамка называется системой мгновенного покоя и обозначается здесь координатами $(c\; \tau ,\; x\; \tau ,\; y\; \tau ,\; z\; \tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; (c\; \backslash \; tau,\; x\; \_\; \{\backslash \; tau\},\; y\; \_\; \{\backslash \; tau\},\; z\; \_\; \{\backslash \; tau\})\}$для каждого момента. Из-за неизменности интервала (мгновенные системы покоя, взятые в разное время, связаны преобразованиями Лоренца) можно записать

$ds\; 2\; =\; c\; 2\; d\; \tau \; 2\; -\; dx\; \tau \; 2\; -\; dy\; \tau \; 2\; -\; dz\; \tau \; 2\; =\; c\; 2\; d\; \tau \; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\; ^\; \{2\}\; =\; c\; ^\; \{2\}\; d\; \backslash \; tau\; ^\; \{2\}\; -dx\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; ^\; \{2\}\; -dy\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; ^\; \{2\}\; -dz\; \_\; \{\backslash \; tau\; \}\; ^\; \{2\}\; =\; c\; ^\; \{2\}\; d\; \backslash \; tau\; ^\; \{2\},\}$

, поскольку в системе мгновенного покоя частица или сама система отсчета покоятся, т. Е. $dx\; \tau \; =\; dy\; \tau \; знак\; равно\; dz\; \tau \; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; dx\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; =\; dy\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; =\; dz\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; =\; 0\}$. Поскольку интервал считается подобным времени, можно извлечь квадратный корень из приведенного выше выражения;

$d\; s\; =\; c\; d\; \tau ,\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\; =\; cd\; \backslash \; tau,\}$

или

$d\; \tau \; =\; d\; s\; c.\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; tau\; =\; \{\backslash \; frac\; \{ds\}\; \{c\}\}.\}$

Учитывая это дифференциальное выражение для τ, правильный временной интервал определяется как

$\Delta \; \tau \; =\; \int \; P\; d\; \tau \; =\; \int \; d\; s\; c.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; tau\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{P\}\; d\; \backslash \; tau\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{ds\}\; \{c\}\}.\}$(2)

Здесь P - мировая линия из от некоторого начального события к некоторому конечному событию с упорядочением событий, фиксированным требованием, чтобы последнее событие произошло позже по часам, чем начальное событие.

Используя (1)и снова инвариантность интервала, можно записать

$\Delta \; \tau \; =\; \int \; P\; 1\; c\; \eta \; \mu \; \nu \; dx\; \mu \; dx\; \nu \; =\; \int \; P\; dt\; 2\; -\; dx\; 2\; c\; 2\; -\; dy\; 2\; c\; 2\; -\; dz\; 2\; c\; 2\; =\; \int \; 1\; -\; 1\; c\; 2\; [(dxdt)\; 2\; +\; (dydt)\; 2\; +\; (dzdt)\; 2]\; dt\; =\; \int \; 1\; -\; v\; (\; t)\; 2\; c\; 2\; dt\; знак\; равно\; \int \; dt\; \gamma \; (t),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; Delta\; \backslash \; tau\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{P\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; eta\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; dx\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; dx\; ^\; \{\backslash \; nu\}\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; int\; \_\; \{P\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{dt\; ^\; \{2\}\; -\; \{dx\; ^\; \{2\}\; \backslash \; over\; c\; ^\; \{2\}\}\; -\; \{dy\; ^\; \{2\}\; \backslash \; over\; c\; ^\; \{2\}\}\; -\; \{dz\; ^\; \{2\}\; \backslash \; over\; c\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dt\}\; \}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dz\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\}\}\; dt\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{v\; (t)\; ^\; \{2\}\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\}\}\; dt\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{dt\}\; \{\backslash \; gamma\; (t)\}\},\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$(3)

где v (t) - это координатная скорость в момент времени t, а x (t), y (t) и z (t) - пространственные координаты. Первое выражение явно лоренц-инвариантно. Все они лоренц-инвариантны, поскольку собственное время и собственные интервалы времени по определению не зависят от координат.

Если t, x, y, z параметризованы параметром λ, это можно записать как

$\Delta \; \tau \; =\; \int \; (dtd\; \lambda )\; 2\; -\; 1\; c\; 2\; [(\; dxd\; \lambda )\; 2\; +\; (dyd\; \lambda )\; 2\; +\; (dzd\; \lambda )\; 2]\; d\; \lambda .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; tau\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dt\}\; \{d\; \backslash \; lambda\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\; \}\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{d\; \backslash \; lambda\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{d\; \backslash \; lambda\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dz\}\; \{d\; \backslash \; lambda\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\}\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; lambda.\}$

Если движение частицы постоянно, выражение упрощается до

$\Delta \; \tau \; знак\; равно\; (\Delta \; t)\; 2\; -\; (\Delta \; x)\; 2\; c\; 2\; -\; (\Delta \; y)\; 2\; c\; 2\; -\; (\Delta \; z)\; 2\; c\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; tau\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; left\; (\backslash \; Delta\; t\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (\backslash \; Delta\; x\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (\backslash \; Delta\; y\; \backslash \; справа)\; ^\; \{2\}\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (\backslash \; Delta\; z\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\}\},\}$

где Δ означает изменение координат между начальным и конечным событиями. Определение в специальной теории относительности прямо обобщается на общую теорию относительности следующим образом.

В общей теории относительности

Собственное время определяется в общей теории относительности следующим образом: дано псевдориманово многообразие с локальными координатами x и снабжено с метрическим тензором gμν, собственный временной интервал Δτ между двумя событиями вдоль времениподобного пути P задается линейным интегралом

$\Delta \; \tau \; =\; \int \; P\; d\; \tau \; =\; \int \; P\; 1\; cg\; \mu \; \nu \; dx\; \mu \; dx\; \nu .\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; tau\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{P\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; tau\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{P\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{g\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; \backslash ;\; dx\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash ;\; dx\; ^\; \{\backslash \; nu\}\}\}.\}$

(4)

Это выражение, как и должно быть, инвариантно при изменении координат. Он сводится (в соответствующих координатах) к выражению специальной теории относительности в плоском пространстве-времени.

. Точно так же, как координаты могут быть выбраны так, что x, x, x = const в специальной теории относительности, это можно сделать в общем относительность тоже. Тогда в этих координатах

$\Delta \; \tau \; =\; \int \; P\; d\; \tau \; =\; \int \; P\; 1\; c\; g\; 00\; d\; x\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; tau\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{P\}\; d\; \backslash \; tau\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{P\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{g\_\; \{00\}\}\}\; dx\; ^\; \{0\}.\; \}$

Это выражение обобщает определение (2)и может использоваться как определение. Тогда, используя инвариантность интервала, уравнение (4)следует из него точно так же, как (3)следует из (2), за исключением того, что здесь разрешены произвольные изменения координат.

Примеры в специальной теории относительности

Пример 1: «Парадокс близнецов»

Для сценария парадокса близнецов пусть будет наблюдатель A, который движется между координатами A (0,0,0,0) и (10 лет, 0, 0, 0) по инерции. Это означает, что A остается в $x\; =\; y\; =\; z\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; y\; =\; z\; =\; 0\}$в течение 10 лет времени по координате A. Тогда правильный интервал времени для A между двумя событиями составляет

$\Delta \; \tau \; =\; (10\; лет)\; 2\; =\; 10\; лет.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; tau\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{(10\; \{\backslash \; text\; \{years\}\})\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; 10\; \{\backslash \; text\; \{years\}\}.\}$

Итак, пребывание в состоянии покоя в Система координат специальной теории относительности означает, что собственное время и координатное время одинаковы.

Пусть теперь есть еще один наблюдатель B, который путешествует в направлении x из точки (0,0,0,0) в течение 5 лет по координате A на 0,866c до (5 лет, 4,33 световых года, 0, 0). Оказавшись там, B ускоряется и перемещается в другом пространственном направлении в течение еще 5 лет времени по координате A до (10 лет, 0, 0, 0). Для каждого этапа поездки соответствующий временной интервал может быть рассчитан с использованием A-координат и определяется как

$\Delta \; \tau \; =\; (5\; лет)\; 2\; -\; (4,33\; года)\; 2\; =\; 6,25\; года\; 2\; =\; 6,25\; года\; =\; 2,5\; года.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; tau\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{(5\; \backslash ;\; \backslash \; mathrm\; \{years\})\; ^\; \{2\}\; -\; (4.33\; \backslash ;\; \backslash \; mathrm\; \{years\})\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{6.25\; \backslash \; ;\; \backslash \; mathrm\; \{years\}\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{6.25\; \backslash ;\}\}\; \backslash \; mathrm\; \{years\}\; =\; 2.5\; \backslash ;\; \backslash \; mathrm\; \{years\}.\}$

Итак, общее время, необходимое наблюдателю B для перейти от (0,0,0,0) к (5 лет, 4,33 световых года, 0, 0), а затем к (10 лет, 0, 0, 0) - 5 лет. Таким образом, показано, что уравнение собственного времени включает эффект замедления времени. Фактически, для объекта в пространстве-времени СР, движущегося со скоростью v в течение времени $\Delta \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; T\}$, надлежащий временной интервал будет

$\Delta \; \tau \; знак\; равно\; \Delta \; T\; 2\; -\; (vx\; \Delta \; T\; /\; c)\; 2\; -\; (vy\; \Delta \; T\; /\; c)\; 2\; -\; (vz\; \Delta \; T\; /\; c)\; 2\; =\; \Delta \; T\; 1\; -\; v\; 2\; /\; c\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; tau\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; Delta\; T\; ^\; \{2\}\; -\; (v\_\; \{x\}\; \backslash \; Delta\; T\; /\; c)\; ^\; \{2\}\; -\; (v\_\; \{y\}\; \backslash \; Delta\; T\; /\; c)\; ^\; \{2\}\; -\; (\; v\_\; \{z\}\; \backslash \; Delta\; T\; /\; c)\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \backslash \; Delta\; T\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-v\; ^\; \{2\}\; /\; c\; ^\; \{2\}\}\},\}$

что является замедлением времени SR формула.

Пример 2: Вращающийся диск

Наблюдатель, вращающийся вокруг другого инерциального наблюдателя, находится в ускоренной системе отсчета. Для такого наблюдателя необходима инкрементальная ($d\; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; tau\}$) форма уравнения собственного времени, а также параметризованное описание пройденного пути, как показано ниже..

Пусть на диске есть наблюдатель C, вращающийся в плоскости xy с угловой скоростью $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$, и который находится на расстоянии r от центра диска к центру диска в точке x = y = z = 0. Путь наблюдателя C определяется выражением $(T,\; r\; cos\; \; (\omega \; T),\; r\; sin\; \; (\omega \; T),\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; (T,\; \backslash ;\; \backslash ,\; r\; \backslash \; cos\; (\backslash \; omega\; T),\; \backslash ;\; \backslash ,\; r\; \backslash \; sin\; (\backslash \; omega\; T),\; \backslash ;\; \backslash ,\; 0)\}$, где $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$- текущее координатное время. Когда r и $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$постоянны, $dx\; =\; -\; r\; \omega \; sin\; \; (\omega \; T)\; d\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; dx\; =\; -r\; \backslash \; omega\; \backslash \; sin\; (\; \backslash \; omega\; T)\; \backslash ;\; dT\}$и $dy\; =\; r\; \omega \; cos\; \; (\omega \; T)\; d\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; dy\; =\; r\; \backslash \; omega\; \backslash \; cos\; (\backslash \; omega\; T)\; \backslash ;\; dT\}$. Формула приращения собственного времени тогда принимает вид

$d\; \tau \; =\; d\; T\; 2\; -\; (r\; \omega \; /\; c)\; 2\; sin\; 2\; \; (\omega \; T)\; d\; T\; 2\; -\; (r\; \omega \; /\; c)\; 2\; cos\; 2\; \; (\omega \; T)\; d\; Т\; 2\; =\; d\; Т\; 1\; -\; (r\; \omega \; c)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; tau\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{dT\; ^\; \{2\}\; -\; (r\; \backslash \; omega\; /\; c)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; omega\; T)\; \backslash ;\; dT\; ^\; \{2\}\; -\; (r\; \backslash \; omega\; /\; c)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; omega\; T)\; \backslash ;\; dT\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; dT\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{r\; \backslash \; omega\}\; \{c\})\; \}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

Итак, для наблюдателя, вращающегося на постоянном расстоянии r от данной точки пространства-времени с постоянной угловой скоростью ω между временами координат $T\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{1\}\}$и $T\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{2\}\}$, собственное время опыта будет

$\int \; T\; 1\; T\; 2\; d\; \tau \; =\; (\; T\; 2\; -\; T\; 1)\; 1\; -\; (r\; \omega \; c)\; 2\; знак\; равно\; \Delta \; T\; 1\; -\; v\; 2\; /\; c\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{T\_\; \{1\}\}\; ^\; \{T\_\; \{2\}\}\; d\; \backslash \; tau\; =\; (T\_\; \{2\}\; -T\_\; \{1\})\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{r\; \backslash \; omega\}\; \{c\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \backslash \; Delta\; T\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-v\; ^\; \{2\}\; /\; c\; ^\; \{2\}\}\},\}$

как v = rω для вращающегося наблюдателя. Этот результат такой же, как и для примера линейного движения, и показывает общее применение интегральной формы формулы собственного времени.

Примеры в общей теории относительности

Разница между СТО и общей теорией относительности (ОТО) заключается в том, что в ОТО можно использовать любую метрику, которая является решением уравнений поля Эйнштейна, а не только метрику Минковского. Поскольку инерционному движению в искривленном пространстве-времени не хватает простого выражения, которое оно имеет в СТО, всегда необходимо использовать форму линейного интеграла уравнения собственного времени.

Пример 3: Вращающийся диск (снова)

Соответствующее преобразование координат, выполненное по метрике Минковского, создает координаты, в которых объект на вращающемся диске остается в том же пространстве координаты положения. Новые координаты:

$r\; =\; x\; 2\; +\; y\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\}\}\}$

и

$\theta \; =\; arctan\; \; (yx)\; -\; \omega \; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; =\; \backslash \; arctan\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{y\}\; \{x\}\}\; \backslash \; right)\; -\; \backslash \; omega\; t.\}$

Координаты t и z остаются без изменений. В этой новой системе координат уравнение приращения собственного времени имеет вид

$d\; \tau \; =\; [1\; -\; (r\; \omega \; c)\; 2]\; dt\; 2\; -\; dr\; 2\; c\; 2\; -\; r\; 2\; d\; \theta \; 2\; c\; 2\; -\; dz\; 2\; c\; 2\; -\; 2\; r\; 2\; \omega \; dtd\; \theta \; c\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; tau\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; left\; [1-\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{r\; \backslash \; omega\}\; \{c\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\; dt\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{dr\; ^\; \{2\}\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{r\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\}\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{dz\; ^\; \{2\}\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; 2\; \{\backslash \; frac\; \{r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; omega\; \backslash ,\; dt\; \backslash ,\; d\; \backslash \; theta\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\}\}.\}$

С r, θ и z постоянны во времени, это упрощается до

$d\; \tau \; =\; dt\; 1\; -\; (r\; \omega \; c)\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; tau\; =\; dt\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{r\; \backslash \; omega\}\; \{c\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\},\}$

что такое же, как в примере 2.

Теперь пусть есть объект вне вращающегося диска и при инерционном покое относительно центра диска и на расстоянии R от него. Этот объект имеет движение с координатами, описываемое как dθ = −ω dt, которое описывает неподвижный по инерции объект встречного вращения в поле зрения вращающегося наблюдателя. Теперь уравнение собственного времени принимает вид

$d\; \tau \; =\; [1\; -\; (R\; \omega \; c)\; 2]\; d\; t\; 2\; -\; (R\; \omega \; c)\; 2\; d\; t\; 2\; +\; 2\; (R\; \omega \; c)\; 2\; d\; t\; 2\; =\; d\; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; tau\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; left\; [1-\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{R\; \backslash \; omega\}\; \{c\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\; dt\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; left\; (\; \{\backslash \; frac\; \{R\; \backslash \; omega\}\; \{c\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; dt\; ^\; \{2\}\; +2\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{R\; \backslash \; omega\}\; \{c\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; dt\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; dt.\}$

Итак, для инерциального наблюдателя в состоянии покоя снова обнаруживается, что координатное время и собственное время проходят с той же скоростью, что и ожидалось, и требуется для внутреннего самоконтроля. непротиворечивость теории относительности.

Пример 4: Решение Шварцшильда - время на Земле

Решение Шварцшильда имеет уравнение приращения собственного времени

$d\; \tau \; =\; (1-2\; mr)\; dt\; 2-1\; c\; 2\; (1-2\; mr)\; -\; 1\; dr\; 2\; -\; r\; 2\; c\; 2\; d\; \varphi \; 2\; -\; r\; 2\; c\; 2\; sin\; 2\; \; (\varphi )\; d\; \theta \; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; tau\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2m\}\; \{r\}\}\; \backslash \; right)\; dt\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; (1-\; \{\; \backslash \; frac\; \{2m\}\; \{r\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1\}\; dr\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{r\; ^\; \{2\}\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; d\; \backslash \; phi\; ^\; \{2\}\; -\; \{\; \backslash \; frac\; \{r\; ^\; \{2\}\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; phi)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\}\}\},\}$

где

• t - время при калибровке по часам, удаленным от Земли и находящимся в инерционном покое относительно Земли,
• r - радиальная координата (которая, по сути, представляет собой расстояние от центра Земли),
• co - ко-широтная координата, угловое расстояние от северного полюса в радианах.
• θ - продольная координата, аналогичная долготе на поверхности Земли, но не зависящая от вращения Земли . Это также дается в радианах.
• 1 = m - геометризованная масса Земли, m = GM / c,
  • M - масса Земли,
  • G - гравитационная постоянная.

Чтобы продемонстрировать использование соотношения собственного времени, здесь будут использоваться несколько субпримеров с участием Земли.

Для Земли M = 5,9742 × 10 кг, что означает, что m = 4,4354 × 10 м. Стоя на северном полюсе, мы можем предположить, что $dr\; =\; d\; \theta \; =\; d\; \varphi \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; dr\; =\; d\; \backslash \; theta\; =\; d\; \backslash \; phi\; =\; 0\}$(что означает, что мы не движемся вверх или вниз или вдоль поверхности Земли). В этом случае уравнение собственного времени решения Шварцшильда принимает вид $d\; \tau \; =\; dt\; 1-2\; m\; /\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; tau\; =\; dt\; \backslash ,\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-2m\; /\; r\}\}\}$. Затем, используя полярный радиус Земли в качестве радиальной координаты (или $r\; =\; 6,\; 356,\; 752\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; 6,356,752\}$метров), мы находим, что

$d\; \tau \; =\; (\; 1\; -\; 1,3908\; \times \; 10\; -\; 9)\; dt\; 2\; =\; (1\; -\; 6,9540\; \times \; 10\; -\; 10)\; dt.\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; tau\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; left\; (1-1.3908\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{-\; 9\}\; \backslash \; right)\; \backslash ;\; dt\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \backslash \; left\; (1-6.9540\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{-\; 10\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; dt.\}$

На экваторе радиус Земли равен r = 6 378 137 метров. Кроме того, необходимо учитывать вращение Земли. Это сообщает наблюдателю угловую скорость $d\; \theta \; /\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; d\; \backslash \; theta\; /\; dt\}$, равную 2π, деленную на звездный период вращения Земли, 86162,4 секунды. Итак, $d\; \theta \; =\; 7,2923\; \times \; 10-5\; d\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; theta\; =\; 7,2923\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{-\; 5\}\; \backslash ,\; dt\}$. Уравнение собственного времени затем дает

$d\; \tau \; =\; (1\; -\; 1,3908\; \times \; 10\; -\; 9)\; d\; t\; 2\; -\; 2,4069\; \times \; 10\; -\; 12\; d\; t\; 2\; =\; (1\; -\; 6,9660\; \times \; 10\; -\; 10)\; d\; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; tau\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; left\; (1-1.3908\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{-\; 9\}\; \backslash \; right)\; dt\; ^\; \{2\}\; -2,4069\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{-\; 12\}\; \backslash ,\; dt\; ^\; \{2\}\; \}\}\; =\; \backslash \; left\; (1-6.9660\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{-\; 10\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; dt.\}$

С нерелятивистской точки зрения это должно было быть таким же, как и предыдущий результат. Этот пример демонстрирует, как используется уравнение собственного времени, даже если Земля вращается и, следовательно, не является сферически-симметричной, как предполагается решением Шварцшильда. Для более точного описания эффектов вращения можно использовать метрику Керра.

См. Также

• Преобразование Лоренца
• Пространство Минковского
• Правильная длина
• Правильное ускорение
• Правильная масса
• Правильная скорость
• Гипотеза часов
• Метрика Переса

Сноски

Ссылки

• Cook, RJ (2004). «Физическое время и физическое пространство в общей теории относительности». Am. J. Phys. 72 (2): 214–219. Bibcode : 2004AmJPh..72..214C. doi : 10.1119 / 1.1607338. ISSN 0002-9505. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Фостер, Дж.; Найтингейл, Дж. Д. (1978). А краткий курс общей теории относительности. Эссекс: Longman Scientific and Technical. ISBN 0-582-44194-3. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Клеппнер, Д. ; Коленков, Р.Дж. (1978). Введение в механику. МакГроу – Хилл. ISBN 0-07-035048-5. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Копейкин, Сергей; Ефроимский, Майкл; Каплан, Джордж (2011). Релятивистская небесная механика Солнечной системы. John Wiley Sons. ISBN 978-3-527-40856-6. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Ландау, Л.Д. ; Лифшиц, Е.М. (1975). Классическая теория полей. Курс теоретической физики. 2 (4-е изд.). Оксфорд: Баттерворт – Хайнеманн. ISBN 0-7506-2768-9. CS1 maint: ref = harv (link )
• Лоуден, Дерек Ф. (2012). Введение в Т. Ensor Calculus: Relativity and Cosmology. Курьерская корпорация. ISBN 978-0-486-13214-3. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Лавлок, Дэвид ; Рунд, Ханно (1989), Тензоры, дифференциальные формы и вариационные принципы, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 0-486-65840-6
• Минковски, Герман (1908), "Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern", Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften-Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern ", Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschafen-Göröt-Archivet, из архива Августа Георга. оригинал от 08.07.2012 CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Пуассон, Эрик (2004), Набор инструментов релятивиста: Математика Блэка- Hole Mechanics, Cambridge University Press, ISBN 978-0521537803
• Weinberg, Steven (1972), Гравитация и космология: принципы и применение Общая теория относительности, Нью-Йорк: John Wiley Sons, ISBN 978-0-471-92567-5
• Zwiebach, Barton (20 04). Первый курс теории струн (первое издание). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-83143-1. CS1 maint: ref = harv (ссылка )