Релятивистский угловой момент

Угловой момент в специальной и общей теории относительности

В физике, релятивистской угловой момент относится к математическим формализмам и физическим понятиям, которые определяют угловой момент в специальной теории относительности (SR) и общей теории относительности (GR). Релятивистская величина незначительно отличается от трехмерной величины в классической механике.

Угловой момент - важная динамическая величина, получаемая из положения и количества движения. Это мера вращательного движения объекта и сопротивления его остановке. Точно так же, как сохранение импульса соответствует трансляционной симметрии, сохранение углового момента соответствует вращательной симметрии - связь между симметриями и законами сохранения устанавливается с помощью теоремы Нётер. Хотя эти концепции были первоначально обнаружены в классической механике, они также верны и важны для специальной и общей теории относительности. В терминах абстрактной алгебры инвариантность углового момента, четырехимпульса и других симметрий в пространстве-времени описывается группой Лоренца или, в более общем смысле, группой Пуанкаре.

Физические величины, которые остаются отдельными в классической физике, естественным образом объединяются в СТО и ОТО, усиливая постулаты относительности. В частности, пространственные и временные координаты объединяются в с четырьмя позициями, а энергия и импульс объединяются в с четырьмя импульсами. Компоненты этих четырехвекторов зависят от используемой системы отсчета и изменяются при преобразованиях Лоренца на другие инерциальные системы отсчета или ускоренные кадры.

Релятивистский угловой момент менее очевиден. Классическое определение углового момента - это перекрестное произведение положения x с импульсом p для получения псевдовектора x× pили, альтернативно, как внешнее произведение для получения антисимметричного тензора второго порядка x∧ p. С чем это сочетается? Есть еще одна векторная величина, не часто обсуждаемая - это изменяющийся во времени момент полярного вектора массы (а не момент инерции ), связанный с повышением центра масс системы, и это объединяется с классическим псевдовектором углового момента, чтобы сформировать антисимметричный тензор второго порядка, точно так же, как полярный вектор электрического поля объединяется с псевдовектором магнитного поля, чтобы сформировать электромагнитное поле антисимметричный тензор. Для вращающихся распределений масса-энергия (таких как гироскопы, планеты, звезды и черные дыры ) вместо точечных частиц, тензор момента импульса выражается через тензор энергии-импульса вращающегося объекта.

Только в специальной теории относительности в системе отсчета вращающегося объекта есть собственный угловой момент, аналогичный «спину» в квантовой механике и релятивистская квантовая механика, но для протяженного тела, а не для точечной частицы. В релятивистской квантовой механике элементарные частицы имеют спин, и это дополнительный вклад в оператор орбитального углового момента, дающий оператор тензора полного углового момента. В любом случае, внутренняя "спиновая" добавка к орбитальному угловому моменту объекта может быть выражена в терминах псевдовектора Паули – Любанского.

• 1 Определения
  • 1.1 Орбитальный трехмерный угловой момент
  • 1.2 Динамический момент массы
• 2 Специальная теория относительности
  • 2.1 Преобразования координат для ускорения в направлении x
  • 2.2 Векторные преобразования для ускорения в любом направлении
  • 2.3 4d Угловой момент как бивектор
  • 2.4 Вращение твердого тела
• 3 Спин в специальной теории относительности
  • 3.1 Четырехспиновый
  • 3.2 Псевдовектор Паули – Любанского
• 4 Спин-орбитальное разложение
• 5 Угловой момент распределения масса – энергия – импульс
  • 5.1 Угловой момент из тензора массы-энергии-импульса
  • 5.2 Угловой момент относительно центра масс
  • 5.3 Сохранение углового момента
• 6 Крутящий момент в специальной теории относительности
• 7 Угловой момент как генератор разрастания и вращения пространства-времени
• 8 Угловой момент в общей теории относительности
• 9 См. также
• 10 Ссылки
• 11 Дополнительная литература
  • 11.1 Специальная теория относительности
  • 11.2 Общая теория относительности
• 12 Внешние ссылки

Трехмерный угловой момент как бивектор (плоский элемент) и осевой вектор частицы массы m с мгновенным 3-положением x и 3-импульсом p.

Орбитальный трехмерный угловой момент

Для справки и фона, две тесно связанные формы угловой момент дан.

В классической механике орбитальный угловой момент частицы с мгновенным трехмерным вектором положения x = (x, y, z) и вектором импульса <397.>p = (p x, p y, p z), определяется как осевой вектор

$L\; =\; x\; \times \; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\}$

, который имеет три компонента, которые систематически задаются циклическими перестановками декартовых направлений (например, замените x на y, y на z, z на x, повторите)

$L\; x\; =\; ypz\; -\; zpy,\; L\; y\; =\; zpx\; -\; xpz,\; L\; z\; =\; xpy\; -\; ypx.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; L\_\; \{x\}\; =\; yp\_\; \{z\}\; -zp\_\; \{y\}\; \backslash ,,\; \backslash \backslash \; L\_\; \{y\}\; =\; zp\_\; \{x\}\; -xp\_\; \{z\}\; \backslash ,,\; \backslash \backslash \; L\_\; \{z\}\; =\; xp\_\; \{y\}\; -yp\_\; \{x\}\; \backslash ,.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Родственное определение - представить орбитальный угловой момент как элемент плоскости. Это может быть достигнуто заменой векторного произведения на внешнее произведение на языке внешней алгебры, и угловой момент становится контравариантным антисимметричным вторым порядком. тензор

$L\; =\; x\; \wedge \; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\}$

или запись x = (x 1, x 2, x 3) = (x, y, z) и вектор импульса p = (p 1, p 2, p 3) = (p x, p y, p z), компоненты могут быть компактно сокращены в нотации тензорного индекса

$L\; ij\; =\; xipj\; -\; xjpi\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{ij\}\; =\; x\; ^\; \{i\}\; p\; ^\; \{j\}\; -x\; ^\; \{j\}\; p\; ^\; \{i\; \}\}$

где индексы i и j принимают значения 1, 2, 3. С другой стороны, компоненты могут быть систематически полностью отображены в антисимметричной матрице 3 × 3

$L\; =\; (L\; 11\; L\; 12\; L\; 13\; L\; 21\; L\; 22\; L\; 23\; L\; 31\; L\; 32\; L\; 33)\; =\; (0\; L\; xy\; L\; xz\; L\; yx\; 0\; L\; yz\; L\; zx\; L\; zy\; 0)\; =\; (0\; L\; xy\; -\; L\; zx\; -\; L\; xy\; 0\; L\; yz\; L\; zx\; -\; L\; yz\; 0)\; =\; (0\; xpy\; -\; ypx\; -\; (zpx\; -\; xpz)\; -\; (xpy\; -\; ypx)\; 0\; ypz\; -\; zpyzpx\; -\; xpz\; -\; (ypz\; -\; zpy)\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; L\; ^\; \{\; 11\}\; L\; ^\; \{12\}\; L\; ^\; \{13\}\; \backslash \backslash \; L\; ^\; \{21\}\; L\; ^\; \{22\}\; L\; ^\; \{23\}\; \backslash \backslash \; L\; ^\; \{31\}\; L\; ^\; \{32\}\; L\; ^\; \{33\}\; \backslash \backslash \backslash \; конец\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; L\_\; \{xy\}\; L\_\; \{xz\}\; \backslash \backslash \; L\_\; \{yx\}\; 0\; L\_\; \{yz\}\; \backslash \backslash \; L\_\; \{zx\}\; L\_\; \{zy\}\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; L\_\; \{xy\}\; -\; L\_\; \{zx\}\; \backslash \backslash \; -\; L\_\; \{xy\}\; 0\; L\_\; \{yz\}\; \backslash \backslash \; L\_\; \{zx\}\; -\; L\_\; \{yz\}\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; xp\_\; \{y\}\; -yp\_\; \{x\}\; -\; (zp\_\; \{x\}\; -xp\_\; \{z\})\; \backslash \backslash \; -\; (xp\_\; \{y\}\; -yp\_\; \{x\})\; 0\; yp\_\; \{z\}\; -zp\_\; \{y\}\; \backslash \backslash \; zp\_\; \{x\}\; -xp\_\; \{z\}\; -\; (yp\_\; \{z\}\; -zp\_\; \{y\})\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Эта величина является аддитивной, и для изолированной системы полный угловой момент системы сохраняется.

Динамический момент массы

В классической механике трехмерная величина для частицы массы m, движущейся со скоростью u

$N\; =\; m\; (x\; -\; tu)\; =\; mx\; -\; tp\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; =\; m\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; -t\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; \backslash \; right)\; =\; m\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; -t\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\}$

имеет размеры момента массы - длина, умноженная на массу. Это связано с повышением (относительной скоростью ) центра масс (COM) частицы или системы частиц, как измерено в лабораторном кадре. У этой величины нет универсального символа или даже универсального названия. Различные авторы могут обозначать его другими символами, если таковые имеются (например, μ ), могут обозначать другие имена и могут определять N как отрицание того, что используется здесь. Вышеупомянутая форма имеет то преимущество, что она напоминает знакомое преобразование Галилея для положения, которое, в свою очередь, является нерелятивистским повышающим преобразованием между инерциальными кадрами.

Этот вектор также является аддитивным: для системы частиц векторная сумма представляет собой результат

$\sum \; n\; N\; n\; =\; \sum \; nmn\; (xn\; -\; tun)\; =\; (x\; COM\; \sum \; nmn\; -\; t\; \sum \; nmnun)\; =\; MTOT\; (x\; COM\; -\; u\; COM\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; \_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; m\_\; \{n\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{n\; \}\; -t\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; \_\; \{n\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{COM\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; m\_\; \{n\}\; -t\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; m\_\; \{n\}\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; \_\; \{n\}\; \backslash \; right)\; =\; M\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{TOT\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{COM\}\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{\; COM\}\}\; t)\}$

где положение центра масс системы, а также скорость и общая масса соответственно равны

$x\; COM\; =\; \sum \; nmnxn\; \sum \; nmn\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{COM\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; m\_\; \{n\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{n\}\}\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; m\_\; \{n\}\}\}\}$, $u\; COM\; =\; \sum \; nmnun\; \sum \; nmn\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{COM\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; m\_\; \{n\}\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; \_\; \{n\}\}\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{\; n\}\; m\_\; \{n\}\}\}\}$, $MTOT\; =\; \sum \; nmn\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{TOT\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; m\_\; \{n\}\}$.

Для изолированной системы N сохраняется во времени, а ch можно увидеть, дифференцируя по времени. Угловой момент L является псевдовектором, но N является «обычным» (полярным) вектором и, следовательно, инвариантен относительно вращений.

Результирующий Ntotal для многочастичной системы имеет физическую визуализацию: каким бы сложным ни было движение всех частиц, они движутся таким образом, что COM системы движется по прямой линии.. Это не обязательно означает, что все частицы «следуют» за СОМ, или что все частицы движутся почти в одном направлении одновременно, только то, что движение всех частиц ограничено относительно центра масс.

В специальной теории относительности, если частица движется со скоростью u относительно лабораторной системы отсчета, то

$E\; =\; \gamma \; (u)\; m\; 0\; c\; 2,\; p\; =\; \gamma \; (u)\; м\; 0\; U\; \{\backslash \; Displaystyle\; E\; =\; \backslash \; gamma\; (\backslash \; mathbf\; \{u\})\; m\_\; \{0\}\; c\; ^\; \{2\},\; \backslash \; quad\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; =\; \backslash \; gamma\; (\backslash \; mathbf\; \{u\})\; m\_\; \{0\}\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\}$

где

$\gamma \; (u)\; =\; 1\; 1\; -\; u\; \cdot \; uc\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; (\backslash \; mathbf\; \{u\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{u\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\}\}\}$

- это фактор Лоренца, а m - масса (т.е. масса покоя) частицы. Соответствующий релятивистский момент массы в терминах m, u, p, E в той же лабораторной системе координат равен

$N\; =\; E\; c\; 2\; x\; -\; p\; t\; =\; m\; \gamma \; (u)\; (x\; -\; u\; t).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{E\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; t\; =\; m\; \backslash \; gamma\; (\backslash \; mathbf\; \{u\})\; (\backslash \; mathbf\; \{\; x\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; t).\}$

Декартовы составляющие:

$N\; x\; =\; mx\; -\; pxt\; =\; E\; c\; 2\; x\; -\; pxt\; =\; m\; \gamma \; (u)\; (x\; -\; uxt)\; N\; y\; =\; my\; -\; pyt\; знак\; равно\; E\; c\; 2\; Y\; -\; pyt\; знак\; равно\; m\; \gamma \; (u)\; (y\; -\; uyt)\; N\; z\; =\; mz\; -\; pzt\; =\; E\; c\; 2\; z\; -\; pzt\; =\; m\; \gamma \; (u)\; (z\; -\; uzt)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; N\_\; \{x\}\; =\; mx-p\_\; \{x\}\; t\; =\; \{\backslash \; frac\; \{E\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; x-p\_\; \{x\}\; t\; =\; m\; \backslash \; gamma\; (u)\; (x-u\_\; \{x\; \}\; t)\; \backslash \backslash \; N\_\; \{y\}\; =\; my-p\_\; \{y\}\; t\; =\; \{\backslash \; frac\; \{E\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; y-p\_\; \{y\}\; t\; =\; m\; \backslash \; gamma\; (u)\; (y-u\_\; \{y\}\; t)\; \backslash \backslash \; N\_\; \{z\}\; =\; mz-p\_\; \{z\}\; t\; =\; \{\backslash \; frac\; \{E\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; z-p\_\; \{z\}\; t\; =\; m\; \backslash \; gamma\; (u)\; (z\; -u\_\; \{z\}\; t)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Преобразование координат для ускорения в направлении x

Рассмотрим систему координат F ', которая движется со скоростью v = (v, 0, 0) относительно другого кадра F, вдоль направления совпадающих осей xx '. Начало двух систем координат совпадает в моменты времени t = t ′ = 0. Компоненты масса – энергия E = mc и импульс p = (p x, p y, p z) объекта, а также координаты положения x = (x, y, z) и время t в кадре F преобразуются в E ′ = m ′ C, p ′ = (p x ′, p y ′, p z ′), x ′ = (X ′, y ′, z ′) и t ′ в F ′ согласно преобразованиям Лоренца

$t\; \prime \; =\; \gamma \; (v)\; (t\; -\; vxc\; 2),\; E\; \prime \; =\; \gamma \; (\; v)\; (E\; -\; vpx)\; x\; \prime \; =\; \gamma \; (v)\; (x\; -\; vt),\; px\; \prime \; =\; \gamma \; (v)\; (px\; -\; v\; E\; c\; 2)\; y\; \prime \; =\; y,\; py\; \prime \; =\; pyz\; \prime \; =\; z,\; pz\; \prime \; =\; pz\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; t\; \text{'}=\; \backslash \; gamma\; (v)\; \backslash \; left\; (t\; -\; \{\backslash \; frac\; \{vx\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; E\text{'}\; =\; \backslash \; gamma\; (v)\; \backslash \; left\; (E-vp\_\; \{x\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; x\; \text{'}=\; \backslash \; gamma\; (v)\; (x-vt)\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; p\_\; \{x\}\text{'}\; =\; \backslash \; gamma\; (v)\; \backslash \; left\; (p\_\; \{x\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{vE\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; y\; \text{'}=\; y\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; p\_\; \{y\}\text{'}\; =\; p\_\; \{y\}\; \backslash \; \backslash \; z\; \text{'}=\; z\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; p\_\; \{z\}\text{'}\; =\; p\_\; \{z\}\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Фактор Лоренца здесь применяется к скорости v, относительная скорость между кадры. Это не обязательно то же самое, что и скорость u объекта.

Для орбитального 3-го углового момента L в качестве псевдовектора имеем

$L\; x\; \prime \; =\; y\; \prime \; pz\; \prime \; -\; z\; \prime \; py\; \prime \; =\; L\; x\; L\; y\; \prime \; =\; z\; \prime \; Px\; \prime \; -\; x\; \prime \; pz\; \prime \; =\; \gamma \; (v)\; (L\; y\; -\; v\; N\; z)\; L\; z\; \prime \; =\; x\; \prime \; py\; \prime \; -\; y\; \prime \; px\; \prime \; =\; \gamma \; (v)\; (L\; z\; +\; v\; N\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; L\_\; \{x\}\; \text{'}=\; y\text{'}p\_\; \{z\}\text{'}\; -\; z\text{'}p\_\; \{y\}\; \text{'}=\; L\_\; \{x\}\; \backslash \backslash \; L\_\; \{y\}\text{'}\; =\; z\text{'}p\_\; \{x\}\; \text{'}-\; x\text{'}p\_\; \{z\}\; \text{'}=\; \backslash \; gamma\; (v)\; (L\_\; \{y\}\; -vN\_\; \{z\})\; \backslash \backslash \; L\_\; \{z\}\text{'}\; =\; x\text{'}p\_\; \{y\}\; \text{'}-\; y\text{'}p\_\; \{x\}\text{'}\; =\; \backslash \; gamma\; (v)\; (L\_\; \{z\}\; +\; vN\_\; \{y\})\; \backslash \backslash \backslash \; конец\; \{выровнено\}\}\}$

Вывод

Для x-компоненты

$L\; x\; \prime \; =\; y\; \prime \; pz\; \prime \; -\; z\; \prime \; py\; \prime \; =\; ypz\; -\; zpy\; =\; L\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{x\}\; \text{'}=\; y\text{'}p\_\; \{z\}\text{'}\; -\; z\text{'}p\_\; \{y\}\; \text{'}=\; yp\_\; \{z\}\; -zp\_\; \{y\}\; =\; L\_\; \{x\}\}$

y-компонента

$L\; y\; \prime \; =\; z\; \prime \; px\; \prime \; -\; x\; \prime \; pz\; \prime \; =\; z\; \gamma \; (px\; -\; v\; E\; c\; 2)\; -\; \gamma \; (x\; -\; vt)\; pz\; =\; \gamma \; [zpx\; -\; zv\; E\; c\; 2\; -\; xpz\; +\; vtpz]\; =\; \gamma \; [(zpx\; -\; xpz)\; +\; v\; (pzt\; -\; z\; E\; c\; 2)]\; =\; \gamma \; (L\; y\; -\; v\; N\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; L\_\; \{y\}\; \text{'}=\; z\text{'}p\_\; \{x\}\; \text{'}-\; x\text{'}p\_\; \{z\}\text{'}\; \backslash \backslash \; =\; z\; \backslash \; gamma\; \backslash \; left\; (p\_\; \{x\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{vE\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; -\; \backslash \; gamma\; \backslash \; left\; (x-vt\; \backslash \; right)\; p\_\; \{z\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; gamma\; \backslash \; left\; [zp\_\; \{x\}\; -z\; \{\backslash \; frac\; \{vE\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; xp\_\; \{z\}\; +\; vtp\_\; \{\; z\}\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; g\; amma\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (zp\_\; \{x\}\; -xp\_\; \{z\}\; \backslash \; right)\; +\; v\; \backslash \; left\; (p\_\; \{z\}\; tz\; \{\backslash \; frac\; \{E\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; \backslash \; \backslash \; =\; \backslash \; gamma\; \backslash \; left\; (L\_\; \{y\}\; -vN\_\; \{z\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

и z-компонент

$L\; z\; \prime \; =\; x\; \prime \; py\; \prime \; -\; y\; \prime \; px\; \prime \; =\; \gamma \; (x\; -\; vt)\; py\; -\; y\; \gamma \; (px\; -\; v\; E\; c\; 2)\; =\; \gamma \; [xpy\; -\; vtpy\; -\; ypx\; +\; yv\; E\; c\; 2]\; =\; \gamma \; [(xpy\; -\; ypx)\; +\; v\; (y\; E\; c\; 2\; -\; tpy)]\; =\; \gamma \; (L\; z\; +\; v\; N\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; L\_\; \{z\}\; \text{'}=\; x\text{'}p\_\; \{y\}\text{'}\; -\; y\text{'}p\_\; \{x\}\; \text{'}\backslash \backslash \; =\; \backslash \; gamma\; \backslash \; left\; (x-vt\; \backslash \; right)\; p\_\; \{y\}\; -y\; \backslash \; gamma\; \backslash \; left\; (p\_\; \{x\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{vE\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; gamma\; \backslash \; left\; [\; xp\_\; \{y\}\; -vtp\_\; \{y\}\; -yp\_\; \{x\}\; +\; y\; \{\backslash \; frac\; \{vE\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; gamma\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (xp\_\; \{y\}\; -\; yp\_\; \{x\}\; \backslash \; right)\; +\; v\; \backslash \; left\; (y\; \{\backslash \; frac\; \{E\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; tp\_\; \{y\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; gamma\; \backslash \; left\; (L\_\; \{z\; \}\; +\; vN\_\; \{y\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Во втором члене L y ′ и L z ′, компоненты y и z перекрестное произведение v×Nможет быть выведено путем распознавания циклических перестановок v x = v и v y = v z = 0 с компонентами N,

$-\; v\; N\; z\; =\; vz\; N\; x\; -\; vx\; N\; z\; =\; (v\; \times \; N)\; yv\; N\; y\; =\; vx\; N\; y\; -\; vy\; N\; x\; =\; (v\; \times \; N)\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; -vN\_\; \{z\}\; =\; v\_\; \{z\}\; N\_\; \{x\}\; -v\_\; \{x\}\; N\_\; \{z\}\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{y\}\; \backslash \backslash \; vN\_\; \{y\}\; =\; v\_\; \{x\}\; N\_\; \{y\}\; -v\_\; \{y\}\; N\_\; \{x\}\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{z\}\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{выравнивание\}\}$

Теперь L x параллельно относительной скорости v, а другие компоненты L y и L z перпендикулярны v . Параллельно-перпендикулярное соответствие можно облегчить, разделив весь псевдовектор трёхмерного углового момента на составляющие, параллельные (∥) и перпендикулярные (⊥) к v, в каждом кадре,

$L\; =\; L\; \parallel \; +\; L\; \perp ,\; L\; \prime \; =\; L\; \parallel \; \prime \; +\; L\; \perp \; \prime .\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; \_\; \{\backslash \; parallel\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; \_\; \{\backslash \; perp\}\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; \text{'}=\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; \_\; \{\backslash \; parallel\}\; \text{'}+\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; \_\; \{\backslash \; perp\}\text{'}\; \backslash ,.\}$

Тогда составляющие уравнения могут быть собраны в уравнения псевдовектора

$L\; \parallel \; \prime \; =\; L\; \parallel \; L\; \perp \; \prime \; =\; \gamma \; (v)\; (L\; \perp \; +\; v\; \times \; N)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; \_\; \{\backslash \; parallel\}\; \text{'}=\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; \_\; \{\backslash \; parallel\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{L\}\; \_\; \{\backslash \; perp\}\; \text{'}=\; \backslash \; gamma\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{L\}\; \_\; \{\backslash \; perp\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \backslash \; конец\; \{выровнено\}\; \}\}$

Следовательно, компоненты момента количества движения вдоль направления движения не изменяются, а составляющие перпендикулярно изменяются. В отличие от преобразований пространства и времени, время и пространственные координаты меняются вдоль направления движения, а перпендикулярные - нет.

Эти преобразования верны для всех v, а не только для движения вдоль осей xx ′.

Рассматривая L как тензор, мы получаем аналогичный результат

$L\; \perp \; \prime \; =\; \gamma \; (v)\; (L\; \perp \; +\; v\; \wedge \; N)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; \_\; \{\backslash \; perp\}\; \text{'}=\; \backslash \; gamma\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{L\}\; \_\; \{\backslash \; perp\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; \backslash \; right)\}$

где

$vz\; N\; x\; -\; vx\; N\; z\; =\; (v\; \wedge \; N)\; zxvx\; N\; y\; -\; vy\; N\; x\; =\; (v\; \wedge \; N)\; xy\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; v\_\; \{z\}\; N\_\; \{x\}\; -v\_\; \{\; x\}\; N\_\; \{z\}\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{zx\}\; \backslash \backslash \; v\_\; \{x\}\; N\_\; \{y\}\; -v\_\; \{y\}\; N\_\; \{x\}\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{xy\}\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Увеличение динамического момента массы вдоль направления x составляет

$N\; x\; \prime \; =\; m\; \prime \; x\; \prime \; -\; px\; \prime \; t\; \prime \; =\; N\; x\; N\; y\; \prime \; =\; m\; \prime \; y\; \prime \; -\; py\; \prime \; t\; \prime \; =\; \gamma \; (v)\; (N\; y\; +\; v\; L\; zc\; 2)\; N\; z\; \prime \; =\; m\; \prime \; z\; \prime \; -\; pz\; \prime \; t\; \prime \; =\; \gamma \; (v)\; (N\; z\; -\; v\; L\; yc\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; N\_\; \{x\}\; \text{'}=\; m\text{'}x\text{'}-p\_\; \{x\}\text{'}\; t\; \text{'}=\; N\_\; \{x\}\; \backslash \backslash \; N\_\; \{y\}\; \text{'}=\; m\text{'}y\text{'}-p\_\; \{y\}\text{'}\; t\; \text{'}=\; \backslash \; gamma\; (v)\; \backslash \; left\; (N\_\; \{y\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{vL\_\; \{z\}\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; N\_\; \{z\}\; \text{'}=\; m\text{'}z\text{'}-p\_\; \{z\}\text{'}\; t\; \text{'}=\; \backslash \; gamma\; (v)\; \backslash \; left\; (N\_\; \{z\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{vL\_\; \{y\; \}\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Вывод

Для x-compone nt

$N x ′ = E ′ c 2 x ′ - t ′ px ′ = γ c 2 (E - vpx) γ (x - vt) - γ (t - xvc 2) γ (px - v E c 2) = γ 2 [1 c 2 (E - vpx) (x - vt) - (t - xvc 2) (px - v E c 2)] = γ 2 [E xc 2 - E vtc 2 - vpxxc 2 + vpxvtc 2 - tpx + xvc 2 px + tv E c 2 - xvc 2 v E c 2] = γ 2 [E xc 2 - E vtc 2 - vpxxc 2 + v 2 c 2 pxt - tpx + xvc 2 px + tv E c 2 - v 2 c 2 E xc 2] = γ 2 [(E xc 2 - tpx) + v 2 c 2 (pxt - E xc 2)] = γ 2 [1 - v 2 c 2] N x = γ 2 1 γ 2 N Икс {\ Displaystyle {\ begin {align} N_ {x} '= {\ frac {E'} {c ^ {2}}} x'-t'p_ {x} '\\ = {\ frac {\ gamma} {c ^ {2}}} (E-vp_ {x}) \ gamma (x-vt) - \ gamma \ left (t - {\ frac {xv} {c ^ {2}) }} \ right) \ gamma \ left (p_ {x} - {\ frac {vE} {c ^ {2}}} \ right) \\ = \ gamma ^ {2} \ left [{\ frac {1 } {c ^ {2}}} \ left (E-vp_ {x} \ right) (x-vt) - \ left (t - {\ frac {xv} {c ^ {2}}} \ right) \ left (p_ {x} - {\ frac {vE} {c ^ {2}}} \ right) \ right] \\ = \ gamma ^ {2} \ left [{\ frac {Ex} {c ^ { 2}}} - {\ frac {Evt} {c ^ {2}}} - {\ frac {vp_ {x} x} {c ^ {2}}} + {\ frac {vp_ {x} vt} { c ^ {2}}} - tp_ {x} + {\ frac {xv} {c ^ {2}}} p_ {x} + t {\ frac {vE} {c ^ {2}}} - {\ frac {xv} {c ^ {2}}} {\ frac { vE} {c ^ {2}}} \ right] \\ = \ gamma ^ {2} \ left [{\ frac {Ex} {c ^ {2}}} {\ cancel {- {\ frac {Evt } {c ^ {2}}}}} {\ cancel {- {\ frac {vp_ {x} x} {c ^ {2}}}}} + {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} p_ {x} t-tp_ {x} {\ cancel {+ {\ frac {xv} {c ^ {2}}} p_ {x}}} {\ cancel {+ t {\ frac { vE} {c ^ {2}}}}} - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} {\ frac {Ex} {c ^ {2}}} \ right] \\ = \ gamma ^ {2} \ left [\ left ({\ frac {Ex} {c ^ {2}}} - tp_ {x} \ right) + {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ left (p_ {x} t - {\ frac {Ex} {c ^ {2}}} \ right) \ right] \\ = \ gamma ^ {2} \ left [1- { \ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ right] N_ {x} \\ = \ gamma ^ {2} {\ frac {1} {\ gamma ^ {2}}} N_ {x} \ end {align}}}$

y-компонента

$N\; y\; \prime \; =\; E\; \prime \; c\; 2\; y\; \prime \; -\; t\; \prime \; py\; \prime \; =\; 1\; c\; 2\; \gamma \; (E\; -\; vpx)\; y\; -\; \gamma \; (t\; -\; xvc\; 2)\; py\; =\; \gamma \; [1\; c\; 2\; (E\; -\; vpx)\; y\; -\; (t\; -\; xvc\; 2)\; py]\; =\; \gamma \; [1\; c\; 2\; E\; y\; -\; 1\; c\; 2\; vpxy\; -\; tpy\; +\; xvc\; 2\; py]\; =\; \gamma \; [(1\; c\; 2\; E\; y\; -\; tpy)\; +\; vc\; 2\; (xpy\; -\; ypx)]\; =\; \gamma \; (N\; y\; +\; vc\; 2\; L\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; N\_\; \{y\}\; \text{'}=\; \{\backslash \; frac\; \{E\text{'}\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; y\text{'}-t\; \text{'}\; p\_\; \{y\}\; \text{'}\backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; gamma\; (E-vp\_\; \{x\})\; y\; -\; \backslash \; gamma\; \backslash \; left\; (t\; -\; \{\backslash \; frac\; \{xv\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; p\_\; \{y\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; gamma\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; (E-vp\_\; \{x\})\; y-\; \backslash \; left\; (t\; -\; \{\backslash \; frac\; \{xv\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; p\_\; \{y\}\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; gamma\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; Ey\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; vp\_\; \{x\}\; y-tp\_\; \{y\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{xv\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; p\_\; \{y\}\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; gamma\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; Ey-tp\_\; \{y\}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{v\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; (xp\_\; \{y\; \}\; -yp\_\; \{x\})\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; gamma\; \backslash \; left\; (N\_\; \{y\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{v\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; L\_\; \{z\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; end\; \{align\}\; \}\}$

и z-компонент

$N\; z\; \prime \; =\; E\; \prime \; c\; 2\; z\; \prime \; -\; t\; \prime \; pz\; \prime \; =\; 1\; c\; 2\; \gamma \; (E\; -\; vpx)\; z\; -\; \gamma \; (t\; -\; x\; vc\; 2)\; pz\; =\; \gamma \; [1\; c\; 2\; (E\; -\; vpx)\; z\; -\; (t\; -\; xvc\; 2)\; pz]\; =\; \gamma \; [1\; c\; 2\; E\; z\; -\; 1\; c\; 2\; vpzz\; -\; tpz\; +\; xvc\; 2\; pz]\; =\; \gamma \; [(1\; c\; 2\; E\; z\; -\; tpz)\; +\; vc\; 2\; (xpz\; -\; zpx)]\; =\; \gamma \; (N\; z\; -\; vc\; 2\; L\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; N\_\; \{z\}\; \text{'}=\; \{\backslash \; frac\; \{E\text{'}\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; z\text{'}-t\text{'}p\_\; \{z\}\; \text{'}\backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; gamma\; (E-\; vp\_\; \{x\})\; z-\; \backslash \; gamma\; \backslash \; left\; (t\; -\; \{\backslash \; frac\; \{xv\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; p\_\; \{z\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; gamma\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; (\; E-vp\_\; \{x\})\; z-\; \backslash \; left\; (t\; -\; \{\backslash \; frac\; \{xv\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; p\_\; \{z\}\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; gamma\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; Ez\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; vp\_\; \{z\}\; z-tp\_\; \{z\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{xv\}\; \{c\; ^\; \{2\}\; \}\}\; p\_\; \{z\}\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; gamma\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; Ez-tp\_\; \{z\}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{v\; \}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; (xp\_\; \{z\}\; -zp\_\; \{x\})\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; gamma\; \backslash \; left\; (N\_\; \{z\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{v\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\; \}\; L\_\; \{y\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Сбор параллельных и перпендикулярных компонентов, как и прежде

$N\; \parallel \; \prime \; =\; N\; \parallel \; N\; \perp \; \prime \; =\; \gamma \; (v)\; (N\; \perp \; -\; 1\; c\; 2\; v\; \times \; L)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; \_\; \{\backslash \; parallel\}\; \text{'}=\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; \_\; \{\backslash \; parallel\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{N\}\; \_\; \{\backslash \; perp\}\text{'}\; =\; \backslash \; gamma\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{N\}\; \_\; \{\backslash \; perp\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

И снова компоненты, параллельные направления относительного движения, не изменяются, перпендикулярные - изменяются.

Векторные преобразования для повышения в любом направлении

Пока это только параллельные и перпендикулярные разложения векторов. Преобразования полных векторов могут быть построены из них следующим образом (здесь L является псевдовектором для конкретности и совместимости с векторной алгеброй).

Введите единичный вектор в направлении v, заданный как n= v/ v. Параллельные компоненты задаются проекцией вектор из L или N в n

$L\; \parallel \; =\; (L\; \cdot \; n)\; n,\; N\; \parallel \; =\; (N\; \cdot \; N)\; N\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; \_\; \{\backslash \; parallel\}\; =\; (\backslash \; mathbf\; \{L\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{n\})\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; \_\; \{\backslash \; parallel\}\; =\; (\backslash \; mathbf\; \{N\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{n\})\; \backslash \; mathbf\; \{n\; \}\}$

в то время как перпендикулярный компонент по отклонению вектора из L или N из n

$L\; \perp \; =\; L\; -\; (L\; \cdot \; n)\; n,\; N\; \perp \; знак\; равно\; N\; -\; (N\; \cdot \; N)\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; \_\; \{\backslash \; perp\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; -\; (\backslash \; mathbf\; \{L\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{n\})\; \backslash \; mathbf\; \{\; n\}\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; \_\; \{\backslash \; perp\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; -\; (\backslash \; mathbf\; \{N\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{n\})\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\}$

и преобразовывают вид

$L\; \prime \; =\; \gamma \; (v)\; (L\; +\; vn\; \times \; N)\; -\; (\gamma \; (v)\; -\; 1)\; (L\; \cdot \; n)\; NN\; \prime \; знак\; равно\; \gamma \; (v)\; (N\; -\; vc\; 2\; n\; \times \; L)\; -\; (\gamma \; (v)\; -\; 1)\; (N\; \cdot \; N)\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; \text{'}=\; \backslash \; gamma\; (\backslash \; mathbf\; \{\; v\})\; (\backslash \; mathbf\; \{L\}\; +\; v\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{N\})\; -\; (\backslash \; gamma\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\; -1)\; (\backslash \; mathbf\; \{L\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{n\; \})\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathb\; f\; \{N\}\; \text{'}=\; \backslash \; gamma\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{N\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{v\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; \backslash \; right)\; -\; (\backslash \; gamma\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\; -1)\; (\backslash \; mathbf\; \{N\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{n\})\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; \backslash \backslash \; \backslash \; конец\; \{выровнено\}\}\}$

или восстановление v = v n,

$L\; \prime \; =\; \gamma \; (v)\; (L\; +\; v\; \times \; N)\; -\; (\gamma \; (v)\; -\; 1)\; (L\; \cdot \; v)\; vv\; 2\; N\; \text{'}знак\; равно\; \gamma \; (v)\; (N\; -\; 1\; с\; 2\; v\; \times \; L)\; -\; (\gamma \; (v)\; -\; 1)\; (N\; \cdot \; v)\; vv\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{L\; \}\; \text{'}=\; \backslash \; gamma\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\; (\backslash \; mathbf\; \{L\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{N\})\; -\; (\backslash \; gamma\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\; -1)\; \{\backslash \; frac\; \{(\backslash \; mathbf\; \{L\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{v\})\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}\; \{v\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{N\}\; \text{'}=\; \backslash \; gamma\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{N\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; \backslash \; right)\; -\; (\backslash \; gamma\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\; -1)\; \{\backslash \; frac\; \{(\backslash \; mathbf\; \{N\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{v\})\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}\; \{v\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Они очень похожи на преобразование Лоренца электрического поля Eи магнитное поле B, см. Классический электромагнетизм и специальная теория относительности.

В качестве альтернативы, начиная с события или преобразования Лоренца, пространства, энергии и импульса, для ускорения со скоростью v,

$t\; \prime \; =\; \gamma \; (v)\; (t\; -\; v\; \cdot \; rc\; 2),\; r\; \prime \; =\; r\; +\; \gamma \; (v)\; -\; 1\; v\; 2\; (r\; \cdot \; v)\; v\; -\; \gamma \; (v)\; tv,\; p\; \prime \; =\; p\; +\; \gamma \; (v)\; -\; 1\; v\; 2\; (p\; \cdot \; v)\; v\; -\; \gamma \; (v)\; E\; c\; 2\; v,\; E\; \prime \; знак\; равно\; \gamma \; (v)\; (E\; -\; v\; \cdot \; p),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; t\; \text{'}=\; \backslash \; gamma\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\; \backslash \; left\; (t\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{r\})\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,,\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \text{'}=\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\; -1\}\; \{v\; ^\; \{2\}\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{v\})\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; -\; \backslash \; gamma\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\; t\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash ,,\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \text{'}=\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\; -1\}\; \{v\; ^\; \{2\}\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{p\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{v\})\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; -\; \backslash \; gamma\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\; \{\backslash \; frac\; \{E\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash ,,\; \backslash \backslash \; E\; \text{'}=\; \backslash \; gamma\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\; \backslash \; left\; (E-\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,,\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

вставив их в определения

$L\; \prime \; =\; r\; \prime \; \times \; p\; \prime ,\; N\; \prime \; знак\; равно\; E\; \prime \; c\; 2\; r\; \prime \; -\; t\; \prime \; p\; \prime \; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; \text{'}=\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\text{'}\; \backslash \; раз\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \text{'}\backslash ,,\; \backslash \; quad\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\text{'}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{E\; \text{'}\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\text{'}\; -t\; \text{'}\backslash \; mathbf\; \{p\}\text{'}\}$

дает преобразование.

Получение векторных преобразований напрямую

Орбитальный угловой момент в каждом кадре равен

$L\; \prime \; =\; r\; \prime \; \times \; p\; \prime ,\; L\; =\; r\; \times \; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; \text{'}=\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\text{'}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \text{'}\backslash ,,\; \backslash \; quad\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\}$

, поэтому взяв перекрестное произведение преобразований

$L ′ = [r + (γ - 1) (r ⋅ n) n - γ tvn] × [p + (γ - 1) (p ⋅ n) n - γ E c 2 vn] = [r + (γ - 1) (r ⋅ n)) n - γ tvn] × p + (γ - 1) (p ⋅ n) [r + (γ - 1) (r ⋅ n) n - γ tvn] × n - γ E c 2 v [r + (γ - 1) (r ⋅ n) n - γ tvn] × n = r × p + (γ - 1) (r ⋅ n) n × p - γ tvn × p + (γ - 1) (p ⋅ n) r × n - γ E c 2 vr × n = L + [γ - 1 v 2 (r ⋅ v) - γ t] v × p + [γ - 1 v 2 (p ⋅ v) - γ E c 2] r × v = L + v × [(γ - 1 v 2 (r ⋅ v) - γ t) p - (γ - 1 v 2 (p ⋅ v) - γ E c 2) r] = L + v × [ γ - 1 v 2 ((r ⋅ v) п - (п ⋅ v) r) + γ (E c 2 r - tp)] {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {L} '= \ left [\ mathbf {r} + (\ gamma -1) (\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {n}) \ mathbf {n} - \ gamma tv \ mathbf {n} \ right] \ times \ left [\ mathbf {p} + (\ gamma -1) (\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {n}) \ mathbf {n} - \ gamma {\ frac { E} {c ^ {2}}} v \ mathbf {n} \ right] \\ = [\ mathbf {r} + (\ gamma -1) (\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {n}) \ mathbf {n} - \ gamma tv \ mathbf {n}] \ times \ mathbf {p} + (\ gamma -1) (\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {n}) [\ mathbf {r} + (\ gamma -1) (\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {n}) \ mathbf {n} - \ gamma tv \ mathbf {n}] \ times \ mathbf {n} - \ gamma {\ frac {E } {c ^ {2}}} v [\ mathbf {r} + (\ gamma -1) (\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {n}) \ mathbf {n} - \ gamma tv \ mathbf {n }] \ times \ mathbf {n} \\ = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p} + (\ gamma -1) (\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {n}) \ mathbf {n } \ times \ mathbf {p} - \ gamma tv \ mathbf {n} \ times \ mathbf {p} + (\ gamma -1) (\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {n}) \ mathbf {r} \ times \ mathbf {n} - \ gamma {\ frac {E} {c ^ {2}}} v \ mathbf {r} \ раз \ mathbf {n} \\ = \ mathbf {L} + \ left [ {\ frac {\ gamma -1} {v ^ {2}}} (\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) - \ gamma t \ right] \ mathbf {v} \ times \ ma thbf {p} + \ слева [{\ frac {\ gamma -1} {v ^ {2}}} (\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {v}) - \ gamma {\ frac {E} {c ^ {2}}} \ right] \ mathbf {r} \ times \ mathbf {v} \\ = \ mathbf {L} + \ mathbf {v} \ times \ left [\ left ({\ frac {\ gamma -1} {v ^ {2}}} (\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) - \ gamma t \ right) \ mathbf {p} - \ left ({\ frac {\ gamma -1} {v ^ {2} }} (\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {v}) - \ gamma {\ frac {E} {c ^ {2}}} \ right) \ mathbf {r} \ right] \\ = \ mathbf {L} + \ mathbf {v} \ times \ left [{\ frac {\ gamma -1} {v ^ {2}}} \ left ((\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {p} - (\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {r} \ right) + \ gamma \ left ({\ frac {E} {c ^ {2}}} \ mathbf {r } -t \ mathbf {p} \ right) \ right] \ end {align}}}$

Использование правил тройного произведения

$a\; \times \; (b\; \times \; c)\; знак\; равно\; б\; (a\; \cdot \; c)\; -\; c\; (a\; \cdot \; b)\; (a\; \times \; b)\; \times \; c\; =\; (c\; \cdot \; а)\; б\; -\; (с\; \cdot \; б)\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; times\; (\backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{c\})\; =\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; (\backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{c\})\; -\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; (\backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{b\})\; \backslash \backslash \; (\backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{b\})\; \backslash \; times\; \backslash \; мат\; hbf\; \{c\}\; =\; (\backslash \; mathbf\; \{c\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{a\})\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; -\; (\backslash \; mathbf\; \{c\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{b\})\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \backslash \backslash \; конец\; \{выровнено\}\}\}$

дает

$(r\; \times \; p)\; \times \; v\; =\; (v\; \cdot \; r)\; p\; -\; (v\; \cdot \; p)\; r\; (v\; \cdot \; r)\; p\; -\; (v\; \cdot \; p)\; r\; =\; L\; \times \; v\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнен\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{p\})\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; (\backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{r\})\; \backslash \; mathbf\; \{p\; \}\; -\; (\backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{p\})\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \backslash \backslash \; (\backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{r\})\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; -\; (\backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{p\})\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

и вместе с определением N у нас есть

$L\; \prime \; =\; L\; +\; v\; \times \; [\gamma \; -\; 1\; v\; 2\; L\; \times \; v\; +\; \gamma \; N]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; \text{'}=\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; times\; \backslash \; left[\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; -1\}\; \{v\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; +\; \backslash \; gamma\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; \backslash \; right]\}$

Восстановление единичного вектора n,

$L\; \prime \; =\; L\; +\; N\; \times \; [(\gamma \; -\; 1)\; L\; \times \; N\; +\; v\; \gamma \; N]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; \text{'}=\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; \backslash \; times\; \backslash \; left\; [(\backslash \; гамма\; -1)\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; +\; v\; \backslash \; gamma\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; \backslash \; right]\}$

Так как в преобразовании слева есть перекрестное произведение с n,

$n\; \times \; (L\; \times \; n)\; Знак\; равно\; L\; (N\; \cdot \; N)\; -\; N\; (N\; \cdot \; L)\; знак\; равно\; L\; -\; N\; (N\; \cdot \; L)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{п\}\; \backslash \; раз\; (\backslash \; mathbf\; \{L\}\; \backslash \; раз\; \backslash \; mathbf\; \{п\})\; =\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; (\backslash \; mathbf\; \{n\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{n\})\; -\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; (\backslash \; mathbf\; \{n\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{L\})\; =\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; (\backslash \; mathbf\; \{n\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{L\})\}$

затем

$L\; \prime \; =\; L\; +\; (\gamma \; -\; 1)\; (L\; -\; N\; (N\; \cdot \; L))\; +\; \beta \; \gamma \; cn\; \times \; N\; =\; \gamma \; (L\; +\; vn\; \times \; N)\; -\; (\gamma \; -\; 1)\; N\; (N\; \cdot \; L)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; \text{'}=\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; +\; (\backslash \; gamma\; -1)\; (\backslash \; mathbf\; \{L\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; (\backslash \; mathbf\; \{n\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{L\}))\; +\; \backslash \; beta\; \backslash \; gamma\; c\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; =\; \backslash \; gamma\; (\backslash \; mathbf\; \{L\}\; +\; v\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{N\})\; -\; (\backslash \; gamma\; -1)\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; (\backslash \; mathbf\; \{n\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{L\})\}$

4d Угловой момент как бивектор

В релятивистской механике ускорение COM и орбитальный трехмерный угловой момент вращающегося объекта объединены в четырехмерный размерный бивектор в терминах четырехпозиционного Xи четырехмного сальник Pобъект

$M\; =\; X\; \wedge \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\}$

В компонентах

$M\; \alpha \; \beta \; =\; X\; \alpha \; п\; \beta \; -\; Икс\; \beta \; п\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; M\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; =\; X\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; P\; ^\; \{\backslash \; beta\}\; -X\; ^\; \{\backslash \; beta\}\; P\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}$

который всего шесть независимых величин. Так компоненты X и P зависят от кадра, то же самое и M . Три компонента

$M\; ij\; =\; xipj\; -\; xjpi\; =\; L\; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; ^\; \{ij\}\; =\; x\; ^\; \{i\}\; p\; ^\; \{j\}\; -x\; ^\; \{j\}\; p\; ^\; \{i\}\; =\; L\; ^\; \{ij\}\; \}$

- это известные классические 3-пространственные орбитальные угловые моменты, а три других

$M\; 0\; i\; =\; x\; 0\; pi\; -\; xip\; 0\; =\; c\; (tpi\; -\; xi\; E\; c\; 2)\; =\; -\; c\; N\; i\; \{\backslash \; Displaystyle\; M\; ^\; \{0i\}\; =\; x\; ^\; \{0\}\; p\; ^\; \{i\}\; -x\; ^\; \{i\}\; p\; ^\; \{0\}\; =\; c\; \backslash ,\; \backslash \; left\; (tp\; ^\; \{i\}\; -x\; ^\; \{i\}\; \{\backslash \; frac\; \{E\})\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; -\; cN\; ^\; \{i\}\}$

- релятивистский момент массы, умноженный на −c. Тензор антисимметричен;

$M\; \alpha \; \beta \; =\; -\; M\; \beta \; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; M\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; =\; -\; M\; ^\; \{\backslash \; beta\; \backslash \; alpha\}\}$

Компоненты тензора можно систематически отображать как matrix

$M\; =\; (M\; 00\; M\; 01\; M\; 02\; M\; 03\; M\; 10\; M\; 11\; M\; 12\; M\; 13\; M\; 20\; M\; 21\; M\; 22\; M\; 23\; M\; 30\; M\; 31\; M\; 32\; M\; 33)\; =\; (0\; -\; N\; 1\; c\; -\; N\; 2\; c\; -\; N\; 3\; c\; N\; 1\; c\; 0\; L\; 12\; -\; L\; 31\; N\; 2\; c\; -\; L\; 12\; 0\; L\; 23\; N\; 3\; c\; L\; 31\; -\; L\; 23\; 0)\; =\; (0\; -\; N\; c\; NT\; cx\; \wedge \; p)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; M\; ^\; \{00\}\; M\; ^\; \{01\}\; M\; ^\; \{02\}\; M\; ^\; \{03\}\; \backslash \backslash \; M\; ^\; \{10\}\; M\; ^\; \{11\}\; M\; ^\; \{12\}\; M\; ^\; \{13\}\; \backslash \backslash \; M\; ^\; \{20\}\; M\; ^\; \{21\}\; M\; ^\; \{22\}\; M\; ^\; \{23\}\; \backslash \backslash \; M\; ^\; \{30\}\; M\; ^\; \{31\}\; M\; ^\; \{32\}\; M\; ^\; \{33\}\; \backslash \; end\; \{\; pmatrix\}\}\; \backslash \backslash \; [3pt]\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{c\; |\; ccc\}\; 0\; -N\; ^\; \{1\}\; c\; -N\; ^\; \{2\}\; c\; -N\; ^\; \{3\}\; c\; \backslash \backslash \backslash \; hline\; N\; ^\; \{1\}\; c\; 0\; L\; ^\; \{12\}\; -\; L\; ^\; \{31\}\; \backslash \backslash \; N\; ^\; \{2\}\; c\; -L\; ^\; \{12\}\; 0\; L\; ^\; \{23\}\; \backslash \backslash \; N\; ^\; \{3\}\; c\; L\; ^\; \{31\}\; -\; L\; ^\; \{23\}\; 0\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; [3pt]\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{c\; |\; c\}\; 0\; -\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; c\; \backslash \; \backslash \backslash \; hline\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; c\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

в котором последний массив представляет собой блочную матрицу , сформированную путем обработки N как вектора-строки , который m atr ix транспонирует в вектор-столбец Nи x∧ pв виде антисимметричной матрицы 3 × 3 . Линии просто вставлены, чтобы показать, где находятся блоки.

Опять же, этот тензор является аддитивным: полный угловой момент системы является суммой тензоров углового момента для каждой составляющей системы:

$M\; total\; =\; \sum \; n\; M\; n\; =\; \sum \; n\; X\; n\; \wedge \; P\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{total\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\; \_\; \{n\}\; \backslash \; клин\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\; \_\; \{n\}\; \backslash ,.\}$

Каждый из шести компонентов образует сохраняемую величину при агрегировании с соответствующими компонентами для других объектов и полей.

Тензор углового момента M действительно является тензором, компоненты изменяются в соответствии с матрицей Λ преобразования Лоренца, как обычно иллюстрируется тензором индексное обозначение

$M\; \prime \; \alpha \; \beta \; =\; X\; \prime \; \alpha \; P\; \prime \; \beta \; -\; X\; \prime \; \beta \; P\; \prime \; \alpha \; =\; \Lambda \; \alpha \; \gamma \; X\; \gamma \; \Lambda \; \beta \; \delta \; P\; \delta \; -\; \Lambda \; \beta \; \delta \; X\; \delta \; \Lambda \; \alpha \; \gamma \; P\; \gamma \; =\; \Lambda \; \alpha \; \gamma \; \Lambda \; \beta \; \delta \; (Икс\; \gamma \; п\; \delta \; -\; Икс\; \delta \; п\; \gamma )\; знак\; равно\; \Lambda \; \alpha \; \gamma \; \Lambda \; \beta \; \delta \; M\; \gamma \; \delta ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{M\; \text{'}\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; =\; \{X\text{'}\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; \{P\; \text{'}\}\; ^\; \{\backslash \; beta\}\; -\; \{X\text{'}\}\; ^\; \{\backslash \; beta\}\; \{P\; \text{'}\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \_\; \{\backslash \; gamma\; \}\; X\; ^\; \{\backslash \; gamma\}\; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{\backslash \; beta\}\}\; \_\; \{\backslash \; delta\}\; P\; ^\; \{\backslash \; delta\}\; -\; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{\backslash \; beta\}\}\; \_\; \{\backslash \; delta\}\; X\; ^\; \{\backslash \; delta\}\; \{\backslash \; Лямбда\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \_\; \{\backslash \; gamma\}\; P\; ^\; \{\backslash \; gamma\}\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \_\; \{\backslash \; gamma\}\; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{\backslash \; beta\}\}\; \_\; \{\backslash \; delta\}\; \backslash \; left\; (X\; ^\; \{\backslash \; gamma\}\; P\; ^\; \{\backslash \; delta\}\; -X\; ^\; \{\backslash \; delta\}\; P\; ^\; \{\backslash \; gamma\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \_\; \{\backslash \; gamma\}\; \{\; \backslash \; Lambda\; ^\; \{\backslash \; beta\}\}\; \_\; \{\backslash \; delta\}\; M\; ^\; \{\backslash \; gamma\; \backslash \; delta\}\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{align\}\},\}$

где для ускорения (без вращения) с нормализованной скоростью β= v/ c, матричные элементы преобразования Лоренца равны

$\Lambda \; 0\; 0\; =\; \gamma \; \Lambda \; i\; 0\; =\; \Lambda \; 0\; я\; знак\; равно\; -\; \gamma \; \beta \; я\; \Lambda \; ij\; знак\; равно\; \delta \; ij\; +\; \gamma \; -\; 1\; \beta \; 2\; \beta \; я\; \beta \; J\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{0\}\}\; \_\; \{0\}\; =\; \backslash \; gamma\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; Лямбда\; ^\; \{i\}\}\; \_\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{0\}\}\; \_\; \{i\}\; =\; -\; \backslash \; gamma\; \backslash \; beta\; ^\; \{i\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{i\}\}\; \_\; \{j\}\; =\; \{\backslash \; delta\; ^\; \{i\}\}\; \_\; \{j\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; -1\}\; \{\backslash \; beta\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; beta\; ^\; \{i\}\; \backslash \; beta\; \_\; \{j\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

и ковариантные β i и контравариантные β компоненты β одинаковы, поскольку это просто параметры.

Другими словами, можно преобразовать по Лоренцу четыре положения и четыре импульса по отдельности, а затем антисимметризовать эти вновь обнаруженные компоненты, чтобы получить тензор углового момента в новой системе отсчета.

Векторные преобразования, полученные из тензорных преобразований

Преобразования компонентов усиления:

$M\; \prime \; k\; 0\; =\; \Lambda \; k\; \mu \; \Lambda \; 0\; \nu \; M\; \mu \; \nu \; =\; \Lambda \; k\; 0\; \Lambda \; 0\; 0\; M\; 00\; +\; \Lambda \; ki\; \Lambda \; 0\; 0\; M\; i\; 0\; +\; \Lambda \; k\; 0\; \Lambda \; 0\; j\; M\; 0\; j\; +\; \Lambda \; ki\; \Lambda \; 0\; j\; M\; ij\; =\; (\Lambda \; ki\; \Lambda \; 0\; 0\; -\; \Lambda \; k\; 0\; \Lambda \; 0\; i)\; M\; i\; 0\; +\; \Lambda \; ki\; \Lambda \; 0\; j\; M\; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; M\; \text{'}^\; \{k0\}\; =\; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{k\}\}\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{0\}\}\; \_\; \{\backslash \; nu\}\; M\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; \backslash \; \backslash \; =\; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{k\}\}\; \_\; \{0\}\; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{0\}\}\; \_\; \{0\}\; M\; ^\; \{00\}\; +\; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{k\}\}\; \_\; \{i\}\; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{\; 0\}\}\; \_\; \{0\}\; M\; ^\; \{i0\}\; +\; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{k\}\}\; \_\; \{0\}\; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{0\}\}\; \_\; \{j\}\; M\; ^\; \{0j\}\; +\; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{k\}\; \}\; \_\; \{i\}\; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{0\}\}\; \_\; \{j\}\; M\; ^\; \{ij\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; Lambda\; ^\; \{k\}\}\; \_\; \{i\}\; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{0\}\}\; \_\; \{0\}\; -\; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{k\}\}\; \_\; \{0\}\; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{0\}\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; right)\; M\; ^\; \{i0\}\; +\; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{k\}\}\; \_\; \{i\}\; \{\; \backslash \; Lambda\; ^\; \{0\}\}\; \_\; \{j\}\; M\; ^\; \{ij\}\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{выравнивается\}\}$

как для орбитального углового момента

$M\; \prime \; k\; \ell \; =\; \Lambda \; k\; \mu \; \Lambda \; \ell \; \nu \; M\; \mu \; \nu \; =\; \Lambda \; k\; 0\; \Lambda \; \ell \; 0\; M\; 00\; +\; \Lambda \; ki\; \Lambda \; \ell \; 0\; M\; i\; 0\; +\; \Lambda \; k\; 0\; \Lambda \; \ell \; j\; M\; 0\; j\; +\; \Lambda \; ki\; \Lambda \; \ell \; j\; M\; ij\; =\; (\Lambda \; ki\; \Lambda \; \ell \; 0\; -\; \Lambda \; k\; 0\; \Lambda \; \ell \; я)\; M\; я\; 0\; +\; \Lambda \; ки\; \Lambda \; \ell \; J\; M\; ij\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{M\; \text{'}\}\; ^\; \{k\; \backslash \; ell\}\; =\; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{k\}\}\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{\; \backslash \; ell\}\}\; \_\; \{\backslash \; nu\}\; M\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{k\}\}\; \_\; \{0\}\; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{\backslash \; ell\}\}\; \_\; \{0\}\; M\; ^\; \{00\; \}\; +\; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{k\}\}\; \_\; \{i\}\; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{\backslash \; ell\}\}\; \_\; \{0\}\; M\; ^\; \{i0\}\; +\; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{k\}\}\; \_\; \{0\}\; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{\; \backslash \; ell\}\}\; \_\; \{j\}\; M\; ^\; \{0j\}\; +\; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{k\}\}\; \_\; \{i\}\; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{\backslash \; ell\}\}\; \_\; \{j\}\; M\; ^\; \{ij\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; Lambda\; ^\; \{k\}\}\; \_\; \{i\}\; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{\backslash \; ell\}\}\; \_\; \{0\}\; -\; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{k\}\}\; \_\; \{0\}\; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{\backslash \; ell\}\}\; \_\; \{\; i\}\; \backslash \; right)\; M\; ^\; \{i0\}\; +\; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{k\}\}\; \_\; \{i\}\; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{\backslash \; ell\}\}\; \_\; \{j\}\; M\; ^\; \{ij\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Выражения в элементах преобразования Лоренца:

$Λ ki Λ ℓ 0 - Λ k 0 Λ ℓ i = [δ ki + γ - 1 β 2 β k β i] (- γ β ℓ) - (- γ β k) [δ ℓ i + γ - 1 β 2 β ℓ β i] = γ [β k δ ℓ i - β ℓ δ ki] Λ ki Λ 0 0 - Λ k 0 Λ 0 i = [δ ki + γ - 1 β 2 β k β i] γ - (- γ β k) (- γ β i) = γ [δ ki + γ - 1 β 2 β k β i - γ β k β i] = γ [δ ki + (γ - 1 β 2 - γ) β k β i] = γ [δ ki + (γ - γ β 2 - 1 β 2) β k β i] = γ [δ ki + (γ - 1 - 1 β 2)) β k β i] = γ δ ki - [γ - 1 β 2] β k β i Λ ki Λ ℓ j = [δ ki + γ - 1 β 2 β k β i] [δ ℓ j + γ - 1 β 2 β ℓ β j] = δ ки δ ℓ j + γ - 1 β 2 δ ки β ℓ β j + γ - 1 β 2 β К β δ ℓ j + γ - 1 β 2 γ - 1 β 2 β ℓ β j β к β я {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} {\ Lambda ^ {k}} _ {i} {\ Lambda ^ {\ ell}} _ {0} - {\ Lambda ^ {k}} _ {0} {\ Lambda ^ {\ ell}} _ {i} = \ left [{\ delta ^ {k}} _ {i} + {\ frac {\ gamma -1} {\ beta ^ {2}}} \ beta ^ {k} \ beta _ {i} \ right] \ left (- \ gamma \ beta ^ {\ ell} \ right) - \ left (- \ gamma \ beta ^ {k} \ right) \ left [{\ delta ^ {\ ell}} _ {i} + {\ frac {\ gamma -1} {\ beta ^ {2}}} \ beta ^ {\ ell} \ beta _ {i} \ right] \\ = \ gamma \ left [\ beta ^ {k} {\ delta ^ {\ ell}} _ {i} - \ beta ^ {\ ell} {\ delta ^ {k}} _ {i} \ right] \\ {\ Lambda ^ {k}} _ {i} {\ Lambda ^ {0}} _ {0} - {\ Lambda ^ {k}} _ {0} {\ Lambda ^ {0}} _ {i} = \ left [{\ delta ^ {k}} _ {i} + {\ frac {\ gamma -1} {\ beta ^ {2} }} \ beta ^ {k} \ beta _ {i} \ r ight] \ gamma - (- \ gamma \ beta ^ {k}) (- \ gamma \ beta ^ {i}) \\ = \ gamma \ слева [{\ delta ^ {k}} _ {i} + {\ frac {\ gamma -1} {\ beta ^ {2}}} \ beta ^ {k} \ beta _ {i} - \ gamma \ beta ^ {k} \ бета ^ {i} \ right] \\ = \ gamma \ left [{\ delta ^ {k}} _ {i} + \ left ({\ frac {\ gamma -1} {\ beta ^ {2}} } - \ gamma \ right) \ beta ^ {k} \ beta _ {i} \ right] \\ = \ gamma \ left [{\ delta ^ {k}} _ {i} + \ left ({\ frac {\ gamma - \ gamma \ beta ^ {2} -1} {\ beta ^ {2}}} \ right) \ beta ^ {k} \ beta _ {i} \ right] \\ = \ gamma \ left [{\ delta ^ {k}} _ {i} + \ left ({\ frac {\ gamma ^ {- 1} -1} {\ beta ^ {2}}} \ right) \ beta ^ {k} \ beta _ {i} \ right] \\ = \ gamma {\ delta ^ {k}} _ {i} - \ left [{\ frac {\ gamma -1} {\ beta ^ {2}}} \ right ] \ beta ^ {k} \ beta _ {i} \\ {\ Lambda ^ {k}} _ {i} {\ Lambda ^ {\ ell}} _ {j} = \ left [{\ delta ^ { k}} _ {i} + {\ frac {\ gamma -1} {\ beta ^ {2}}} \ beta ^ {k} \ beta _ {i} \ right] \ left [{\ delta ^ {\ ell}} _ {j} + {\ frac {\ gamma -1} {\ beta ^ {2}}} \ beta ^ {\ ell} \ beta _ {j} \ right] \\ = {\ delta ^ {k}} _ {i} {\ delta ^ {\ ell}} _ {j} + {\ frac {\ gamma -1} {\ beta ^ {2}}} {\ delta ^ {k}} _ { i} \ beta ^ {\ ell} \ beta _ {j} + {\ frac {\ gamma -1} {\ beta ^ {2}}} \ beta ^ {k} \ beta _ {i} {\ delta ^ {\ ell}} _ {j} + {\ frac {\ gamma -1} {\ beta ^ {2}}} {\ frac {\ gamma -1} {\ beta ^ {2}}} \ beta ^ {\ ell} \ beta _ {j} \ beta ^ {k} \ beta _ {i} \ end {align}}}$

дает

$c N ′ k = (Λ ki Λ 0 0 - Λ k 0 Λ 0 i) c N i + Λ ki Λ 0 j ε ijn L n = [γ δ ki - (γ - 1 β 2) β k β i] c N i + - γ β j [δ ki + γ - 1 β 2 β k β i] ε ijn L n = γ c N k - (γ - 1 β 2) β k (β ic N i) - γ β j δ ki ε ijn L n - γ γ - 1 β 2 β J β К β я ε ijn L N = γ с N К - (γ - 1 β 2) β K (β ic N я) - γ β j ε kjn L N {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} cN '^ {k} = \ left ({\ Lambda ^ {k}} _ {i} {\ Lambda ^ {0}} _ {0} - {\ Lambda ^ {k}} _ {0} {\ Лямбда ^ {0}} _ {i} \ right) cN ^ {i} + {\ Lambda ^ {k}} _ {i} {\ Lambda ^ {0}} _ {j} \ varepsilon ^ {ijn} L_ {n} \\ = \ left [\ gamma {\ delta ^ {k}} _ {i} - \ left ({\ frac {\ gamma -1} {\ beta ^ {2}}} \ right) \ beta ^ {k} \ beta _ {i} \ right] cN ^ {i} + - \ gamma \ beta ^ {j} \ left [{\ delta ^ {k}} _ {i} + {\ frac {\ гамма -1} {\ beta ^ {2}}} \ beta ^ {k} \ beta _ {i} \ right] \ varepsilon ^ {ijn} L_ {n} \\ = \ gamma cN ^ {k} - \ left ({\ frac {\ gamma -1} {\ beta ^ {2}}} \ right) \ beta ^ {k} \ left (\ beta _ {i} cN ^ {i} \ right) - \ gamma \ beta ^ {j} {\ delta ^ {k}} _ {i} \ varepsilon ^ {ijn} L_ {n} - \ gamma {\ frac {\ gamma -1} {\ beta ^ {2}}} \ beta ^ {j} \ beta ^ {k} \ beta _ {i} \ varepsilon ^ {ijn} L_ {n} \\ = \ gamma cN ^ {k} - \ left ({\ frac {\ gamma -1} {\ beta ^ {2}}} \ right) \ beta ^ {k} \ left (\ beta _ {i} cN ^ { i} \ right) - \ gamma \ beta ^ {j} \ varepsilon ^ {kjn} L_ {n} \\\ end {align}}}$

или в векторной форме, разделив на c

$N\; \prime \; =\; \gamma \; N\; -\; (\gamma \; -\; 1\; \beta \; 2)\; \beta \; (\beta \; \cdot \; N)\; -\; 1\; с\; \gamma \; \beta \; \times \; L\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; \text{'}=\; \backslash \; gamma\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; -\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; -1\}\; \{\backslash \; beta\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; \backslash \; right)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{c\}\}\; \backslash \; gamma\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\}$

или восстановление β= v/ c,

$N\; \prime \; =\; \gamma \; N\; -\; (\gamma \; -\; 1\; v\; 2)\; v\; (v\; \cdot \; N)\; -\; \gamma \; v\; \times \; L\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; \text{'}=\; \backslash \; gamma\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; -\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; -1\}\; \{v\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; справа)\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; \backslash \; right)\; -\; \backslash \; gamma\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\}$

и

$L ′ k ℓ = (Λ ki Λ ℓ 0 - Λ k 0 Λ ℓ i) c N i + Λ ki Λ ℓ j L ij = γ c (β k δ ℓ i - β ℓ δ ki) N i + [δ ki δ ℓ j + γ - 1 β 2 δ ki β ℓ β j + γ - 1 β 2 β k β i δ ℓ j + γ - 1 β 2 γ - 1 β 2 β ℓ β j β k β i] L ij = γ c (β k N ℓ - β ℓ N k) + L k ℓ + γ - 1 β 2 β ℓ β J L kj + γ - 1 β 2 β К β я L я ℓ {\ Displaystyle {\ begin {align} L '^ {k \ ell} = \ left ({\ Lambda ^ {k}} _ {i} {\ Lambda ^ {\ ell}} _ {0} - {\ Lambda ^ {k}} _ {0} {\ Lambda ^ {\ ell}} _ {i} \ right) cN ^ {i} + {\ Lambda ^ {k}} _ {i} {\ Lambda ^ {\ ell}} _ {j} L ^ {ij} \\ = \ gamma c \ left (\ beta ^ {k} {\ delta ^ {\ ell}} _ {i} - \ beta ^ {\ ell} {\ delta ^ {k}} _ {i} \ right) N ^ {i} + \ left [{\ delta ^ {k}} _ {i} {\ delta ^ {\ ell}} _ {j} + {\ frac {\ gamma -1} {\ beta ^ {2}}} {\ delta ^ {k}} _ {i} \ beta ^ {\ ell} \ beta _ {j} + {\ frac {\ gamma -1} {\ beta ^ {2}}} \ beta ^ {k} \ beta _ {i} {\ delta ^ {\ ell} } _ {j} + {\ frac {\ gamma -1} {\ beta ^ {2}}} {\ frac {\ gamma -1} {\ beta ^ {2}}} \ beta ^ {\ ell} \ beta _ {j} \ beta ^ {k} \ beta _ {i} \ right] L ^ {ij} \\ = \ gamma c \ left (\ beta ^ {k} N ^ {\ ell} - \ beta ^ {\ ell} N ^ {k} \ right) + L ^ {k \ ell} + {\ frac {\ gamma -1} {\ beta ^ {2}}} \ beta ^ {\ ell} \ beta _ {j} L ^ {kj} + {\ frac {\ gamma -1 } {\ beta ^ {2}}} \ beta ^ {k} \ beta _ {i} L ^ {i \ ell} \\\ end {align}}}$

или преобразование в форму псевдовектора

$\epsilon \; k\; \ell \; n\; L\; n\; \prime \; =\; \gamma \; c\; (\beta \; k\; N\; \ell \; -\; \beta \; \ell \; N\; k)\; +\; \epsilon \; k\; \ell \; n\; L\; n\; +\; \gamma \; -\; 1\; \beta \; 2\; (\beta \; \ell \; \beta \; j\; \epsilon \; kjn\; L\; n\; -\; \beta \; k\; \beta \; i\; \epsilon \; \ell \; в\; L\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{k\; \backslash \; ell\; n\}\; L\; \text{'}\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; gamma\; c\; \backslash \; left\; (\backslash \; beta\; ^\; \{k\}\; N\; ^\; \{\backslash \; ell\}\; -\; \backslash \; beta\; ^\; \{\backslash \; ell\}\; N\; ^\; \{k\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{k\; \backslash \; ell\; n\}\; L\_\; \{n\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; -1\}\; \{\backslash \; beta\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; beta\; ^\; \{\backslash \; ell\}\; \backslash \; beta\; \_\; \{j\}\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{kjn\}\; L\_\; \{n\}\; -\; \backslash \; beta\; ^\; \{k\}\; \backslash \; beta\; \_\; \{i\}\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{\backslash \; ell\; in\}\; L\_\; \{n\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \backslash \; конец\; \{выровнен\}\}\}$

в векторной записи

$L\; \prime \; =\; \gamma \; c\; \beta \; \times \; N\; +\; L\; +\; \gamma \; -\; 1\; \beta \; 2\; \beta \; \times \; (\beta \; \times \; L)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; \text{'}\; =\; \backslash \; gamma\; c\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; -1\}\; \{\backslash \; beta\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\; \}\}\; \backslash \; times\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{L\})\}$

или восстановление β= v/ c,

$L\; \prime \; =\; \gamma \; v\; \times \; N\; +\; L\; +\; \gamma \; -\; 1\; v\; 2\; v\; \times \; (v\; \times \; L)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; \text{'}=\; \backslash \; gamma\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; -1\}\; \{v\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; ti\; mes\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; \backslash \; right)\}$

Вращение жесткого тела

Для частицы, движущейся по кривой, перекрестное произведение его угловая скорость ω(псевдовектор) и положение x дают его тангенциальную скорость

$u\; =\; \omega \; \times \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; omega\}\; \}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\}$

, которая не может превышать величину c, поскольку в СТО скорость поступательного движения любого массивного объекта не может превышать скорость света c. Математически это ограничение составляет 0 ≤ | u| < c, the vertical bars denote the величина вектора. Если угол между ω и x равен θ (предполагается, что он не равен нулю, иначе u будет равен нулю, что соответствует отсутствию движения), то | u | = | ω||x| sinθ, а угловая скорость ограничена

Таким образом, максимальная угловая скорость любого массивного объекта зависит от размера объекта. Для заданного | x | минимальный верхний предел возникает, когда ω и x перпендикулярны, так что θ = π / 2 и sinθ = 1.

Для вращающегося твердого тела, вращающегося с угловой скоростью ω, u - это тангенциальная скорость в точке x внутри объекта. Для каждой точки объекта существует максимальная угловая скорость.

Угловая скорость (псевдовектор) связана с угловым моментом (псевдовектор) через тензор момента инерции I

$L\; =\; I\; \cdot \; \omega \; \rightleftharpoons \; L\; i\; =\; I\; ij\; \omega \; j\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; omega\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; rightleftharpoons\; \backslash \; quad\; L\_\; \{i\}\; =\; I\_\; \{ij\}\; \backslash \; omega\; \_\; \{j\}\}$

( точка · обозначает сжатие тензора на один индекс). Релятивистский угловой момент также ограничен размером объекта.

Четырехспиновый

Частица может иметь «встроенный» угловой момент, не зависящий от ее движения, называемый спином и обозначен как s . Это трехмерный псевдовектор, подобный орбитальному угловому моменту L.

Спин имеет соответствующий спиновый магнитный момент , поэтому, если частица подвержена взаимодействиям (например, электромагнитным полям или спину -орбитальная связь ) направление вектора спина частицы изменится, но его величина будет постоянной.

Расширение специальной теории относительности несложно. Для некоторого лабораторного кадра F, пусть F ′ будет системой покоя частицы, и предположим, что частица движется с постоянной 3-скоростью u . Затем F 'увеличивается с той же скоростью, и преобразования Лоренца применяются как обычно; удобнее использовать β= u/ c. Как четырехвектор в специальной теории относительности, четырехспиновый S обычно принимает обычную форму четырехвектора с времяподобным компонентом s t и пространственным компоненты s в лабораторном фрейме

$S\; \equiv \; (S\; 0,\; S\; 1,\; S\; 2,\; S\; 3)\; =\; (st,\; sx,\; sy,\; sz)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; \backslash \; эквив\; \backslash \; left\; (S\; ^\; \{0\},\; S\; ^\; \{1\},\; S\; ^\; \{2\},\; S\; ^\; \{3\}\; \backslash \; right)\; =\; (s\_\; \{t\},\; s\_\; \{x\},\; s\_\; \{y\},\; s\_\; \{z\; \})\}$

хотя в системе покоя частицы он определен так, что времениподобный компонент равен нулю, а пространственные компоненты - это компоненты фактического вектора спина частицы, в обозначении здесь s ′, поэтому в кадре частицы

$S\; \prime \; \equiv \; (S\; \prime \; 0,\; S\; \prime \; 1,\; S\; \prime \; 2,\; S\; \prime \; 3)\; =\; (0,\; sx\; \prime ,\; sy\; \prime ,\; sz\; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; \text{'}\backslash \; Equiv\; \backslash \; left\; (\{S\; \text{'}\}\; ^\; \{0\},\; \{S\text{'}\}\; ^\; \{1\},\; \{S\; \text{'}\}\; ^\; \{2\},\; \{S\text{'}\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (0,\; s\_\; \{\; x\}\; \text{'},\; s\_\; \{y\}\text{'},\; s\_\; \{z\}\; \text{'}\backslash \; right)\}$

Приравнивание норм приводит к инвариантному отношению

$st\; 2\; -\; s\; \cdot \; s\; =\; -\; s\; \prime \; \cdot \; s\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{\; t\}\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{s\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{s\}\; =\; -\; \backslash \; mathbf\; \{s\}\; \text{'}\backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{s\}\text{'}\}$

так что если магниту de вращения дана в системе покоя частицы и в лабораторной системе координат наблюдателя, величина времениподобной компоненты s t также дана в лабораторной системе координат.

Векторные преобразования, полученные из тензорных преобразований

Усиленные компоненты четырех спинов относительно лабораторной системы отсчета:

$S '0 = Λ 0 α S α = Λ 0 0 S 0 + Λ 0 i S i = γ (S 0 - β i S i) = γ (cc S 0 - uic S i) = 1 c U 0 S 0 - 1 c U i S i S ′ i = Λ i α S α = Λ i 0 S 0 + Λ ij S j = - γ β i S 0 + [δ ij + γ - 1 β 2 β i β j] S j = S i + γ 2 γ + 1 β i β j S j - γ β i S 0 {\ displaystyle {\ begin {align} {S '} ^ {0} = {\ Lambda ^ {0}} _ {\ alpha} S ^ {\ alpha} = {\ Lambda ^ {0}} _ { 0} S ^ {0} + {\ Lambda ^ {0}} _ {i} S ^ {i} = \ gamma \ left (S ^ {0} - \ beta _ {i} S ^ {i} \ right) \\ = \ gamma \ left ({\ frac {c} {c}} S ^ {0} - {\ frac {u_ {i}} {c}} S ^ {i} \ right) = {\ гидроразрыв {1} {c}} U_ {0} S ^ {0} - {\ frac {1} {c}} U_ {i} S ^ {i} \\ [3pt] {S '} ^ {i} = {\ Lambda ^ {i}} _ {\ alpha} S ^ {\ alpha} = {\ Lambda ^ {i}} _ {0} S ^ {0} + {\ Lambda ^ {i}} _ { j} S ^ {j} \\ = - \ gamma \ beta ^ {i} S ^ {0} + \ left [\ delta _ {ij} + {\ frac {\ gamma -1} {\ beta ^ { 2}}} \ beta _ {i} \ beta _ {j} \ right] S ^ {j} \\ = S ^ {i} + {\ frac {\ gamma ^ {2}} {\ gamma +1 }} \ beta _ {i} \ beta _ {j} S ^ {j} - \ gamma \ beta ^ {i} S ^ {0} \ end {align}}}$

Здесь γ = γ (u ). S 'находится в системе отсчета покоя частицы, поэтому его времениподобный компонент равен нулю, S' = 0, а не S. Кроме того, первый эквивалентен внутреннему произведению четырехскоростной (деленной на c) и четырехмерной скорости. вращение. Объединение этих фактов приводит к

$S\; \prime \; 0\; =\; 1\; c\; U\; \alpha \; S\; \alpha \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{S\; \text{'}\}\; ^\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\}\}\; U\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; S\; ^\; \{\; \backslash \; alpha\}\; =\; 0\}$

, который является инвариантом. Затем это в сочетании с преобразованием времениподобного компонента приводит к воспринимаемому компоненту в лабораторном кадре;

$S\; 0\; =\; \beta \; я\; S\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{0\}\; =\; \backslash \; beta\; \_\; \{i\}\; S\; ^\; \{i\}\}$

Обратные отношения:

$S\; 0\; =\; \gamma \; (S\; \text{'}0\; +\; \beta \; я\; S\; \text{'}я)\; S\; я\; знак\; равно\; S\text{'}\; я\; +\; \gamma \; 2\; \gamma \; +\; 1\; \beta \; я\; \beta \; J\; S\; \text{'}j\; +\; \gamma \; \beta \; я\; S\text{'}\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; S\; ^\; \{0\}\; =\; \backslash \; gamma\; \backslash \; left\; (\{S\; \text{'}\}\; ^\; \{0\}\; +\; \backslash \; beta\; \_\; \{i\}\; \{S\text{'}\}\; ^\; \{i\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; S\; ^\; \{i\}\; =\; \{S\; \text{'}\}\; ^\; \{i\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; gamma\; +1\}\}\; \backslash \; beta\; \_\; \{i\}\; \backslash \; beta\; \_\; \{j\}\; \{S\; \text{'}\}\; ^\; \{j\}\; +\; \backslash \; gamma\; \backslash \; beta\; ^\; \{i\}\; \{S\text{'}\}\; ^\; \{\; 0\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Ковариантное ограничение на вращение - ортогональность вектору скорости,

$U\; \alpha \; S\; \alpha \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; S\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; =\; 0\; \}$

В трехвекторной нотации для наглядности преобразования следующие:

$st\; =\; \beta \; \cdot \; ss\; \prime \; =\; s\; +\; \gamma \; 2\; \gamma \; +\; 1\; \beta \; (\beta \; \cdot \; s)\; -\; \gamma \; \beta \; st\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\; \}\; s\_\; \{t\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{s\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{s\}\; \text{'}=\; \backslash \; mathbf\; \{s\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; ^\; \{2\}\}\; \{\; \backslash \; gamma\; +1\}\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{s\}\; \backslash \; right)\; -\; \backslash \; gamma\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; s\_\; \{t\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Обратные соотношения

$st\; =\; \gamma \; \beta \; \cdot \; s\; \prime \; s\; =\; s\; \prime \; +\; \gamma \; 2\; \gamma \; +\; 1\; \beta \; (\beta \; \cdot \; s\; \prime )\; \{\backslash \; di\; splaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; s\_\; \{t\}\; =\; \backslash \; gamma\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{s\}\; \text{'}\backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{s\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{s\}\text{'}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; gamma\; +1\}\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; beta\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{s\}\; \text{'}\backslash \; right)\; \backslash \; end\; \{выровнено\}\; \}\}$

- компоненты вращения лабораторного кадра, вычисленные из компонентов в кадре покоя частицы. Хотя спин частицы постоянен для данной частицы, в лабораторных условиях он кажется другим.

Псевдовектор Паули – Любанского

Псевдовектор Паули – Любанского

$S\; \rho \; =\; 1\; 2\; \epsilon \; \lambda \; \mu \; \nu \; \rho \; U\; \lambda \; J\; \mu \; \nu ,\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \_\; \{\backslash \; rho\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{\backslash \; lambda\; \backslash \; mu\; \backslash \; nu\; \backslash \; rho\}\; U\; ^\; \{\backslash \; lambda\}\; J\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\},\}$

применяется как к массивным, так и безмассовые частицы.

В целом тензор полного углового момента расщепляется на орбитальную составляющую и спиновую составляющую,

$J\; \mu \; \nu \; =\; M\; \mu \; \nu \; +\; S\; \mu \; \nu .\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; =\; M\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; +\; S\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; ~.\}$

Это применимо к частице, распределению массы-энергии-импульса или поле.

Угловой момент из тензора массы-энергии-импульса

Ниже приводится сводка из MTW. Для простоты используются декартовы координаты. В специальной и общей теории относительности распределение массы-энергии-импульса, например жидкость или звезда описывается тензором энергии-импульса T (тензорное поле второго порядка в зависимости от пространства и времени). Поскольку T - это плотность энергии, T для j = 1, 2, 3 - j-я компонента трехмерного импульса объекта на единицу объема, а T формирует компоненты тензора напряжений , включая сдвиговые и нормальные напряжения, плотность орбитального углового момента вокруг 4-вектора положения X задается тензором 3-го порядка

$M\; \alpha \; \beta \; \gamma \; =\; (X\; \alpha \; -\; X\; ¯\; \alpha )\; T\; \beta \; \gamma \; -\; (X\; \beta \; -\; X\; ¯\; \beta )\; T\; \alpha \; \gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\; \backslash \; gamma\}\; =\; \backslash \; left\; (X\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; -\; \{\backslash \; bar\; \{X\}\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; right)\; T\; ^\; \{\backslash \; beta\; \backslash \; gamma\}\; -\; \backslash \; left\; (X\; ^\; \{\backslash \; beta\}\; -\; \{\backslash \; bar\; \{X\}\}\; ^\; \{\backslash \; beta\}\; \backslash \; right)\; T\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; gamma\}\}$

Это антисимметрично в α и β. В специальной и общей теории относительности T - симметричный тензор, но в других контекстах (например, в квантовой теории поля) это может не быть.

Пусть Ω будет областью 4-го пространства-времени. Граница представляет собой гиперповерхность трехмерного пространства-времени («объем поверхности пространства-времени» в отличие от «площади пространственной поверхности»), обозначенную ∂Ω, где «∂» означает «граница». Интегрирование плотности углового момента по гиперповерхности трехмерного пространства-времени дает тензор углового момента относительно X,

$M\; \alpha \; \beta \; (X\; ¯)\; =\; \oint \; \partial \; \Omega \; M\; \alpha \; \beta \; \gamma \; d\; \Sigma \; \gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; M\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; bar\; \{X\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; oint\; \_\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; Omega\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\; \backslash \; gamma\}\; d\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{\backslash \; gamma\}\}$

где dΣ γ - объемная 1-форма, играющая роль единичного вектора, нормального к двумерной поверхности в обычном трехмерном евклидовом пространстве. Интеграл берется по координатам X, а не X. Интеграл внутри пространственноподобной поверхности постоянного времени равен

$M\; ij\; =\; \oint \; \partial \; \Omega \; M\; ij\; 0\; d\; \Sigma \; 0\; =\; \oint \; \partial \; \Omega \; [(X\; i\; -\; Y\; i)\; T\; j\; 0\; -\; (Икс\; j\; -\; Y\; j)\; T\; я\; 0]\; dxdydz\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; ^\; \{ij\}\; =\; \backslash \; oint\; \_\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; Omega\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\; ^\; \{ij0\}\; d\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{0\; \}\; =\; \backslash \; oint\; \_\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; Omega\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (X\; ^\; \{i\}\; -Y\; ^\; \{i\}\; \backslash \; right)\; T\; ^\; \{j0\}\; -\; \backslash \; left\; (X\; ^\; \{j\}\; -Y\; ^\; \{j\; \}\; \backslash \; right)\; T\; ^\; \{i0\}\; \backslash \; right]\; dxdydz\}$

которые в совокупности образуют тензор углового момента.

Угловой момент относительно центра масс

В системе отсчета центра масс есть собственный угловой момент, другими словами, угловой момент относительно любого события

$X\; COM\; =\; (Икс\; СОМ\; 0,\; Икс\; СОМ\; 1,\; Икс\; СОМ\; 2,\; Икс\; СОМ\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\; \_\; \{\backslash \; text\; \{COM\}\}\; =\; \backslash \; left\; (X\; \_\; \{\backslash \; text\; \{COM\}\}\; ^\; \{0\},\; X\; \_\; \{\backslash \; text\; \{COM\}\}\; ^\; \{1\},\; X\; \_\; \{\backslash \; text\; \{COM\}\}\; ^\; \{2\},\; X\; \_\; \{\backslash \; text\; \{COM\}\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; right)\}$

в строке слова центр масс объекта. Поскольку T - это плотность энергии объекта, пространственные координаты центра масс задаются как

$X\; COM\; i\; =\; 1\; m\; 0\; \int \; \partial \; \Omega \; X\; i\; T\; 00\; dxdydz\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{\; \backslash \; text\; \{COM\}\}\; ^\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{m\_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; Omega\}\; X\; ^\; \{i\}\; T\; ^\; \{00\}\; dxdydz\}$

Настройка Y = XCOM получает плотность орбитального углового момента относительно центра масс объекта.

Сохранение углового момента

сохранение энергии-импульса дается в дифференциальной форме с помощью уравнения неразрывности

$\partial \; \gamma \; T\; \beta \; \gamma \; =\; 0\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; gamma\}\; T\; ^\; \{\backslash \; beta\; \backslash \; gamma\}\; =\; 0\}$

, где ∂ γ - это четыре градиента. (В не декартовых координатах и ​​общей теории относительности это будет заменено ковариантной производной ). Сохранение полного углового момента задается другим уравнением неразрывности

$\partial \; \gamma \; J\; \alpha \; \beta \; \gamma \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; gamma\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{J\}\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\; \backslash \; gamma\}\; =\; 0\; \}$

В интегральных уравнениях используется теорема Гаусса в пространстве-времени

$\int \; V\; \partial \; \gamma \; T\; \beta \; \gamma \; cdtdxdydz\; =\; \oint \; \partial \; VT\; \beta \; \gamma \; d\; 3\; \Sigma \; \gamma \; =\; 0\; \int \; V\; \partial \; \gamma \; J\; \alpha \; \beta \; \gamma \; cdtdxdydz\; знак\; равно\; \oint \; \partial \; VJ\; \alpha \; \beta \; \gamma \; d\; 3\; \Sigma \; \gamma \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathcal\; \{V\}\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; gamma\}\; T\; ^\; \{\backslash \; beta\; \backslash \; gamma\}\; \backslash ,\; cdt\; \backslash ,\; dx\; \backslash ,\; dy\; \backslash ,\; dz\; =\; \backslash \; oint\; \_\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{V\}\}\}\; T\; ^\; \{\backslash \; beta\; \backslash \; gamma\}\; d\; ^\; \{3\}\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{\backslash \; gamma\}\; =\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathcal\; \{V\}\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; gamma\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{J\}\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\; \backslash \; gamma\}\; \backslash ,\; cdt\; \backslash ,\; dx\; \backslash ,\; dy\; \backslash ,\; dz\; =\; \backslash \; oint\; \_\; \{\backslash \; частичное\; \{\backslash \; mathcal\; \{V\}\}\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{J\}\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\; \backslash \; gamma\}\; d\; ^\; \{3\}\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{\backslash \; gamma\}\; =\; 0\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Крутящий момент, действующий на точечную частицу, определяется как производная тензора углового момента, указанного выше, по собственному времени:

$\Gamma \; =\; d\; M\; d\; \tau \; =\; X\; \wedge \; F\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; Gam\; ma\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\}\; \{d\; \backslash \; tau\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\}$

или в компонентах тензора:

$\Gamma \; \alpha \; \beta \; =\; Икс\; \alpha \; F\; \beta \; -\; Икс\; \beta \; F\; \alpha \; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; =\; X\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; F\; \_\; \{\backslash \; beta\}\; -X\; \_\; \{\backslash \; beta\}\; F\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\}$

где F - это 4d сила, действующая на частицу при событии X . Как и в случае с угловым моментом, крутящий момент является аддитивным, поэтому для протяженного объекта можно суммировать или интегрировать распределение массы.

В этом разделе см. (Например) Б.Р. Durney (2011) и H.L. Berk et al. и ссылки в нем.

Тензор углового момента является генератором ускорений и вращений для группы Лоренца. Повышения Лоренца можно параметризовать с помощью скорости и трехмерного единичного вектора n, указывающего в направлении повышения, которые объединяются в «вектор скорости»

$\zeta \; знак\; равно\; \zeta \; N\; =\; N\; tanh\; -\; 1\; \; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; zeta\}\}\; =\; \backslash \; zeta\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; \backslash \; tanh\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; beta\}$

где β = v / c - скорость относительного движения, деленная на скорость света. Пространственные повороты можно параметризовать с помощью представления ось – угол, угла θ и единичного вектора a, указывающего в направлении оси, которые объединяются в «вектор ось-угол»

$\theta \; =\; \theta \; a\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; theta\}\}\; =\; \backslash \; theta\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\}$

Каждый единичный вектор имеет только два независимых компонента, третий определяется из единичной величины. Всего существует шесть параметров группы Лоренца; три для вращения и три для повышения. (Однородная) группа Лоренца шестимерна.

Генераторы повышения K и генераторы вращения J могут быть объединены в один генератор для преобразований Лоренца; M антисимметричный тензор углового момента с компонентами

$M\; 0\; i\; =\; -\; M\; i\; 0\; =\; K\; i,\; M\; i\; j\; =\; \epsilon \; i\; j\; k\; J\; k.\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; ^\; \{0i\}\; =\; -\; M\; ^\; \{i0\}\; =\; K\_\; \{i\}\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; M\; ^\; \{ij\}\; =\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ijk\}\; J\_\; \{k\}\; \backslash ,.\}$

и соответственно, параметры разгона и вращения собираются в другую антисимметричную четырехмерную матрицу ω с элементами:

$\omega \; 0\; i\; =\; -\; \omega \; i\; 0\; =\; \zeta \; i,\; \omega \; ij\; =\; \epsilon \; ijk\; \theta \; k,\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{0i\}\; =\; -\; \backslash \; omega\; \_\; \{i0\}\; =\; \backslash \; zeta\; \_\; \{i\}\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; \backslash \; omega\; \_\; \{ij\}\; =\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ijk\}\; \backslash \; theta\; \_\; \{k\}\; \backslash ,,\; \}$

где соглашение о суммировании по повторяющимся индексам i, j, k было использовано для предотвращения неуклюжих знаков суммирования. Общее преобразование Лоренца тогда задается матричной экспонентой

$\Lambda \; (\zeta ,\; \theta )\; =\; exp\; \; (1\; 2\; \omega \; \alpha \; \beta \; M\; \alpha \; \beta )\; =\; exp\; \; (\zeta \; \cdot \; K\; +\; \theta \; \cdot \; J)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; zeta\}\},\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; theta\}\})\; =\; \backslash \; exp\; \backslash \; l\; eft\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; omega\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; M\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; zeta\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\; +\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; theta\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{J\; \}\; \backslash \; right)\}$

, и к повторяющимся матричным индексам α и β было применено соглашение о суммировании.

Общее преобразование Лоренца Λ - это закон преобразования для любого четырехвектора A= (A 0, A 1, A 2, A 3), задавая компоненты этого же 4-вектора в другой инерциальной системе отсчета

$A\; \text{'}=\; \Lambda \; (\zeta ,\; \theta )\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \text{'}=\; \backslash \; Lambda\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; zeta\}\},\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; theta\}\})\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\}$

Тензор углового момента образует 6 из 10 образующих группы Пуанкаре, остальные четыре являются компонентами четырехимпульса для пространственно-временных трансляций.

Угловой момент пробных частиц на слегка изогнутом фоне более сложен в ОТО, но может быть обобщен простым образом. Если лагранжиан выражается относительно угловых переменных как обобщенные координаты, то угловые моменты являются функциональными производными лагранжиана относительно угловые скорости. В декартовых координатах они обычно задаются недиагональными членами сдвига пространственноподобной части тензора энергии-напряжения . Если пространство-время поддерживает векторное поле Киллинга, касательное к окружности, то угловой момент вокруг оси сохраняется.

Также желательно изучить влияние компактной вращающейся массы на окружающее ее пространство-время. Прототип решения представляет собой метрику Керра, которая описывает пространство-время вокруг аксиально-симметричной черной дыры. Очевидно, невозможно нарисовать точку на горизонте событий черной дыры Керра и наблюдать, как она кружится. Однако решение поддерживает константу системы, которая математически действует аналогично угловому моменту.

• Прецессия Томаса
• Угловой момент света
• Задача двух тел в общей теории относительности
• Задача Кеплера в общей теории относительности
• Релятивистская механика
• Центр масс ( релятивистские)
• Уравнения Матиссона – Папапетру – Диксона

Специальная теория относительности

• R. Торретти (1996). Относительность и геометрия. Дуврские книги по физике. Courier Dover Publications. ISBN 0-486-69046-6.

Общая теория относительности

• L. Бланше; А. Спалличчи; Б. Уайтинг (2011). Масса и движение в общей теории относительности. Фундаментальные теории физики. 162 . Springer. п. 87. ISBN 90-481-3015-8.
• М. Людвигсен (1999). Общая теория относительности: геометрический подход. Издательство Кембриджского университета. п. 77. ISBN 0-521-63976-X.
• N. Эшби, Д.Ф. Бартлетт, У. Висс (1990). Общая теория относительности и гравитации 1989: Труды 12-й Международной конференции по общей теории относительности и гравитации. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-38428-1. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )
• BL Hu; MP Ryan; MP Ryan; CV Вишвешвара (2005). Направления в общей теории относительности: том 1: Труды 1993 г.. Направления в общей теории относительности: материалы международного симпозиума 1993 г., Мэриленд: статьи в честь Чарльза Миснера. 1 . Cambridge University Press. Стр. 347. ISBN 0-521-02139-1.
• А. Папапетру (1974). Лекции по общей теории относительности. Springer. ISBN 90-277-0514-3.

• Н. Меникуччи (2001). «Релятивистский угловой момент» (PDF).
• «Специальная теория относительности» (PDF). Архивировано из оригинального (PDF) 04.11.2013. Проверено 30.10.2013.