Релятивистская механика

редактировать

В физике, релятивистская механика относится к механике совместимой с специальной теорией относительности (SR) и общей теорией относительности (GR). Он обеспечивает не квантово-механическое описание системы частиц или жидкости в случаях, когда скорости движущихся объектов сравнимы с скорость света c. В результате классическая механика правильно распространяется на частицы, движущиеся с высокими скоростями и энергиями, и обеспечивает согласованное включение электромагнетизма с механикой частиц. Это было невозможно в теории относительности Галилея, где частицам и свету разрешалось перемещаться с любой скоростью, в том числе и быстрее света. Основы релятивистской механики - это постулаты специальной теории относительности и общей теории относительности. Объединение СТО с квантовой механикой - это релятивистская квантовая механика, а попытки создания ОТО - это квантовая гравитация, нерешенная проблема в физике.

Как и в случае с классической механикой, предмет можно разделить на «кинематика »; описание движения путем указания положений, скоростей и ускорений и «динамики »; полное описание с учетом энергий, импульсов и угловых моментов и их законов сохранения и действующих сил на частицах или под действием частиц. Однако есть тонкость; то, что кажется «движущимся», а что «неподвижным» - что в классической механике называется «статикой » - зависит от относительного движения наблюдателей, которые проводят измерения в системы отсчета.

Хотя некоторые определения и концепции из классической механики переносятся на СТО, например сила как производная по времени импульса (второй закон Ньютона ), работа, выполненная частицей как линейный интеграл силы, действующей на частицу вдоль пути, и мощность как производная от проделанной работы по времени, есть число существенных изменений остальных определений и формул. SR утверждает, что движение относительно, и законы физики одинаковы для всех экспериментаторов, независимо от их инерциальной системы отсчета. В дополнение к изменению понятий пространства и времени, СТО заставляет пересмотреть концепции массы, импульса и энергии всех которые являются важными конструкциями в механике Ньютона. СР показывает, что все эти концепции представляют собой разные аспекты одной и той же физической величины, во многом так же, как показывает взаимосвязь пространства и времени. Следовательно, другой модификацией является концепция центра масс системы, которую легко определить в классической механике, но гораздо менее очевидно в теории относительности - подробности см. В релятивистском центре масс..

Уравнения усложняются в более привычном трехмерном векторном исчислении формализме из-за нелинейности в Лоренца. коэффициент, который точно учитывает релятивистскую зависимость скорости и ограничение скорости всех частиц и полей. Однако они имеют более простую и элегантную форму в четырехмерном пространстве-времени, которое включает плоское пространство Минковского (SR) и искривленное пространство-время (GR), потому что три -мерные векторы, полученные из пространства, и скаляры, полученные из времени, могут быть собраны в четыре вектора или четырехмерные тензоры. Однако шестикомпонентный тензор углового момента иногда называют бивектором, потому что с трехмерной точки зрения это два вектора (один из них, обычный угловой момент, является аксиальным вектором ).

Содержание

1 Релятивистская кинематика
2 Релятивистская динамика
- 2.1 Масса покоя и релятивистская масса
- 2.2 Релятивистская энергия и импульс
- 2.3 Эквивалентность массы и энергии
- 2.4 Масса систем и сохранение инвариантной массы
- 2.5 Замкнутые (изолированные) системы
  - 2.5.1 Химические и ядерные реакции
  - 2.5.2 Центр момента количества движения
- 2.6 Угловой момент
- 2.7 Сила
- 2.8 Крутящий момент
- 2,9 Кинетическая энергия
- 2,10 Ньютоновский предел
3 См. Также
4 Ссылки
- 4.1 Примечания
- 4.2 Дополнительная литература

Релятивистская кинематика

Релятивистская четырехскорость, то есть четырехмерный вектор, представляющий скорость в теории относительности, определяется следующим образом:

U = d X d τ = (cdtd τ, dxd τ) {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathbf {U}}} = {\ frac {d {\ boldsymbol {\ mathbf {X}}}} {d \ tau}} = \ left ({\ frac {cdt} {d \ tau}}, {\ frac {d \ mathbf {x}} { d \ tau}} \ right)}

{\boldsymbol {\mathbf {U} }}={\frac {d{\boldsymbol {\mathbf {X} }}}{d\tau }}=\left({\frac {cdt}{d\tau }},{\frac {d\mathbf {x} }{d\tau }}\right)

В приведенном выше примере $τ {\ displaystyle {\ tau}}$ ${\tau }$ - это собственное время пути через зр acetime, называемый мировой линией, за которым следует скорость объекта, представленная выше, и

X = (ct, x) {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathbf {X}}} = (ct, \ mathbf {x})}

{\boldsymbol {\mathbf {X} }}=(ct,\mathbf {x})

- это четырехпозиционный ; координаты события . Из-за замедления времени правильное время - это время между двумя событиями в системе отсчета, где они происходят в одном месте. Собственное время связано с координатным временем t следующим образом:

d τ dt = 1 γ (v) {\ displaystyle {\ frac {d \ tau} {dt}} = {\ frac {1 } {\ gamma (\ mathbf {v})}}}

{\frac {d\tau }{dt}}={\frac {1}{\gamma (\mathbf {v})}}

где $γ (v) {\ displaystyle {\ gamma} (\ mathbf {v})}$ ${\gamma }(\mathbf {v})$ - Фактор Лоренца :

γ (v) = 1 1 - v ⋅ v / c 2 ⇌ γ (v) = 1 1 - (v / c) 2. {\ displaystyle \ gamma (\ mathbf {v}) = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} / c ^ {2}}}} \, \ rightleftharpoons \, \ gamma (v) = {\ frac {1} {\ sqrt {1- (v / c) ^ {2}}}}.}

\gamma (\mathbf {v})={\frac {1}{\sqrt {1-\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} /c^{2}}}}\,\rightleftharpoons \,\gamma (v)={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}.

(можно цитировать любую версию), поэтому следует:

U = γ (v) (c, v) {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathbf {U}}} = \ gamma (\ mathbf {v}) (c, \ mathbf {v})}

{\boldsymbol {\mathbf {U} }}=\gamma (\mathbf {v})(c,\mathbf {v})

первые три члена, за исключением множителя $γ (v) {\ displaystyle {\ gamma (\ mathbf {v})}}$ ${\gamma (\mathbf {v})}$ , представляют собой скорость, видимую наблюдателем в его собственной системе отсчета. $γ (v) {\ displaystyle {\ gamma (\ mathbf {v})}}$ ${\gamma (\mathbf {v})}$ определяется скоростью $v {\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\mathbf {v}$ между системой отсчета наблюдателя и кадром объекта, который является кадром, в котором измеряется его собственное время. Эта величина инвариантна относительно преобразования Лоренца, поэтому, чтобы проверить, что видит наблюдатель в другой системе отсчета, нужно просто умножить четырехвектор скорости на матрицу преобразования Лоренца между двумя системами отсчета.

Релятивистская динамика

Масса покоя и релятивистская масса

Масса объекта, измеренная в его собственной системе отсчета, называется его массой покоя или инвариантной массой и иногда пишется $m 0 {\ displaystyle m_ {0}}$ $m_{0}$ . Если объект движется со скоростью $v {\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\mathbf {v}$ в некоторой другой системе отсчета, величина $m = γ (v) m 0 {\ displaystyle m = \ gamma (\ mathbf {v}) m_ {0}}$ $m=\gamma (\mathbf {v })m_{0}$ часто называют «релятивистской массой» объекта в этом кадре. Некоторые авторы используют $m {\ displaystyle m}$ $m$ для обозначения массы покоя, но для ясности в этой статье будет следовать соглашению об использовании $m {\ displaystyle m}$ $m$ для релятивистской массы и $m 0 {\ displaystyle m_ {0}}$ $m_{0}$ для массы покоя.

Лев Окунь предположил, что концепция релятивистской массы "не имеет рационального обоснования сегодня "и больше не нужно учить. Другие физики, в том числе Вольфганг Риндлер и Т. Р. Сандин, утверждают, что эта концепция полезна. См. масса в специальной теории относительности для получения дополнительной информации об этом споре.

Частица с нулевой массой покоя называется безмассовой. Фотоны и гравитоны считаются безмассовыми, а нейтрино почти таковыми.

Релятивистская энергия и импульс

Есть несколько (эквивалентных) способов определения импульса и энергии в СТО. Один метод использует законы сохранения. Если эти законы должны оставаться в силе в СТО, они должны выполняться во всех возможных системах отсчета. Однако, если провести несколько простых мысленных экспериментов, используя ньютоновские определения импульса и энергии, можно увидеть, что эти величины не сохраняются в СТО. Можно спасти идею сохранения, сделав небольшие изменения в определениях, чтобы учесть релятивистские скорости. Именно эти новые определения принимаются за правильные для импульса и энергии в СИ.

четырехмерный импульс объекта прост, идентичен по форме классическому импульсу, но заменяет 3-вектора на 4-векторы:

P = m 0 U = ( E / c, p) {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathbf {P}}} = m_ {0} {\ boldsymbol {\ mathbf {U}}} = (E / c, \ mathbf {p})}

{\boldsymbol {\mathbf {P} }}=m_{0}{\boldsymbol {\mathbf {U} }}=(E/c,\mathbf {p})

Энергия и импульс объекта с инвариантной массой $m 0 {\ displaystyle m_ {0}}$ $m_{0}$ , движущегося с скоростью $v {\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\mathbf {v}$ по отношению к данной системе отсчета, соответственно, задаются как

E = γ (v) m 0 c 2 p = γ (v) m 0 v {\ displaystyle {\ начало {выровнено} E = \ gamma (\ mathbf {v}) m_ {0} c ^ {2} \\\ mathbf {p} = \ gamma (\ mathbf {v}) m_ {0} \ mathbf {v } \ end {align}}}

{\begin{aligned}E=\gamma (\mathbf {v})m_{0}c^{2}\\\mathbf {p} =\gamma (\mathbf {v})m_{0}\mathbf {v} \end{aligned}}

Коэффициент $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\gamma$ происходит из определения четырехскоростной скорости, описанного выше. Внешний вид $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\gamma$ можно указать альтернативным способом, который будет объяснен в следующем разделе.

Кинетическая энергия, $K {\ displaystyle K}$ $K$ , определяется как

K = (γ - 1) m 0 c 2 = E - m 0 c 2, {\ displaystyle K = (\ gamma -1) m_ {0} c ^ {2} = E-m_ {0} c ^ {2} \,,}

K=(\gamma -1)m_{0}c^{2}=E-m_{0}c^{2}\,,

, а скорость как функция кинетической энергии равна задается формулой

v = c 1 - (m 0 c 2 K + m 0 c 2) 2 = c K (K + 2 m 0 c 2) K + m 0 c 2 = c (E - m 0 c 2) (E + m 0 c 2) E = pc 2 E. {\ displaystyle v = c {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {m_ {0} c ^ {2}} {K + m_ {0} c ^ {2}}} \ right) ^ {2}) }} = {\ frac {c {\ sqrt {K (K + 2m_ {0} c ^ {2})}}} {K + m_ {0} c ^ {2}}} = {\ frac {c { \ sqrt {(E-m_ {0} c ^ {2}) (E + m_ {0} c ^ {2})}}} {E}} = {\ frac {pc ^ {2}} {E} } \,.}

v=c{\sqrt {1-\left({\frac {m_{0}c^{2}}{K+m_{0}c^{2}}}\right)^{2}}}={\frac {c{\sqrt {K(K+2m_{0}c^{2})}}}{K+m_{0}c^{2}}}={\frac {c{\sqrt {(E-m_{0}c^{2})(E+m_{0}c^{2})}}}{E}}={\frac {pc^{2}}{E}}\,.

Пространственный импульс можно записать как $p = mv {\ displaystyle \ mathbf {p} = m \ mathbf {v}}$ $\mathbf{p} = m \mathbf{v}$ , сохраняя форму из ньютоновской механики. с релятивистской массой, замененной ньютоновской массой. Однако эта замена не подходит для некоторых величин, включая силу и кинетическую энергию. Более того, релятивистская масса не инвариантна относительно преобразований Лоренца, а масса покоя инвариантна. По этой причине многие люди предпочитают использовать массу покоя и учитывать $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\gamma$ явно через 4-скоростное или координатное время.

Простое соотношение между энергией, импульсом и скоростью может быть получено из определений энергии и импульса путем умножения энергии на $v {\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\mathbf {v}$ , умножив импульс на $c 2 {\ displaystyle c ^ {2}}$ $c^{2}$ и отметив, что эти два выражения равны. Это дает

pc 2 = E v {\ displaystyle \ mathbf {p} c ^ {2} = E \ mathbf {v}}

\mathbf {p} c^{2}=E\mathbf {v}

$v {\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\mathbf {v}$ затем можно исключить, разделив это уравнение на $c {\ displaystyle c}$ $c$ и возведя в квадрат,

(pc) 2 = E 2 (v / c) 2 {\ displaystyle (pc) ^ {2} = E ^ {2} (v / c) ^ {2}}

(pc)^{2}=E^{2}(v/c)^{2}

деление определения энергии на $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\gamma$ и возведение в квадрат,

Е 2 (1 - (v / c) 2) = (m 0 c 2) 2 {\ displaystyle E ^ {2} \ left (1- (v / c) ^ {2} \ right) = \ left (m_ {0} c ^ {2} \ right) ^ {2}}

E^{2}\left(1-(v/c)^{2}\right)=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}

и подставив:

E 2 - (pc) 2 = (m 0 c 2) 2 {\ displaystyle E ^ {2} - ( pc) ^ {2} = \ left (m_ {0} c ^ {2} \ right) ^ {2}}

E^{2}-(pc)^{2}=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}

Это релятивистское соотношение энергии-импульса.

В то время как энергия $E {\ displaystyle E}$ $E$ и импульс $p {\ displaystyle \ mathbf {p}}$ $\mathbf {p}$ зависят от системы отсчета, в которой они измеряются, величина $E 2 - (pc) 2 {\ displaystyle E ^ {2} - (pc) ^ {2}}$ $E^{2}-(pc)^{2}$ является инвариантом. Его значение равно $- c 2 {\ displaystyle -c ^ {2}}$ $-c^{2}$ , умноженное на квадрат величины вектора 4-импульса.

Инвариантная масса системы может быть записана как

m 0 tot = E tot 2 - (p tot c) 2 c 2 {\ displaystyle {m_ {0}} _ {\ text {tot }} = {\ frac {\ sqrt {E _ {\ text {tot}} ^ {2} - (p _ {\ text {tot}} c) ^ {2}}} {c ^ {2}}}}

{m_{0}}_{\text{tot}}={\frac {\sqrt {E_{\text{tot}}^{2}-(p_{\text{tot}}c)^{2}}}{c^{2}}}

Из-за кинетической энергии и энергии связи эта величина отличается от суммы масс покоя частиц, из которых состоит система. Масса покоя не является постоянной величиной в специальной теории относительности, в отличие от ситуации в ньютоновской физике. Однако даже если объект изменяется внутри, до тех пор, пока он не обменивается энергией или импульсом со своим окружением, его масса покоя не изменится и может быть вычислена с тем же результатом в любой системе отсчета.

Эквивалентность массы и энергии

Релятивистское уравнение энергии-импульса справедливо для всех частиц, даже для безмассовых частиц, для которых m 0 = 0. В этом случае:

E = pc {\ displaystyle E = pc}

E=pc

При подстановке в Ev = cp это дает v = c: безмассовые частицы (такие как фотоны ) всегда перемещаются в скорость света.

Обратите внимание, что масса покоя составной системы, как правило, будет немного отличаться от суммы масс покоя ее частей, поскольку в ее системе покоя их кинетическая энергия увеличит ее массу и их (отрицательную) связь. энергия уменьшит его массу. В частности, гипотетический «ящик света» имел бы массу покоя, даже если бы он был сделан из частиц, которых нет, поскольку их импульсы сокращались бы.

Глядя на приведенную выше формулу для инвариантной массы системы, можно увидеть, что, когда одиночный массивный объект находится в состоянии покоя (v= 0, p= 0), остается ненулевая масса: m 0 = E / c. Соответствующая энергия, которая также является полной энергией, когда одна частица находится в состоянии покоя, называется «энергией покоя». В системах частиц, которые наблюдаются из движущейся инерциальной системы отсчета, полная энергия увеличивается, как и импульс. Однако для отдельных частиц масса покоя остается постоянной, а для систем частиц инвариантная масса остается постоянной, потому что в обоих случаях энергия и импульс увеличиваются, вычитаются друг из друга и сокращаются. Таким образом, инвариантная масса систем частиц является вычисляемой константой для всех наблюдателей, как и масса покоя отдельных частиц.

Масса систем и сохранение инвариантной массы

Для систем частиц уравнение энергии-импульса требует суммирования векторов импульса частиц:

E 2 - p ⋅ pc 2 знак равно m 0 2 c 4 {\ displaystyle E ^ {2} - \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {p} c ^ {2} = m_ {0} ^ {2} c ^ {4}}

E^{2}-\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}

Инерциальная система отсчета, в которой импульсы всех частиц равны нулю, называется системой центра импульсов. В этой специальной системе отсчета релятивистское уравнение энергии-импульса имеет p = 0 и, таким образом, дает инвариантную массу системы как просто полную энергию всех частей системы, деленную на c

m 0, система = ∑ N E n / c 2 {\ displaystyle m_ {0, \, {\ rm {system}}} = \ sum _ {n} E_ {n} / c ^ {2}}

m_{0,\,{\rm {system}}}=\sum _{n}E_{n}/c^{2}

Это - это инвариантная масса любой системы, которая измеряется в системе отсчета, в которой она имеет нулевой общий импульс, например, в баллоне с горячим газом на весах. В такой системе масса, которую взвешивают весы, является инвариантной массой, и она зависит от полной энергии системы. Таким образом, это больше, чем сумма масс покоя молекул, но также включает в себя все суммарные энергии в системе. Подобно энергии и импульсу, инвариантная масса изолированных систем не может быть изменена до тех пор, пока система остается полностью закрытой (не допускается вход или выход массы или энергии), потому что полная релятивистская энергия системы остается постоянной, пока ничто не может войти или выйти. Оставь это.

Увеличение энергии такой системы, вызванное переводом системы в инерциальную систему отсчета, которая не является системой отсчета количества движения, вызывает увеличение энергии и количества движения без увеличение инвариантной массы. E = m 0 c, однако, применяется только к изолированным системам в их системе отсчета центра импульса, где сумма импульса равна нулю.

Принимая эту формулу за чистую монету, мы видим, что в теории относительности масса - это просто энергия под другим именем (и измеряется в других единицах). В 1927 году Эйнштейн заметил о специальной теории относительности: «Согласно этой теории масса - это не неизменная величина, а величина, зависящая от (и, действительно, идентичная) количеству энергии».

Замкнутые (изолированные) системы

В «полностью замкнутой» системе (т.е. изолированной системе ) полная энергия, полный импульс и, следовательно, полная инвариантная масса сохраняются. Формула Эйнштейна для изменения массы переводится в ее простейшую форму ΔE = Δmc, однако только в незамкнутых системах, в которых энергия может уходить (например, в виде тепла и света), и, таким образом, инвариантная масса уменьшается. Уравнение Эйнштейна показывает, что такие системы должны терять массу в соответствии с приведенной выше формулой пропорционально энергии, которую они теряют в окружающую среду. И наоборот, если можно измерить разницу в массе между системой до того, как она подвергнется реакции, которая высвобождает тепло и свет, и системой после реакции, когда тепло и свет ушли, можно оценить количество энергии, которая ускользает из системы.

Химические и ядерные реакции

И в ядерных, и в химических реакциях такая энергия представляет собой разницу в энергиях связи электронов в атомах (для химии) или между нуклонами в ядрах (в атомных реакциях). В обоих случаях разность масс между реагентами и (охлажденными) продуктами измеряет массу тепла и света, которые ускользают от реакции, и, таким образом (используя уравнение), дают эквивалентную энергию тепла и света, которая может выделяться, если реакция продолжается..

В химии разница масс, связанная с излучаемой энергией, составляет около 10 молекулярной массы. Однако в ядерных реакциях энергии настолько велики, что они связаны с разницей масс, которую можно оценить заранее, если продукты и реагенты были взвешены (атомы могут быть взвешены косвенно, используя атомные массы, которые всегда одинаковы для каждый нуклид ). Таким образом, формула Эйнштейна становится важной при измерении масс различных атомных ядер. Глядя на разницу масс, можно предсказать, какие ядра имеют запасенную энергию, которая может быть высвобождена в определенных ядерных реакциях, что дает важную информацию, которая была полезна для развития ядерной энергетики и, следовательно, ядерная бомба. Исторически, например, Лиз Мейтнер могла использовать разницу масс ядер, чтобы оценить, что было достаточно энергии, чтобы сделать ядерное деление благоприятным процессом. Таким образом, последствия этой особой формы формулы Эйнштейна сделали ее одним из самых известных уравнений во всей науке.

Система отсчета центра импульса

Уравнение E = m 0 c применяется только к изолированным системам в их системе отсчета центра импульса. Обычно это неправильно понимается как означающее, что масса может быть преобразована в энергию, после чего масса исчезает. Однако популярные объяснения уравнения применительно к системам включают открытые (неизолированные) системы, в которых теплу и свету позволено улетучиваться, хотя в противном случае они бы внесли свой вклад в массу (инвариантная масса ) система.

Исторически сложилось так, что путанице с "преобразованием" массы в энергию способствовала путаница между массой и "материей ", где материя определяется как частицы фермиона. В таком определении электромагнитное излучение и кинетическая энергия (или тепло) не считаются «материей». В некоторых ситуациях материя действительно может быть преобразована в нематериальные формы энергии (см. Выше), но во всех этих ситуациях материальные и нематериальные формы энергии все еще сохраняют свою первоначальную массу.

Для изолированных систем (закрытых для любого обмена массой и энергией) масса никогда не исчезает в системе координат центра импульса, потому что энергия не может исчезнуть. Вместо этого это уравнение в контексте означает только то, что когда какая-либо энергия добавляется к системе или ускользает из нее в системе отсчета центра импульса, система будет измеряться как набравшая или потерявшая массу пропорционально добавленной энергии. или удалено. Таким образом, теоретически, если атомную бомбу поместить в ящик, достаточно прочный, чтобы выдержать ее взрыв, и взорвать ее на весах, масса этой замкнутой системы не изменится, и весы не будут двигаться. Только когда в сверхсильном заполненном плазмой ящике открывается прозрачное «окно», свет и тепло могут выходить в виде пучка, а компоненты бомбы охлаждаться, система теряет массу, связанную с энергией взрыв. В бомбе мощностью 21 килотонн, например, создается около грамма света и тепла. Если бы этому теплу и свету дать уйти, остатки бомбы потеряли бы грамм массы при охлаждении. В этом мысленном эксперименте свет и тепло уносят грамм массы и, следовательно, откладывают этот грамм массы на поглощающие их объекты.

Угловой момент

В релятивистской механике изменяющийся во времени момент массы

N = m (x - tv) {\ displaystyle \ mathbf {N} = m \ left (\ mathbf {x} -t \ mathbf {v} \ right)}

\mathbf {N} =m\left(\mathbf {x} -t\mathbf {v} \right)

и орбитальный трёхмерный угловой момент

L = x × p {\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {x} \ times \ mathbf {p}}

\mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {p}

точечной частицы объединены в четырехмерную мерный бивектор в терминах 4-положения X и 4-импульса P частицы:

M = X ∧ P {\ displaystyle \ mathbf {M} = \ mathbf {X} \ wedge \ mathbf {P}}

\mathbf {M} =\mathbf {X} \wedge \mathbf {P}

где ∧ обозначает внешний продукт. Этот тензор является аддитивным: полный угловой момент системы представляет собой сумму тензоров углового момента для каждой составляющей системы. Итак, для сборки дискретных частиц суммируются тензоры углового момента по частицам или интегрируется плотность углового момента по степени непрерывного распределения массы.

Каждый из шести компонентов образует сохраняемую величину при агрегировании с соответствующими компонентами для других объектов и полей.

Сила

В специальной теории относительности второй закон Ньютона не выполняется в форме F = m a, но это происходит, если он выражен как

F = dpdt {\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}}}

\mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}

где p = γ (v)m0v- это импульс, как определено выше, а m 0 - инвариантная масса. Таким образом, сила определяется как

F = γ (v) 3 m 0 a ∥ + γ (v) м 0 a ⊥ {\ displaystyle \ mathbf {F} = \ gamma (\ mathbf {v}) ^ {3} m_ {0} \, \ mathbf {a} _ {\ parallel} + \ gamma (\ mathbf {v}) m_ {0} \, \ mathbf {a} _ {\ perp}}

\mathbf {F} =\gamma (\mathbf {v})^{3}m_{0}\,\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma (\mathbf {v})m_{0}\,\mathbf {a} _{\perp }

Вывод
Начиная с $F = m 0 d (γ (v) v) dt знак равно м 0 (d γ (v) dtv + γ (v) dvdt), {\ displaystyle \ mathbf {F} = m_ {0} {\ frac {d (\ gamma (\ mathbf {v}) \, \ mathbf {v})} {dt}} = m_ {0} \ left ({\ frac {d \ gamma (\ mathbf {v})} {dt}} \, \ mathbf {v} + \ gamma (\ mathbf {v}) {\ frac {d \ mathbf {v}} {dt}} \ right).}$ $\mathbf {F} =m_{0}{\frac {d(\gamma (\mathbf {v})\,\mathbf {v})}{dt}}=m_{0}\left({\frac {d\gamma (\mathbf {v})}{dt}}\,\mathbf {v} +\gamma (\mathbf {v}){\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\right).$ Вычисление производных дает $F = γ (v) 3 m 0 c 2 (v ⋅ a) v + γ (v) м 0 a, {\ Displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {\ gamma (\ mathbf {v}) ^ {3} m_ {0}} {c ^ {2}}} \ left (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a} \ справа) \, \ mathbf {v} + \ gamma (\ mathbf {v}) m_ {0} \, \ mathbf {a}.}$ $\mathbf {F} ={\frac {\gamma (\mathbf {v})^{3}m_{0}}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} \right)\,\mathbf {v} +\gamma (\mathbf {v})m_{0}\,\mathbf {a}.$ Если ускорение разделено на часть, параллельная скорости (a∥) и часть, перпендикулярная ему (a⊥), так что: $a = a ∥ + a ⊥, v ⋅ a ⊥ = 0, v ⋅ a = v ⋅ a ∥, {\ displaystyle \ mathbf {a} = \ mathbf {a} _ {\ parallel} + \ mathbf {a} _ {\ perp} \,, \ quad \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a} _ {\ perp} = 0 \,, \ quad \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a} = \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a} _ {\ parallel} \,,}$ $\mathbf {a} =\mathbf {a} _{\parallel }+\mathbf {a} _{\perp }\,,\quad \mathbf {v} \cdot \mathbf {a} _{\perp }=0\,,\quad \mathbf {v} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} _{\parallel }\,,$ получается $F = γ (v) 3 m 0 c 2 (v ⋅ a ∥) v + γ (v) m 0 (a ⊥ + a). {\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {\ gamma (\ mathbf {v}) ^ {3} m_ {0}} {c ^ {2}}} \ left (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a} _ {\ parallel} \ right) \, \ mathbf {v} + \ gamma (\ mathbf {v}) m_ {0} \, (\ mathbf {a} _ {\ perp} + \ mathbf { a} _ {\ parallel}) \,.}$ $\mathbf {F} ={\frac {\gamma (\mathbf {v})^{3}m_{0}}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} _{\parallel }\right)\,\mathbf {v} +\gamma (\mathbf {v})m_{0}\,(\mathbf {a} _{\perp }+\mathbf {a} _{\parallel })\,.$ По построению a∥и v параллельны, поэтому (v·a∥)v- вектор с величиной va ∥ в направление v (и, следовательно, a∥), которое позволяет замену: $(v ⋅ a ∥) v = v 2 a ∥ {\ displaystyle (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a} _ {\ parallel}) \ mathbf {v} = v ^ {2} \ mathbf {a} _ {\ parallel}}$ $(\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} _{\parallel })\mathbf {v} =v^{2}\mathbf {a} _{\parallel }$ , затем $F = γ (v) 3 m 0 v 2 c 2 a ∥ + γ (v) m 0 (a ∥ + a ⊥) = γ (v) 3 m 0 (v 2 c 2 + 1 γ (v) 2) a + γ (v) m 0 a ⊥ = γ (v) 3 m 0 (v 2 c 2 + 1 - v 2 c 2) a ∥ + γ (v) m 0 a ⊥ = γ (v) 3 m 0 a ∥ + γ (v) m 0 a ⊥ {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {F} = {\ frac {\ gamma (\ mathbf {v}) ^ {3} m_ {0} v ^ {2}} {c ^ {2}} } \, \ mathbf {a} _ {\ parallel} + \ gamma (\ mathbf {v}) m_ {0} \, (\ mathbf {a} _ {\ parallel} + \ mathbf {a} _ {\ perp }) \\ = \ gamma (\ ma thbf {v}) ^ {3} m_ {0} \ left ({\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} + {\ frac {1} {\ gamma (\ mathbf {v})) ^ {2}}} \ right) \ mathbf {a} _ {\ parallel} + \ gamma (\ mathbf {v}) m_ {0} \, \ mathbf {a} _ {\ perp} \\ = \ gamma (\ mathbf {v}) ^ {3} m_ {0} \ left ({\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} + 1 - {\ frac {v ^ {2}) } {c ^ {2}}} \ right) \ mathbf {a} _ {\ parallel} + \ gamma (\ mathbf {v}) m_ {0} \, \ mathbf {a} _ {\ perp} \\ = \ gamma (\ mathbf {v}) ^ {3} m_ {0} \, \ mathbf {a} _ {\ parallel} + \ gamma (\ mathbf {v}) m_ {0} \, \ mathbf { a} _ {\ perp} \ end {align}} \,}$ ${\begin{aligned}\mathbf {F} ={\frac {\gamma (\mathbf {v})^{3}m_{0}v^{2}}{c^{2}}}\,\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma (\mathbf {v})m_{0}\,(\mathbf {a} _{\parallel }+\mathbf {a} _{\perp })\\=\gamma (\mathbf {v})^{3}m_{0}\left({\frac {v^{2}}{c^{2}}}+{\frac {1}{\gamma (\mathbf {v})^{2}}}\right)\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma (\mathbf {v})m_{0}\,\mathbf {a} _{\perp }\\=\gamma (\mathbf {v})^{3}m_{0}\left({\frac {v^{2}}{c^{2}}}+1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma (\mathbf {v})m_{0}\,\mathbf {a} _{\perp }\\=\gamma (\mathbf {v})^{3}m_{0}\,\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma (\mathbf {v})m_{0}\,\mathbf {a} _{\perp }\end{aligned}}\,$

Вывод

Начиная с

F = m 0 d (γ (v) v) dt знак равно м 0 (d γ (v) dtv + γ (v) dvdt), {\ displaystyle \ mathbf {F} = m_ {0} {\ frac {d (\ gamma (\ mathbf {v}) \, \ mathbf {v})} {dt}} = m_ {0} \ left ({\ frac {d \ gamma (\ mathbf {v})} {dt}} \, \ mathbf {v} + \ gamma (\ mathbf {v}) {\ frac {d \ mathbf {v}} {dt}} \ right).}

\mathbf {F} =m_{0}{\frac {d(\gamma (\mathbf {v})\,\mathbf {v})}{dt}}=m_{0}\left({\frac {d\gamma (\mathbf {v})}{dt}}\,\mathbf {v} +\gamma (\mathbf {v}){\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\right).

Вычисление производных дает

F = γ (v) 3 m 0 c 2 (v ⋅ a) v + γ (v) м 0 a, {\ Displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {\ gamma (\ mathbf {v}) ^ {3} m_ {0}} {c ^ {2}}} \ left (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a} \ справа) \, \ mathbf {v} + \ gamma (\ mathbf {v}) m_ {0} \, \ mathbf {a}.}

\mathbf {F} ={\frac {\gamma (\mathbf {v})^{3}m_{0}}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} \right)\,\mathbf {v} +\gamma (\mathbf {v})m_{0}\,\mathbf {a}.

Если ускорение разделено на часть, параллельная скорости (a∥) и часть, перпендикулярная ему (a⊥), так что:

a = a ∥ + a ⊥, v ⋅ a ⊥ = 0, v ⋅ a = v ⋅ a ∥, {\ displaystyle \ mathbf {a} = \ mathbf {a} _ {\ parallel} + \ mathbf {a} _ {\ perp} \,, \ quad \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a} _ {\ perp} = 0 \,, \ quad \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a} = \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a} _ {\ parallel} \,,}

\mathbf {a} =\mathbf {a} _{\parallel }+\mathbf {a} _{\perp }\,,\quad \mathbf {v} \cdot \mathbf {a} _{\perp }=0\,,\quad \mathbf {v} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} _{\parallel }\,,

получается

F = γ (v) 3 m 0 c 2 (v ⋅ a ∥) v + γ (v) m 0 (a ⊥ + a). {\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {\ gamma (\ mathbf {v}) ^ {3} m_ {0}} {c ^ {2}}} \ left (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a} _ {\ parallel} \ right) \, \ mathbf {v} + \ gamma (\ mathbf {v}) m_ {0} \, (\ mathbf {a} _ {\ perp} + \ mathbf { a} _ {\ parallel}) \,.}

\mathbf {F} ={\frac {\gamma (\mathbf {v})^{3}m_{0}}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} _{\parallel }\right)\,\mathbf {v} +\gamma (\mathbf {v})m_{0}\,(\mathbf {a} _{\perp }+\mathbf {a} _{\parallel })\,.

По построению a∥и v параллельны, поэтому (v·a∥)v- вектор с величиной va ∥ в направление v (и, следовательно, a∥), которое позволяет замену:

(v ⋅ a ∥) v = v 2 a ∥ {\ displaystyle (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a} _ {\ parallel}) \ mathbf {v} = v ^ {2} \ mathbf {a} _ {\ parallel}}

(\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} _{\parallel })\mathbf {v} =v^{2}\mathbf {a} _{\parallel }

, затем

F = γ (v) 3 m 0 v 2 c 2 a ∥ + γ (v) m 0 (a ∥ + a ⊥) = γ (v) 3 m 0 (v 2 c 2 + 1 γ (v) 2) a + γ (v) m 0 a ⊥ = γ (v) 3 m 0 (v 2 c 2 + 1 - v 2 c 2) a ∥ + γ (v) m 0 a ⊥ = γ (v) 3 m 0 a ∥ + γ (v) m 0 a ⊥ {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {F} = {\ frac {\ gamma (\ mathbf {v}) ^ {3} m_ {0} v ^ {2}} {c ^ {2}} } \, \ mathbf {a} _ {\ parallel} + \ gamma (\ mathbf {v}) m_ {0} \, (\ mathbf {a} _ {\ parallel} + \ mathbf {a} _ {\ perp }) \\ = \ gamma (\ ma thbf {v}) ^ {3} m_ {0} \ left ({\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} + {\ frac {1} {\ gamma (\ mathbf {v})) ^ {2}}} \ right) \ mathbf {a} _ {\ parallel} + \ gamma (\ mathbf {v}) m_ {0} \, \ mathbf {a} _ {\ perp} \\ = \ gamma (\ mathbf {v}) ^ {3} m_ {0} \ left ({\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} + 1 - {\ frac {v ^ {2}) } {c ^ {2}}} \ right) \ mathbf {a} _ {\ parallel} + \ gamma (\ mathbf {v}) m_ {0} \, \ mathbf {a} _ {\ perp} \\ = \ gamma (\ mathbf {v}) ^ {3} m_ {0} \, \ mathbf {a} _ {\ parallel} + \ gamma (\ mathbf {v}) m_ {0} \, \ mathbf { a} _ {\ perp} \ end {align}} \,}

{\begin{aligned}\mathbf {F} ={\frac {\gamma (\mathbf {v})^{3}m_{0}v^{2}}{c^{2}}}\,\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma (\mathbf {v})m_{0}\,(\mathbf {a} _{\parallel }+\mathbf {a} _{\perp })\\=\gamma (\mathbf {v})^{3}m_{0}\left({\frac {v^{2}}{c^{2}}}+{\frac {1}{\gamma (\mathbf {v})^{2}}}\right)\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma (\mathbf {v})m_{0}\,\mathbf {a} _{\perp }\\=\gamma (\mathbf {v})^{3}m_{0}\left({\frac {v^{2}}{c^{2}}}+1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma (\mathbf {v})m_{0}\,\mathbf {a} _{\perp }\\=\gamma (\mathbf {v})^{3}m_{0}\,\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma (\mathbf {v})m_{0}\,\mathbf {a} _{\perp }\end{aligned}}\,

Следовательно, в некоторых старых текстах γ (v)m0упоминается как продольная масса, а γ (v)m0обозначается как поперечная масса, которая численно совпадает с релятивистской массой . См. масса в специальной теории относительности..

Если инвертировать это, чтобы вычислить ускорение от силы, мы получим

a = 1 m 0 γ (v) (F - (v ⋅ F) v c 2). {\ displaystyle \ mathbf {a} = {\ frac {1} {m_ {0} \ gamma (\ mathbf {v})}} \ left (\ mathbf {F} - {\ frac {(\ mathbf {v}) \ cdot \ mathbf {F}) \ mathbf {v}} {c ^ {2}}} \ right) \,.}

\mathbf {a} ={\frac {1}{m_{0}\gamma (\mathbf {v})}}\left(\mathbf {F} -{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {F})\mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\,.

Сила, описанная в этом разделе, является классической трехмерной силой, которая не является четырехвекторный. Эта трехмерная сила является подходящим понятием силы, поскольку это сила, которая подчиняется третьему закону движения Ньютона. Его не следует путать с так называемой четырехсиловой, которая представляет собой просто трехмерную силу в сопутствующей рамке объекта, преобразованной, как если бы он был четырехвекторным. Однако плотность трехмерной силы (линейный момент, передаваемый на единицу четырехмерного объема ) представляет собой четырехвектор (плотность веса +1) в сочетании с отрицательным значением плотность передаваемой мощности.

Крутящий момент

Крутящий момент, действующий на точечную частицу, определяется как производная тензора углового момента, указанного выше, по собственному времени:

Γ = d M d τ = Икс ∧ F {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Gamma}} = {\ frac {d \ mathbf {M}} {d \ tau}} = \ mathbf {X} \ wedge \ mathbf {F}}

{\boldsymbol {\Gamma }}={\frac {d\mathbf {M} }{d\tau }}=\mathbf {X} \wedge \mathbf {F}

или в компонентах тензора:

Γ α β = Икс α F β - Икс β F α {\ Displaystyle \ Gamma _ {\ alpha \ beta} = X _ {\ alpha} F _ {\ beta} -X _ {\ beta} F_ {\ alpha}}

\Gamma _{\alpha \beta }=X_{\alpha }F_{\beta }-X_{\beta }F_{\alpha }

где F - это 4d сила, действующая на частицу в событии X . Как и в случае с угловым моментом, крутящий момент является аддитивным, поэтому для протяженного объекта можно суммировать или интегрировать распределение массы.

Кинетическая энергия

В теореме об энергии работы говорится, что изменение кинетической энергии равно работе, совершаемой над телом. В специальной теории относительности:

Δ K = W = [γ 1 - γ 0] m 0 c 2. {\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta K = W = [\ gamma _ {1} - \ gamma _ {0}] m_ {0} c ^ {2}. \ end {align}}}

{\begin{aligned}\Delta K=W=[\gamma _{1}-\gamma _{0}]m_{0}c^{2}.\end{aligned}}

Вывод
$Δ K = W = ∫ x 0 x 1 F ⋅ dx = ∫ t 0 t 1 ddt (γ m 0 v) ⋅ vdt = γ m 0 v ⋅ v \| t 0 t 1 - ∫ t 0 t 1 γ m 0 v ⋅ d v d t d t = γ m 0 v 2 \| t 0 t 1 - м 0 ∫ v 0 v 1 γ vdv = m 0 (γ v 2 \| t 0 t 1 - c 2 ∫ v 0 v 1 2 v / c 2 2 1 - v 2 / c 2 dv) = m 0 (v 2 1 - v 2 / c 2 + c 2 1 - v 2 / c 2) \| t 0 t 1 = m 0 c 2 1 - v 2 / c 2 \| t 0 t 1 = γ m 0 c 2 \| т 0 т 1 знак равно γ 1 м 0 с 2 - γ 0 м 0 с 2. {\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta K = W = \ int _ {\ mathbf {x} _ {0}} ^ {\ mathbf {x} _ {1}} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} \\ = \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} {\ frac {d} {dt}} (\ gamma m_ {0} \ mathbf {v}) \ cdot \ mathbf {v} dt \\ = \ left. \ gamma m_ {0} \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} \ right \| _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} - \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \ gamma m_ {0} \ mathbf {v} \ cdot {\ frac {d \ mathbf {v}} {dt}} dt \\ = \ left. \ gamma m_ {0} v ^ {2} \ right \| _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} - m_ {0} \ int _ {v_ {0}} ^ {v_ {1}} \ гамма v \, dv \\ = m_ {0} \ left (\ left. \ gamma v ^ {2} \ right \| _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} - c ^ {2} \ int _ {v_ {0}} ^ {v_ {1}} {\ frac {2v / c ^ {2}} {2 {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}}} \, dv \ right) \\ = \ left.m_ {0} \ left ({\ frac {v ^ {2}} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}} + c ^ {2} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}} \ right) \ right \| _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \\ = \ left. {\ frac {m_ {0} c ^ {2}} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}} \ right \| _ {t_ {0}} ^ {t_ { 1}} \\ = \ left. {\ Gamma m_ {0} c ^ {2}} \ right \| _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \\ = \ gamma _ {1} m_ {0} c ^ {2} - \ gamma _ {0} m_ {0} c ^ {2}. \ end {align}}}$ ${\begin{aligned}\Delta K=W=\int _{\mathbf {x} _{0}}^{\mathbf {x} _{1}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} \\=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {d}{dt}}(\gamma m_{0}\mathbf {v})\cdot \mathbf {v} dt\\=\left.\gamma m_{0}\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} \right\|_{t_{0}}^{t_{1}}-\int _{t_{0}}^{t_{1}}\gamma m_{0}\mathbf {v} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}dt\\=\left.\gamma m_{0}v^{2}\right\|_{t_{0}}^{t_{1}}-m_{0}\int _{v_{0}}^{v_{1}}\gamma v\,dv\\=m_{0}\left(\left.\gamma v^{2}\right\|_{t_{0}}^{t_{1}}-c^{2}\int _{v_{0}}^{v_{1}}{\frac {2v/c^{2}}{2{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}\,dv\right)\\=\left.m_{0}\left({\frac {v^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+c^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}\right)\right\|_{t_{0}}^{t_{1}}\\=\left.{\frac {m_{0}c^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\right\|_{t_{0}}^{t_{1}}\\=\left.{\gamma m_{0}c^{2}}\right\|_{t_{0}}^{t_{1}}\\=\gamma _{1}m_{0}c^{2}-\gamma _{0}m_{0}c^{2}.\end{aligned}}$

Вывод

Δ K = W = ∫ x 0 x 1 F ⋅ dx = ∫ t 0 t 1 ddt (γ m 0 v) ⋅ vdt = γ m 0 v ⋅ v | t 0 t 1 - ∫ t 0 t 1 γ m 0 v ⋅ d v d t d t = γ m 0 v 2 | t 0 t 1 - м 0 ∫ v 0 v 1 γ vdv = m 0 (γ v 2 | t 0 t 1 - c 2 ∫ v 0 v 1 2 v / c 2 2 1 - v 2 / c 2 dv) = m 0 (v 2 1 - v 2 / c 2 + c 2 1 - v 2 / c 2) | t 0 t 1 = m 0 c 2 1 - v 2 / c 2 | t 0 t 1 = γ m 0 c 2 | т 0 т 1 знак равно γ 1 м 0 с 2 - γ 0 м 0 с 2. {\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta K = W = \ int _ {\ mathbf {x} _ {0}} ^ {\ mathbf {x} _ {1}} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} \\ = \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} {\ frac {d} {dt}} (\ gamma m_ {0} \ mathbf {v}) \ cdot \ mathbf {v} dt \\ = \ left. \ gamma m_ {0} \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} \ right | _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} - \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \ gamma m_ {0} \ mathbf {v} \ cdot {\ frac {d \ mathbf {v}} {dt}} dt \\ = \ left. \ gamma m_ {0} v ^ {2} \ right | _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} - m_ {0} \ int _ {v_ {0}} ^ {v_ {1}} \ гамма v \, dv \\ = m_ {0} \ left (\ left. \ gamma v ^ {2} \ right | _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} - c ^ {2} \ int _ {v_ {0}} ^ {v_ {1}} {\ frac {2v / c ^ {2}} {2 {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}}} \, dv \ right) \\ = \ left.m_ {0} \ left ({\ frac {v ^ {2}} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}} + c ^ {2} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}} \ right) \ right | _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \\ = \ left. {\ frac {m_ {0} c ^ {2}} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}} \ right | _ {t_ {0}} ^ {t_ { 1}} \\ = \ left. {\ Gamma m_ {0} c ^ {2}} \ right | _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \\ = \ gamma _ {1} m_ {0} c ^ {2} - \ gamma _ {0} m_ {0} c ^ {2}. \ end {align}}}

{\begin{aligned}\Delta K=W=\int _{\mathbf {x} _{0}}^{\mathbf {x} _{1}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} \\=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {d}{dt}}(\gamma m_{0}\mathbf {v})\cdot \mathbf {v} dt\\=\left.\gamma m_{0}\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} \right|_{t_{0}}^{t_{1}}-\int _{t_{0}}^{t_{1}}\gamma m_{0}\mathbf {v} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}dt\\=\left.\gamma m_{0}v^{2}\right|_{t_{0}}^{t_{1}}-m_{0}\int _{v_{0}}^{v_{1}}\gamma v\,dv\\=m_{0}\left(\left.\gamma v^{2}\right|_{t_{0}}^{t_{1}}-c^{2}\int _{v_{0}}^{v_{1}}{\frac {2v/c^{2}}{2{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}\,dv\right)\\=\left.m_{0}\left({\frac {v^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+c^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}\right)\right|_{t_{0}}^{t_{1}}\\=\left.{\frac {m_{0}c^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\right|_{t_{0}}^{t_{1}}\\=\left.{\gamma m_{0}c^{2}}\right|_{t_{0}}^{t_{1}}\\=\gamma _{1}m_{0}c^{2}-\gamma _{0}m_{0}c^{2}.\end{aligned}}

Если в исходном состоянии тело было в состоянии покоя, поэтому v 0 = 0 и γ 0(v0) = 1, а в конечном s если он имеет скорость v 1 = v, установив γ 1(v1) = γ (v), кинетическая энергия будет равна;

К = [γ (v) - 1] m 0 c 2, {\ displaystyle K = [\ gamma (v) -1] m_ {0} c ^ {2} \,,}

K=[\gamma (v)-1]m_{0}c^{2}\,,

результат что может быть непосредственно получено путем вычитания энергии покоя m 0 c из полной релятивистской энергии γ (v) m 0 c.

Ньютоновский предел

Фактор Лоренца γ (v) может быть разложен на ряд Тейлора или биномиальный ряд для (v / c) < 1, obtaining:

γ = 1 1 - (v / c) 2 = ∑ n = 0 ∞ (vc) 2 n ∏ k = 1 n (2 k - 1 2 k) = 1 + 1 2 (vc) 2 + 3 8 ( vc) 4 + 5 16 (vc) 6 + ⋯ {\ displaystyle \ gamma = {\ dfrac {1} {\ sqrt {1- (v / c) ^ {2}}}} = \ sum _ {n = 0 } ^ {\ infty} \ left ({\ dfrac {v} {c}} \ right) ^ {2n} \ prod _ {k = 1} ^ {n} \ left ({\ dfrac {2k-1} { 2k}} \ right) = 1 + {\ dfrac {1} {2}} \ left ({\ dfrac {v} {c}} \ right) ^ {2} + {\ dfrac {3} {8}} \ left ({\ dfrac {v} {c}} \ right) ^ {4} + {\ dfrac {5} {16}} \ left ({\ dfrac {v} {c}} \ right) ^ {6 } + \ cdots}

\gamma ={\dfrac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2n}\prod _{k=1}^{n}\left({\dfrac {2k-1}{2k}}\right)=1+{\dfrac {1}{2}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2}+{\dfrac {3}{8}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{4}+{\dfrac {5}{16}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{6}+\cdots

и, следовательно,

E - m 0 c 2 = 1 2 m 0 v 2 + 3 8 m 0 v 4 c 2 + 5 16 m 0 v 6 c 4 + ⋯; {\ displaystyle E-m_ {0} c ^ {2} = {\ frac {1} {2}} m_ {0} v ^ {2} + {\ frac {3} {8}} {\ frac {m_ {0} v ^ {4}} {c ^ {2}}} + {\ frac {5} {16}} {\ frac {m_ {0} v ^ {6}} {c ^ {4}}} + \ cdots;}

E-m_{0}c^{2}={\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}+{\frac {3}{8}}{\frac {m_{0}v^{4}}{c^{2}}}+{\frac {5}{16}}{\frac {m_{0}v^{6}}{c^{4}}}+\cdots ;

p = m 0 v + 1 2 m 0 v 2 vc 2 + 3 8 m 0 v 4 vc 4 + 5 16 m 0 v 6 vc 6 + ⋯. {\ displaystyle \ mathbf {p} = m_ {0} \ mathbf {v} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {m_ {0} v ^ {2} \ mathbf {v}} {c ^ {2}}} + {\ frac {3} {8}} {\ frac {m_ {0} v ^ {4} \ mathbf {v}} {c ^ {4}}} + {\ frac {5 } {16}} {\ frac {m_ {0} v ^ {6} \ mathbf {v}} {c ^ {6}}} + \ cdots.}

\mathbf {p} =m_{0}\mathbf {v} +{\frac {1}{2}}{\frac {m_{0}v^{2}\mathbf {v} }{c^{2}}}+{\frac {3}{8}}{\frac {m_{0}v^{4}\mathbf {v} }{c^{4}}}+{\frac {5}{16}}{\frac {m_{0}v^{6}\mathbf {v} }{c^{6}}}+\cdots.

Для скоростей, намного меньших, чем скорость света, одна можно пренебречь членами с и выше в знаменателе. Эти формулы затем сводятся к стандартным определениям ньютоновской кинетической энергии и импульса. Так и должно быть, поскольку специальная теория относительности должна согласовываться с ньютоновской механикой при малых скоростях.

См. Также

References

Notes

C. Chryssomalakos; H. Hernandez-Coronado; E. Okon (2009). "Center of mass in special and general relativity and its role in an effective description of spacetime". J. Phys. Конф. Сер. Мексика. 174(1): 012026. arXiv :0901.3349. Bibcode :2009JPhCS.174a2026C. doi :10.1088/1742-6596/174/1/012026.