Релятивистская теплопроводность

редактировать

Моделирование теплопроводности и подобных процессов диффузии способом, совместимым со специальной теорией относительности.

Релятивистским теплопроводность относится к моделированию теплопроводности (и аналогичных процессов диффузии ) способом, совместимым с специальной теорией относительности. В этой статье обсуждаются модели, использующие волновое уравнение с диссипативным членом.

Теплопроводность в ньютоновском контексте моделируется уравнением Фурье :

∂ θ ∂ t = α ∇ 2 θ, {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ theta} {\ partial t }} ~ = ~ \ alpha ~ \ nabla ^ {2} \ theta,}

{\ frac {\ partial \ theta} {\ partial t}} ~ = ~ \ alpha ~ \ nabla ^ {2} \ theta,

где θ - температура, t - время, α = k / (ρ c) - коэффициент температуропроводности, k - теплопроводность, ρ - плотность, а c - удельная теплоемкость. Оператор Лапласа, $∇ 2 {\ displaystyle \ scriptstyle \ nabla ^ {2}}$ $\ scriptstyle \ nabla ^ {2}$ , определяется в декартовых координатах как

∇ 2 знак равно ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2. {\ Displaystyle \ nabla ^ {2} ~ = ~ {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} ~ + ~ {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial y ^ {2}}} ~ + ~ {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z ^ {2}}}.}

\ nabla ^ {2} ~ = ~ {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} ~ + ~ {\ frac {\ partial ^ {2} } {\ partial y ^ {2}}} ~ + ~ {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z ^ {2}}}.

Это уравнение Фурье может быть получено путем замены линейной аппроксимации Фурье теплопроводности вектор потока, q, как функция градиента температуры,

q = - k ∇ θ, {\ displaystyle \ mathbf {q} ~ = ~ -k ~ \ nabla \ theta,}

{\ mathbf {q}} ~ = ~ -k ~ \ nabla \ theta,

в первый закон термодинамики

ρ c ∂ θ ∂ t + ∇ ⋅ q = 0, {\ displaystyle \ rho ~ c ~ {\ frac {\ partial \ theta} {\ partial t}} ~ + ~ \ nabla \ cdot \ mathbf {q} ~ = ~ 0,}

\ rho ~ c ~ {\ frac {\ partial \ theta} { \ partial t}} ~ + ~ \ nabla \ cdot {\ mathbf {q}} ~ = ~ 0,

где оператор del, ∇, определен в 3D как

∇ = ∂ ∂ xi + ∂ ∂ yj + ∂ ∂ zk. {\ displaystyle \ nabla ~ = ~ {\ frac {\ partial} {\ partial x}} ~ \ mathbf {i} ~ + ~ {\ frac {\ partial} {\ partial y}} ~ \ mathbf {j} ~ + ~ {\ frac {\ partial} {\ partial z}} ~ \ mathbf {k}.}

\ nabla ~ = ~ {\ frac {\ partial} {\ partial x}} ~ {\ mathbf {i}} ~ + ~ {\ frac {\ partial} {\ partial y}} ~ {\ mathbf {j}} ~ + ~ {\ frac {\ partial} {\ partial z}} ~ {\ mathbf {k}}.

Можно показать, что это определение вектора теплового потока также удовлетворяет второму закону термодинамики,

∇ ⋅ (q θ) + ρ ∂ s ∂ T знак равно σ, {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ left ({\ frac {\ mathbf {q}} {\ theta}} \ right) ~ + ~ \ rho ~ {\ frac {\ partial s} {\ partial t}} ~ = ~ \ sigma,}

\ nabla \ cdot \ left ({\ frac {{\ mathbf {q}}} {\ theta}} \ right) ~ + ~ \ rho ~ {\ frac {\ partial s} {\ partial t}} ~ = ~ \ sigma,

где s - удельная энтропия, а σ - производство энтропии.

Гиперболическая модель

Хорошо известно, что уравнение Фурье (и более общий закон диффузии Фика ) несовместимо с теорией относительности по крайней мере по одной причине. : допускает бесконечную скорость распространения тепловых сигналов в континууме поле. Например, рассмотрим импульс тепла в источнике; тогда, согласно уравнению Фурье, это мгновенно ощущается (то есть изменение температуры) в любой удаленной точке. Скорость распространения информации больше, чем скорость света в вакууме, что недопустимо в рамках теории относительности.

Чтобы преодолеть это противоречие, такие исследователи, как Каттанео, Вернот, Честер и другие, предложили обновить уравнение Фурье с параболической до гиперболической формы,

1 C 2 ∂ 2 θ ∂ T 2 + 1 α ∂ θ ∂ T = ∇ 2 θ {\ displaystyle {\ frac {1} {C ^ {2}}} ~ {\ frac {\ partial ^ {2} \ theta} {\ partial t ^ {2}}} ~ + ~ {\ frac {1} {\ alpha}} ~ {\ frac {\ partial \ theta} {\ partial t}} ~ = ~ \ nabla ^ { 2} \ theta}

{\ displaystyle {\ frac {1} {C ^ {2}}} ~ {\ frac {\ partial ^ {2} \ theta} {\ partial t ^ {2}}} ~ + ~ {\ frac {1} {\ alpha}} ~ {\ frac {\ partial \ theta} {\ partial t}} ~ = ~ \ nabla ^ {2} \ theta}

В этом уравнении C называется скоростью второго звука (то есть фиктивных квантовых частиц, фононов). Уравнение известно как уравнение (HCC). Математически это то же самое, что телеграфное уравнение, которое выводится из уравнений Максвелла электродинамики.

Чтобы уравнение HHC оставалось совместимым с первым законом термодинамики, необходимо изменить определение вектора теплового потока, q, на

τ 0 ∂ q ∂ t + q знак равно - К ∇ θ, {\ Displaystyle \ тау _ {_ {0}} ~ {\ frac {\ partial \ mathbf {q}} {\ partial t}} ~ + ~ \ mathbf {q} ~ = ~ -k ~ \ nabla \ theta,}

\ tau _ {{_ {0}}} ~ {\ frac {\ partial {\ mathbf {q}}} { \ partia lt}} ~ + ~ {\ mathbf {q}} ~ = ~ -k ~ \ nabla \ theta,

где $τ 0 {\ displaystyle \ scriptstyle \ tau _ {_ {0}}}$ $\ scriptstyle \ tau _ {_ {0}}}$ - время релаксации, такое, что $C 2 = α / τ 0. {\ displaystyle \ scriptstyle C ^ {2} ~ = ~ \ alpha / \ tau _ {_ {0}}.}$ $\ scriptstyle C ^ {2} ~ = ~ \ alpha / \ tau _ {{_ {0}}}.$

Самым важным следствием гиперболического уравнения является переход от параболического (диссипативного ) до гиперболического (включает консервативный член) уравнение в частных производных, существует возможность таких явлений, как тепловой резонанс и термический ударные волны.

Примечания

Ссылки