Четыре силы

редактировать

В специальной теории относительности, четыре силы - это четырехвекторный, который заменяет классическую силу.

Содержание

1 В специальной теории относительности
2 Включая термодинамические взаимодействия
3 В общей теории относительности
4 Примеры
5 См. также
6 Ссылки

В специальной теории относительности

Четыре-сила определяется как скорость изменения четырехимпульса частицы по отношению к собственное время :

F = d P d τ {\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ mathrm {d} \ mathbf {P} \ over \ mathrm {d} \ tau}}

{\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ mathrm {d} \ mathbf {P} \ over \ mathrm {d} \ tau}}

Для частицы константа инвариантная масса $m>0 {\ displaystyle m>0}$ $m>0$ , $P = m U {\ displaystyle \ mathbf {P} = m \ mat hbf {U}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} = m \ mathbf {U}}$ где $U = γ (c, u) {\ displaystyle \ mathbf {U} = \ gamma (c, \ mathbf {u})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {U} = \ gamma (c, \ mathbf {u})}$ - это четырехскоростная, поэтому мы можем связать четырехступенчатую силу с четырехскоростным $A {\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ как в второй закон Ньютона :

F = m A = (γ f ⋅ uc, γ f) {\ displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {A} = \ left (\ gamma {\ mathbf { f} \ cdot \ mathbf {u} \ over c}, \ gamma {\ mathbf {f}} \ right)}

{\ mathbf {F}} = m {\ mathbf {A}} = \ left (\ gamma {{\ mathbf {f}} \ cdot {\ mathbf {u}} \ over c}, \ gamma {{\ mathbf f}} \ справа)

Здесь

f = ddt (γ mu) = dpdt {\ displaystyle {\ mathbf { f}} = {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} \ left (\ gamma m {\ mathbf {u}} \ right) = {\ mathrm {d} \ mathbf {p} \ over \ mathrm {d} t}}

{\ displaystyle {\ mathbf {f}} = {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} \ left (\ gamma m {\ mathbf {u}} \ right) = {\ mathrm {d} \ mathbf {p} \ over \ mathrm {d} t}}

f ⋅ u = ddt (γ mc 2) = d E dt. {\ displaystyle {\ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {u}} = {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} \ left (\ gamma mc ^ {2} \ right) = {\ mathrm {d} E \ over \ mathrm {d} t}.}

{\ displaystyle {\ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {u}} = {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} \ left (\ gamma mc ^ {2} \ right) = {\ mathrm {d} E \ over \ mathrm {d} t}.}

где $u {\ displaystyle \ mathbf {u}}$ $\ mathbf {u}$ , $p {\ displaystyle \ mathbf {p}}$ $\ mathbf {p}$ и $f {\ displaystyle \ mathbf {f}}$ $\ mathbf {f}$ - это 3-пространственные векторы, описывающие скорость, импульс частицы и силу, действующую на нее, соответственно.

Включая термодинамические взаимодействия

Из формул предыдущего раздела следует, что временной компонент четырехсилы - это затраченная мощность, $f ⋅ u {\ displaystyle \ mathbf { f} \ cdot \ mathbf {u}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {u}}$ , кроме релятивистских поправок $γ / c {\ displaystyle \ gamma / c}$ ${\ displaystyle \ gamma / c}$ . Это верно только в чисто механических ситуациях, когда теплообмен отсутствует или им можно пренебречь.

В полном термомеханическом случае не только работа, но и тепло способствует изменению энергии, которая является временной составляющей Ковектор энергия-импульс. Временная составляющая четырехсилы включает в этом случае скорость нагрева $h {\ displaystyle h}$ $h$ , помимо мощности $f ⋅ u {\ displaystyle \ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {u}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {u}}$ . Обратите внимание, что работа и тепло не могут быть осмысленно разделены, поскольку они оба обладают инерцией. Этот факт распространяется также на контактные силы, то есть на тензор энергии-импульса.

. Следовательно, в термомеханических ситуациях временная составляющая четырехсилы не пропорциональна мощности $f ⋅ U {\ displaystyle \ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {u}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {u}}$ , но имеет более общее выражение, которое следует рассматривать в каждом конкретном случае, которое представляет собой запас внутренней энергии от комбинации работы и тепло, которое в ньютоновском пределе принимает вид $h + f ⋅ u {\ displaystyle h + \ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {u}}$ ${\ displaystyle h + \ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {u}}$ .

В общей теории относительности

In общая теория относительности соотношение между четырьмя силами и четырьмя ускорениями остается прежним, но элементы четырехсилы связаны с элементами четырех импульсов через ковариантную производную по собственному времени.

F λ: знак равно DP λ d τ знак равно d п λ d τ + Γ λ μ ν U μ P ν {\ displaystyle F ^ {\ lambda}: = {\ frac {DP ^ {\ lambda}} {d \ tau}} = {\ frac {dP ^ {\ lambda}} {d \ tau}} + \ Gamma ^ {\ lambda} {} _ {\ mu \ nu} U ^ {\ mu} P ^ {\ nu }}

F ^ {\ lambda}: = {\ frac {DP ^ {\ lambda}} {d \ tau}} = {\ frac {dP ^ {\ lambda}} {d \ tau}} + \ Gamma ^ {\ lambda} {} _ {{\ mu \ nu}} U ^ {\ mu} P ^ {\ nu}

Кроме того, мы можем сформулировать силу, используя концепцию преобразования координат между различными системами координат. Предположим, что мы знаем правильное выражение для силы в системе координат, в которой частица на мгновение находится в состоянии покоя. Затем мы можем выполнить преобразование в другую систему, чтобы получить соответствующее выражение силы. В специальной теории относительности преобразование будет преобразованием Лоренца между системами координат, движущимися с относительной постоянной скоростью, тогда как в общей теории относительности это будет преобразование общих координат.

Рассмотрим четыре силы $F μ = (F 0, F) {\ displaystyle F ^ {\ mu} = (F ^ {0}, \ mathbf {F})}$ $F ^ {\ mu} = (F ^ {0}, {\ mathbf {F}})$ воздействует на частицу массы $m {\ displaystyle m}$ $m$ , которая на мгновение покоится в системе координат. Релятивистская сила $f μ {\ displaystyle f ^ {\ mu}}$ $f ^ {\ mu}$ в другой системе координат, движущейся с постоянной скоростью $v {\ displaystyle v}$ $v$ относительно второй получается с помощью преобразования Лоренца:

$f = F + (γ - 1) vv ⋅ F v 2, {\ displaystyle {\ mathbf {f}} = {\ mathbf {F}} + (\ гамма -1) {\ mathbf {v}} {{\ mathbf {v}} \ cdot {\ mathbf {F}} \ over v ^ {2}},}$ ${{\ mathbf {f}}} = {{\ mathbf {F}}} + (\ gamma -1) {{\ mathbf {v}}} {{{\ mathbf {v}}} \ cdot {{\ mathbf {F}}} \ over v ^ {2}},$

$f 0 = γ β ⋅ F = β ⋅ f. {\ displaystyle f ^ {0} = \ gamma {\ boldsymbol {\ beta}} \ cdot \ mathbf {F} = {\ boldsymbol {\ beta}} \ cdot \ mathbf {f}.}$ $f ^ {0} = \ gamma {\ boldsymbol {\ beta}} \ cdot {\ mathbf {F}} = {\ boldsymbol {\ beta}} \ cdot {\ mathbf {f}}.$

где $β = v / c {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}} = \ mathbf {v} / c}$ ${\ boldsymbol {\ beta}} = {\ mathbf {v}} / c$ .

В общей теории относительности выражение для силы имеет вид

$f μ = m DU μ d τ {\ displaystyle f ^ {\ mu} = m {DU ^ {\ mu} \ over d \ tau}}$ $f ^ {\ mu } = m {DU ^ {\ mu} \ над d \ tau}$

с ковариантной производной $D / d τ { \ Displaystyle D / d \ tau}$ $D / d \ tau$ . Уравнение движения принимает вид

$md 2 x μ d τ 2 = е μ - m Γ ν λ μ dx ν d τ dx λ d τ, {\ displaystyle m {d ^ {2} x ^ {\ mu} \ над d \ tau ^ {2}} = f ^ {\ mu} -m \ Gamma _ {\ nu \ lambda} ^ {\ mu} {dx ^ {\ nu} \ over d \ tau} {dx ^ {\ lambda} \ over d \ tau},}$ $m {d ^ {2 } x ^ {\ mu} \ over d \ tau ^ {2}} = f ^ {\ mu} -m \ Gamma _ {{\ nu \ lambda}} ^ {\ mu} {dx ^ {\ nu} \ над d \ tau} {dx ^ {\ lambda} \ над d \ tau},$

где $Γ ν λ μ {\ displaystyle \ Gamma _ {\ nu \ lambda} ^ {\ mu}}$ $\ Gamma _ {{\ nu \ lambda}} ^ {\ mu}$ - это Символ Кристоффеля. Если нет внешней силы, это становится уравнением для геодезических в искривленном пространстве-времени. Второй член в приведенном выше уравнении играет роль силы тяжести. Если $ff α {\ displaystyle f_ {f} ^ {\ alpha}}$ $f_ {f} ^ {\ альфа}$ - правильное выражение для силы в свободно падающей рамке $ξ α {\ displaystyle \ xi ^ {\ alpha }}$ $\ xi ^ {\ alpha}$ , тогда мы можем использовать принцип эквивалентности, чтобы записать четыре силы в произвольной координате $x μ {\ displaystyle x ^ {\ mu}}$ $x ^ \ mu$ :

$f μ = ∂ x μ ∂ ξ α ff α. {\ displaystyle f ^ {\ mu} = {\ partial x ^ {\ mu} \ over \ partial \ xi ^ {\ alpha}} f_ {f} ^ {\ alpha}.}$ $f ^ { \ mu} = {\ partial x ^ {\ mu} \ over \ partial \ xi ^ {\ alpha}} f_ {f} ^ {\ alpha}.$

Примеры

В специальной теории относительности четыре силы Лоренца (четыре силы, действующие на заряженную частицу, находящуюся в электромагнитном поле) могут быть выражены как:

F μ = q F μ ν U ν {\ displaystyle F_ {\ mu} = qF _ {\ mu \ nu} U ^ {\ nu}}

F_ {\ mu} = qF _ {{\ mu \ nu}} U ^ {\ nu}

где

$F μ ν {\ displaystyle F _ {\ mu \ nu}}$ $F_{\mu\nu}$ - электромагнитный тензор,
$U ν {\ displaystyle U ^ {\ nu}}$ $U ^ {\ nu}$ - это четырехскоростной, а
$q {\ displaystyle q}$ $q$ - это электрический заряд.

См. Также

Ссылки

Риндлер, Вольфганг (1991). Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-853953-3.