Тензорная плотность

редактировать

Обобщение тензорных полей

В дифференциальной геометрии тензорная плотность или относительный тензор является обобщением концепции тензорного поля. Тензорная плотность преобразуется как тензорное поле при переходе из одной системы координат в другую (см. тензорное поле ), за исключением того, что она дополнительно умножается или взвешивается на степень W детерминанта Якоби координатной переходной функции или ее абсолютное значение. Различают (аутентичные) тензорные плотности, псевдотензорные плотности, четные тензорные плотности и нечетные тензорные плотности. Иногда тензорные плотности с отрицательным весом W называются тензорной емкостью. Тензорная плотность также может рассматриваться как раздел тензорного произведения элемента тензорный пучок с плотностью пучок.

Содержание

1 Мотивация
2 Определение
- 2.1 Тензорные и псевдотензорные плотности
- 2.2 Четные и нечетные тензорные плотности
- 2.3 Нулевые веса и один
- 2.4 Алгебраические свойства
- 2.5 Обращение матрицы и определитель матрицы тензорных плотностей
3 Общая теория относительности
- 3.1 Связь определителя Якоби и метрического тензора
- 3.2 Использование метрического тензора для управления тензорными плотностями
4 Примеры
5 См. Также
6 Примечания
7 Ссылки

Мотивация

В физике и связанных областях часто бывает полезно работать с компонентами алгебраического объекта, а не с чем сам объект. Примером может служить разложение вектора на сумму базисных векторов, взвешенных некоторыми коэффициентами, такими как

v → = c 1 e → 1 + c 2 e → 2 + c 3 e → 3 {\ displaystyle {\ vec {v}} = c_ {1} {\ vec {e}} _ {1} + c_ {2} {\ vec {e}} _ {2} + c_ {3} {\ vec {e }} _ {3}}

{\ displaystyle {\ vec {v}} = c_ {1} {\ vec {e}} _ {1} + c_ {2} {\ vec {e}} _ {2} + c_ {3} {\ vec {e}} _ {3}}

где $v → {\ displaystyle {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ - вектор в трехмерном евклидовом пространстве, $ci ∈ R n и e → я {\ displaystyle c_ {i} \ in \ mathbb {R} ^ {n} {\ text {and}} {\ vec {e}} _ {i}}$ ${\ displaystyle c_ {i} \ in \ mathbb {R} ^ {n} {\ text {and}} {\ vec {e}} _ {i}}$ - обычные стандартные базисные векторы в евклидовом пространстве. Обычно это необходимо для вычислительных целей и часто может быть полезным, когда алгебраические объекты представляют собой сложные абстракции, но их компоненты имеют конкретную интерпретацию. Однако при такой идентификации нужно быть осторожным, чтобы отслеживать изменения базовой основы, в которой количество увеличивается; в ходе вычислений может оказаться целесообразным изменить базис, и вектор $v → {\ displaystyle {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ останется фиксированным в физическом Космос. В более общем смысле, если алгебраический объект представляет геометрический объект, но выражается в терминах определенного базиса, то при изменении базиса необходимо также изменить представление. Физики часто называют это представление геометрического объекта тензором, если оно преобразуется в последовательности линейных карт при линейном изменении базиса (хотя другие, что сбивает с толку, называют лежащий в основе геометрический объект, не меняет при преобразовании координат «тензор», соглашения, которого строго избегает эта статья). В общем, есть представления, которые преобразуются произвольным образом в зависимости от того, как геометрический инвариант восстанавливается из представления. В некоторых частных случаях удобно использовать представления, которые преобразуются почти как тензоры, но с дополнительным нелинейным фактором при преобразовании. Типичным примером является матрица, представляющая векторное произведение (площадь растянутого параллелограмма) на $R 2 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ . В стандартном базисе представление задается следующим образом:

u → × v → = [u 1 u 2] [0 1 - 1 0] [v 1 v 2] = u 1 v 2 - u 2 v 1 {\ displaystyle {\ vec {u}} \ times {\ vec {v}} = {\ begin {bmatrix} u_ {1} u_ {2} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 0 1 \\ - 1 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} v_ {1} \\ v_ {2} \ end {bmatrix}} = u_ {1} v_ {2} -u_ {2} v_ {1}}

{\ displaystyle {\ vec {u}} \ times {\ vec {v}} = {\ begin {bmatrix} u_ {1} u_ {2} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 0 1 \\ -1 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} v_ {1} \\ v_ {2} \ end {bmatrix}} = u_ {1} v_ {2} -u_ {2} v_ {1}}

Если мы теперь попытаемся выразить это же выражение в базисе, отличном от стандартного, то компоненты векторов изменятся, скажем, согласно

[u 1 ′ u 2 ′] = A [u 1 u 2 ] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} u '_ {1} \\ u' _ {2} \ end {bmatrix}} = A {\ begin {bmatrix} u_ {1} \\ u_ {2} \ end {bmatrix}}}

{\begin{bmatrix}u'_{1}\\u'_{2}\end{bmatrix}}=A{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{bmatrix}}

где

A {\ displaystyle A}

A

- это некоторая матрица действительных чисел 2 на 2. Учитывая, что площадь натянутого параллелограмма является геометрическим инвариантом, она не может измениться при изменении базиса, поэтому новое представление этой матрицы должно быть:

$(A - 1) T [0 1 - 1 0] A - 1 {\ displaystyle (A ^ {- 1}) ^ {T} {\ begin {bmatrix} 0 1 \\ - 1 0 \ end {bmatrix}} A ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle (A ^ {- 1}) ^ {T} {\ begin {bmatrix} 0 1 \\ - 1 0 \ end {bmatrix}} A ^ {- 1}}$ который, в развернутом виде - это просто исходное выражение, умноженное на определитель $A - 1 {\ displaystyle A ^ {- 1}}$ $A ^ {{- 1}}$ , который также равен $1 det A {\ displaystyle {\ frac {1} {\ det A}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ det A}}}$ . Фактически это представление можно рассматривать как двухиндексное тензорное преобразование, но вместо этого с вычислительной точки зрения проще представить правило тензорного преобразования как умножение на $1 det A {\ displaystyle {\ frac {1} {\ det A}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ det A}}}$ , а не как умножение двух матриц (на самом деле в более высоких измерениях естественным продолжением этого является $n, n × n {\ displaystyle n, n \ times n}$ ${\ displaystyle n, n \ раз n}$ умножения матриц, что для больших $n {\ displaystyle n}$ $n$ совершенно невозможно). Объекты, которые преобразуются таким образом, называются тензорными плотностями, потому что они возникают естественным образом при рассмотрении задач, касающихся площадей и объемов, и поэтому часто используются в области интеграции.

Определение

Некоторые авторы в этой статье классифицируют тензорные плотности на два типа, которые называются (аутентичными) тензорными плотностями и псевдотензорными плотностями. Другие авторы классифицируют их по-другому, на типы, называемые четными тензорными плотностями и нечетными тензорными плотностями. Когда вес тензорной плотности является целым числом, между этими подходами существует эквивалентность, которая зависит от того, является ли целое число четным или нечетным.

Обратите внимание, что эти классификации разъясняют различные способы, которыми тензорные плотности могут несколько патологически трансформироваться при преобразованиях координат с изменением ориентации. Независимо от их классификации в эти типы, существует только один способ преобразования тензорных плотностей при сохраняющих ориентацию преобразованиях координат.

В этой статье мы выбрали соглашение, согласно которому определителю метрического тензора, выраженному с помощью ковариантных индексов, присваивается вес +2. При таком выборе классические плотности, такие как плотность заряда, будут представлены тензорными плотностями веса +1. Некоторые авторы используют знаковое соглашение для весов, которое является отрицанием представленного здесь.

Тензорная и псевдотензорная плотности

Например, смешанная (аутентичная) тензорная плотность веса W второго ранга преобразует как:

T β α = (det [∂ x ¯ ι ∂ x γ]) W ∂ x α ∂ x ¯ δ ∂ x ¯ ϵ ∂ x β T ¯ ϵ δ, {\ displaystyle {\ mathfrak {T} } _ {\ beta} ^ {\ alpha} = \ left (\ det {\ left [{\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ iota}} {\ partial {x} ^ {\ gamma }}} \ right]} \ right) ^ {W} \, {\ frac {\ partial {x} ^ {\ alpha}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ delta}}} \, {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ epsilon}} {\ partial {x} ^ {\ beta}}} \, {\ bar {\ mathfrak {T}}} _ {\ epsilon} ^ {\ delta} \,,}

{{\ mathfrak {T}}} _ {\ beta } ^ {\ alpha} = \ left (\ det {\ left [{\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {{\ iota}}} {\ partial {x} ^ {{\ gamma}}} }} \ right]} \ right) ^ {{W}} \, {\ frac {\ partial {x} ^ {{\ alpha}}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {{\ delta} }}} \, {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {{\ epsilon}}} {\ partial {x} ^ {{\ beta}}}}} \, {\ bar {{\ mathfrak {T}}}} _ {{\ epsilon}} ^ {{\ delta}} \,,

((аутентичная) тензорная плотность (целого) веса W)

где $T ¯ {\ displaystyle {\ bar {\ mathfrak {T}}}}$ ${\ bar {{\ mathfrak {T}}}}$ - плотность тензора второго ранга в системе координат $x ¯ {\ displaystyle {\ bar {x}}}$ ${\ bar {x}}$ , $T {\ displaystyle {\ mathfrak { T}}}$ ${{\ mathfrak {T}}}$ - преобразованная плотность тензора в координате $x {\ displaystyle {x}}$ ${x}$ система; и мы используем детерминант Якоби . Поскольку определитель может быть отрицательным, каковым он является для преобразования координат с изменением ориентации, эта формула применима только тогда, когда W является целым числом. (Тем не менее, см. Ниже четные и нечетные тензорные плотности.)

Мы говорим, что тензорная плотность является псевдотензорной плотностью, когда имеется дополнительная смена знака при преобразовании координат с изменением ориентации. Смешанная псевдотензорная плотность веса W ранга два преобразуется как

T β α = sgn ⁡ (det [∂ x ¯ ι ∂ x γ]) (det [∂ x ¯ ι ∂ x γ]) W ∂ x α ∂ Икс ¯ δ ∂ Икс ¯ ϵ ∂ Икс β T ¯ ϵ δ, {\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ beta} ^ {\ alpha} = \ operatorname {sgn} \ left (\ det {\ left [ {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ iota}} {\ partial {x} ^ {\ gamma}}} \ right]} \ right) \ left (\ det {\ left [{\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ iota}} {\ partial {x} ^ {\ gamma}}} \ right]} \ right) ^ {W} \, {\ frac {\ partial { x} ^ {\ alpha}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ delta}}} \, {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ epsilon}} {\ partial { x} ^ {\ beta}}} \, {\ bar {\ mathfrak {T}}} _ {\ epsilon} ^ {\ delta} \,,}

{{\ mathfrak {T}}} _ {\ beta} ^ {\ alpha} = \ operatorname {sgn} \ left (\ det {\ left [ {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {{ \ iota}}} {\ partial {x} ^ {{\ gamma}}}} \ right]} \ right) \ left (\ det {\ left [{\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {{\ iota}}} {\ partial {x} ^ {{\ gamma}}}} \ right]} \ right) ^ {{W}} \, {\ frac {\ partial {x} ^ {{\ альфа}}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {{\ delta}}}} \, {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {{\ epsilon}}} {\ partial { x} ^ {{\ beta}}}} \, {\ bar {{\ mathfrak {T}}}} _ {{\ epsilon}} ^ {{\ delta}} \,,

(псевдотензорная плотность (целочисленного) веса W)

где sgn () - функция, которая возвращает +1, если ее аргумент положительный, или -1, если ее аргумент отрицательный.

Четные и нечетные тензорные плотности

Преобразования для четных и нечетных тензорных плотностей имеют то преимущество, что они хорошо определены, даже когда W не является целым числом. Таким образом, можно говорить, скажем, о нечетной тензорной плотности веса +2 или четной тензорной плотности веса -1/2.

Когда W является четным целым числом, приведенная выше формула для (аутентичной) тензорной плотности может быть переписана как

T β α = | det [∂ x ¯ ι ∂ x γ] | W ∂ x α ∂ x ¯ δ ∂ x ¯ ϵ ∂ x β T ¯ ϵ δ. {\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ beta} ^ {\ alpha} = \ left \ vert \ det {\ left [{\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ iota}} {\ partial {x} ^ {\ gamma}}} \ right]} \ right \ vert ^ {W} \, {\ frac {\ partial {x} ^ {\ alpha}} {\ partial {\ bar {x }} ^ {\ delta}}} \, {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ epsilon}} {\ partial {x} ^ {\ beta}}} \, {\ bar {\ mathfrak {T}}} _ {\ epsilon} ^ {\ delta} \,.}

{{\ mathfrak {T}}} _ {\ beta} ^ {\ alpha} = \ left \ vert \ det {\ left [{\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {{\ iota}}} {\ partial {x} ^ {{\ gamma}}}}} \ right]} \ right \ vert ^ { {W}} \, {\ frac {\ partial {x} ^ {{\ alpha}}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {{\ delta}}}} \, {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {{\ epsilon}}} {\ partial {x} ^ {{\ beta}}}} \, {\ bar {{\ mathfrak {T}}}} _ {{\ epsilon }} ^ {{\ delta}} \,.

(четная тензорная плотность веса W)

Аналогично, когда W - нечетное целое число, формула для (аутентичного) тензора плотность можно переписать как

T β α = sgn ⁡ (det [∂ x ¯ ι ∂ x γ]) | det [∂ x ¯ ι ∂ x γ] | W ∂ x α ∂ x ¯ δ ∂ x ¯ ϵ ∂ x β T ¯ ϵ δ. {\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ beta} ^ {\ alpha} = \ operatorname {sgn} \ left (\ det {\ left [{\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ { \ iota}} {\ partial {x} ^ {\ gamma}}} \ right]} \ right) \ left \ vert \ det {\ left [{\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ iota}} {\ partial {x} ^ {\ gamma}}} \ right]} \ right \ vert ^ {W} \, {\ frac {\ partial {x} ^ {\ alpha}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ delta}}} \, {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ epsilon}} {\ partial {x} ^ {\ beta}}} \, {\ bar {\ mathfrak {T}}} _ {\ epsilon} ^ {\ delta} \,.}

{{\ mathfrak {T}}} _ {\ beta} ^ {\ alpha} = \ operatorname {sgn} \ left (\ det {\ left [{\ frac {\ partial {\ bar {x} } ^ {{\ iota}}} {\ partial {x} ^ {{\ gamma}}}} \ right]} \ right) \ left \ vert \ det {\ left [{\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {{\ iota}}} {\ partial {x} ^ {{\ gamma}}}} \ right]} \ right \ vert ^ {{W}} \, {\ frac {\ partial { x} ^ {{\ alpha}}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {{\ delta}}}} \, {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {{\ epsilon} }} {\ partial {x} ^ {{\ beta}}}} \, {\ bar {{\ mathfrak {T}}}} _ {{\ epsilon}} ^ {{\ delta}} \,.

(плотность нечетного тензора веса W)

Веса нуля и единицы

Тензор плотность любого типа с нулевым весом также называется абсолютным тензором . (Четный) аутентичный тензор плотности с нулевым весом также называется обычным тензором .

. Если вес не указан, но слово «относительный» или «плотность» используется в контексте, где требуется конкретный вес, обычно предполагается, что вес равен +1.

Алгебраические свойства

Линейная комбинация тензорных плотностей одного и того же типа и веса W снова является тензорной плотностью этого типа и веса.
Произведение двух тензорных плотностей любых типов и с весами W 1 и W 2 - это тензорная плотность веса W 1 + W 2.
Произведение аутентичных тензорных плотностей и псевдотензорных плотностей будет аутентичная тензорная плотность, когда четное число множителей является псевдотензорной плотностью; это будет псевдотензорная плотность, когда нечетное количество факторов будет псевдотензорной плотностью. Точно так же произведение четных тензорных плотностей и нечетных тензорных плотностей будет четной тензорной плотностью, когда четное число факторов является нечетными тензорными плотностями; это будет нечетная тензорная плотность, когда нечетное количество факторов являются нечетными тензорными плотностями.
Сжатие индексов на тензорной плотности с весом W снова дает тензорную плотность веса W.
Использование ( 2) и (3) видно, что повышение и понижение индексов с использованием метрического тензора (вес 0) оставляет вес неизменным.

Обращение матрицы и определитель матрицы тензорных плотностей

Если $T α β {\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ alpha \ beta}}$ ${{\ mathfrak {T}}} _ {{\ alpha \ beta}}$ - это невырожденная матрица и тензорная плотность второго ранга веса W с ковариантными индексами, тогда ее обратная матрица будет тензорная плотность второго ранга веса −W с контравариантными индексами. Аналогичные утверждения применяются, когда два индекса контравариантны или смешаны, ковариантны и контравариантны.

Если $T α β {\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ alpha \ beta}}$ ${{\ mathfrak {T}}} _ {{\ alpha \ beta}}$ - тензорная плотность второго ранга веса W с ковариантными индексами тогда определитель матрицы $det T α β {\ displaystyle \ det {\ mathfrak {T}} _ {\ alpha \ beta}}$ $\ det {{\ mathfrak {T}}} _ {{\ alpha \ beta}}$ будет иметь вес NW + 2, где N - количество измерения пространства-времени. Если $T α β {\ displaystyle {\ mathfrak {T}} ^ {\ alpha \ beta}}$ ${{\ mathfrak {T}}} ^ {{\ alpha \ beta}}$ - тензорная плотность веса W второго ранга с контравариантными индексами, то определитель матрицы $det T α β {\ displaystyle \ det {\ mathfrak {T}} ^ {\ alpha \ beta}}$ $\ det {{\ mathfrak {T}}} ^ {{\ alpha \ beta} }$ будет иметь вес NW - 2. Определитель матрицы $det T β α {\ displaystyle \ det {\ mathfrak {T}} _ {~ \ beta} ^ {\ alpha}}$ $\ det {{\ mathfrak {T}}} _ {{~ \ beta}} ^ {{\ alpha}}$ будет иметь вес NW.

Общая теория относительности

Связь детерминанта Якоби и метрического тензора

Любой неособый обыкновенный тензор $T μ ν {\ displaystyle T _ {\ mu \ nu}}$ $T _ {\ mu \ nu}$ преобразуется как

T μ ν = ∂ x ¯ κ ∂ x μ T ¯ κ λ ∂ x ¯ λ ∂ x ν, {\ displaystyle T _ {\ mu \ nu} = {\ frac {\ частичный {\ bar {x}} ^ {\ kappa}} {\ partial {x} ^ {\ mu}}} {\ bar {T}} _ {\ kappa \ lambda} {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ lambda}} {\ partial {x} ^ {\ nu}}} \,,}

T_ {{\ mu \ nu}} = {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ kappa}} {\ partial {x} ^ {\ mu}}} {\ bar {T}} _ { {\ kappa \ lambda}} {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ lambda}} {\ partial {x} ^ {\ nu}}} \,,

где правую часть можно рассматривать как произведение трех матриц. Взяв определитель обеих сторон уравнения (используя, что определитель матричного произведения является произведением определителей), разделив обе части на $det (T ¯ κ λ) {\ displaystyle \ det ({\ bar { T}} _ {\ kappa \ lambda})}$ $\ det ({\ bar {T}} _ { {\ каппа \ лямбда}})$ , а извлечение квадратного корня из них дает

| det [∂ x ¯ ι ∂ x γ] | = det (T µ ν) det (T ¯ κ λ). {\ displaystyle \ left \ vert \ det {\ left [{\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ iota}} {\ partial {x} ^ {\ gamma}}} \ right]} \ right \ vert = {\ sqrt {\ frac {\ det ({T} _ {\ mu \ nu})} {\ det ({\ bar {T}} _ {\ kappa \ lambda})}}} \,.}

\ left \ vert \ det {\ left [{\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {{\ iota}}} {\ partial {x} ^ {{\ gamma}}}} } \ right]} \ right \ vert = {\ sqrt {{\ frac {\ det ({T} _ {{\ mu \ nu}})} {\ det ({\ bar {T}} _ {{\ каппа \ лямбда}})}}}},.

Когда тензор T является метрическим тензором, $g κ λ {\ displaystyle {g} _ {\ kappa \ lambda}}$ ${g} _ {{\ kappa \ lambda}}$ и $x ¯ ι {\ displaystyle {\ bar {x}} ^ {\ iota}}$ ${\ bar {x}} ^ {{\ iota}}$ - это локально инерциальная система координат, где $g ¯ κ λ = η κ λ = {\ displaystyle {\ bar {g}} _ {\ kappa \ lambda} = \ eta _ {\ kappa \ lambda} =}$ ${\ bar {g}} _ {{\ kappa \ lambda }} = \ eta _ {{\ kappa \ lambda}} =$ diag (−1, + 1, + 1, + 1), Минковский метрика, затем $det (g ¯ κ λ) = det (η κ λ) = {\ displaystyle \ det ({\ bar {g}} _ {\ kappa \ lambda}) = \ det (\ eta _ {\ kappa \ lambda}) =}$ $\ det ({\ bar {g}} _ {{\ kappa \ lambda}}) = \ det ( \ eta _ {{\ kappa \ lambda}}) =$ −1 и поэтому

| det [∂ x ¯ ι ∂ x γ] | = - г, {\ displaystyle \ left \ vert \ det {\ left [{\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ iota}} {\ partial {x} ^ {\ gamma}}} \ right]} \ right \ vert = {\ sqrt {- {g}}} \,,}

\ left \ vert \ det {\ left [{\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {{\ iota}}} {\ partial {x} ^ {{\ gamma}}}} \ right]} \ right \ vert = {\ sqrt {- {g}}} \,,

где $g = det (g μ ν) {\ displaystyle {g} = \ det ({g} _ {\ mu \ nu})}$ ${g} = \ det ({g} _ {{\ mu \ nu}})$ - определитель метрического тензора $g μ ν {\ displaystyle {g} _ {\ mu \ nu}}$ ${g} _ {{\ mu \ nu}}$ .

Использование метрического тензора для манипулировать тензорной плотностью

Следовательно, четная тензорная плотность, $T ν… μ… {\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ nu \ dots} ^ {\ mu \ dots}}$ ${\ mathfrak {T}} _ {{\ nu \ dots}} ^ {{\ mu \ dots}}$ веса W можно записать в виде

T ν… μ… = - g WT ν… μ…, {\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ nu \ dots} ^ {\ mu \ dots} = {\ sqrt {-g}} \; ^ {W} T _ {\ nu \ dots} ^ {\ mu \ dots} \,,}

{\ mathfrak {T}} _ {{\ nu \ dots}} ^ {{\ mu \ dots}} = {\ sqrt { -g}} \; ^ {W} T _ {{\ nu \ dots}} ^ {{\ mu \ dots}} \,,

где $T ν… μ… {\ displaystyle T _ {\ nu \ dots} ^ {\ mu \ dots} \,}$ $T _ {{\ nu \ dots}} ^ {{\ mu \ dots}} \,$ - обычный тензор. В локально инерциальной системе координат, где $g κ λ = η κ λ {\ displaystyle g _ {\ kappa \ lambda} = \ eta _ {\ kappa \ lambda}}$ $g _ {{\ kappa \ lambda}} = \ eta _ {{\ kappa \ lambda}}$ , это будет случай, что $T ν… μ… {\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ nu \ dots} ^ {\ mu \ dots}}$ ${\ mathfrak {T}} _ {{\ nu \ dots}} ^ {{\ mu \ dots}}$ и $T ν… μ… {\ displaystyle T _ {\ nu \ dots} ^ {\ mu \ dots} \,}$ $T _ {{\ nu \ dots}} ^ {{\ mu \ dots}} \,$ будут представлены теми же числами.

При использовании метрической связи (связь Леви-Чивита ) ковариантная производная четной тензорной плотности определяется как

T ν…; α μ… = - g W T ν…; α μ… = - g W (- g - W T ν… μ…); α. {\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ nu \ dots; \ alpha} ^ {\ mu \ dots} = {\ sqrt {-g}} \; ^ {W} T _ {\ nu \ dots; \ альфа} ^ {\ mu \ dots} = {\ sqrt {-g}} \; ^ {W} ({\ sqrt {-g}} \; ^ {- W} {\ mathfrak {T}} _ {\ nu \ dots} ^ {\ mu \ dots}) _ {; \ alpha} \,.}

{\ mathfrak { T}} _ {{\ nu \ dots; \ alpha}} ^ {{\ mu \ dots}} = {\ sqrt {-g}} \; ^ {W} T _ {{\ nu \ dots; \ alpha} } ^ {{\ mu \ dots}} = {\ sqrt {-g}} \; ^ {W} ({\ sqrt {-g}} \; ^ {{- W}} {\ mathfrak {T}} _ {{\ nu \ dots}} ^ {{\ mu \ dots}}) _ {{; \ alpha}} \,.

Для произвольной связи ковариантная производная определяется добавлением дополнительного члена, а именно

- W Γ δ α δ T ν… μ… {\ displaystyle -W \, \ Gamma _ {~ \ delta \ alpha} ^ {\ delta} \, {\ mathfrak {T}} _ {\ nu \ dots} ^ {\ mu \ dots } \,}

{\ displaystyle -W \, \ Gamma _ {~ \ delta \ alpha} ^ {\ delta} \, {\ mathfrak {T}} _ {\ nu \ dots } ^ {\ mu \ dots} \,}

к выражению, которое подходит для ковариантной производной обычного тензора.

Эквивалентно соблюдается правило произведения

(T ν… μ… S τ… σ…); α = (T ν…; α μ…) S τ… σ… + T ν… μ… (S τ…; α σ…), {\ displaystyle ({\ mathfrak {T}} _ {\ nu \ dots} ^ {\ mu \ dots} {\ mathfrak {S}} _ {\ tau \ dots} ^ {\ sigma \ dots}) _ {; \ alpha} = ({\ mathfrak {T}} _ {\ nu \ dots ; \ alpha} ^ {\ mu \ dots}) {\ mathfrak {S}} _ {\ tau \ dots} ^ {\ sigma \ dots} + {\ mathfrak {T}} _ {\ nu \ dots} ^ { \ mu \ dots} ({\ mathfrak {S}} _ {\ tau \ dots; \ alpha} ^ {\ sigma \ dots}) \,,}

({\ mathfrak {T}} _ {{\ nu \ dots}} ^ {{\ mu \ dots}} {\ mathfrak {S}} _ {\ tau \ dots}} ^ {{\ sigma \ dots}}) _ {{; \ alpha}} = ( {\ mathfrak {T}} _ {{\ nu \ dots; \ alpha}} ^ {{\ mu \ dots}}) {\ mathfrak {S}} _ {{\ tau \ dots}} ^ {{\ sigma \ dots}} + {\ mathfrak {T}} _ {{\ nu \ dots}} ^ {{\ mu \ dots}} ({\ mathfrak {S}} _ {{\ tau \ dots; \ alpha}} ^ {{\ sigma \ dots}}) \,,

где для метрической связи ковариантная производная любого функция $g κ λ {\ displaystyle g _ {\ kappa \ lambda}}$ $g_ { {\ каппа \ лямбда}}$ всегда равна нулю,

g κ λ; α = 0 (- г Вт); α = (- g W), α - W Γ δ α δ - g W = W 2 g κ λ g κ λ, α - g W - W Γ δ α δ - g W = 0. {\ displaystyle {\ begin {align} g _ {\ kappa \ lambda; \ alpha} = 0 \\ ({\ sqrt {-g}} \; ^ {W}) _ {; \ alpha} = ({ \ sqrt {-g}} \; ^ {W}) _ {, \ alpha} -W \ Gamma _ {~ \ delta \ alpha} ^ {\ delta} {\ sqrt {-g}} \; ^ {W } = {\ frac {W} {2}} g ^ {\ kappa \ lambda} g _ {\ kappa \ lambda, \ alpha} {\ sqrt {-g}} \; ^ {W} -W \ Gamma _ { ~ \ delta \ alpha} ^ {\ delta} {\ sqrt {-g}} \; ^ {W} = 0 \,. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} g _ {\ kappa \ lambda; \ alpha} = 0 \\ ({\ sqrt {-g}} \; ^ {W}) _ {; \ alpha} = ({\ sqrt {-g}} \; ^ {W}) _ {, \ alpha} -W \ Gamma _ {~ \ delta \ alpha} ^ {\ delta} {\ sqrt {-g}} \; ^ {W} = {\ frac {W} {2}} g ^ {\ kappa \ lambda} g _ {\ kappa \ lambda, \ alpha} {\ sqrt {-g}} \; ^ {W} -W \ Gamma _ {~ \ delta \ alpha} ^ {\ delta} {\ sqrt {-g}} \ ; ^ {W} = 0 \,. \ End {align}}}

Примеры

Выражение $- g {\ displaystyle {\ sqrt {-g}}}$ $\ sqrt {-g}$ - скалярная плотность. По соглашению в этой статье он имеет вес +1.

Плотность электрического тока $Дж μ {\ displaystyle {\ mathfrak {J}} ^ {\ mu}}$ ${\ mathfrak {J }} ^ {\ mu}$ (например, $J 2 {\ displaystyle { \ mathfrak {J}} ^ {2}}$ ${\ mathfrak {J}} ^ {2}$ - это количество электрического заряда, пересекающего элемент 3-объема $dx 3 dx 4 dx 1 {\ displaystyle dx ^ {3} \, dx ^ {4} \, dx ^ {1}}$ $dx ^ {3} \, dx ^ {4} \, dx ^ {1}$ , разделенное на этот элемент - не используйте метрику в этом вычислении) - это контравариантная векторная плотность веса +1. Часто его записывают как $J μ = J μ - g {\ displaystyle {\ mathfrak {J}} ^ {\ mu} = J ^ {\ mu} {\ sqrt {-g}}}$ ${\ mathfrak {J}} ^ {\ mu} = J ^ {\ mu} {\ sqrt {-g}}$ или $J μ = ε μ α β γ J α β γ / 3! {\ displaystyle {\ mathfrak {J}} ^ {\ mu} = \ varepsilon ^ {\ mu \ alpha \ beta \ gamma} {\ mathcal {J}} _ {\ alpha \ beta \ gamma} / 3!}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {J}} ^ {\ mu} = \ varepsilon ^ {\ mu \ alpha \ beta \ gamma} { \ mathcal {J}} _ {\ alpha \ beta \ gamma} / 3!}$ , где $J μ {\ displaystyle J ^ {\ mu} \,}$ $J ^ {\ mu} \,$ и дифференциальная форма $J α β γ {\ displaystyle {\ mathcal {J}} _ {\ alpha \ beta \ gamma}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {J}} _ {\ alpha \ beta \ gamma}}$ - абсолютные тензоры, и где $ε μ α β γ {\ displaystyle \ varepsilon ^ {\ mu \ alpha \ beta \ gamma}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon ^ {\ mu \ alpha \ beta \ gamma}}$ - это символ Леви-Чивиты ; увидеть ниже.

Плотность силы Лоренца $f μ {\ displaystyle {\ mathfrak {f}} _ {\ mu}}$ ${\ mathfrak {f}} _ {\ mu}$ (т.е. линейный импульс переносится из электромагнитного поля в материю внутри элемента с четырьмя объемами $dx 1 dx 2 dx 3 dx 4 {\ displaystyle dx ^ {1} \, dx ^ {2} \, dx ^ {3} \, dx ^ {4}}$ $dx ^ {1} \, dx ^ {2} \, dx ^ {3} \, dx ^ { 4}$ , разделенное на этот элемент - не используйте метрику в этом вычислении) - ковариантная векторная плотность веса +1.

В N-мерном пространстве-времени символ Леви-Чивита может рассматриваться как ковариантная (нечетная) аутентичная тензорная плотность ранга N с весом -1 (ε α1…αN) или контравариантной (нечетной) аутентичной тензорной плотности ранга N веса +1 (ε). Обратите внимание, что символ Леви-Чивиты (так считается) не подчиняется обычному соглашению о повышении или понижении индексов с помощью метрического тензора. То есть верно, что

ε α β γ δ g α κ g β λ g γ μ g δ ν = ε κ λ μ ν g, {\ displaystyle \ varepsilon ^ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta } \, g _ {\ alpha \ kappa} \, g _ {\ beta \ lambda} \, g _ {\ gamma \ mu} g _ {\ delta \ nu} \, = \, \ varepsilon _ {\ kappa \ lambda \ mu \ nu} \, g \,,}

\ varepsilon ^ {{\ alpha \ beta \ gamma \ delta}} \, g _ {{\ alpha \ kappa}} \, g _ {{\ beta \ lambda}} \, g _ {{\ gamma \ mu}} g _ {{\ delta \ nu}} \, = \, \ varepsilon _ {{\ kappa \ lambda \ mu \ nu}} \, g \,,

но в общей теории относительности, где $g {\ displaystyle g}$ $g$ всегда отрицательно, это никогда не равно $ε κ λ μ ν {\ displaystyle \ varepsilon _ {\ kappa \ lambda \ mu \ nu}}$ $\ varepsilon _ {{\ kappa \ lambda \ mu \ nu}}$ .

определитель метрического тензора,

g = det (g ρ σ) = 1 4! ε α β γ δ ε κ λ μ ν г α κ г β λ г γ μ г δ ν, {\ displaystyle g = \ det \ left (g _ {\ rho \ sigma} \ right) = {\ frac {1} {4!}} \ Varepsilon ^ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta} \ varepsilon ^ {\ kappa \ lambda \ mu \ nu} g _ {\ alpha \ kappa} g _ {\ beta \ lambda} g _ {\ gamma \ mu} g _ {\ delta \ nu} \,,}

g = \ det \ left (g _ {{\ rho \ sigma}} \ right) = {\ frac {1} {4!}} \ varepsilon ^ {{\ alpha \ beta \ gamma \ delta}} \ varepsilon ^ {{\ kappa \ lambda \ mu \ nu}} g _ {{\ alpha \ kappa }} g _ {{\ beta \ lambda}} g _ {{\ gamma \ mu}} g _ {{\ delta \ nu}} \,,

- (четная) аутентичная скалярная плотность веса +2.

См. Также

Примечания

Ссылки

Спивак, Майкл (1999), Комплексное введение в дифференциальную геометрию, Том I (3-е изд.), Стр. 134.
Купцов Л.П. (2001) [1994], Математическая энциклопедия, EMS Press.
Charles Misner ; Кип С. Торн и Джон Арчибальд Уилер (1973). Гравитация. В. Х. Фриман. п. 501ff. ISBN 0-7167-0344-0. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )
Вайнберг, Стивен (1972), Гравитация и космология, John Wiley sons, Inc, ISBN 0-471-92567-5