символ Леви-Чивиты

Объект антисимметричной перестановки, действующий на тензоры

В математике, особенно в линейная алгебра, тензорный анализ и дифференциальная геометрия, символ Леви-Чивиты представляет собой набор чисел; определяется знаком перестановки натуральных чисел 1, 2,…, n для некоторого положительного целого числа n. Он назван в честь итальянского математика и физика Туллио Леви-Чивита. Другие имена включают символ перестановки, антисимметричный символ или переменный символ, которые относятся к его антисимметричному свойству и определение в терминах перестановок.

Стандартными буквами для обозначения символа Леви-Чивита являются греческие строчные буквы эпсилон ε или ϵ, или, реже, латинские строчные буквы e. Индексная запись позволяет отображать перестановки способом, совместимым с тензорным анализом:

$\epsilon \; i\; 1\; i\; 2\dots \; in\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{i\_\; \{1\}\; i\_\; \{2\}\; \backslash \; dots\; i\_\; \{n\}\}\}$

где каждый индекс i 1, i 2,..., i n принимает значения 1, 2,..., n. Имеется n индексированных значений ε i1i2…in, которые можно упорядочить в n-мерный массив. Ключевым определяющим свойством символа является полная антисимметрия в индексах. Когда любые два индекса меняются местами, равны или нет, символ инвертируется:

$\epsilon \dots \; i\; p\dots \; i\; q\dots \; =\; -\; \epsilon \dots \; i\; q\dots \; i\; p\dots .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{\backslash \; dots\; i\_\; \{p\}\; \backslash \; dots\; i\_\; \{q\}\; \backslash \; dots\}\; =\; -\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{\backslash \; dots\; i\_\; \{q\}\; \backslash \; dots\; i\_\; \{p\}\; \backslash \; dots\}.\}$

Если есть два индекса равны, символ равен нулю. Когда все индексы не равны, имеем:

$\epsilon \; i\; 1\; i\; 2\dots \; in\; =\; (-\; 1)\; p\; \epsilon \; 1\; 2\dots \; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{i\_\; \{1\}\; i\_\; \{2\}\; \backslash \; dots\; i\_\; \{\; n\}\}\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{p\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{1\; \backslash ,\; 2\; \backslash ,\; \backslash \; dots\; n\},\}$

где p (называемое четностью перестановки) - количество необходимых попарных перестановок индексов. чтобы расшифровать i 1, i 2,..., i n в порядок 1, 2,..., n и множитель (- 1) называется знаком или подписью перестановки. Значение ε 1 2... n должно быть определено, иначе конкретные значения символа для всех перестановок не определены. Большинство авторов выбирают ε 1 2... n = +1, что означает, что символ Леви-Чивиты равен знаку перестановки, когда все индексы не равны. Этот выбор используется в этой статье.

Термин «n-мерный символ Леви-Чивиты» относится к тому факту, что количество индексов на символе n соответствует размерности векторного пространства в вопрос, который может быть евклидовым или неевклидовым, например, ℝ или пробелом Минковского. Значения символа Леви-Чивиты не зависят от метрического тензора и системы координат. Кроме того, конкретный термин «символ» подчеркивает, что это не тензор из-за того, как он преобразуется между системами координат; однако его можно интерпретировать как тензорную плотность.

Символ Леви-Чивиты допускает определитель квадратной матрицы и перекрестное произведение двух векторов в трех- размерное Евклидово пространство, которое должно быть выражено в нотации индекса Эйнштейна.

• 1 Определение
  • 1.1 Два измерения
  • 1.2 Три измерения
  • 1.3 Четыре измерения
  • 1.4 Обобщение на n измерений
• 2 Свойства
  • 2.1 Два измерения
  • 2.2 Три измерения
    • 2.2.1 Значения индекса и символа
    • 2.2.2 Продукт
  • 2.3 n измерений
    • 2.3.1 Значения индекса и символа
    • 2.3.2 Продукт
  • 2.4 Доказательства
• 3 Приложения и примеры
  • 3.1 Детерминанты
  • 3.2 Векторное векторное произведение
    • 3.2.1 Перекрестное произведение (два вектора)
    • 3.2.2 Тройной скаляр произведение (три вектора)
    • 3.2.3 Curl (одно векторное поле)
• 4 Тензорная плотность
• 5 Тензоры Леви-Чивиты
  • 5.1 Пример: пространство Минковского
• 6 В проективном пространстве
• 7 См. Также
• 8 Примечания
• 9 Ссылки
• 10 Внешние ссылки

Символ Леви-Чивита чаще всего используется в трех и четырех измерениях и, в некоторой степени, в двух измерениях, поэтому они приведены здесь перед определением общего случая.

Два измерения

В двух измерениях символ Леви-Чивиты определяется следующим образом:

$\epsilon \; ij\; =\; \{+\; 1\; if\; (i,\; j)\; =\; (\; 1,\; 2)\; -\; 1,\; если\; (i,\; j)\; =\; (2,\; 1)\; 0,\; если\; я\; =\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ij\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; +1\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; (i,\; j)\; =\; (1,2)\; \backslash \backslash \; -\; 1\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; (i,\; j)\; =\; (2,1)\; \backslash \backslash \backslash ;\; \backslash ;\; \backslash ,\; 0\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; i\; =\; j\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

Значения можно упорядочить в антисимметричную матрицу 2 × 2 :

$(\epsilon \; 11\; \epsilon \; 12\; \epsilon \; 21\; \epsilon \; 22)\; =\; (0\; 1\; -\; 1\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{11\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{12\}\; \backslash \backslash \backslash \; varepsilon\; \_\; \{21\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{22\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; -\; 1\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

Использование двумерного символа относительно редко, хотя в некоторых специализированных темах, таких как суперсимметрия и теория твисторов, он появляется в контексте 2- спиноры. Чаще используются трехмерные символы Леви-Чивита.

Три измерения

Для индексов (i, j, k) в ε ijk, значения 1, 2, 3, встречающиеся в циклическом порядке (1, 2, 3) соответствуют ε = +1, в то время как встречающиеся в обратном циклическом порядке соответствуют ε = -1, в противном случае ε = 0.

В трех измерениях символ Леви-Чивиты определяется как :

$\epsilon \; ijk\; =\; \{+\; 1,\; если\; (i,\; j,\; k)\; равно\; (1,\; 2,\; 3),\; (2,\; 3,\; 1)\; или\; (3,\; 1,\; 2),\; -\; 1,\; если\; (i,\; j,\; k)\; равно\; (3,\; 2,\; 1),\; (1,\; 3,\; 2)\; или\; (2,\; 1,\; 3),\; 0,\; если\; i\; =\; j,\; или\; j\; =\; k,\; или\; k\; =\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ijk\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; +1\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; (i,\; j,\; k)\; \{\backslash \; text\; \{is\}\}\; (1,2,3),\; (2,3,1),\; \{\backslash \; text\; \{или\}\}\; (3,1,2),\; \backslash \backslash \; -\; 1\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; (i,\; j,\; k)\; \{\backslash \; text\; \{is\}\}\; (3,2,1),\; (1,\; 3,2),\; \{\backslash \; text\; \{или\}\}\; (2,1,3),\; \backslash \backslash \backslash ;\; \backslash ;\; \backslash ,\; 0\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; i\; =\; j,\; \{\backslash \; text\; \{или\}\}\; j\; =\; k,\; \{\backslash \; text\; \{или\}\}\; k\; =\; i\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

То есть, ε ijk равно 1, если (i, j, k) является четной перестановкой из (1, 2, 3), -1, если это нечетная перестановка, и 0, если любой индекс повторяется. Только в трех измерениях циклические перестановки из (1, 2, 3) все являются четными перестановками, аналогично антициклическими перестановками являются нечетными перестановками. Это означает, что в 3d достаточно взять циклические или антициклические перестановки (1, 2, 3) и легко получить все четные или нечетные перестановки.

Аналогично двумерным матрицам, значения трехмерного символа Леви-Чивиты можно упорядочить в массив 3 × 3 × 3:

, где i - глубина (синий: i = 1 ; красный: i = 2; зеленый: i = 3), j - строка, а k - столбец.

Некоторые примеры:

$ε 1 3 2 = - ε 1 2 3 = - 1 ε 3 1 2 = - ε 2 1 3 = - (- ε 1 2 3) = 1 ε 2 3 1 Знак равно - ε 1 3 2 = - (- ε 1 2 3) = 1 ε 2 3 2 = - ε 2 3 2 = 0 {\ displaystyle {\ begin {align} \ varepsilon _ {\ color {BrickRed} {1} \ color {Violet} {3} \ color {Orange} {2}} = - \ varepsilon _ {\ color {BrickRed} {1} \ color {Orange} {2} \ color {Violet} {3}} = -1 \\\ varepsilon _ {\ color {Violet} {3} \ color {BrickRed} {1} \ color {Orange} {2}} = - \ varepsilon _ {\ color {Orange} {2} \ color { BrickRed} {1} \ color {Violet} {3}} = - (- \ varepsilon _ {\ color {BrickRed} {1} \ color {Orange} {2} \ color {Violet} {3}}) = 1 \\\ varepsilon _ {\ color {Orange} {2} \ color {Violet} {3} \ color {BrickRed} {1}} = - \ varepsilon _ {\ color {BrickRed} {1} \ color {Violet } {3} \ color {Orange} {2}} = - (- \ varepsilon _ {\ color {BrickRed} {1} \ color {Orange} {2} \ color {Violet} {3}}) = 1 \\\ varepsilon _ {\ color {Orange} {2} \ color {Violet} {3} \ color {Orange} {2}} = - \ varepsilon _ {\ color {Orange} {2} \ color {Violet} {3} \ color {Orange} {2}} = 0 \ end {align}}}$

Четыре измерения

В четыре цента nsions, символ Леви-Чивиты определяется следующим образом:

$\epsilon \; ijkl\; =\; \{+\; 1,\; если\; (i,\; j,\; k,\; l)\; является\; четной\; перестановкой\; (1,\; 2,\; 3,\; 4)\; -\; 1,\; если\; (i,\; j,\; k,\; l)\; является\; нечетной\; перестановкой\; (1,\; 2,\; 3,\; 4)\; 0\; в\; противном\; случае\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ijkl\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; +1\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; (i,\; j,\; k,\; l)\; \{\backslash \; text\; \{является\; четной\; перестановкой\}\}\; (1,2,3,4)\; \backslash \backslash \; -\; 1\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; (i,\; j,\; k,\; l)\; \{\; \backslash \; text\; \{является\; нечетной\; перестановкой\}\}\; (1,2,3,4)\; \backslash \backslash \backslash ;\; \backslash ;\; \backslash ,\; 0\; \{\backslash \; text\; \{иначе\}\}\; \backslash \; end\; \{case\}\}\}$

Эти значения можно расположить в массив 4 × 4 × 4 × 4, хотя в четырех измерениях и выше это трудно нарисовать.

Некоторые примеры:

$ε 1 4 3 2 = - ε 1 2 3 4 = - 1 ε 2 1 3 4 = - ε 1 2 3 4 = - 1 ε 4 3 2 1 = - ε 1 3 2 4 знак равно - (- ε 1 2 3 4) = 1 ε 3 2 4 3 = - ε 3 2 4 3 = 0 {\ displaystyle {\ begin {align} \ varepsilon _ {\ color {BrickRed} {1 } \ color {RedViolet} {4} \ color {Violet} {3} \ color {Orange} {\ color {Orange} {2}}} = - \ varepsilon _ {\ color {BrickRed} {1} \ color { Оранжевый} {\ color {Orange} {2}} \ color {Violet} {3} \ color {RedViolet} {4}} = - 1 \\\ varepsilon _ {\ color {Orange} {\ color {Orange} {2}} \ color {BrickRed} {1} \ color {Violet} {3} \ color {RedViolet} {4}} = - \ varepsilon _ {\ color {BrickRed} {1} \ color {Orange} {\ color {Orange} {2}} \ color {Violet} {3} \ color {RedViolet} {4}} = - 1 \\\ varepsilon _ {\ color {RedViolet} {4} \ color {Violet} {3 } \ color {Orange} {\ color {Orange} {2}} \ color {BrickRed} {1}} = - \ varepsilon _ {\ color {BrickRed} {1} \ color {Violet} {3} \ color { Оранжевый} {\ color {Orange} {2}} \ color {RedViolet} {4}} = - (- \ varepsilon _ {\ color {BrickRed} {1} \ color {Orange} {\ color {Orange} { 2}} \ color {Violet} {3} \ color {RedViolet} {4}}) = 1 \\\ varepsilon _ {\ color {Violet} {3} \ color {Orange} {\ color {Orange} {2}} \ color {RedViolet} {4} \ color {Violet} {3}} = - \ varepsilon _ {\ color { Фиолетовый} {3} \ color {Orange} {\ color {Orange} {2}} \ color {RedViolet} {4} \ color {Violet} {3}} = 0 \ end {align}}}$

Обобщение на n измерений

В более общем смысле, в n измерениях символ Леви-Чивиты определяется следующим образом:

$\epsilon \; a\; 1\; a\; 2\; a\; 3\dots \; an\; =\; \{+\; 1\; if\; (\; a\; 1,\; a\; 2,\; a\; 3,\dots ,\; an)\; является\; четной\; перестановкой\; (1,\; 2,\; 3,\dots ,\; n)\; -\; 1,\; если\; (a\; 1,\; a\; 2,\; a\; 3,\dots ,\; an)\; является\; нечетной\; перестановкой\; из\; (1,\; 2,\; 3,\dots ,\; n)\; 0\; иначе\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{a\_\; \{1\}\; a\_\; \{2\}\; a\_\; \{3\}\; \backslash \; ldots\; a\_\; \{n\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; +\; 1\; \{\; \backslash \; text\; \{if\}\}\; (a\_\; \{1\},\; a\_\; \{2\},\; a\_\; \{3\},\; \backslash \; ldots,\; a\_\; \{n\})\; \{\backslash \; text\; \{-\; четная\; перестановка\}\}\; (1,2,3,\; \backslash \; dots,\; n)\; \backslash \backslash \; -\; 1\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; (a\_\; \{1\},\; a\_\; \{2\},\; a\_\; \{3\},\; \backslash \; ldots,\; a\_\; \{n\})\; \{\backslash \; text\; \{является\; нечетной\; перестановкой\}\}\; (\; 1,2,3,\; \backslash \; dots,\; n)\; \backslash \backslash \backslash ;\; \backslash ;\; \backslash ,\; 0\; \{\backslash \; text\; \{else\}\}\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

Таким образом, это знак перестановки в случае перестановки и ноль в противном случае.

При использовании прописной буквы «пи» ∏ для обычного умножения чисел явное выражение для символа:

, где функция signum (обозначенная как sgn) возвращает знак своего аргумента, отбрасывая абсолютное значение , если оно не равно нулю. Формула действительна для всех значений индекса и для любого n (когда n = 0 или n = 1, это пустой продукт ). Однако вычисление приведенной выше формулы наивно имеет временную сложность O (n), тогда как знак может быть вычислен из четности перестановки из ее непересекающихся циклов только за O (n log (n)) стоимость.

Тензор, компоненты которого в ортонормированном базисе задаются символом Леви-Чивиты (тензор ковариантного ранга n) является иногда называется тензором перестановок .

Согласно обычным правилам преобразования для тензоров, символ Леви-Чивиты не изменяется при чистом вращении, что согласуется с тем, что он (по определению) одинаков во всех системах координат, связанных ортогональными преобразованиями. Однако символ Леви-Чивиты является псевдотензором, потому что при ортогональном преобразовании из определитель Якоби -1, например, отражение в нечетном числе измерений он должен был бы получить знак минус, если бы был тензором. Поскольку он вообще не меняется, символ Леви-Чивиты по определению является псевдотензором.

Поскольку символ Леви-Чивита является псевдотензором, результатом взятия перекрестного произведения является псевдовектор, а не вектор.

При общей координате При изменении компоненты тензора перестановок умножаются на якобиан матрицы преобразования . Это означает, что в системе координат, отличной от той, в которой был определен тензор, его компоненты могут отличаться от компонентов символа Леви-Чивита на общий коэффициент. Если рамка является ортонормированной, коэффициент будет ± 1 в зависимости от того, одинакова ли ориентация рамки или нет.

В безиндексной тензорной нотации символ Леви-Чивиты заменяется понятием двойные символы Ходжа.

суммирования могут быть исключены с помощью нотации Эйнштейна, где индекс, повторяющийся между двумя или более членами, указывает суммирование по этому индексу. Например,

$\epsilon \; ijk\; \epsilon \; imn\; \equiv \; \sum \; i\; =\; 1,\; 2,\; 3\; \epsilon \; ijk\; \epsilon \; imn\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ijk\}\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{imn\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1,2,\; 3\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ijk\}\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{imn\}\}$.

В следующих примерах используются обозначения Эйнштейна.

Два измерения

В двух измерениях, когда каждый из i, j, m, n принимает значения 1 и 2,

$\epsilon \; ij\; \epsilon \; mn\; =\; \delta \; im\; \delta \; jn\; -\; \delta \; в\; \delta \; jm\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ij\}\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{mn\}\; =\; \{\backslash \; delta\; \_\; \{i\}\}\; ^\; \{m\}\; \{\backslash \; delta\; \_\; \{j\}\}\; ^\; \{n\}\; -\; \{\backslash \; delta\; \_\; \{i\}\; \}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; delta\; \_\; \{j\}\}\; ^\; \{m\}\}$

(1)

$\epsilon \; ij\; \epsilon \; in\; =\; \delta \; jn\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ij\}\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{in\}\; =\; \{\backslash \; delta\; \_\; \{j\}\}\; ^\; \{n\}\}$

(2)

$\epsilon \; ij\; \epsilon \; ij\; =\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ij\}\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{ij\}\; =\; 2.\}$

(3)

Три измерения

Значения индекса и символа

В трех измерениях, когда все i, j, k, m, n принимают значения 1, 2 и 3:

$\epsilon \; ijk\; \epsilon \; imn\; =\; \delta \; jm\; \delta \; kn\; -\; \delta \; jn\; \delta \; км\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ijk\}\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{imn\}\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{j\}\; \{\}\; ^\; \{m\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{k\; \}\; \{\}\; ^\; \{n\}\; -\; \backslash \; delta\; \_\; \{j\}\; \{\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{k\}\; \{\}\; ^\; \{m\}\}$

(4)

$\epsilon \; jmn\; \epsilon \; imn\; =\; 2\; \delta \; ji\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{jmn\}\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{imn\}\; =\; 2\; \{\backslash \; delta\; \_\; \{j\}\}\; ^\; \{i\}\}$

(5)

$\epsilon \; ijk\; \epsilon \; ijk\; =\; 6.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ijk\}\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{ijk\}\; =\; 6.\}$

(6)

Продукт

Символ Леви-Чивита связан с дельтой Кронекера. В трех измерениях взаимосвязь задается следующими уравнениями (вертикальные линии обозначают определитель):

$\epsilon \; i\; j\; k\; \epsilon \; l\; m\; n\; =\; |\; \delta \; i\; l\; \delta \; i\; m\; \delta \; i\; n\; \delta \; j\; l\; \delta \; j\; m\; \delta \; j\; n\; \delta \; k\; l\; \delta \; k\; m\; \delta \; k\; n\; |\; знак\; равно\; \delta \; i\; l\; (\delta \; j\; м\; \delta \; k\; n\; -\; \delta \; j\; n\; \delta \; k\; m)\; -\; \delta \; i\; m\; (\delta \; j\; l\; \delta \; k\; n\; -\; \delta \; j\; n\; \delta \; k\; l)\; +\; \delta \; i\; n\; (\delta \; j\; l\; \delta \; k\; m\; -\; \delta \; j\; m\; \delta \; k\; l).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ijk\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{lmn\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{vmatrix\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{il\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{im\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{in\}\; \backslash \; \backslash \backslash \; delta\; \_\; \{jl\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{jm\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{jn\}\; \backslash \backslash \backslash \; delta\; \_\; \{kl\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{km\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{kn\}\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{vmatrix\}\; \}\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{il\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; delta\; \_\; \{jm\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{kn\}\; -\; \backslash \; delta\; \_\; \{jn\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{km\}\; \backslash \; right)\; -\; \backslash \; delta\; \_\; \{\; im\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; delta\; \_\; \{jl\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{kn\}\; -\; \backslash \; delta\; \_\; \{jn\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{kl\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; delta\; \_\; \{in\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; delta\; \_\; \{jl\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{km\}\; -\; \backslash \; delta\; \_\; \{jm\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{kl\}\; \backslash \; right).\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Частным случаем этого результата является (4):

$\sum \; i\; Знак\; равно\; 1\; 3\; \epsilon \; ijk\; \epsilon \; imn\; знак\; равно\; \delta \; jm\; \delta \; kn\; -\; \delta \; jn\; \delta \; км\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ijk\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{imn\}\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{jm\; \}\; \backslash \; delta\; \_\; \{kn\}\; -\; \backslash \; delta\; \_\; \{jn\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{km\}\}$

иногда называется «сокращенной эпсилон-идентичностью».

В системе обозначений Эйнштейна дублирование индекса i подразумевает сумму по i. Предыдущее тогда обозначается ε ijk ε imn = δ jmδkn- δ jnδkm.

$\sum \; i\; =\; 1\; 3\; \sum \; j\; =\; 1\; 3\; \epsilon \; ijk\; \epsilon \; ijn\; =\; 2\; \delta \; kn\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ijk\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ijn\}\; =\; 2\; \backslash \; delta\; \_\; \{kn\}\}$

n измерений

Значения индекса и символа

В n измерениях, когда все i 1,…, i n, j 1,..., j n принимают значения 1, 2,..., n:

$\epsilon \; i\; 1\dots \; in\; \epsilon \; j\; 1\dots \; jn\; =\; n!\; \delta \; [я\; 1\; j\; 1\dots \; \delta \; дюйм]\; jn\; =\; \delta \; я\; 1\dots \; inj\; 1\dots \; jn\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{i\_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; i\_\; \{n\}\}\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{j\_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; j\_\; \{\; n\}\}\; =\; n!\; \backslash \; delta\; \_\; \{[i\_\; \{1\}\}\; ^\; \{j\_\; \{1\}\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; delta\; \_\; \{i\_\; \{n\}]\}\; ^\; \{j\_\; \{n\}\}\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{i\_\; \{1\; \}\; \backslash \; dots\; i\_\; \{n\}\}\; ^\; \{j\_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; j\_\; \{n\}\}\}$

(7)

$\epsilon \; i\; 1\dots \; ikik\; +\; 1\dots \; in\; \epsilon \; i\; 1\dots \; ikjk\; +\; 1\dots \; jn\; =\; к!\; (п\; -\; к)!\; \delta \; [я\; k\; +\; 1\; j\; k\; +\; 1\dots \; \delta \; i\; n]\; j\; n\; =\; k!\; \delta \; ik\; +\; 1\dots \; injk\; +\; 1\dots \; jn\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{i\_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; i\_\; \{k\}\; ~\; i\_\; \{k\; +\; 1\}\; \backslash \; dots\; i\_\; \{n\}\}\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{i\_\; \{1\}\; \backslash \; точки\; i\_\; \{k\}\; ~\; j\_\; \{k\; +\; 1\}\; \backslash \; dots\; j\_\; \{n\}\}\; =\; k!\; (nk)!\; ~\; \backslash \; delta\; \_\; \{[i\_\; \{k\; +\; 1\}\}\; ^\; \{j\_\; \{k\; +\; 1\}\}\; \backslash \; точки\; \backslash \; delta\; \_\; \{i\_\; \{n\}]\}\; ^\; \{j\_\; \{n\}\}\; =\; k!\; ~\; \backslash \; delta\; \_\; \{i\_\; \{k\; +\; 1\}\; \backslash \; dots\; i\_\; \{n\}\}\; ^\; \{j\_\; \{k\; +\; 1\}\; \backslash \; dots\; j\_\; \{\; n\}\}\}$

(8)

$\epsilon \; i\; 1\dots \; in\; \epsilon \; i\; 1\dots \; in\; =\; n!\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{i\_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; i\_\; \{n\}\}\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{i\_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; i\_\; \{n\}\}\; =\; n!\}$

(9)

где восклицательный знак (!) обозначает факториал, а δ. β…- обобщенная дельта Кронекера. Для любого n свойство

$\sum \; i,\; j,\; k,\; \cdots \; =\; 1\; n\; \epsilon \; i\; j\; k\dots \; \epsilon \; i\; j\; k\dots \; =\; n!\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i,\; j,\; k,\; \backslash \; dots\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ijk\; \backslash \; dots\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ijk\; \backslash \; dots\}\; =\; n!\}$

следует из того, что

• каждая перестановка либо четная, либо нечетная,
• (+1) = (−1) = 1, и
• количество перестановок любого номера набора из n элементов равно n !.

Продукт

Как правило, для n измерений произведение двух символов Леви-Чивиты можно записать как:

$\epsilon \; i\; 1\; i\; 2\dots \; in\; \epsilon \; j\; 1\; j\; 2\dots \; jn\; =\; |\; \delta \; i\; 1\; j\; 1\; \delta \; i\; 1\; j\; 2\dots \; \delta \; i\; 1\; j\; n\; \delta \; i\; 2\; j\; 1\; \delta \; i\; 2\; j\; 2\dots \; \delta \; i\; 2\; j\; n\; ⋮\; ⋮\; \ddots \; ⋮\; \delta \; i\; n\; j\; 1\; \delta \; i\; n\; j\; 2\dots \; \delta \; i\; n\; j\; n\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{i\_\; \{1\}\; i\_\; \{2\}\; \backslash \; dots\; i\_\; \{n\}\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{j\_\; \{1\}\; j\_\; \{2\}\; \backslash \; dots\; j\_\; \{n\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{vmatrix\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{i\_\; \{1\}\; j\_\; \{1\}\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{i\_\; \{1\}\; j\_\; \{2\}\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; delta\; \_\; \{i\_\; \{1\}\; j\_\; \{n\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; delta\; \_\; \{i\_\; \{\; 2\}\; j\_\; \{1\}\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{i\_\; \{2\}\; j\_\; \{2\}\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; delta\; \_\; \{i\_\; \{2\}\; j\_\; \{n\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \backslash \; delta\; \_\; \{i\_\; \{n\}\; j\_\; \{1\}\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{i\_\; \{n\}\; j\_\; \{2\}\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; delta\; \_\; \{i\_\; \{n\}\; j\_\; \{n\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{vmatrix\}\}\}$.

Доказательства

Для (1) обе стороны антисимметричны относительно ij и mn. Поэтому нам нужно рассмотреть только случай i ≠ j и m ≠ n. Подстановкой мы видим, что уравнение выполняется для ε 12 ε, то есть для i = m = 1 и j = n = 2 (тогда обе стороны равны). Поскольку уравнение антисимметрично по ij и mn, любой набор их значений может быть сведен к вышеупомянутому случаю (который имеет место). Таким образом, уравнение верно для всех значений ij и mn.

Используя (1), мы имеем для (2)

$\epsilon \; ij\; \epsilon \; in\; =\; \delta \; ii\; \delta \; jn\; -\; \delta \; in\; \delta \; ji\; =\; 2\; \delta \; jn\; -\; \delta \; jn\; =\; \delta \; jn.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ij\}\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{in\}\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{i\}\; \{\}\; ^\; \{i\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{j\}\; \{\}\; ^\; \{n\}\; -\; \backslash \; delta\; \_\; \{i\}\; \{\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{j\}\; \{\}\; ^\; \{i\}\; =\; 2\; \backslash \; delta\; \_\; \{j\}\; \{\}\; ^\; \{n\}\; -\; \backslash \; delta\; \_\; \{j\}\; \{\}\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{j\}\; \{\}\; ^\; \{n\}\; \backslash ,.\}$

Здесь мы использовали соглашение о суммировании Эйнштейна с i, идущим от 1 до 2. Далее (3) аналогично следует из (2).

Чтобы установить (5), заметьте, что обе части обращаются в нуль, когда i ≠ j. В самом деле, если i ≠ j, то нельзя выбрать m и n так, чтобы оба символа перестановки слева были ненулевыми. Тогда при i = j фиксировано, есть только два способа выбрать m и n из оставшихся двух индексов. Для любых таких индексов мы имеем

$\epsilon \; jmn\; \epsilon \; imn\; =\; (\epsilon \; imn)\; 2\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{jmn\}\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{imn\}\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; varepsilon\; ^\; \{imn\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; 1\}$

(без суммирования), и результат следует.

Тогда (6) следует, поскольку 3! = 6 и для любых различных индексов i, j, k принимая val ues 1, 2, 3, мы имеем

$\epsilon \; ijk\; \epsilon \; ijk\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ijk\}\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{ijk\}\; =\; 1\}$(без суммирования, отличные i, j, k)

Детерминанты

В линейной алгебре, определитель квадратной матрицы 3 × 3 A= [a ij ] можно записать

$det\; (A)\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; 3\; \sum \; j\; =\; 1\; 3\; \sum \; k\; =\; 1\; 3\; \epsilon \; ijka\; 1\; ia\; 2\; ja\; 3\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; det\; (\backslash \; mathbf\; \{A\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ijk\}\; a\_\; \{1i\; \}\; a\_\; \{2j\}\; a\_\; \{3k\}\}$

Аналогично определитель матрицы размера n × n A = [a ij ] можно записать как

$det\; (A)\; =\; \epsilon \; я\; 1\dots \; инна\; 1\; я\; 1\dots \; анин,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; det\; (\backslash \; mathbf\; \{A\})\; =\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{i\_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; i\_\; \{n\}\}\; a\_\; \{1i\_\; \{1\}\}\; \backslash \; dots\; a\_\; \{ni\_\; \{n\}\},\}$

, где каждый i r должен быть суммирован по 1,…, n, или эквивалентно:

$det\; (A)\; =\; 1\; n!\; \epsilon \; я\; 1\dots \; в\; \epsilon \; j\; 1\dots \; jnai\; 1\; j\; 1\dots \; ainjn,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; det\; (\backslash \; mathbf\; \{A\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n!\}\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{i\_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; i\_\; \{n\}\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{j\_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; j\_\; \{n\}\}\; a\_\; \{i\_\; \{1\}\; j\_\; \{1\}\}\; \backslash \; dots\; a\_\; \{i\_\; \{n\}\; j\_\; \{n\}\},\}$

где теперь каждый i r и каждый j r следует суммировать по 1,…, n. В более общем смысле, мы имеем тождество

$\sum \; i\; 1,\; i\; 2,\dots \; \epsilon \; i\; 1\dots \; inai\; 1\; j\; 1\dots \; ainjn\; =\; det\; (A)\; \epsilon \; j\; 1\dots \; jn\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\_\; \{1\},\; i\_\; \{2\},\; \backslash \; dots\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{i\_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; i\_\; \{n\}\}\; a\_\; \{i\_\; \{1\}\; \backslash ,\; j\_\; \{1\}\}\; \backslash \; dots\; a\_\; \{i\_\; \{n\}\; \backslash ,\; j\_\; \{n\}\; \}\; =\; \backslash \; det\; (\backslash \; mathbf\; \{A\})\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{j\_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; j\_\; \{n\}\}\}$

Векторное произведение крестов

Произведение (два вектора)

Если a = (a, a, a) и b = (b, b, b) - это векторы в ℝ (представленные в некоторых в правой системе координат с использованием ортонормированного базиса), их векторное произведение можно записать как определитель:

$a\; \times \; b\; =\; |\; e\; 1\; e\; 2\; e\; 3\; a\; 1\; a\; 2\; a\; 3\; b\; 1\; b\; 2\; b\; 3\; |\; Знак\; равно\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; 3\; \sum \; J\; знак\; равно\; 1\; 3\; \sum \; К\; знак\; равно\; 1\; 3\; \epsilon \; ijkeiajbk\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{a\; \backslash \; times\; b\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{vmatrix\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\_\; \{1\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\_\; \{\; 2\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\_\; \{3\}\}\; \backslash \backslash \; a\; ^\; \{1\}\; a\; ^\; \{2\}\; a\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; b\; ^\; \{1\}\; b\; ^\; \{2\}\; b\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \backslash \; конец\; \{vmatrix\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ijk\}\; \backslash \; mathbf\; \{\; e\}\; \_\; \{i\}\; a\; ^\; \{j\}\; b\; ^\; \{k\}\}$

, следовательно, также используется символ Леви-Чивиты, а проще говоря:

$(a\; \times \; b)\; i\; =\; \sum \; j\; =\; 1\; 3\; \sum \; k\; =\; 1\; 3\; \epsilon \; ijkajbk.\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{a\; \backslash \; times\; b\})\; ^\; \{i\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ijk\}\; a\; ^\; \{j\}\; b\; ^\; \{k\}.\}$

В системе обозначений Эйнштейна символы суммирования могут быть опущены, и i-й компонент их перекрестного произведения равен

$(a\; \times \; b)\; i\; =\; \epsilon \; ijkajbk.\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{a\; \backslash \; times\; b\})\; ^\; \{i\}\; =\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ijk\}\; a\; ^\; \{j\}\; b\; ^\; \{k\}.\}$

Первый компонент -

$(a\; \times \; b)\; 1\; =\; a\; 2\; b\; 3\; -\; a\; 3\; b\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{a\; \backslash \; times\; b\})\; ^\; \{1\}\; =\; a\; ^\; \{2\}\; b\; ^\; \{3\}\; -a\; ^\; \{3\}\; b\; ^\; \{\; 2\}\; \backslash ,,\}$

тогда путем циклической перестановки 1, 2, 3 остальные могут быть получены немедленно, без явного вычисления их по приведенным выше формулам:

$(a\; \times \; b)\; 2\; =\; a\; 3\; b\; 1\; -\; а\; 1\; б\; 3,\; (а\; \times \; б)\; 3\; =\; а\; 1\; б\; 2\; -\; а\; 2\; б\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; (\backslash \; mathbf\; \{a\; \backslash \; times\; b\})\; ^\; \{2\}\; =\; a\; ^\; \{3\}\; b\; ^\; \{1\}\; -a\; ^\; \{1\}\; b\; ^\; \{3\}\; \backslash ,,\; \backslash \; \backslash \; (\backslash \; mathbf\; \{a\; \backslash \; times\; b\})\; ^\; \{3\}\; =\; a\; ^\; \{1\}\; b\; ^\; \{2\}\; -a\; ^\; \{2\}\; b\; ^\; \{1\}\; \backslash ,.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Тройное скалярное произведение (три вектора)

Из приведенного выше выражения для векторного произведения имеем:

$a\; \times \; b\; =\; -\; b\; \times \; a\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{a\; \backslash \; times\; b\}\; =\; -\; \backslash \; mathbf\; \{b\; \backslash \; times\; a\}\}$.

Если c = (c, c, c) - третий вектор, то тройное скалярное произведение равно

$a\; \cdot \; (b\; \times \; c)\; =\; \epsilon \; ijkaibjck.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; mathbf\; \{b\; \backslash \; times\; c\})\; =\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ijk\}\; a\; ^\; \{i\}\; b\; ^\; \{j\}\; c\; ^\; \{k\}.\}$

Из этого выражения, видно, что тройное скалярное произведение антисимметрично при обмене любой парой аргументов. Например,

$a\; \cdot \; (b\; \times \; c)\; =\; -\; b\; \cdot \; (a\; \times \; c)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; mathbf\; \{b\; \backslash \; times\; c\})\; =\; -\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; mathbf\; \{a\; \backslash \; times\; c\})\}$.

Curl (одно векторное поле)

Если F = (F, F, F) - векторное поле, определенное на некотором открыть набор из ℝ как функцию из позиции x= (x, x, x) (с использованием декартовых координат ). Тогда i-й компонент curl из F равен

$(\nabla \; \times \; F)\; i\; (x)\; =\; \epsilon \; ijk\; \partial \; \partial \; xj\; F\; k\; (x),\; \{\backslash \; displaystyle\; (\; \backslash \; nabla\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{F\})\; ^\; \{i\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; =\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{ijk\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{j\}\}\}\; F\_\; \{k\}\; (\; \backslash \; mathbf\; \{x\}),\}$

, которое следует из выражения перекрестного произведения выше, заменяя компоненты вектора градиента вектором оператором (набла).

В любой произвольной криволинейной системе координат и даже при отсутствии метрики на многообразии, символ Леви-Чивиты, как определено выше, можно рассматривать как поле тензорной плотности двумя разными способами. Его можно рассматривать как контравариантную тензорную плотность веса +1 или как ковариантную тензорную плотность веса -1. В n измерениях, используя обобщенную дельту Кронекера,

$\epsilon \; \mu \; 1\dots \; \mu \; n\; =\; \delta \; 1\dots \; n\; \mu \; 1\dots \; \mu \; n\; \epsilon \; \nu \; 1\dots \; \nu \; n\; =\; \delta \; \nu \; 1\dots \; \nu \; n\; 1\dots \; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; mu\; \_\; \{n\}\}\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash ,\; 1\; \backslash ,\; \backslash \; dots\; \backslash ,\; n\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; mu\; \_\; \{n\}\}\; \backslash ,\; \backslash \backslash \backslash \; varepsilon\; \_\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; nu\; \_\; \{n\}\}\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; nu\; \_\; \{n\}\}\; ^\; \{\backslash ,\; 1\; \backslash ,\; \backslash \; dots\; \backslash ,\; n\}\; \backslash ,.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Обратите внимание, что они численно идентичны. В частности, знак такой же.

На псевдоримановом многообразии можно определить координатно-инвариантное ковариантное тензорное поле, координатное представление которого согласуется с символом Леви-Чивиты везде, где система координат такова, что основа касательного пространства ортонормирована по отношению к метрике и соответствует выбранной ориентации. Этот тензор не следует путать с упомянутым выше тензорным полем плотности. Представление в этом разделе близко следует Кэрролл 2004.

Ковариантный тензор Леви-Чивиты (также известный как форма риманова объема ) в любой системе координат, которая соответствует выбранной ориентации, равна

$E\; a\; 1\dots \; an\; =\; |\; det\; [g\; a\; b]\; |\; \epsilon \; a\; 1\dots \; an,\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{a\_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; a\_\; \{n\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; left\; |\; \backslash \; det\; [g\_\; \{ab\}]\; \backslash \; right\; |\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{a\_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; a\_\; \{n\}\}\; \backslash ,,\}$

где g ab - представление метрики в этой системе координат. Аналогичным образом мы можем рассмотреть контравариантный тензор Леви-Чивиты, подняв индексы с помощью метрики, как обычно,

$E\; a\; 1\dots \; an\; =\; E\; b\; 1\dots \; bn\; \prod \; i\; =\; 1\; ngaibi,\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; ^\; \{a\_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; a\_\; \{n\}\}\; =\; E\_\; \{b\_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; b\_\; \{n\}\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; g\; ^\; \{a\_\; \{i\}\; b\_\; \{i\}\}\; \backslash ,,\}$

, но обратите внимание, что если метрическая сигнатура содержит нечетное количество отрицательных q, то знаки компонентов этого тензора отличаются от стандартного символа Леви-Чивиты:

$E\; a\; 1\dots \; an\; =\; sgn\; \; (det\; [gab])\; |\; det\; [g\; a\; b]\; |\; \epsilon \; a\; 1\dots \; an,\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; ^\; \{a\_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; a\_\; \{n\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; operatorname\; \{sgn\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; det\; [g\_\; \{ab\}]\; \backslash \; right)\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; left\; |\; \backslash \; det\; [g\_\; \{ab\}]\; \backslash \; right\; |\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{a\_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; a\_\; \{n\}\},\}$

где sgn (det [g ab ]) = (−1), и $\epsilon \; a\; 1\dots \; an\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{a\_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; a\_\; \{n\}\}\}$- обычный Леви -Символ Чивита обсуждается в оставшейся части этой статьи. Более явно, когда ориентация тензора и базиса выбрана так, что $E\; 01\dots \; n\; =\; +\; |\; det\; [g\; a\; b]\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{01\; \backslash \; dots\; n\}\; =\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; left\; |\; \backslash \; det\; [g\_\; \{ab\}]\; \backslash \; right\; |\}\}\}$, у нас есть это $E\; 01\dots \; n\; =\; sgn\; \; (det\; [gab])\; |\; det\; [g\; a\; b]\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; ^\; \{01\; \backslash \; dots\; n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; operatorname\; \{sgn\}\; (\backslash \; det\; [g\_\; \{ab\}])\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; left\; |\; \backslash \; det\; [g\_\; \{ab\}]\; \backslash \; right\; |\; \}\}\}\}$.

Отсюда мы можем вывести тождество,

$E\; \mu \; 1\dots \; \mu \; p\; \alpha \; 1\dots \; \alpha \; n\; -\; p\; E\; \mu \; 1\dots \; \mu \; p\; \beta \; 1\dots \; \beta \; n\; -\; p\; =\; (-\; 1)\; qp\; !\; \delta \; \beta \; 1\dots \; \beta \; N\; -\; p\; \alpha \; 1\dots \; \alpha \; N\; -\; p,\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; mu\; \_\; \{p\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; alpha\; \_\; \{np\}\; \}\; E\; \_\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; mu\; \_\; \{p\}\; \backslash \; beta\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; beta\; \_\; \{np\}\}\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{q\}\; p!\; \backslash \; Delta\; \_\; \{\backslash \; beta\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; beta\; \_\; \{np\}\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; alpha\; \_\; \{np\}\}\; \backslash ,,\}$

где

$\delta \; \beta \; 1\dots \; \beta \; n\; -\; p\; \alpha \; 1\; \dots \; {\rm A}\; n\; -\; p\; =\; (n\; -\; p)!\; \delta \; \beta \; 1\; [\alpha \; 1\dots \; \delta \; \beta \; N\; -\; п\; \alpha \; N\; -\; p]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; beta\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; beta\; \_\; \{np\}\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; alpha\; \_\; \{np\}\}\; =\; (np)!\; \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; beta\; \_\; \{1\}\}\; ^\; \{\backslash \; lbrack\; \backslash \; alpha\; \_\; \{1\}\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; beta\; \_\; \{np\}\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{np\}\; \backslash \; rbrack\}\}$

- обобщенная дельта Кронекера.

Пример: пространство Минковского

В пространстве Минковского (четырехмерное пространство-время из специальной теории относительности ) ковариантный тензор Леви-Чивиты равен

$E\; \alpha \; \beta \; \gamma \; \delta \; =\; \pm \; |\; det\; [g\; \mu \; \nu ]\; |\; \epsilon \; \alpha \; \beta \; \gamma \; \delta ,\; \{\backslash \; Displaystyle\; E\; \_\; \{\backslash \; альфа\; \backslash \; бета\; \backslash \; гамма\; \backslash \; дельта\}\; =\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{|\; \backslash \; det\; [g\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}]\; |\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\; \backslash \; gamma\; \backslash \; delta\}\; \backslash ,,\}$

где знак зависит от ориентации основы. Контравариантный тензор Леви-Чивиты равен

$E\; \alpha \; \beta \; \gamma \; \delta \; =\; g\; \alpha \; \zeta \; g\; \beta \; \eta \; g\; \gamma \; \theta \; g\; \delta \; \iota \; E\; \zeta \; \eta \; \theta \; \iota .\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\; \backslash \; gamma\; \backslash \; delta\}\; =\; g\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; zeta\}\; g\; ^\; \{\backslash \; beta\; \backslash \; eta\}\; g\; ^\; \{\backslash \; gamma\; \backslash \; theta\}\; g\; ^\; \{\backslash \; delta\; \backslash \; iota\}\; E\_\; \{\; \backslash \; zeta\; \backslash \; eta\; \backslash \; theta\; \backslash \; iota\}\; \backslash ,.\}$

Ниже приведены примеры общего тождества, описанного выше, специально для пространства Минковского (с отрицательным знаком, возникающим из нечетного числа отрицаний в сигнатуре метрического тензора в любом условные обозначения):

$E α β γ δ E ρ σ μ ν = - g α ζ g β η g γ θ g δ ι δ ρ σ μ ν ζ η θ ι E α β γ δ E ρ σ μ ν = - g α ζ g β η g γ θ g δ ι δ ζ η θ ι ρ σ μ ν E α β γ δ E α β γ δ = - 24 E α β γ δ E ρ β γ δ = - 6 δ ρ α E α β γ δ E ρ σ γ δ = - 2 δ ρ σ α β E α β γ δ E ρ σ θ δ = - δ ρ σ θ α β γ. {\ displaystyle {\ begin {align} E _ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta} E _ {\ rho \ sigma \ mu \ nu} = - g _ {\ alpha \ zeta} g _ {\ beta \ eta} g_ { \ gamma \ theta} g _ {\ delta \ iota} \ delta _ {\ rho \ sigma \ mu \ nu} ^ {\ zeta \ eta \ theta \ iota} \\ E ^ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta} E ^ {\ rho \ sigma \ mu \ nu} = - g ^ {\ alpha \ zeta} g ^ {\ beta \ eta} g ^ {\ gamma \ theta} g ^ {\ delta \ iota} \ delta _ {\ zeta \ eta \ theta \ iota} ^ {\ rho \ sigma \ mu \ nu} \\ E ^ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta} E _ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta} = - 24 \\ E ^ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta} E _ {\ rho \ beta \ gamma \ delta} = - 6 \ delta _ {\ rho} ^ {\ alpha} \\ E ^ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta} E _ {\ rho \ sigma \ gamma \ delta} = - 2 \ delta _ {\ rho \ sigma} ^ {\ alpha \ beta} \\ E ^ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta} E _ {\ rho \ sigma \ theta \ delta} = - \ delta _ {\ rho \ sigma \ theta} ^ {\ alpha \ beta \ gamma} \,. \ End {align}}}$

Проективное пространство измерения $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$обычно описывается как $(n\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (n\; +\; 1)\}$координаты точки $x\; 0,\; x\; 1,...\; x\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{0\},\; \backslash \; x\; ^\; \{1\},\; \backslash ...\; \backslash \; x\; ^\; \{n\}\}$заданный по модулю произвольного ненулевого общего множителя. В этом случае $ϵ\; i\; 0\; i\; 1...\; in\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{i\_\; \{0\}\; i\_\; \{1\}...\; i\_\; \{n\}\}\}$определяется как +1, если $(i\; 0,\; i\; 1,....\; in)\; \{\backslash \; displaystyle\; (i\_\; \{0\},\; \backslash \; i\_\; \{1\},\; \backslash ...\; \backslash \; i\_\; \{n\})\}$является положительной перестановкой $(0,\; 1,....\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; (0,\; \backslash \; 1,\; \backslash ...\; \backslash \; n)\}$, -1, если отрицательное значение, 0, если любые два (или более) индекса равны.

Аналогично для $ϵ\; i\; 0\; i\; 1...\; я\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; ^\; \{i\_\; \{0\}\; i\_\; \{1\}...\; i\_\; \{n\}\}\}$в двойном пространстве с координатами $u\; 0,\; u\; 1,...\; u\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{0\},\; \backslash \; u\_\; \{1\},\; \backslash ...\; \backslash \; u\_\; \{n\}\}$. Двойственность часто подразумевается, например уравнение $uixi\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{i\}\; x\; ^\; \{i\}\; =\; 0\}$(с соглашением о суммировании Эйнштейна ) выражает совпадение между точкой $(\; xi)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; ^\; \{i\})\}$и подпространство первого порядка $(ui)\; \{\backslash \; displaystyle\; (u\_\; \{i\})\}$независимо от того, $xi\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{i\}\}$считаются координатами, а $ui\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{i\}\}$- коэффициентами или наоборот.

• Список тем о перестановках
• Симметричный тензор

• Wheeler, JA; Misner, C.; Торн, К. С. (1973). Гравитация. W.H. Freeman Co., стр. 85–86, §3.5. ISBN 0-7167-0344-0.
• Нойеншвандер, Д. Э. (2015). Тензорное исчисление для физики. Издательство Университета Джона Хопкинса. С. 11, 29, 95. ISBN 978-1-4214-1565-9.
• Кэрролл, Шон М. (2004), Пространство-время и геометрия, Addison-Wesley, ISBN 0-8053-8732-3

This article incorporates material from Levi-Civita permutation symbol on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.

• Weisstein, Eric W. "Permutation Tensor". MathWorld.