Вариационный принцип

В науке и особенно в математических исследованиях вариационный принцип - это принцип, который позволяет решить проблему с помощью вариационного исчисления, который касается поиска таких функций, которые оптимизируют значения количества, которые зависят от этих функций. Например, задача определения формы подвешенной на обоих концах цепи - цепной линии - может быть решена с помощью вариационного исчисления, и в этом случае вариационный принцип следующий: Решение - это функция, которая минимизирует гравитационную потенциальную энергию цепи.

• 1 Обзор
• 2 История
• 3 Примеры
  • 3.1 В математике
  • 3.2 В физике
• 4 Ссылки

Любой физический закон, который можно выразить как вариационный принцип, описывающий самосопряженный оператор . Эти выражения также называют эрмитовскими. Такое выражение описывает инвариант относительно эрмитова преобразования.

Программа Erlangen Феликса Клейна попыталась идентифицировать такие инварианты в группе преобразований. В том, что в физике называется теоремой Нётер, группа Пуанкаре преобразований (то, что сейчас называется калибровочной группой ) для общей теории относительности определяет симметрии относительно группы преобразований, которые зависят от вариационного принципа или принципа действия.

В математике

• Метод Рэлея – Ритца для решения краевые задачи приблизительно
• вариационный принцип Экланда в математической оптимизации
• метод конечных элементов

в физике

• принцип Ферма в геометрическая оптика
• принцип Мопертюи в классической механике
• принцип наименьшего действия в механике, теория электромагнетизма и квантовая механика
• вариационный метод в квантовой механике
• принцип наименьшего принуждения Гаусса и принцип наименьшей кривизны Герца
• принцип действия Гильберта в общей теории относительности, что приводит к Уравнения поля Эйнштейна.
• Вариация Палатини

• Ekeland, Ivar (1979). «Задачи невыпуклой минимизации». Бюллетень Американского математического общества. Новая серия. 1 (3): 443–474. doi : 10.1090 / S0273-0979-1979-14595-6. MR 0526967. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• ST Epstein 1974 «Вариационный метод в квантовой химии». (Нью-Йорк: академический)
• Р.П. Фейнман, «Принцип наименьшего действия», почти дословная стенограмма лекции в томе 2, главе 19 Лекций Фейнмана по физике, Addison-Wesley, 1965. Введение в неподражаемом стиле Фейнмана.
• С.Ланцош, Вариационные принципы механики (Dover Publications)
• Р.К. Несбет 2003 «Вариационные принципы и методы в теоретической физике и химии» ". (Нью-Йорк: Кембридж, UP)
• С.К. Адхикари 1998" Вариационные принципы для численного решения задач рассеяния ". (Нью-Йорк: Wiley)
• CG Gray, G Karl G and VA Novikov 1996, Ann. Phys. 251 1.
• Грей К.Г., Карл Г. и Новиков В.А. «Прогресс классических и квантовых вариационных принципов ». 11 декабря 2003 г., Physics / 0312071 Классическая физика.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). I Введение в квантовую механику (2-е изд.). Прентис Холл. ISBN 0-13-805326-X.
• Стивен Вольфрам, Новый вид науки (2002), стр. 1052
• Джон Венейблс, "Вариационный принцип и некоторые приложения ". Кафедра физики и астрономии, Государственный университет Аризоны, Темпе, Аризона (аспирантура: квантовая физика)
• Эндрю Джеймс Уильямсон, «Вариационный принцип - Квантовые расчеты электронных возбуждений методом Монте-Карло». Колледж Робинсона, Кембридж, Группа теории конденсированных сред, Кавендишская лаборатория. Сентябрь 1996 г. (диссертация доктора философии)
• Киёхиса Токунага, «Вариационный принцип электромагнитного поля ». Полный интеграл электромагнитного канонического действия, часть вторая, релятивистская каноническая теория электромагнетизма, глава VI
• Комков, Вадим (1986) Вариационные принципы механики сплошных сред с инженерными приложениями. Vol. 1. Теория критических точек. Математика и ее приложения, 24. D. Reidel Publishing Co., Dordrecht.
• Кассель, Кевин В.: Вариационные методы с приложениями в науке и технике, Cambridge University Press, 2013.