Принцип наименьшего действия

Вариационный принцип для физических систем, минимизирующий действие системы

В этой статье обсуждается история принципа наименьшего действие. Для приложения, пожалуйста, обратитесь к действие (физика).

принцип наименьшего действия - или, точнее, принцип стационарного действия - это вариационный принцип, который при применении к действию системы механической может использоваться для получения уравнений движения для этой системы. Исторически его называли «наименьшим», потому что для его решения необходимо найти путь движения в пространстве, имеющий наименьшее значение.

Этот принцип можно использовать для получения ньютоновского, лагранжевого и гамильтоновы уравнения движения и даже общая теория относительности (см. действие Эйнштейна – Гильберта ). В теории относительности другое действие должно быть минимизировано или максимизировано.

Классическая механика и электромагнитные выражения являются следствием квантовой механики. Метод стационарного действия помог в развитии квантовой механики. В 1933 году физик Поль Дирак продемонстрировал, как этот принцип может быть использован в квантовых вычислениях, обнаружив квантово-механическую основу принципа в квантовой интерференции амплитуд.. Впоследствии Джулиан Швингер и Ричард Фейнман независимо друг от друга применили этот принцип в квантовой электродинамике.

Этот принцип остается центральным в современной физике и математике., применяемые в термодинамике, механике жидкости, теории относительности, квантовой механике, физике элементарных частиц и теория струн и является основным направлением современных математических исследований в теории Морса. Принцип Мопертюи и принцип Гамильтона иллюстрируют принцип стационарного действия.

Принцип действия предшествует более ранним идеям в оптике. В Древней Греции, Евклид писал в своей Catoptrica, что для пути света, отражающегося от зеркала, угол падения равен углу размышление. Герой Александрии позже показал, что этот путь был кратчайшим по длине и минимальным временем.

Ученые часто приписывают Пьеру Луи Мопертюи формулировку принципа минимум действий, потому что он писал об этом в 1744 и 1746 годах. Однако Леонард Эйлер обсуждал этот принцип в 1744 году, и данные показывают, что Готфрид Лейбниц предшествовал обоим на 39 лет.

• 1 Общее утверждение
• 2 Истоки, утверждения и противоречия
  • 2.1 Ферма
  • 2.2 Мопертюи
  • 2.3 Эйлер
  • 2.4 Спорный приоритет
• 3 Дальнейшее развитие
  • 3.1 Лагранж и Гамильтон
  • 3.2 Якоби и Морс
  • 3.3 Гаусс и Герц
• 4 Споры о возможных телеологических аспектах
• 5 См. Также
• 6 Примечания и ссылки
• 7 Внешние ссылки

Как система развивается, q прослеживает путь через конфигурационное пространство (показаны только некоторые). Путь, пройденный системой (красный), имеет стационарное действие (δS = 0) при небольших изменениях конфигурации системы (δ q).

Начальной точкой является действие, обозначенное $S\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\}$(каллиграфический S) физической системы. Он определяется как интеграл от лагранжиана L между два момента времени t1и t 2 - технически функционал от N обобщенных координат q= (q 1, q 2,..., q N), которые определяют конфигурацию системы:

$q:\; R\; \to \; RN\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{q\}:\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{N\}\}$

$S\; [q,\; t\; 1,\; t\; 2]\; =\; \int \; t\; 1\; t\; 2\; L\; (q\; (t),\; q\; \dot{}\; (\; т),\; т)\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\; [\backslash \; mathbf\; \{q\},\; t\_\; \{1\},\; t\_\; \{2\}]\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{t\_\; \{1\}\}\; ^\; \{t\_\; \{2\}\}\; L\; (\backslash \; mathbf\; \{q\}\; (t),\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; (t),\; t)\; dt\}$

, где точка обозначает производную по времени, а t - время.

Математически принцип:

$\delta \; S\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\; =\; 0,\}$

где δ (греческий нижний регистр дельта ) означает небольшое изменение. На словах это выглядит следующим образом:

Путь, пройденный системой между моментами времени t 1 и t 2 и конфигурациями q 1 и q 2 - это тот, для которого действие является стационарным (без изменений) от до первого порядка .

Стационарное действие не всегда является минимумом, несмотря на историческое название наименее действие. Это принцип минимума для достаточно коротких конечных сегментов пути.

В приложениях утверждение и определение действия берутся вместе:

$\delta \; \int \; t\; 1\; t\; 2\; L\; (q,\; q\; \dot{},\; t)\; dt\; знак\; равно\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \backslash \; int\; \_\; \{t\_\; \{1\}\}\; ^\; \{t\_\; \{2\}\}\; L\; (\backslash \; mathbf\; \{q\},\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\},\; t)\; dt\; =\; 0.\; \}$

И действие, и лагранжиан содержат динамику системы на все времена. Термин «путь» просто относится к кривой, начерченной системой в терминах координат в конфигурационном пространстве , то есть кривой q (t), параметризованной временем (см. также параметрическое уравнение для этой концепции).

Ферма

В 1600-х годах Пьер де Ферма постулировал, что «свет проходит между двумя заданными точками на пути. кратчайшего времени », который известен как принцип наименьшего времени или принцип Ферма.

Мопертюи

Кредит за формулировку принципа наименьшее действие обычно дается Пьеру Луи Мопертюи, который считал, что «Природа бережлив во всех своих действиях», и широко применял этот принцип:

Законы движения и покоя выводятся из этот принцип в точности совпадает с принципами, наблюдаемыми в природе, поэтому мы можем восхищаться его применением ко всем явлениям. Движение животных, вегетативный рост растений... это только его последствия; и зрелище вселенной становится настолько величественнее, красивее, достойнее своего Автора, когда известно, что небольшого числа законов, установленных самым мудрым образом, достаточно для всех движений.

— Пьер Луи Мопертюи

Это понятие Мопертюи, хотя и в некоторой степени детерминированное сегодня, действительно отражает большую часть сути механики.

Применительно к физике Мопертюи предположил, что количество, которое необходимо минимизировать, было произведением продолжительности (времени) движения в системе на «vis viva »,

Maupertuis 'принцип

$\delta \; \int \; 2\; T\; (t)\; dt\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \backslash \; int\; 2T\; (t)\; dt\; =\; 0\}$

, который является интегралом удвоенной величины, которую мы сейчас называем кинетической энергией Т системы.

Эйлер

Леонард Эйлер дал формулировку принципа действия в 1744 году в очень узнаваемых терминах в Дополнении 2 к его Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minive Proprietate Gaudentes. Начиная со второго абзаца:

Пусть масса снаряда будет M, а его скорость будет v при перемещении на бесконечно малое расстояние ds. У тела будет импульс Mv, который, умноженный на расстояние ds, даст Mv ds, импульс тела, проинтегрированный по расстоянию ds. Теперь я утверждаю, что кривая, описанная таким образом телом, является кривой (среди всех других кривых, соединяющих те же конечные точки), которая минимизирует

$\int \; M\; vds\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; Mv\; \backslash ,\; ds\}$

или, при условии, что M постоянно вдоль пути,

$M\; \int \; vds\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; \backslash \; int\; v\; \backslash ,\; ds\}$.— Леонард Эйлер

Как утверждает Эйлер, ∫Mvds - это интеграл количества движения от пройденного расстояния, который в современных обозначениях равно сокращенному или сокращенному действию

принципу Эйлера

$\delta \; \int \; pdq\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \backslash \; int\; p\; \backslash ,\; dq\; =\; 0\}$

Таким образом, Эйлер создал эквивалент и (по-видимому) независимая формулировка вариационного принципа в том же году, что и Мопертюи, хотя и несколько позже. Любопытно, что Эйлер не претендовал на приоритет, как показывает следующий эпизод.

Спорный приоритет

Приоритет Мопертюи был оспорен в 1751 году математиком Самуэлем Кенигом, который утверждал, что его изобрел Готфрид Лейбниц в 1707. Хотя этот принцип подобен многим аргументам Лейбница, сам принцип не был задокументирован в трудах Лейбница. Сам Кениг показал копию письма 1707 года от Лейбница Якобу Герману с принципом, но оригинал письма был утерян. В ходе судебного разбирательства Кенига обвинили в подделке документов, и даже король Пруссии вступил в спор, защищая Мопертюи (главу его Академии), в то время как Вольтер защищал Кенига

.

Эйлер, вместо того чтобы претендовать на приоритет, был стойким защитником Мопертюи, и сам Эйлер преследовал Кёнига за подделку документов перед Берлинской академией 13 апреля 1752 года. Заявления о подделке были пересмотрены 150 лет спустя, и архивные работы В 1898 и 1913 годах были обнаружены другие копии письма и три других, цитируемых Кёнигом, в архивах Бернулли.

Эйлер продолжал писать на эту тему; в своих «Рефлексиях о келькес женераль-де-ла-природа» (1748) он назвал количество «усилием». Его выражение соответствует тому, что мы теперь назвали бы потенциальной энергией, так что его утверждение о наименьшем действии в статике эквивалентно принципу, согласно которому система тел в состоянии покоя примет конфигурацию, которая минимизирует общую потенциальную энергию.

Лагранж и Гамильтон

Большая часть вариационного исчисления была изложена Жозефом-Луи Лагранжем в 1760 году, и он применил его к задачам динамики. В Mécanique analytique (1788) Лагранж вывел общие уравнения движения механического тела. Уильям Роуэн Гамильтон в 1834 и 1835 годах применил вариационный принцип к классическому лагранжиану функция

$L\; =\; T\; -\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; TV\}$

для получения уравнений Эйлера – Лагранжа в их нынешнем виде.

Якоби и Морс

В 1842 году Карл Густав Якоби занялся проблемой: всегда ли вариационный принцип находит минимумы в отличие от других стационарных точек (максимумы или стационарные седловые точки ); большая часть его работ была сосредоточена на геодезических на двумерных поверхностях. Первые четкие общие утверждения были сделаны Марстоном Морсом в 1920-х и 1930-х годах, что привело к тому, что сейчас известно как теория Морса. Например, Морс показал, что количество сопряженных точек на траектории равно количеству отрицательных собственных значений во второй вариации лагранжиана.

Гаусс и Герц

Были сформулированы другие экстремальные принципы классической механики, такие как принцип наименьших ограничений Гаусса и его следствие Принцип наименьшей кривизны Герца.

Математическая эквивалентность дифференциальных уравнений движения и их интеграла контрагент имеет важные философские последствия. Дифференциальные уравнения - это утверждения о величинах, локализованных в одной точке пространства или в один момент времени. Например, второй закон Ньютона

$F\; =\; ma\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; =\; m\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\}$

утверждает, что мгновенная сила F, приложенная к массе m одновременно вызывает ускорение a . Напротив, принцип действия не ограничен определенной точкой; скорее, он включает интегралы по интервалу времени и (для полей) по расширенной области пространства. Более того, в обычной формулировке классических принципов действия начальное и конечное состояния системы фиксированы, например,

Учитывая, что частица начинается в позиции x 1 в момент времени t 1 и заканчивается в позиции x 2 в момент времени t 2, физическая траектория, которая соединяет эти две конечные точки, является экстремумом интеграл действия.

В частности, фиксация конечного состояния была интерпретирована как придание принципу действия телеологического характера, который исторически был спорным. Однако, согласно У. Юрграу и С. Мандельштаму, телеологический подход... предполагает, что сами вариационные принципы обладают математическими характеристиками, которыми они фактически не обладают. Кроме того, некоторые критики утверждают, что эта очевидная телеология имеет место. из-за способа, которым был задан вопрос. Определяя некоторые, но не все аспекты как начальных, так и конечных условий (положения, но не скорости), мы делаем некоторые выводы о начальных условиях из конечных условий, и именно этот «обратный» вывод можно рассматривать как телеологическое объяснение. Телеологию также можно преодолеть, если рассматривать классическое описание как предельный случай квантового формализма интегрирования по путям, в котором стационарные траектории получаются в результате интерференции амплитуд вдоль всех возможные пути.

Повесть История вашей жизни писателя-фантаста Теда Чанга содержит визуальные изображения Принципа Ферма вместе с обсуждение его телеологического измерения. Кейт Девлин "Математический инстинкт" содержит главу "Элвис, валлийский корги, умеющий проводить вычисления", в которой обсуждаются вычисления, "встроенные" в некоторых животных, поскольку они решают задачу "наименьшего времени" в реальных ситуациях.

• Действие (физика)
• Формулировка интеграла по путям
• квантовый принцип действия Швингера
• Путь наименьшего сопротивления
• Аналитическая механика
• Вариационное исчисление
• Гамильтониан механика
• лагранжева механика
• бритва Оккама

Викицитатник содержит цитаты, связанные с: Принципом наименьшего действия

• Интерактивное объяснение принцип наименьшего действия
• Интерактивный апплет для построения траекторий с использованием принципа наименьшего действия
• Георгиев, Георгий Йорданов (2012). «Количественная мера, механизм и аттрактор для самоорганизации в сетевых сложных системах». Самоорганизующиеся системы. Конспект лекций по информатике. 7166 . С. 90–5. DOI : 10.1007 / 978-3-642-28583-7_9. ISBN 978-3-642-28582-0. S2CID 377417.
• Георгиев Георгий; Георгиев, Искрен (2002). «Наименьшее действие и метрика организованной системы». Открытые системы и информационная динамика. 9 (4): 371–380. arXiv : 1004.3518. doi : 10.1023 / a: 1021858318296. S2CID 43644348.
• Терехович, Владислав (2018). «Метафизика принципа наименьшего действия». Исследования по истории и философии науки Часть B: Исследования по истории и философии современной физики. 62 : 189–201. arXiv : 1511.03429. Bibcode : 2018SHPMP..62..189T. doi : 10.1016 / j.shpsb.2017.09.004. S2CID 85528641.