Функциональный (математика)

редактировать

Не путать с функциональными обозначениями.

Функционал длины дуги имеет в качестве своей области векторное пространство спрямляемых кривых (подпространство) и выводит вещественный скаляр. Это пример нелинейного функционала.

{\ Displaystyle С ([0,1], \ mathbb {R} ^ {3})}

С ([0,1], \ mathbb {R} ^ 3)

Интеграл Римана представляет собой линейный функционал на векторном пространстве Римана-интегрируемых функций от а до Ь, где а, Ь ∈.

{\ Displaystyle \ mathbb {R}}

\ mathbb {R}

В математике термин функционал (как существительное) имеет как минимум три значения.

В современной линейной алгебре это относится к линейному отображению из векторного пространства в его поле скаляров, т. Е. Относится к элементу двойственного пространства. ${\ displaystyle V}$ $V$ ${\ Displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ {*}$
В математическом анализе, в более общем плане и исторически, это относится к отображению пространства в действительные числа или иногда в комплексные числа с целью установления структуры, подобной исчислению. В зависимости от автора такие сопоставления могут считаться или не считаться линейными или определяемыми для всего пространства. ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$
В информатике это синоним функций высшего порядка, то есть функций, которые принимают функции в качестве аргументов или возвращают их.

В данной статье основное внимание уделяется второй концепции, возникшей в начале 18 века как часть вариационного исчисления. Первая концепция, более современная и абстрактная, подробно обсуждается в отдельной статье под названием linear form. Третья концепция подробно описана в статье о функциях высшего порядка.

Обычно пространство - это пространство функций. В этом случае функционал является «функцией функции», и некоторые более старые авторы фактически определяют термин «функционал» как «функция функции». Однако тот факт, что это пространство функций, не является математически существенным, поэтому это старое определение больше не является распространенным. ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$

Термин происходит от вариационного исчисления, когда ищут функцию, которая минимизирует (или максимизирует) данный функционал. Особенно важным приложением в физике является поиск состояния системы, которое минимизирует (или максимизирует) действие, или, другими словами, интеграл по времени от лагранжиана.

Содержание

1 Детали
- 1.1 Двойственность
- 1.2 Определенный интеграл
- 1.3 Внутренние пространства продукта
- 1.4 Местность
2 Решение уравнения
3 Производная и интеграция
4 См. Также
5 ссылки

подробности

Двойственность

Отображение

{\ displaystyle x_ {0} \ mapsto f (x_ {0})}

x_0 \ mapsto f (x_0)

- функция, где x 0 - аргумент функции f. В то же время отображение функции на значение функции в точке

{\ displaystyle f \ mapsto f (x_ {0})}

е \ mapsto f (x_0)

это функционал ; здесь x 0 - параметр.

При условии, что f является линейной функцией от векторного пространства до лежащего в основе скалярного поля, приведенные выше линейные карты двойственны друг другу, и в функциональном анализе оба называются линейными функционалами.

Определенный интеграл

Такие интегралы, как

{\ displaystyle f \ mapsto I [f] = \ int _ {\ Omega} H (f (x), f '(x), \ ldots) \; \ mu ({\ t_dv {d}} x)}

f \ mapsto I [f] = \ int _ {\ Omega} H (f (x), f '(x), \ ldots) \; \ mu (\ t_dv {d} x)

образуют особый класс функционалов. Они отображают функцию в действительное число, при условии, что оно имеет действительное значение. Примеры включают ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ displaystyle H}$ $ЧАС$

область под графиком положительной функции ${\ displaystyle f}$ $ж$

{\ Displaystyle е \ mapsto \ int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} f (x) \; \ mathrm {d} x}

е \ mapsto \ int_ {x_0} ^ {x_1} f (x) \; \ mathrm {d} x

L ^p норма функции на множестве ${\ displaystyle E}$ $E$

{\ Displaystyle е \ mapsto \ left (\ int _ {E} | f | ^ {p} \; \ mathrm {d} x \ right) ^ {1 / p}}

{\ Displaystyle е \ mapsto \ left (\ int _ {E} | f | ^ {p} \; \ mathrm {d} x \ right) ^ {1 / p}}

длина дуги кривой в 2-мерном евклидовом пространстве

{\ displaystyle f \ mapsto \ int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} {\ sqrt {1+ | f '(x) | ^ {2}}} \; \ mathrm {d} x}

е \ mapsto \ int_ {x_0} ^ {x_1} \ sqrt {1+ | f '(x) | ^ 2} \; \ mathrm {d} х

Внутренние пространства продукта

Для заданного внутреннего пространства продукта и фиксированного вектора карта, определяемая с помощью, является линейным функционалом на. Множество векторов, таких, что равна нулю является векторным подпространством, называется нуль - пространство или ядро функционала, или ортогональное дополнение в, обозначаемое. ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} \ in X}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} \ in X}$ ${\ Displaystyle {\ vec {y}} \ mapsto {\ vec {x}} \ cdot {\ vec {y}}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {y}} \ mapsto {\ vec {x}} \ cdot {\ vec {y}}}$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle {\ vec {y}}}$ ${\ vec {y}}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} \ cdot {\ vec {y}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} \ cdot {\ vec {y}}}$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle {\ vec {x}}}$ ${\ vec {x}}$ ${\ displaystyle \ {{\ vec {x}} \} ^ {\ perp}}$ ${\ displaystyle \ {{\ vec {x}} \} ^ {\ perp}}$

Например, взятие скалярного произведения с фиксированной функцией определяет (линейный) функционал на гильбертовом пространстве квадратично интегрируемых функций на: ${\ Displaystyle г \ в L ^ {2} ([- \ пи, \ пи])}$ ${\ Displaystyle г \ в L ^ {2} ([- \ пи, \ пи])}$ ${\ Displaystyle L ^ {2} ([- \ пи, \ пи])}$ ${\ Displaystyle L ^ {2} ([- \ пи, \ пи])}$ ${\ displaystyle [- \ pi, \ pi]}$ $[- \ пи, \ пи]$

${\ displaystyle f \ mapsto \ langle f, g \ rangle = \ int _ {[- \ pi, \ pi]} {\ bar {f}} g}$ ${\ displaystyle f \ mapsto \ langle f, g \ rangle = \ int _ {[- \ pi, \ pi]} {\ bar {f}} g}$

Местонахождение

Если значение функционала можно вычислить для небольших сегментов входной кривой, а затем просуммировать, чтобы найти общее значение, функционал называется локальным. В противном случае это называется нелокальным. Например:

{\ Displaystyle F (y) = \ int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} y (x) \; \ mathrm {d} x}

F (y) = \ int_ {x_0} ^ {x_1} y (x) \; \ mathrm {d} x

местный пока

{\ Displaystyle F (y) = {\ гидроразрыва {\ int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} y (x) \; \ mathrm {d} x} {\ int _ {x_ {0} } ^ {x_ {1}} (1+ [y (x)] ^ {2}) \; \ mathrm {d} x}}}

F (y) = \ frac {\ int_ {x_0} ^ {x_1} y (x) \; \ mathrm {d} x} {\ int_ {x_0} ^ {x_1} (1+ [y (x)] ^ 2) \; \ mathrm {d} x}

не является локальным. Это обычно происходит, когда интегралы встречаются отдельно в числителе и знаменателе уравнения, например, при вычислении центра масс.

Решение уравнения

Основная статья: Функциональное уравнение

Традиционное использование также применяется, когда говорят о функциональном уравнении, имея в виду уравнение между функционалами: уравнение F = G между функционалами может быть прочитано как «уравнение для решения», а решения сами являются функциями. В таких уравнениях может быть несколько наборов неизвестных переменных, например, когда говорят, что аддитивная функция f - это функция, удовлетворяющая функциональному уравнению

{\ Displaystyle f (x + y) = f (x) + f (y).}

е (х + у) = е (х) + е (у).

Производная и интеграция

См. Также: Вариационное исчисление

Функциональные производные используются в лагранжевой механике. Они являются производными от функционалов: то есть несут информацию о том, как изменяется функционал, когда входная функция изменяется на небольшую величину.

Ричард Фейнман использовал функциональные интегралы в качестве центральной идеи в своей формулировке истории квантовой механики. Это использование подразумевает интеграл, взятый по некоторому функциональному пространству.

Смотрите также

Ссылки

"Функциональный", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Роуленд, Тодд. «Функциональный». MathWorld.
Ланг, Серж (2002), «III. Модули, §6. Двойственное пространство и дуальный модуль», Алгебра, Graduate Texts in Mathematics, 211 (исправленное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 142–146, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001